研究生组合数学复习要点

种.
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(3) 最后安排m个男人入座，有m!种方法.
由乘法原理，所求的安排座位方法数为
n m nk 1 (n m) m !( n 1)! n1
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6、某学者每周工作6天,共42小时,每天工作 的小时数是整数,且每天工作时间不少于6小时也 不多于8小时,如果编排一周的工作时间表,问有多 少种不同的方案？
个.
(3)若首位是0,同理可得三进制串有
an2 an 3 a2 a1 2
个.
因此, 得
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an an1 2( an 2 an 3 a2 a1 2) an1 an2 2( an3 an4 a2 a1 2)
16
5 k k ( x 6 x 15 x ) x 5 k 0
36 39 42
所以x 的系数 5 6 5 3 5 0 a42 6 15 5 5 5
42
11 8 6 15 5 5

故所求放法数为
1 2m
m (2k m )2 n k k 0
m
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10、由数字1至9组成的每种数字至少出现1次的
n( n 9) 位数有多少个？
解 设所求的数为 an , 则 {a n } 的指母函数为
x2 x3 9 x 9 Ge ( x ) ( x ) (e 1) 2! 3! 9 9 k (9 k ) x ( 1) e k 0 k
10
若题目改成：用m (m 2) 种颜色去涂1 n( n 2) 棋盘, 每个方格涂一种颜色，使得相邻方格颜色 相异，首末两格也异色的涂色方案有多少 ?
解 用 hn 表示所求方法数.易知 h2 m (m 1). 用m种颜色去涂 1 n ( n m ) 棋盘,每格涂一种颜色, 使得相邻格子异色的涂色方法数有 m( m 1)
1 m 2 m ( 2k m ) x k e k 0
m
1 m 2
m xj (2k m ) j k j! k 0 j0
m
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1 m 2
m m xj (2k m ) j 0 k j0 k j!
1. 容斥原理的基本形式(容斥原理、逐步淘汰原理)
2. 容斥原理的应用(比如解决多重集排列组合问题) 3. 有限制条件的排列(比如错排问题、相邻禁位排 列问题、保位问题)
4
五、抽屉原理
1. 抽屉原理的几种基本形式 2. 抽屉原理的简单应用
5
六、波利亚(Pó lya)定理
1.置换在研究等价类计数中的作用 2.将置换表为轮换之积
组合数学复习要点
一、排列组合
1. 排列和组合的基本性质
2. 排列组合的计数公式，多重集的排列数和组合
数的求法 3. 应用
1
二、母函数
1. 母函数与数列的关系 2. 母函数与排列数、组合数的关系
3. 用普通型母函数解决多重集的组合问题
4. 用指数型母函数解决多重集的排列问题 5. 用母函数解递推关系式 6. 不定方程的整数解的个数与多重集的组合数之 关系
462 336 15 141
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7、将充分多的苹果、香蕉、橘子和梨进行装袋，
要求每袋中苹果数是偶数，香蕉数是5的倍数，橘子 最多4个，而梨的个数为0或1。如果每袋装n个水果，
求装袋的种类数。
解 所求种类数an的母函数为 G ( x ) (1 x x )(1 x x )
7
2、n个男n个女排成一男女相间的队伍，试问有
多少种不同的方案.若围成一圆桌坐下，又有多少种 不同的方案？
解 （1）男士有n ! 种排法, 女士也有n ! 种排 法, 男女相间又分男在前或女在前两种,所以共有 2 ( n !) 2 种.
(2) 先安排男士，有( n 1)! 种, 然后在这n位 男士所形成的n个间隔中安排n位女士,有n ! 种, 所 以共有( n 1)!( n !)种.
解 (1) 先任意选定一个女人入座，有 种方法； (2) 再安排其他女人入座，使得任何两个女人 之间至少有k个空座位：
n m
用a1 , a2 , , an 表示n个女人的一种坐法，并设 ai与ai 1 ( i 1, 2, , n 1)之间有xi 个空座位，an与a1 之间有xn 个空座位，则
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4、 m ( m 2)种颜色去涂1 n( n 2)棋盘 , 每 用 个方格涂一种颜色, 使得相邻方格颜色相异的涂 色方案有多少 ?
解 第一个方格可涂m种颜色之一，有m种 涂色方法；为使相邻方格颜色相异，只须使其 余n 1个方格的颜色异于它左边相邻的那个方 格的颜色, 于是其余的每个方格都有m 1种涂 法.故所求的涂色方案有m( m 1) n1 种.
解 设有an 种不同的编排方法, 则{an }相应的母
函数为G ( x ) ( 来自 6 x 7 x 8 )6
36 3 6 6

G( x ) x 36 (1 x x 2 )6 x (1 x ) (1 x )
36 3 6
6 x (1 6 x 15 x ) ( x )k k 0 k
20
e e 2 3x e e 2 3x ( ) e ( ) e 2 2 1 5x 1 n xn xn x (e e ) ( 5 ) 2 2 n 0 n ! n 0 n !
x x
x
x
5 1 x ( ) 2 n! n 0
n n
故
5n 1 an 2
hn m( m 1)n1 hn1 ( n 2)
n 1
种,
其中使得首末两格同色的涂色方法有 hn1 种, 所以
从而
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hn m ( m 1)n 1 hn 1 m ( m 1)n 1 m (m 1)n 2 ( 1)2 hn 2
m( m 1)n1 m( m 1)n 2 ( 1)n 3 m (m 1)2 (1)n 2 h2
两式相减，得定解问题
an 2an1 an 2 ( n 3) a1 3, a2 7
求得通解
an C1 (1 2) n C2 (1 2) n
3.Burnside引理计数公式
4. Pó lya定理计数公式
5.Pó lya定理的应用
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练习题
1、一位学者要在一周内安排50个小时的工作时
间，而且每天至少工作5小时，问共有多少种安排
方案？
解 问题相当于不定方程 x1 x2 x7 50 xi 5, i 1, 2, , 7 x1 x2 x7 15 即 xi 0, i 1, 2, , 7 解得 C (7 15 1,15) C (21, 6)
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x1 x2 xn m xi k ( i 1, 2, , n)
此不定方程的解的个数为
n ( m nk ) 1 n m nk 1 m nk n1
于是完成此步骤的方法有
n m nk 1 ( n 1)! n1
9 k
(此题也可用容斥原理做)
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11、求由0、1、2组成的长为n的三进制串的个数, 但其中的0和1不相邻(即01和10从不出现) 解 设所求三进制串的个数为 an，则 a1 3, a2 7，
n 3时，
(1)若首位是2,则此类三进制串有 an-1个；
(2)若首位是1,则第二位必是1或2.
所以an n 1.
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8、由字母a，b，c，d，e组成的总字母数为n的 单词中，要求a与b的个数之和为偶数，问这样的单 词有多少个？
解 设满足条件的单词个数为an ，这样的单词只 有两类：一类包括偶数个a与偶数个b；另一类包括 奇数个a与奇数个b. 因此{an }对应的母函数为
x2 x4 x2 Ge ( x ) (1 )2 (1 x )3 2! 4! 2! x3 x5 x2 (x )2 (1 x )3 3! 5! 2!
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三、递推关系
1. 常系数线性递推关系的解法（特征根法） 2. 用待定系数法求常系数线性非齐次递推关系的
特解(前两种类型)
3.列递推关系解应用题
4. 一般递推关系的线性化
5. Fibonacci数列及其模型 6. 第二类Stirling数的组合意义 7. Catalan数列及其解法
3
四、容斥原理
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3、n个完全一样的球，放到r个有标志的盒子， n - 1 n r，要求无一空盒，试证其方案数为 . r - 1
证 先将每个盒子放一个球，问题变为将剩余 的n r个相同的球放到r个不同的盒子里，其放球 方案数为 (n r) + r -1 n 1 n 1 r 1 . nr n r
9 xn ( 1)k (9 k )n n! k 0 k n 0 9
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9 xn 9 ( 1)k (9 k )n n 0 k 0 k n!

所以
9 an ( 1) (9 k )n k 0 k
( m 1)n1 ( 1)n 2 m ( m 1) ( m 1) 1
( m 1)[( m 1)n1 (1)n 2 ] ( m 1)n (1)n ( m 1)
另一解法参见教材P87例3.5.7
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5、安排n( n 2)女人和m个男人围圆桌而坐 ( n m个座位已编号), 使得任何两个女人之间至少 有k ( m nk )个男人，求不同的安排座位方法数.