数学：2.2《等差数列》课件(新人教A版必修5)
定义：一般地，如果一个数列从第2项起，
每一项与它的前一项的差等于同一常数，那 么这个数列就叫做等差数列。
数学语言：
an+1- an = d （n∈N*）
{2n-1}是等差数列吗？(n∈N*)
an+1- an = 2（n+1）-1 - 2n-1
=2
[
][ ]
已知数列{an}是等差数列，公差为d， 取出所有奇数项组成一个新的数列 是等差数列吗？
即
答：梯子中间各级的宽从上到下依次是
40cm，47cm，54cm，61cm，68cm，75cm，82cm， 89cm，96cm，103cm。
3 0 1 7 6 9 11a
7 4 7 0 4 3a 0 4 7 3 3 2a
解得 d=7 因此，
……Βιβλιοθήκη 练习1、求等差数列3，7，11，…的第4 项与第10项。 2 、 -20 是 不 是 等 差 数 列 0, -3.5 ， 7，…的项？如果是，是第几项？如果 不是，说明理由。 3、等差数列{an}中 （1）已知a4=10，a7=19，求a1与d （2）已知a3=9，a9=3，求a12
一、等差数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一 项与它的前一项的差等于同一 常数，那么这个数列就叫做等 差数列。(an+1-an=d)
二、等差数列的通项公式
an=a1+(n-1)d (n∈N*)
等差数列的图象1 10
9 8
●
●
（1）数列：-2，0，2，4，6，8，10，…
7 6 5 4
3 2 1 0 1
a1 ,d, an ，n
已知其中三个量就可以求出第四个
a n a1 ( n 1) d
等差数列中a4=15，d=3
a1 = 15-（4-1）×3=6
a n a1 ( n 1) d
求等差数列8，5，2，…，的 第20项。
a n a1 ( n 1) d
-401是不是等差数列-5，-9，-13… 的项？如果是，是第几项？
当n=1时，上式两边均等于a1，即等式也成立的。 这表明当n∈N*时上式都成立，因而它就是等差数 列{an}的通项公式。
a n a1 ( n 1) d
等差数列中a1 =1,d=2
an = 1+（n-1）×2=2n-1
关键求出a1和d
a n a1 ( n 1) d
通项公式中有几个量？
二、等差数列的通项公式
a2 － a1=d， a3 － a2=d， a4 － a3=d， …… an－1－an－2=d, an －an－1=d. 这（n－1）个式子迭加 由此得到 a n=a1+(n－1)d an － a1= (n－1)d 则 a2=a1+d a3=a2+d=a1+2d a4=a3+d=a1+3d ……
§2.2 等差数列 （第一课时）
一、等差数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前 一项的差等于同一常数，那么这个数列就叫 做等差数列。 这个常数叫等差数列的公差，用字母d表示。
观察下列数列是否是等差数列
① ② ③ ④ ⑤ ⑥
不是 1，2，4，6，8，10，…… 0，1，2，3，4，5，6，…… d=1 3，3，3，3，3，3，3，…… d=0 不是 2，4，7，11，16，…… -8，-6，-4，0，2，4，…… 不是 d= -3 3，0，-3，-6，-9，……
a n a1 ( n 1) d
在等差数列｛an｝中已知a5=10, a12=31, 求an
梯子的最高一级宽33cm，最低一级宽110cm，中间还有10 级，各级宽度成等差数列，计算中间各级的宽度. 解：用
an 表示题中的等差数列，由已知条件，有
110=33+11d,
a1=33,a12=110, n=12 a12=a1(12-1)d
● ● ● ●
●
2
3
4
5
6
7
8
9
10
研究与探讨： 通过以上观察，你能发现首项 a1和公差d对{an}的图象的影响 吗？
等差数列的的作业
习题3.2第1、2、3题
祝同学们学习愉快， 人人成绩优异！
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新课标人教A版数学必修5全部课件：等差数列性质应(1)
f ( n )( n N ), 且 f (1) 2 求 f (101 )的值 tg ( A C )的值
（6）在 ABC 中 , A 、 B 、 C 成等差数列，求
练习题 2 （7）等差数列 a1 1 25 , 第10 项大于 1，求公差 d 的范围
(8 ) 若 a b , 且 a , x1 , x 2 , , x m , b 和 a , y1 , y 2 , , y n , b 都是 等差数列，试用 （9）已知等差数列 x 2 x1 m 、 n 的值表示 之值。 y 2 y1
a n , 满足 a 3 a 7
12 , a 4 a 6 4 94 ， 数
求数列 a n 的通项公式 . (10 )四个数成等差数列，其 第一个数与第四个数的 的积少 18，求这四个数。 中四个数的平方和为 积比第二个数与第三个
练习题 1： （1）在等差数列中 a 3 5 , a 5 9 , 求 a10 的值 a15 33 , a 25 66 , 求 a 35的值 a 5 10 , a1 a 2 a 3 3, 求： a1、 d 使这五个数 。
（ 2）在等差数列中， （3）在等差数列中，
( 4 .) 在 1与 7 之间依次插入三个数， 成等差数列，求此数列 （5）设 f ( n 1) 1 2
( 2 ) 若 lg 2、 2 1)、 2 3) 成等差数列，则 lg( lg(
x x
x?
（3）三数成等差数列，其
和为 9， ；
积为 15，求此三数 ( 若是五个数成等差数列 四个数成等差数列又如 何设未知数？ )
（4）首项为 24 的等差数列，从第 为正数，求公差 d 的取值范围
高中数学第二章数列2.2等差数列第1课时等差数列的概念与通项公式课件新人教A版必修5
3．在等差数列{an}中，若 a1·a3＝8，a2＝3，则公差 d＝( )
A．1 B．－1 C．±1 D．±2 a1（a1＋2d）＝8，
解析：由已知得 a1＋d＝3，
解得 d＝±1. 答案：C
第九页，共32页。
4. lg( 3 ＋ 2 ) 与 lg( 3 － 2 ) 的 等 差 中 项 是 ______________．
第十六页，共32页。
[变式训练] (1)已知数列 3，9，15，…，3(2n－1)，…， 那么 81 是它的第________项( )
A．12 B．13 C．14 D．15 (2)已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断 153 是不是这个数列的项，如果是，是第几项？ 解析：(1)an＝3(2n－1)＝6n－3，由 6n－3＝81，得 n ＝14.
第十七页，共32页。
(2)设首项为 a1，公差为 d，则 an＝a1＋(n－1)d， a1＋（15－1）d＝33，
由已知 a1＋（61－1）d＝217，
a1＝－23， 解得
d＝4. 所以 an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27，
第十八页，共32页。
令 an＝153，即 4n－27＝153，解得 n＝45∈N*， 所以 153 是所给数列的第 45 项． 答案：(1)C (2)45
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√
第七页，共32页。
2．已知等差数列{an}中，首项 a1＝4，公差 d＝－2，
则通项公式 an 等于( )
A．4－2n
B．2n－4
C．6－2n
D．2n－6
解析：因为 a1＝4，d＝－2，所以 an＝4＋(n－1)×(－
2)＝6－2n.
高中数学人教A版必修5第二章2.2等差数列2课时课件
a2=a1+d,
实际由等差数列定义有
a3=a2+d =a1+2d, a4=a3+d =a1+3d, 由上式猜测: an=a1+(n-1)d.
a2-a1=d, a3-a2=d,
a4-a3=d, ……
an-an-1=d,
联想：形如递推公式a n
- an-1
=
f
(n)，
求通项公式可运用累加法
各式两边分别相加得
问题1. 刚才写出的 4 个数列, 它们有什么共同的 规律? 请你给有这种规律的数列设计一个名称.
(1) 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, … (2) 18, 15.5, 13, 10.5, 8, 5.5, 3, 0.5. (3) 10072, 10144, 10216, 10288, 10360. (4) 60, 58, 56, 54, 52, 50, 48, 46, 44, 42.
问题1. 等差数列的应用较为广泛, 如: 能被 7 整 除的三位正整数有多少个? 一部梯子有 15 级, 最下 一级宽 61cm, 最上一级宽 40cm, 从下到上的第 10 级宽是多少? 你能用等差数列知识解决这类问题吗?
同样, 梯子的各级宽依次构成等差数列. 设这个数列为{bn}, 则 b1=61, b15=40. 由通项公式 b15=b1+(15-1)d 得
(2) 是等差数列, 它的首项是原数列首项a1, 公差是原 数列公差的 2 倍, 即2d.
(3) 也是等差数列, 它的首项是原数列首项a7, 公差是 原数列公差的 7 倍, 即7d.
5. 已知{an}是等差数列. (1) 2a5=a3+a7 是否成立? 2a5=a1+a9 呢? 为什么? (2) 2an=an-1+an+1 (n>1) 是否成立? 据此你能得出 什么结论?
高中数学人教A版必修5《等差数列》PPT课件
本节课主要学习：
一个定义： an-an-1=d（d是常数，n≥2， n∈N*） 一个公式：an=a1+（n-1）d 一种思想：方程思想 一个概念： A=a+b/2
方法二
由递推公式：an－an－1=d （d是常数，n≥2，n∈N*）
可得:
a2-a1=d
a3-a2=d a4-a3=d
……
an-an-1=d
列。 这也是判断，证明一个数列是等差数列的一种方 法。 等差中项法
高中数学人教A版必修5《等差数列》P PT课件
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5.证明数列为等差数列的方法： (1)定义法： an an1 d (n 2) (2)等差中项法：2an an1 an1(n 2)
解法一
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证明： 1 , 1 , 1 成等差数列 abc
2 11 b ac
bcba bcabac2
ac
a
c
(a b c)(1 1) 2 ac
(a b c) 2 2 b
2(a c) 2b 2 bb
4
4 an1
(n
1)记bn
1 an 2
（1）求证：数列bn 是等差数列；
（2）求数列an 的通项公式
构造法
解：（2）由（1）知，b n
1 2
(n 1)
1 2
n 2
bn
1 an 2
an
1 bn
2
2 n
2
求数列通项公式的方法：
（1）公式法；
（2）累加法；an1 an f (n)
（3）累乘法；an1 f (n)
一个定义： an-an-1=d（d是常数，n≥2， n∈N*） 一个公式：an=a1+（n-1）d 一种思想：方程思想 一个概念： A=a+b/2
方法二
由递推公式：an－an－1=d （d是常数，n≥2，n∈N*）
可得:
a2-a1=d
a3-a2=d a4-a3=d
……
an-an-1=d
列。 这也是判断，证明一个数列是等差数列的一种方 法。 等差中项法
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5.证明数列为等差数列的方法： (1)定义法： an an1 d (n 2) (2)等差中项法：2an an1 an1(n 2)
解法一
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证明： 1 , 1 , 1 成等差数列 abc
2 11 b ac
bcba bcabac2
ac
a
c
(a b c)(1 1) 2 ac
(a b c) 2 2 b
2(a c) 2b 2 bb
4
4 an1
(n
1)记bn
1 an 2
（1）求证：数列bn 是等差数列；
（2）求数列an 的通项公式
构造法
解：（2）由（1）知，b n
1 2
(n 1)
1 2
n 2
bn
1 an 2
an
1 bn
2
2 n
2
求数列通项公式的方法：
（1）公式法；
（2）累加法；an1 an f (n)
（3）累乘法；an1 f (n)
人教版高中数学必修五 2.2 等差数列
(2)符号语言：an＋1－an＝d(d 为常数，n∈N*).
知识2：等差中项 问题导思：
如果三个数 a，A，b 成等差数列，那么它们之间有怎样的 数量关系？ 答：因为 A－a＝b－A，所以 a＋b＝2A.
如果 a，A，b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项．它 们之间的关系式是 a＋b＝2A .
4．已知等差数列{an}：－1,2,5,8，…，求公差 d 和 a10. 解：∵a1＝－1， ∴d＝a2－a1＝2－(－1)＝3， ∴a10＝a1＋(10－1)×d＝－1＋9×3＝26.
变式训练 3：《九章算术》“竹九节”问题：现有一根 9 节的竹
子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4 节的容积共 3 升，
下面 3 节的容积共 4 升，则第 5 节的容积为( )
A．1 升
B.6676升
C.4474升
D.3373升
【解析】设所构成数列为{an}，且其首项为 a1，公差为 d， 依题意得aa17＋＋aa28＋＋aa39＋＝a44，＝3， 即43aa11＋＋62d1＝d＝3，4，
2．等差数列的通项公式可以解决以下三类问题： (1)已知 an，a1，n，d 中的任意三个量，可求出第四个量； (2)已知数列{an}的通项公式，可以求出等差数列{an}中的 任一项，也可以判断某一个数是否是该数列中的项； (3)若已知{an}的通项公式是关于 n 的一次函数或常数函 数，则可判断{an}是等差数列．
∴an＝a1＋(n－1)×5＝5n－4， ∴a80＝5×80－4＝396.
(2)a1＝a2－d＝12＋2＝14， ∴an＝14＋(n－1)×(－2)＝－20， ∴n＝18.
类型3：等差数列的实际应用问题 例 3：梯子的最高一级宽 33 cm，最低一级宽 110 cm，中间还有 10 级，各级宽度依次成等差数列，计算中间各级的宽度．
知识2：等差中项 问题导思：
如果三个数 a，A，b 成等差数列，那么它们之间有怎样的 数量关系？ 答：因为 A－a＝b－A，所以 a＋b＝2A.
如果 a，A，b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项．它 们之间的关系式是 a＋b＝2A .
4．已知等差数列{an}：－1,2,5,8，…，求公差 d 和 a10. 解：∵a1＝－1， ∴d＝a2－a1＝2－(－1)＝3， ∴a10＝a1＋(10－1)×d＝－1＋9×3＝26.
变式训练 3：《九章算术》“竹九节”问题：现有一根 9 节的竹
子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4 节的容积共 3 升，
下面 3 节的容积共 4 升，则第 5 节的容积为( )
A．1 升
B.6676升
C.4474升
D.3373升
【解析】设所构成数列为{an}，且其首项为 a1，公差为 d， 依题意得aa17＋＋aa28＋＋aa39＋＝a44，＝3， 即43aa11＋＋62d1＝d＝3，4，
2．等差数列的通项公式可以解决以下三类问题： (1)已知 an，a1，n，d 中的任意三个量，可求出第四个量； (2)已知数列{an}的通项公式，可以求出等差数列{an}中的 任一项，也可以判断某一个数是否是该数列中的项； (3)若已知{an}的通项公式是关于 n 的一次函数或常数函 数，则可判断{an}是等差数列．
∴an＝a1＋(n－1)×5＝5n－4， ∴a80＝5×80－4＝396.
(2)a1＝a2－d＝12＋2＝14， ∴an＝14＋(n－1)×(－2)＝－20， ∴n＝18.
类型3：等差数列的实际应用问题 例 3：梯子的最高一级宽 33 cm，最低一级宽 110 cm，中间还有 10 级，各级宽度依次成等差数列，计算中间各级的宽度．
【优化方案】2012高中数学 第2章2.2.2等差数列的性质课件 新人教A版必修5
(4)若{an}是有穷等差数列，则与首、末两项等距 若 是有穷等差数列， 是有穷等差数列 则与首、 离的两项之和都相等，且等于首、末两项之和， 离的两项之和都相等，且等于首、末两项之和， 即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ai＋1＋an－i＝…. ＝ ＋ － － (5)数列 n＋b}(λ、b是常数 是公差为 的等差数 数列{λa 是常数)是公差为 数列 、 是常数 是公差为λd的等差数 列．
方法感悟
若数列{a 是公差为 的等差数列，则有： 若数列 n}是公差为 d 的等差数列，则有： an－a1 am－ak (1)d＝ (m、n、k∈N*)． ＝ ＝ 、 、 ∈ ． n－1 m－k － － (2)若 m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)，则 am＋an 若 ＋ ＝ ＋ 、 、 、 ∈ ， ＝ap＋aq. m＋n ＋ (3)若 若 ＝k，则 am＋an＝2ak(m、n、k∈N*)． ， 、 、 ∈ ． 2
差d＜0，所以利润构成的数列是一个递减数列， ＜ ，所以利润构成的数列是一个递减数列， 即随着n的增大， 的值越来越小， 即随着 的增大，an的值越来越小，an＜0时(此处 的增大 时 此处 暗含a － 成立 公司将出现亏损． 成立)公司将出现亏损 暗含 n－1≥0成立 公司将出现亏损．
变式训练2 变式训练
体考虑问题． 利用 利用2a 利用a 体考虑问题．(1)利用 4＝a3＋a5，(2)利用 n＝ 利用 am＋(n－m)d. －
解析】 【 解析】 (1)∵a3＋ a4＋a5＝12，∴ 3a4＝ 12，a4 ∵ ， ， ＝4. ∴a1＋a2＋…＋a7＝(a1＋a7)＋(a2＋a6)＋(a3＋a5)＋ ＋ ＋ ＋ a4＝7a4＝28. (2)在等差数列 n}中，根据 an＝am＋(n－m)d， 在等差数列{a 中 在等差数列 － ， 1 ∴a51＝a11＋40d，∴d＝ (54＋26)＝2. ， ＝ ＋ ＝ 40 ＝－26＋ × ＝－ ＝－20. ∴a14＝a11＋3d＝－ ＋3×2＝－ ＝－
人教A版数学必修五《等差数列》课件PPT
an=a1+(n－1)d (n∈N*)
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②问－400是不是等差数列－5，－9，－13,… 的项？如果是，是第几项？ 解：a1=－5,d=－4 an=－5+(n－1)·(－4),则 由题意知，本题是要回答是否存在正整数n， 使得 －401=－5+(n－1)·(－4)成立 解之得 n= 399
4
所以－400不是这个数列的项
an=a1+(n－1)d (n∈N*)
人教A版数学必修五《等差数列》课件 PPT
练习：1 100是不是等差数列2，9，16，…的项？如果 人教A版数学必修五《等差数列》课件PPT
0
是，是第几项？ 如果不是，说明理由.
20 在正整数集合中，有多少个三位数？
30 在三位正整数集合中有多少个是7的倍数？
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（一）求通项an
若已知一个等差数列的首项a1和公差d，即可求出an 例如：①a1=1, d=2, 则 an=1+(n－1)·2=2n－1
②已知等差数列8，5，2，…求 an及a20
解：∴∵aan1==88+,(dn=－5－1)·8(=－－3)3=－3n+11
这就是说，这些数列具有这样的共同特点： 从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。
定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每
一项与它的前一项的差等于同一常数，那么
这个数列就叫做等差数列, 通常用A · P表示。 这个常数叫等差数列的公差，用字母d表示。
数学语言： an－an－1=d
（d是常数，n≥2，n∈N*）
由此得到 a n=a1+(n－1)d
人教A版数学必修五《等差数列》课件 PPT
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②问－400是不是等差数列－5，－9，－13,… 的项？如果是，是第几项？ 解：a1=－5,d=－4 an=－5+(n－1)·(－4),则 由题意知，本题是要回答是否存在正整数n， 使得 －401=－5+(n－1)·(－4)成立 解之得 n= 399
4
所以－400不是这个数列的项
an=a1+(n－1)d (n∈N*)
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练习：1 100是不是等差数列2，9，16，…的项？如果 人教A版数学必修五《等差数列》课件PPT
0
是，是第几项？ 如果不是，说明理由.
20 在正整数集合中，有多少个三位数？
30 在三位正整数集合中有多少个是7的倍数？
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（一）求通项an
若已知一个等差数列的首项a1和公差d，即可求出an 例如：①a1=1, d=2, 则 an=1+(n－1)·2=2n－1
②已知等差数列8，5，2，…求 an及a20
解：∴∵aan1==88+,(dn=－5－1)·8(=－－3)3=－3n+11
这就是说，这些数列具有这样的共同特点： 从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。
定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每
一项与它的前一项的差等于同一常数，那么
这个数列就叫做等差数列, 通常用A · P表示。 这个常数叫等差数列的公差，用字母d表示。
数学语言： an－an－1=d
（d是常数，n≥2，n∈N*）
由此得到 a n=a1+(n－1)d
高中数学第二章数列2.2等差数列第一课时等差数列的概念与通项公式课件新人教A版必修5
6.等差数列通项公式的变形应用 已知等差数列{an}中的任意两项 an,am(n,m∈N*,m≠n),
则
an am
a1 (n 1)d, a1 (m 1)d
⇒
an-am=(n-m)d⇒
d an am , nm an am (n
m)d.
这表明已知等差数列中的任意两项即可求得其公差,进而求得其通项公式.
2.对等差数列定义的理解 (1)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”. (2)一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差即使等于常数,这个数列也不 一定是等差数列,因为当这些常数不同时,该数列不是等差数列,因此定义中 强调“同一个常数”,注意不要漏掉这一条件. (3)求公差d时,可以用d=an-an-1来求,也可以用d=an+1-an来求.注意公差是每 一项与其前一项的差,且用an-an-1求公差时,要求n≥2,n∈N*.
解析:由等差数列的定义知强调两个方面:①从第2项起; ②差为同一个常数,故选D.
2.等差数列{an}中,a4+a8=10,a10=6,则公差 d 等于( A )
(A) 1 4
(B) 1 2
(C)2
(D)- 1 2
解析:在等差数列{an}中,由 a4+a8=10,得 2a6=10,a6=5.又 a10=6,则 d= a10 a6 = 6 5 = 1 .故选 A.
2d a14d 105, a1 3d a1 5d
99,
解得
ad1
39, 2,
所以
a20=a1+19d=1.
答案:1
课堂探究
题型一 等差数列的通项公式
【例1】 已知{an}为等差数列,a15=8,a60=20,求a75.
则
an am
a1 (n 1)d, a1 (m 1)d
⇒
an-am=(n-m)d⇒
d an am , nm an am (n
m)d.
这表明已知等差数列中的任意两项即可求得其公差,进而求得其通项公式.
2.对等差数列定义的理解 (1)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”. (2)一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差即使等于常数,这个数列也不 一定是等差数列,因为当这些常数不同时,该数列不是等差数列,因此定义中 强调“同一个常数”,注意不要漏掉这一条件. (3)求公差d时,可以用d=an-an-1来求,也可以用d=an+1-an来求.注意公差是每 一项与其前一项的差,且用an-an-1求公差时,要求n≥2,n∈N*.
解析:由等差数列的定义知强调两个方面:①从第2项起; ②差为同一个常数,故选D.
2.等差数列{an}中,a4+a8=10,a10=6,则公差 d 等于( A )
(A) 1 4
(B) 1 2
(C)2
(D)- 1 2
解析:在等差数列{an}中,由 a4+a8=10,得 2a6=10,a6=5.又 a10=6,则 d= a10 a6 = 6 5 = 1 .故选 A.
2d a14d 105, a1 3d a1 5d
99,
解得
ad1
39, 2,
所以
a20=a1+19d=1.
答案:1
课堂探究
题型一 等差数列的通项公式
【例1】 已知{an}为等差数列,a15=8,a60=20,求a75.
人教a版必修五课件：等差数列的前n项和(53页)
第二章
数列
2.3 等差数列的前n项和
第1课时
课前自主预习
等差数列的前n项和
课堂互动探究
随堂知能训练
课时作业
目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻远瞩
1.体会等差数列前n项和公式的推导过程． 2．掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系， 能够由其中的三个量求另外的两个量.
课 前 自 主 预 习
课 堂 互 动 探 究
例 练 结 合 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·素 能 提 升
典例导悟
类型一 [例1] 等差数列前n项和公式的基本运算 分别按等差数列{an}的下列要求计算：
2．等差数列{an}的前n项和 na1＋an 设等差数列{an}的公差是d，则Sn＝ ＝na1＋ 2
nn－1 d 2 .
思考感悟
1．推导等差数列前n项和公式时，用的推导方法叫什 么？其基本的求解思路是什么？
提示：叫倒序相加法．其求解思路来源于对等差数列 的第k项与倒数第k项的和都等于首项a1和末项an的和这一性 质的认识和发展．
2．“等差数列的前n项和公式是关于n的一元二次函 数”，这种说法正确吗？
提示：不一定正确．当d≠0时，Sn＝An2＋Bn(A≠0)是 关于n的一元二次函数；当d＝0时，Sn＝na1＝a1n
提示：(1)等差数列的求和公式中，一共涉及到a1， an，Sn，n，d五个量，通常已知其中三个，可求另外两个， 而且方法就是解方程组，这也是等差数列解决问题的基本 方法．
2 009a1＋a2 009 1 ∴S2 009＝ ＝2 009a1 005＝2 009×41＝49. 2 100×100－1 (2)由S100＝100a1＋ ×2＝10 000，解得a1 2 ＝1. ∴an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.
数列
2.3 等差数列的前n项和
第1课时
课前自主预习
等差数列的前n项和
课堂互动探究
随堂知能训练
课时作业
目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻远瞩
1.体会等差数列前n项和公式的推导过程． 2．掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系， 能够由其中的三个量求另外的两个量.
课 前 自 主 预 习
课 堂 互 动 探 究
例 练 结 合 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·素 能 提 升
典例导悟
类型一 [例1] 等差数列前n项和公式的基本运算 分别按等差数列{an}的下列要求计算：
2．等差数列{an}的前n项和 na1＋an 设等差数列{an}的公差是d，则Sn＝ ＝na1＋ 2
nn－1 d 2 .
思考感悟
1．推导等差数列前n项和公式时，用的推导方法叫什 么？其基本的求解思路是什么？
提示：叫倒序相加法．其求解思路来源于对等差数列 的第k项与倒数第k项的和都等于首项a1和末项an的和这一性 质的认识和发展．
2．“等差数列的前n项和公式是关于n的一元二次函 数”，这种说法正确吗？
提示：不一定正确．当d≠0时，Sn＝An2＋Bn(A≠0)是 关于n的一元二次函数；当d＝0时，Sn＝na1＝a1n
提示：(1)等差数列的求和公式中，一共涉及到a1， an，Sn，n，d五个量，通常已知其中三个，可求另外两个， 而且方法就是解方程组，这也是等差数列解决问题的基本 方法．
2 009a1＋a2 009 1 ∴S2 009＝ ＝2 009a1 005＝2 009×41＝49. 2 100×100－1 (2)由S100＝100a1＋ ×2＝10 000，解得a1 2 ＝1. ∴an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.
人教A版高中数学必修5课件：2.2等差数列定义及通项公式(共37张PPT)
证明．在求{an}通项公式时，要用到{an－2}是等差数列，先求 1
{an－2}的通项，再求{an}的通项公式．
➢ 等差数列的判定与证明 等差数列的判定方法有以下二种： (1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}为等差数列； (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}为等差数 列． 如果要证明一个数列是等差数列，必须用定义法或等差 中项法．
(2)注意定义中“每一项与它的前一项的差”这一运算 要求，它的含义也有两个：其一是强调作差的顺序，即后面 的项减前面的项；其二是强调这两项必须相邻．
(3)注意定义中的“同一常数”这一要求，否则这个数 列不能称为等差数列．
2．怎样认识等差数列通项公式 (1)确定 a1 和 d 是确定通项的一般方法． (2)由方程思想，根据 an，a1，n，d 中任何三个量可求 解另一个量，即知三求一． (3)通项公式可变形为 an＝dn＋(a1－d)，可把 an 看作自 变量为 n 的一次函数．
∴294<d≤3.又 d 为整数， ∴d＝3. ∴an＝a1＋(n－1)·d＝－24＋3(n－1)＝3n－27. ∴通项公式为 an＝3n－27.
10．如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始， 每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等 方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差．
(1)设数列{an}是公方差为 p 的等方差数列，求 an 和 an－ 1(n≥2)的关系式；
项公式是
.
3．等差中项
如果 a，A，b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差
中项．
1.正确理解等差数列的定义 (1)注意定义中“从第 2 项起”这一前提条件的两层含 义，其一，第 1 项前面没有项，无法与后续条件中“与前一 项的差”相吻合；其二，定义中包括首项这一基本量，且必 须从第 2 项起保证使数列中各项均与其前面一项作差．
{an－2}的通项，再求{an}的通项公式．
➢ 等差数列的判定与证明 等差数列的判定方法有以下二种： (1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}为等差数列； (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}为等差数 列． 如果要证明一个数列是等差数列，必须用定义法或等差 中项法．
(2)注意定义中“每一项与它的前一项的差”这一运算 要求，它的含义也有两个：其一是强调作差的顺序，即后面 的项减前面的项；其二是强调这两项必须相邻．
(3)注意定义中的“同一常数”这一要求，否则这个数 列不能称为等差数列．
2．怎样认识等差数列通项公式 (1)确定 a1 和 d 是确定通项的一般方法． (2)由方程思想，根据 an，a1，n，d 中任何三个量可求 解另一个量，即知三求一． (3)通项公式可变形为 an＝dn＋(a1－d)，可把 an 看作自 变量为 n 的一次函数．
∴294<d≤3.又 d 为整数， ∴d＝3. ∴an＝a1＋(n－1)·d＝－24＋3(n－1)＝3n－27. ∴通项公式为 an＝3n－27.
10．如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始， 每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等 方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差．
(1)设数列{an}是公方差为 p 的等方差数列，求 an 和 an－ 1(n≥2)的关系式；
项公式是
.
3．等差中项
如果 a，A，b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差
中项．
1.正确理解等差数列的定义 (1)注意定义中“从第 2 项起”这一前提条件的两层含 义，其一，第 1 项前面没有项，无法与后续条件中“与前一 项的差”相吻合；其二，定义中包括首项这一基本量，且必 须从第 2 项起保证使数列中各项均与其前面一项作差．