研究生组合数学复习要点..
数学专业考研复习资料线性代数重点知识点整理
数学专业考研复习资料线性代数重点知识点整理数学专业考研复习资料：线性代数重点知识点整理一、向量与矩阵1. 向量的定义和性质- 向量的表示与运算- 单位向量和零向量- 向量的线性相关性2. 矩阵的定义和性质- 矩阵的基本运算- 矩阵的转置和逆矩阵- 矩阵的秩和行列式二、线性方程组1. 线性方程组的概念- 线性方程组的解和解的存在唯一性- 齐次线性方程组和非齐次线性方程组2. 线性方程组的解法- 列主元消元法- 矩阵的初等变换和阶梯形矩阵 - 高斯消元法和高斯约当法三、线性空间和子空间1. 线性空间的定义和性质- 线性空间的子空间和直和- 基和维数的概念- 线性空间的同构与等价2. 子空间的性质与判定- 线性子空间的交与和- 维数公式和秩-零化定理- 子空间的降维与升维四、线性变换和特征值1. 线性变换的定义和性质- 线性变换的表示和运算- 线性变换的核与像- 线性变换的矩阵表示和判定2. 特征值和特征向量- 特征方程和特征值的求解 - 特征空间和特征子空间- 相似矩阵和对角化矩阵五、内积空间和正交变换1. 内积的定义和性质- 内积的基本性质和判定- 正交向量和正交子空间- 构造内积空间2. 正交变换和正交矩阵- 正交变换的性质和表示- 正交矩阵的特点和运算- 正交矩阵的对角化和特征值六、二次型和正定矩阵1. 二次型的定义和性质- 二次型的标准形和规范形 - 二次型的正定性和负定性- 二次型的规约和降维2. 正定矩阵的定义和性质- 正定矩阵的判定和运算- 正定矩阵的特征值和特征向量- 正定矩阵及其应用总结：线性代数是数学专业考研中的重要内容之一。
通过对向量与矩阵、线性方程组、线性空间和子空间、线性变换和特征值、内积空间和正交变换、二次型和正定矩阵等知识点的学习和掌握，能够为考研复习提供有力的理论基础和解题方法。
在复习过程中，需要注重概念的理解、性质的掌握以及应用题的练习，同时注意归纳总结和思维方法的培养。
考研数学重点考点的整理与总结
考研数学重点考点的整理与总结考研数学是众多考研学子心中的一座大山，想要成功攀登这座山，就必须对重点考点有清晰的认识和深入的理解。
下面就为大家详细整理与总结一下考研数学的重点考点。
高等数学部分函数、极限与连续这是高等数学的基础，也是每年必考的内容。
函数的性质、极限的计算方法（如四则运算法则、洛必达法则等）、连续的定义及判断都是需要重点掌握的。
一元函数微分学导数的定义、几何意义和物理意义要牢记于心。
常见函数的导数公式必须熟练掌握，能够运用导数判断函数的单调性、极值和凹凸性。
中值定理（如罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理）是这部分的难点，也是常考的考点。
一元函数积分学不定积分和定积分的计算是重点，基本积分公式要背熟。
定积分的应用，如求平面图形的面积、旋转体的体积等，也是常见的题型。
多元函数微分学偏导数的计算、全微分的概念、多元函数的极值和条件极值等都是重点。
要理解多元函数与一元函数在微分学上的区别和联系。
多元函数积分学二重积分和三重积分的计算方法要掌握，包括直角坐标法和极坐标法。
曲线积分和曲面积分相对较难，需要理解其概念和计算方法，掌握格林公式、高斯公式等。
无穷级数级数的收敛与发散的判断是重点，包括正项级数的审敛法（比较审敛法、比值审敛法、根值审敛法）、交错级数的审敛法（莱布尼茨定理）。
幂级数的展开与求和也是常考的内容。
常微分方程一阶和二阶常微分方程的解法是重点，要熟悉各种类型方程的解法，如可分离变量方程、齐次方程、线性方程等。
能够根据实际问题建立微分方程并求解。
线性代数部分行列式行列式的性质和计算方法要熟练掌握，特别是行列式按行（列）展开定理。
矩阵矩阵的运算（加法、乘法、数乘、转置等）、矩阵的逆、矩阵的秩等是重点。
要理解矩阵的概念和性质，能够灵活运用矩阵解决问题。
向量向量组的线性相关性、向量组的秩、线性方程组的解的结构等是重点。
要掌握向量的线性运算和内积运算。
线性方程组线性方程组的解的存在性、唯一性及求解方法是重点。
考研数学知识点总结归纳
考研数学知识点总结归纳考研数学知识点第一章行列式1、行列式的定义2、行列式的性质3、特殊行列式的值4、行列式展开定理5、抽象行列式的计算第二章矩阵1、矩阵的定义及线性运算2、乘法3、矩阵方幂4、转置5、逆矩阵的概念和性质6、伴随矩阵7、分块矩阵及其运算8、矩阵的初等变换与初等矩阵9、矩阵的等价10、矩阵的秩第三章向量1、向量的概念及其运算2、向量的线性组合与线性表出3、等价向量组4、向量组的线性相关与线性无关5、极大线性无关组与向量组的秩6、内积与施密特正交化7、n维向量空间(数学一)第四章线性方程组1、线性方程组的克莱姆法则2、齐次线性方程组有非零解的判定条件3、非齐次线性方程组有解的判定条件4、线性方程组解的结构第五章矩阵的特征值和特征向量1、矩阵的特征值和特征向量的概念和性质2、相似矩阵的概念及性质3、矩阵的相似对角化4、实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵第六章二次型1、二次型及其矩阵表示2、合同变换与合同矩阵3、二次型的秩4、二次型的标准型和规范型5、惯性定理6、用正交变换和配方法化二次型为标准型7、正定二次型及其判定考研数学必备知识点总结高等数学部分第一章函数、极限与连续1、函数的有界性2、极限的定义(数列、函数)3、极限的性质(有界性、保号性)4、极限的计算(重点)(四则运算、等价无穷小替换、洛必达法则、泰勒公式、重要极限、单侧极限、夹逼定理及定积分定义、单调有界必有极限定理)5、函数的连续性6、间断点的类型7、渐近线的计算第二章导数与微分1、导数与微分的定义(函数可导性、用定义求导数)2、导数的计算(“三个法则一个表”：四则运算、复合函数、反函数，基本初等函数导数表;“三种类型”：幂指型、隐函数、参数方程;高阶导数)3、导数的应用(切线与法线、单调性(重点)与极值点、利用单调性证明函数不等式、凹凸性与拐点、方程的根与函数的零点、曲率(数一、二))第三章中值定理1、闭区间上连续函数的性质(最值定理、介值定理、零点存在定理)2、三大微分中值定理(重点)(罗尔、拉格朗日、柯西)3、积分中值定理4、泰勒中值定理5、费马引理第四章一元函数积分学1、原函数与不定积分的定义2、不定积分的计算(变量代换、分部积分)3、定积分的定义(几何意义、微元法思想(数一、二))4、定积分性质(奇偶函数与周期函数的积分性质、比较定理)5、定积分的计算6、定积分的应用(几何应用：面积、体积、曲线弧长和旋转面的面积(数一、二)，物理应用：变力做功、形心质心、液体静压力)7、变限积分(求导)8、广义积分(收敛性的判断、计算)第五章空间解析几何(数一)1、向量的运算(加减、数乘、数量积、向量积)2、直线与平面的方程及其关系3、各种曲面方程(旋转曲面、柱面、投影曲面、二次曲面)的求法第六章多元函数微分学1、二重极限和二元函数连续、偏导数、可微及全微分的定义2、二元函数偏导数存在、可微、偏导函数连续之间的关系3、多元函数偏导数的计算(重点)4、方向导数与梯度5、多元函数的极值(无条件极值和条件极值)6、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线第七章多元函数积分学(除二重积分外，数一)1、二重积分的`计算(对称性(奇偶、轮换)、极坐标、积分次序的选择)2、三重积分的计算(“先一后二”、“先二后一”、球坐标)3、第一、二类曲线积分、第一、二类曲面积分的计算及对称性(主要关注不带方向的积分)4、格林公式(重点)(直接用(不满足条件时的处理：“补线”、“挖洞”)，积分与路径无关，二元函数的全微分)5、高斯公式(重点)(不满足条件时的处理(类似格林公式))6、斯托克斯公式(要求低;何时用：计算第二类曲线积分，曲线不易参数化，常表示为两曲面的交线)7、场论初步(散度、旋度)第八章微分方程1、各类微分方程(可分离变量方程、齐次方程、一阶线性微分方程、伯努利方程(数一、二)、全微分方程(数一)、可降阶的高阶微分方程(数一、二)、高阶线性微分方程、欧拉方程(数一)、差分方程(数三))的求解2、线性微分方程解的性质(叠加原理、解的结构)3、应用(由几何及物理背景列方程)第九章级数(数一、数三)1、收敛级数的性质(必要条件、线性运算、“加括号”、“有限项”)2、正项级数的判别法(比较、比值、根值，p级数与推广的p级数)3、交错级数的莱布尼兹判别法4、绝对收敛与条件收敛5、幂级数的收敛半径与收敛域6、幂级数的求和与展开7、傅里叶级数(函数展开成傅里叶级数，狄利克雷定理)线性代数部分第一章行列式1、行列式的定义2、行列式的性质3、特殊行列式的值4、行列式展开定理5、抽象行列式的计算第二章矩阵1、矩阵的定义及线性运算2、乘法3、矩阵方幂4、转置5、逆矩阵的概念和性质6、伴随矩阵7、分块矩阵及其运算8、矩阵的初等变换与初等矩阵9、矩阵的等价10、矩阵的秩第三章向量1、向量的概念及其运算2、向量的线性组合与线性表出3、等价向量组4、向量组的线性相关与线性无关5、极大线性无关组与向量组的秩6、内积与施密特正交化7、n维向量空间(数学一)第四章线性方程组1、线性方程组的克莱姆法则2、齐次线性方程组有非零解的判定条件3、非齐次线性方程组有解的判定条件4、线性方程组解的结构第五章矩阵的特征值和特征向量1、矩阵的特征值和特征向量的概念和性质2、相似矩阵的概念及性质3、矩阵的相似对角化4、实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵第六章二次型1、二次型及其矩阵表示2、合同变换与合同矩阵3、二次型的秩4、二次型的标准型和规范型5、惯性定理6、用正交变换和配方法化二次型为标准型7、正定二次型及其判定概率论与数理统计部分第一章随机事件和概率1、随机事件的关系与运算2、随机事件的运算律3、特殊随机事件(必然事件、不可能事件、互不相容事件和对立事件)4、概率的基本性质5、随机事件的条件概率与独立性6、五大概率计算公式(加法、减法、乘法、全概率公式和贝叶斯公式)7、全概率公式的思想8、概型的计算(古典概型和几何概型)第二章随机变量及其分布1、分布函数的定义2、分布函数的充要条件3、分布函数的性质4、离散型随机变量的分布律及分布函数5、概率密度的充要条件6、连续型随机变量的性质7、常见分布(0-1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布)8、随机变量函数的分布(离散型、连续型)第三章多维随机变量及其分布1、二维离散型随机变量的三大分布(联合、边缘、条件)2、二维连续型随机变量的三大分布(联合、边缘和条件)3、随机变量的独立性(判断和性质)4、二维常见分布的性质(二维均匀分布、二维正态分布)5、随机变量函数的分布(离散型、连续型)第四章随机变量的数字特征1、期望公式(一个随机变量的期望及随机变量函数的期望)2、方差、协方差、相关系数的计算公式3、运算性质(期望、方差、协方差、相关系数)4、常见分布的期望和方差公式第五章大数定律和中心极限定理1、切比雪夫不等式2、大数定律(切比雪夫大数定律、辛钦大数定律、伯努利大数定律)3、中心极限定理(列维—林德伯格定理、棣莫弗—拉普拉斯定理)第六章数理统计的基本概念1、常见统计量(定义、数字特征公式)2、统计分布3、一维正态总体下的统计量具有的性质4、估计量的评选标准(数学一)5、上侧分位数(数学一)第七章参数估计1、矩估计法2、最大似然估计法3、区间估计(数学一)第八章假设检验(数学一)1、显著性检验2、假设检验的两类错误3、单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验考研数学复习之拿高分方法一、理性分析三个组成部分，各个击破我们知道数学整个试卷的组成部分是：高数82分+线代34分+概率论34分;很明显微积分占了绝大部分;另外概率论里面很多题目要用到微积分的工具，实际上微积分的分数比82分要高，应该是能到100分左右。
数学考研常用知识点归纳
数学考研常用知识点归纳数学是考研中非常重要的科目之一，涵盖了高等数学、线性代数、概率论与数理统计等多个领域。
以下是一些数学考研中常用的知识点归纳：1. 高等数学：- 极限：数列极限、函数极限、无穷小量阶的比较。
- 导数与微分：基本导数公式、高阶导数、隐函数与参数方程的导数。
- 微分中值定理：罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。
- 积分：不定积分、定积分、换元积分法、分部积分法、反常积分。
- 级数：正项级数的收敛性、幂级数、泰勒级数展开。
- 多元函数微分：偏导数、全微分、多元函数的极值问题。
- 重积分与曲线积分、曲面积分：二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第二类曲线积分、第一类曲面积分、第二类曲面积分。
2. 线性代数：- 矩阵：矩阵的运算、矩阵的秩、矩阵的特征值与特征向量。
- 线性空间：向量空间的概念、基与维数、线性相关与线性无关。
- 线性变换：线性变换的定义、矩阵表示、核与像。
- 特征值问题：特征多项式、特征值与特征向量的求解。
- 正交性：正交矩阵、正交变换、正交投影。
- 二次型：二次型的矩阵表示、标准形、惯性指数。
3. 概率论与数理统计：- 随机事件与概率：事件的概率、条件概率、全概率公式、贝叶斯公式。
- 随机变量及其分布：离散型随机变量、连续型随机变量、分布函数、概率密度函数。
- 多维随机变量：联合分布、边缘分布、条件分布、独立性。
- 数理统计：样本与总体、样本均值、样本方差、大数定律、中心极限定理。
- 参数估计：点估计、区间估计、最小二乘估计。
- 假设检验：假设检验的基本原理、常见检验方法、p值。
4. 常考题型与解题技巧：- 选择题：注意选项之间的逻辑关系，利用排除法。
- 填空题：注意题目要求的格式，合理猜测可能的数值。
- 计算题：注意计算过程的准确性，避免粗心大意。
- 证明题：理解定理的证明过程，掌握证明题的常见思路。
结束语：数学考研的知识点繁多，但只要系统地复习，掌握基本概念、基本原理和基本方法，通过大量的练习来提高解题能力，就能够在考试中取得好成绩。
考研数学如何复习都有哪些有效复习的方法
考研数学如何复习都有哪些有效复习的方法每年都有很多人参加研究生考试，那么考研数学该怎么复习?下面是由编辑为大家整理的“考研数学如何复习都有哪些有效复习的方法”，仅供参考，欢迎大家阅读本文。
考研数学怎么备考1.通过提纲来把握要点在今年的提纲出台之前，首先通过去年的提纲，总结了一些基本定理的概念和方法。
数学是一门逻辑科学，深刻理解基本概念，熟悉题型和常见考点的解题方法是非常重要的。
虽然这一点本身不能取得高分，但它是取得好成绩的基础和前提。
只有牢牢记住了基本定理和公式，在做题的时候才会有自己的思路和切入点，才能轻松处理。
近年考研数学的统计，在基本概念、定理和方法上的不足，是失分的一个要点，要想考高分，首先必须阐明这些基本的事情。
2.加强综合解决问题能力的训练把基础知识运用到实践中去，力求在解决问题的思路上有所突破。
具体来说，要把握好几个能反映和综合各个知识点的考点，做到重点突破。
试题练习将帮助你检测自己的复习效果，考虑到数学的特点，要求考生琢磨出所有的考点并给出相应的解法是很困难的。
这方面的问题通常可以通过咨询有经验的老师，或者参加信誉较好的辅导班，或阅读相关的辅导书来解决。
拓展阅读：考研数学一二三的区别1.考试难度不同考研数学一二三的考试难度排序是：考研数学一>考研数学三>考研数学二。
因此，备战考研数学的同学在数学一和数学三的科目上可以尽早开始着手复习，数学基础差一些的学生更需要多付出些时间。
2.适用专业不同考研考研数学一适用的专业主要是工学类的专业，例如力学专业、光学专业、机械工程专业、电子科学与技术专业、生物技术专业等授予工学学位的管理科学与工程的一级学科均要求使用考研数学一试卷。
考研数学二适用的专业是林业工程专业、食品科学专业、轻工技术与工程专业、纺织科学与工程专业等一级学科中的二级学科和专业均要求使用考研数学二试卷。
3.考试科目不同数一考高等数学，线性代数和概率统计;数二考高等数学和线性代数;数三考微积分，线性代数和概率论与数理统计。
内蒙古自治区考研数学硕士复习必备数学分析与高等代数重点整理
内蒙古自治区考研数学硕士复习必备数学分析与高等代数重点整理一、数学分析数学分析是数学学科的重要组成部分，也是考研数学的重点内容。
在考研数学中，数学分析常常涉及到函数、极限、连续性、微分、积分等知识点。
以下是数学分析的重点整理：1. 函数函数是数学分析的基础，常见的函数类型包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
考研中常用到的函数还包括常数函数、取整函数、阶跃函数、符号函数等。
2. 极限极限是数学分析中的重要概念，它描述了函数在某一点附近的性质。
在考研数学中，常用的极限概念包括数列极限、函数极限以及无穷小量和无穷大量的概念。
同时，极限还涉及到极限的性质、极限的计算方法，以及柯西收敛准则、泰勒展开等重要内容。
3. 连续性连续性是数学分析中的重要概念，它描述了函数在某一点的光滑程度。
在考研数学中，常用的连续性概念包括函数的连续性、可导性、可积性等。
同时，连续性还涉及到连续函数的性质、连续函数的判定方法，以及导数的定义、积分的定义等重要内容。
4. 微分微分是数学分析中的重要工具，它描述了函数的变化率。
在考研数学中，常用的微分概念包括导数的定义、导数的性质，以及高阶导数、隐函数求导等。
同时，微分还涉及到导数的计算方法、微分中值定理，以及泰勒公式等重要内容。
5. 积分积分是数学分析中的重要工具，它描述了函数的累积效应。
在考研数学中，常用的积分概念包括不定积分、定积分，以及定积分的计算方法、换元积分法、分部积分法等。
同时，积分还涉及到定积分的性质、积分中值定理，以及广义积分等重要内容。
二、高等代数高等代数是数学学科的重要组成部分，它描述了数字和符号之间的关系。
在考研数学中，高等代数常常涉及到向量、矩阵、行列式、线性方程组等知识点。
以下是高等代数的重点整理：1. 向量向量是高等代数中的重要概念，它描述了数量和方向的关系。
在考研数学中，常用的向量概念包括向量的定义、向量的基本运算，以及向量的线性相关性、线性无关性等。
贵州省考研数学复习资料高等数学重点知识点梳理
贵州省考研数学复习资料高等数学重点知识点梳理随着考研的日益火爆，越来越多的学生选择考取研究生学位，其中，数学科目一直都是考研的重点和难点。
对于准备考研的学生来说，掌握高等数学的重点知识点是非常关键的。
本文将为大家梳理贵州省考研数学复习资料中的高等数学重点知识点。
一、极限与连续1. 无穷大与无穷小- 无穷大的定义和性质- 无穷小的定义和性质- 无穷大与无穷小的比较关系2. 极限的定义和性质- 数列极限的定义和性质- 函数极限的定义和性质3. 极限的运算法则- 四则运算法则- 极限的乘法法则、除法法则和函数与数列极限的关系4. 无穷小比较- 确界性质- 比较性质- 同位数比较5. 连续与间断- 函数连续的定义和性质- 可导与连续的关系二、微分与导数1. 导数的定义与几何意义- 导数的定义- 导数的几何意义2. 基本导数公式- 常数函数的导数- 幂函数的导数- 指数函数和对数函数的导数3. 导数的四则运算法则- 和差法则- 积法则- 商法则4. 高阶导数与高阶导数公式- 高阶导数的定义- 高阶导数公式5. 隐函数与参数方程的导数- 隐函数与参数方程的导数计算方法 - 相关实例分析三、微分中值定理与函数的凹凸性1. 过中点的拉格朗日中值定理- 拉格朗日中值定理的定义与几何意义 - 拉格朗日中值定理的应用2. 达布(Darboux)中值定理- 达布中值定理的定义与几何意义- 达布中值定理的推广3. 函数的单调性- 单调递增和单调递减的定义与判定 - 函数单调性与导函数的关系4. 函数的凹凸性- 凹函数和凸函数的定义- 凹凸性与导函数的关系四、不定积分与定积分1. 不定积分的概念和性质- 不定积分的定义- 不定积分的性质2. 基本积分公式- 幂函数的积分- 三角函数的积分- 指数函数和对数函数的积分3. 不定积分的方法- 代换法- 分部积分法- 有理函数的积分4. 定积分的定义与性质- 定积分的定义- 定积分的性质5. 定积分的计算方法- 几何意义与物理意义- 换元法- 分部积分法- 分段函数的定积分以上是贵州省考研数学复习资料中高等数学的重点知识点梳理，希望对准备考研的学生有所帮助。
考研数学按知识点总结
考研数学按知识点总结一、代数部分1.1 整式的定义、加减乘除和开方整式是由数字和代数字母以及它们的乘积、商以及多项式的和构成的式子。
在整式运算中，需要掌握整式的加减乘除运算，以及整式的开方运算。
在解题时，要注意将整式分解、合并同类项等方法来简化整式的运算。
1.2 一元高次方程、一元高次不等式的解法一元高次方程指的是一元方程中自变量的最高次数大于或等于2的方程。
在解一元高次方程时，可以运用因式分解、配方法、求根公式以及求导等方法进行解题。
而对于一元高次不等式的解法，可以通过构造法、分解法和取值法等方法来进行解题。
1.3 二元一次方程、二元一次不等式的解法二元一次方程指的是含有两个未知数的一次方程，而二元一次不等式是指含有两个未知数的一次不等式。
解二元一次方程和不等式时，可以采用消元法、代入法、图解法等方法进行解题。
1.4 复数的基本概念和运算法则复数是由实部和虚部构成的数，通常表示为a+bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。
在复数的运算中，需要掌握复数的加减乘除运算、复数的共轭以及复数的乘方和除法等运算法则。
1.5 向量的基本概念和运算法则向量是具有大小和方向的量，在解题时需要掌握向量的基本概念、向量的加减法、向量的数量积和向量的夹角等运算法则。
1.6 矩阵的基本概念和运算法则矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，在解题时需要掌握矩阵的基本概念、矩阵的加减法、矩阵的乘法以及矩阵的逆矩阵等运算法则。
1.7 行列式的基本概念和运算法则行列式是一种用于求解线性方程的工具，在解题时需要掌握行列式的基本概念、行列式的展开定理、行列式的性质以及行列式的计算方法。
1.8 三角函数和三角方程三角函数是一组周期性函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
在解题时需要掌握三角函数的基本性质、三角函数的图像、三角函数的加减角公式、三角函数的导数和积分等内容。
1.9 数学归纳法、数列的概念和性质数学归纳法是一种论证方法，用于证明一些数学命题的正确性。
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2. 容斥原理的应用(比如解决多重集排列组合问题) 3. 有限制条件的排列(比如错排问题、相邻禁位排 列问题、保位问题)
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五、抽屉原理
1. 抽屉原理的几种基本形式 2. 抽屉原理的简单应用
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六、波利亚(Pó lya)定理
1.置换在研究等价类计数中的作用 2.将置换表为轮换之积
种.
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(3) 最后安排m个男人入座，有m!种方法.
由乘法原理，所求的安排座位方法数为
n m nk 1 ( n m) m !( n 1)! n1
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6、某学者每周工作6天,共42小时,每天工作 的小时数是整数,且每天工作时间不少于6小时也 不多于8小时,如果编排一周的工作时间表,问有多 少种不同的方案？
解 (1) 先任意选定一个女人入座，有 种方法； (2) 再安排其他女人入座，使得任何两个女人 之间至少有k个空座位：
n m
用a1 , a2 , ai与ai 1 ( i 1, 2,
, an 表示n个女人的一种坐法，并设 , n 1)之间有xi 个空座位，an与a1
13
之间有xn 个空座位，则
x1 x2 xn m xi k ( i 1, 2, , n)
此不定方程的解的个数为
n ( m nk ) 1 n m nk 1 m nk n1
于是完成此步骤的)! n1
hn m(m 1)n1 hn1 (n 2)
从而
11
hn m ( m 1)n 1 hn 1 m ( m 1)n 1 m ( m 1)n 2 ( 1)2 hn 2
m( m 1)n1 m( m 1)n 2
m(m 1)n1 m(m 1)n2
3.Burnside引理计数公式
4. Pó lya定理计数公式
5.Pó lya定理的应用
6
练习题
1、一位学者要在一周内安排50个小时的工作时
间，而且每天至少工作5小时，问共有多少种安排
方案？
解 问题相当于不定方程 x1 x2 x7 50 xi 5, i 1, 2, , 7 x1 x2 x7 15 即 xi 0, i 1, 2, , 7 解得 C (7 15 1,15) C (21, 6)
组合数学复习要点
一、排列组合
1. 排列和组合的基本性质
2. 排列组合的计数公式，多重集的排列数和组合
数的求法 3. 应用
1
二、母函数
1. 母函数与数列的关系 2. 母函数与排列数、组合数的关系
3. 用普通型母函数解决多重集的组合问题
4. 用指数型母函数解决多重集的排列问题 5. 用母函数解递推关系式 6. 不定方程的整数解的个数与多重集的组合数之 关系
(m 1)[(m 1)n1 (1)n2 ] (m 1)n (1)n (m 1)
另一解法参见教材P87例3.5.7
12
5、安排n( n 2)女人和m个男人围圆桌而坐 ( n m个座位已编号), 使得任何两个女人之间至少 有k ( m nk )个男人，求不同的安排座位方法数.
( 1)n 3 m( m 1)2 ( 1)n 2 h2
(1)n3 (m 1) (1)n2 ]
(1)n3 m(m 1)2 (1)n2 m(m 1)
m(m 1)[(m 1)n2 (m 1)n3
(m 1)n1 (1)n 2 m(m 1) (m 1) 1
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4、 用m( m 2)种颜色去涂1 n( n 2)棋盘, 每 个方格涂一种颜色, 使得相邻方格颜色相异的涂 色方案有多少 ?
解 第一个方格可涂m种颜色之一，有m种 涂色方法；为使相邻方格颜色相异，只须使其 余n 1个方格的颜色异于它左边相邻的那个方 格的颜色, 于是其余的每个方格都有m 1种涂 法.故所求的涂色方案有m( m 1) n1 种.
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3、n个完全一样的球，放到r个有标志的盒子， n - 1 n r，要求无一空盒，试证其方案数为 . r - 1
证 先将每个盒子放一个球，问题变为将剩余 的n r个相同的球放到r个不同的盒子里，其放球 方案数为 (n r) + r -1 n 1 n 1 . nr n r r 1
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若题目改成：用m( m 2)种颜色去涂1 n( n 2) 棋盘, 每个方格涂一种颜色，使得相邻方格颜色 相异，首末两格也异色的涂色方案有多少 ?
解 用 hn 表示所求方法数.易知 h2 m(m 1). 用m种颜色去涂 1 n (n m ) 棋盘,每格涂一种颜色, 使得相邻格子异色的涂色方法数有 m(m 1)n1 种, 其中使得首末两格同色的涂色方法有 hn1 种, 所以
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三、递推关系
1. 常系数线性递推关系的解法（特征根法） 2. 用待定系数法求常系数线性非齐次递推关系的
特解(前两种类型)
3.列递推关系解应用题
4. 一般递推关系的线性化
5. Fibonacci数列及其模型 6. 第二类Stirling数的组合意义 7. Catalan数列及其解法
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四、容斥原理
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2、n个男n个女排成一男女相间的队伍，试问有
多少种不同的方案.若围成一圆桌坐下，又有多少种 不同的方案？
解 （1）男士有n ! 种排法, 女士也有n ! 种排 法, 男女相间又分男在前或女在前两种,所以共有 2 ( n !) 种.
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(2) 先安排男士，有( n 1)! 种, 然后在这n位 男士所形成的n个间隔中安排n位女士,有n ! 种, 所 以共有( n 1)!( n !)种.