组合数学研究生试卷

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哈工大深圳研究生院组合数学部分作业题答案习题课6,8

Homework 613．Let A={A1,A2,A3,A4,A5,A6} whereA1={1,2} A2={2,3} A3={3,4} A4={4,5} A5={5,6} A6={6,1}Determine the number of different SDR’s that A has. Generalize to n sets.Solution: When we choose 1 in A 1, if we choose 3 in A 2, we can choose 4 only in A 3, we can choose 5 only in A 4, and we can choose 6 only in A 5, however, we can choose 1 only in A 6，it will contract with 1 in A 1Hence, we can choose only 2 in A .2 if we choose 1 in A 1,3 in A 3,4 in A 4,5 in A 5,6 in A When we choose 2 in A 6.1, we can only choose 3 in A 3, 4 in A 4, 5 in A 5, 1 in A 1That is SDR . Hence, there are only two SDRs in A . 1={1,2,3,4,5,6}and SDR 2Similarity, we can generalize to n sets. There are only two SDRs in n-sets the same.={2,3,4,5,6,1}That is SDR 1={1,2,…,n} and SDR 2={2,3,4,…,n,1}23. Use the deferred acceptance algorithm to obtain both the women-optimal and men-optimal stable complete marriage for the preferential ranking matrix.Conclude that for the given preferential ranking matrix there is onlyone stable complete marriage.a b c dAA BB CC DD�1,32,3 1,44,13,24,33,32,2 2,21,4 4,12,23,44,13,11,4�Solution：(1) women-optimalThe results of the algorithm are as follows:1)A choose a, B choose a, C choose b, D choose d; a rejects B2)B choose d; d rejects D.3)D choose b; b rejects C.4)C choose a; a rejects A.5)A choose c.In 5), there are no rejections, and(2) men-optimalThe results of the algorithm are as follows:1)a choose D, b choose B, c choose D, d choose C; D rejects a.2)a choose C, C rejects d.3)d choose B, B rejects b.4)b choose D, D reject c.5)c choose A.In 5), there are no rejections, anda C,b D,c A,d B.Conclude that, for given preferential ranking matrix, there is only one stable complete marriage.3. Consider an m-by-n chessboard where at least one of m and n is even. The board has an equal number of white and black squares. Show that if m and n are at least 2 and if exactly one white and exactly one black square are forbidden, the resulting board has a perfect cover with dominoes.Solution:Let n be even, there are even numbers of columns. From top row, if the top row has no squares forbidden, then that row can be covered by dominoes. So we can remove this row. Repeat this till the new top row has a forbidden square. Do the same thing from the bottom row. So we can assume that forbidden squares are on the top and bottom rows.Let’s consider the ﬁrst two columns from the left. If there is noﬁrst two columns, they can be covered by forbidden square in thedominoes and we can remove them. Repeat this till there is a forbidden square in the ﬁrst two columns. Do the same from the right side so we ca n also assume the forbidden squares lie in the ﬁrst two columns and the last two columns. After the above have been done, we can assume that chessﬂip board is of one of the following three situations (with rotation or ofover the chess board if needed). In each of the case, there are even numbers of columns.(A) (B) (C)So the two forbidden squares have one black and the other white, there are even numbers of columns. We draw the figures, in the cases (A) and (B), there has to be odd number of rows while in the case (C), there are even number of rows. Then we divide the board into pieces as shown in the following such each piece is rectangular with at least one side being even, thus can be covered by dominoes respectively.So the entire board has a perfect cover by dominoes.(A) (B) (C)4. Determine the max-matching and the min-cover of the right graph by applying the matching algorithm. We choose the red edges and obtain a matching M1.Find a minimum edge cover for the right graph.Answer:Now we get the matching )},(),,{(44121y x y x M = and U 131,x x = {}. (i) The vertices 31,x x are labeled (*).x 1y 1x x y 2 y 3 y 4y 5(ii) Scan the vertices in U 154321,,,,y y y y y in turn, and label with (1x ), since all vertices incident to 3x .already have a label, no vertex of Y get label (3x ).(iii) Scan the vertices 5431,,,y y y y labeled in (ii), and label 2x with (1y ), label 4x with (4y ).(*)x 1y 1(1x )x(*)x 3x y 2 y 3(1x ) y 4(1x )y 5(1x )(*)x 1 y1x (*)x 3x y 2 y 3 y 4y 5(iv) We scan the vertices 2x and 4x labeled in (iii), and label 2y with (2x ).(v) Scan the vertices 2y labeled in (iv), and find that no new labels are possible.We have achieved breakthrough. We find the 1M -augmenting path11221x y x y r = using the labels as a guide. Then )},(),,(),,{(4411222y x y x y x M =(*)x 1y 1(1x )(1y )x 2(*)x 3(4y )x y 2(2x ) y 3(1x ) y 4(1x )y 5(1x )(*)x 1 y 1(1x )(1y )x 2(*)x 3(4y )x y 2 y 3(1x ) y 4(1x )y 5(1x )and }{32x U =.(vi) The vertices 3x are labeled (*).(vii) Scan the vertices in U 25y in turn, and label with (3x )x 1y 1x 2(*)x 3x 4y 2 y 3 y 4y 5x 1y 1x 2x 3x 4y 2 y 3 y 4y 5(Viii) Scan the vertex 5y labeled in (vii), and find that no new labels are possible.We have achieved breakthrough. We find the 2M -augmenting path352x y r = using the labels as a guide. Then)},(),,(),,(),,{(441122533y x y x y x y x M =is a matching of four edges.Now we can get thatx 1 y 1x 2x 3x 4y 2 y 3 y 4y 5x 1 y 1x 2(*)x 3x 4y 2 y 3 y 4y 5(3x )the max-matching )},(),,(),,(),,{(44112253y x y x y x y x M = and the min-cover= {54321,,,,y y y y y }.2) Find a minimum edge cover for the right graph.Follow the steps above; we can get a max-matching)},(),,(),,(),,{(44112253y x y x y x y x M =.And we can find that there are also some vertices uncovered by the max-matching. Obviously, the vertex 3y Now we can construct a subgraph composed of edges incident to the vertex is uncovered.3y , we find the max-matching of the subgraph, and add it to the max-matching of M, then we can get a minimum edge cover.Fig The subgraphThe max-matching of the subgraph is {(x 1,y 3)}. Now we can get a minimum edgecover={(x 1,y 3)}∪M ={(x 1,y 3)(x 3,y 5)(x 2,y 2)(x 1,y 1)(x 4,y 4)}x 1y 1x 2x 3x 4y 2 y 3y 4y 5x1y1x2 x3 x4y2 y3 y4y5Fig The minimum edge cover第八次作业16. Apply the algorithm for the GCD in Section 10.1 to 15 and 46, and then use the results to determine the multiplicative inverse of 15 in Z46Answer:.The result for Computing the GCD of 15 and 46 are displayed in the following:Now ,we write as a linear combination of 15 and 46：1=46-3*15From the above, 1 is the GCD of 15 and 46.Thus, we can get the multiplicative inverse of 15 in Z4615:-121. Determine the complementary design of the BIBD with parameters bb=vv=77,kk=rr=33,λλ=11in Section 10.2= – 3 = 43.•b: the number of blocks;•v: the number of varieties;•k: the number of varieties in each block;• r : the number of blocks containing each variety• λλ: the number of blocks containing each pair of varieties. Answer:Apply ()11−−=k v r λ to this case, now we have b =v =7,k =r =3,λ=1.Hence, we can get ()()311717111≠=−−×=−−=k v r λ. Thus, we can design such a complementary.We can get the complementary design of the BIBD withparametersb’ = b = 7, v’ = v = 7, k’ = v-k = 4, r’ = b-r = 4 ,213272'=+×−=+−=λλr b .28. Show that BB={00,11,33,99}is a difference set in Z13 Answer:, and use thisdifference set as a starter block to construct an SBIBD. Identify the parameters of the block design.We compute the subtraction table and obtain:We can find that non-zero integers in Z13}{9,3,1,0=B occur exactly once as adifference, hence is a difference set in Z1332. Use Theorem 10.3.2 to construct a Steiner triple system of index 1 having 21 varieties..•Hints:• 1. construct two Steiner triple systems B1 and B2• 2. construct B based on B with 3 and 7varieties, respectively.1and B2. Answer:1）Construct two Steiner triple systems B1 and B2 with 3 and 7 varieties, respectively.Let X={a0,a1,a2}and Y={b0,b1,b2,b3,b4,b5,b6}be two sets of varieties.Let B1={a0,a1,a2}and B2=�{b0,b1,b3},{b1,b2,b4}, {b2,b3,b5},{b3,b4,b6},{b4,b5,b0},{b5,b6,b1},{b6,b0,b2}�be the Steiner triple systems of X and Y, respectively.2）Construct B based on B1 and B2.We define a set B of triples of the elements of X. Let {c ir, c js, c kt} be a set of 3 elements of X. then {c ir, c js, c kt} is a triple of B iff one of the following holds:i) r = s = tIf r=s=t=1, we can get {0,3,9}, {3,6,12}, {6,9,15}, {9,12,18}, {12,15,0},{15,18,3}, {18,0,6};If r=s=t=2, we can get {1,4,10}, {4,7,13}, {7,10,16}, {10,13,19},{13,16,1}, {16,19,4}, {20,1,7};If r=s=t=3, we can get {2,5,11}, {5,8,14}, {8,11,17}, {11,14,20},{14,17,2}, {17,20,5}, {20,2,8};ii) i = j = k, We can get {0, 1, 2}, {3, 4, 5}, {6, 7, 8},{9, 10, 11}, {12, 13,14}, {15, 16, 17}, {18, 19, 20};(iii) i, j and k are all different and {a i, a j, a k} is a triple of B1, and r, s and t are all different and {b r, b s, b t} is a triple of B2. Put another way, c ir, c js, and c kt are in 3 different rows and 3 different columns of the array, and the rows in which they lie correspond to a triple of B1 and the columns inwhich they lie correspond to a triple of B2 If {a .i, a j, a k If {a }={0, 1, 3}，we can get {0, 4, 11}, {0, 10, 5}, {3, 1, 11}, {3, 10, 2}, {9, 1, 5}, {9, 4, 2};i, a j, a k If {a }={1, 2, 4}, we can get {3, 7, 14}, {3, 13, 8}, {6, 4, 14}, {6, 13, 5}, {12, 4, 8}, {12, 7, 5};i, a j, a k If{a }={2, 3, 5}，we can get {6, 10, 17}, {6, 16, 11}, {9, 7, 17}, {9, 16,8},{15,7,11},{15,10, 8};i, a j, a k If {a }={3,4,6}, we can get {9,13,20},{9,19,14},{12,10, 20},{12,19,11},{18,10,14},{18,13,11};i, a j, a k If {a }={4, 5, 0}，we can get {12,16,2}, {12, 1,17}, {15,13,2},{15,1,14}, {0,13,17}, {0,16,14};i, a j, a k If {a }={5,6, 1}，we can get {15, 19, 5},{15,4,20},{18, 16, 5},{18, 4, 17},{3,16,20},{3,19,17};i, a j, a k}={6,0, 2}，we can get {18, 1, 8}, {18, 7, 2}, {0, 19, 8}, {0, 7,20}, {6, 19, 2}, {6, 1, 20};52. Construct a completion of the 3-by-6 Latin rectangleAnswer:According to theorem 10.4.11(390页), this 3-by-6 Latin rectangle has a completion. Let X={x 0, x 1, x 2, x 3, x 4, x 5} representing the 6 elements, and Y= {y 0, y 1, y 2, y 3, y 4, y 5} representing the columns. An edge (x i, yj ) in denotes element i doesn’t appear in column j. Then we construct a regular of degree 3 Bipartite graph of X and Y ，G=(X, Δ, Y) as follows.y 2x 0x 2x 3x 4y 1y 3x 1y 5y 4y0x 5(1)Computing the perfect matching using the matching algorithm (312页) and the results are as follows. The red lines represent the maximum matching. （找出一个完美匹配即可，不必写出寻找的步骤，建议通过观察得出完美匹配最好，匹配算法太麻烦了）0 1 2 3 4 5 4 3 1 5 2 0 54312y 2x 0x 2x 3x 4y 1y 3x 1y 5y 4y0x 5So a new row is{x 2, x 0, x 4, x 1, x 5, x 3Similarly, we can draw the graph for the above matrix as follows.} could be added to the original matrix as follows.�01243134552054324012153� y 2x 0x 2x 3x 4y 1y 3x 1y 5y 4y0x 5(2)Computing the perfect matching and the results are as follows. The red lines represent the maximum matching.y 2x 0x 2x 3x 4y 1y 3x 1y 5y 4y0x 5Hence a new row is{x 1, x 5, x 0, x 2, x 3, x 4Similarly, we can draw the graph for the above matrix as follows.} and the new Latin rectangle is⎣⎢⎢⎢⎡012431345520543204150012153234⎦⎥⎥⎥⎤ y 2x 0x 2x 3x 4y 1y 3x 1y 5y 4y0x 5From the graph, we can easily know that all the lines construct a perfect matching. So we the final answer as follows⎣⎢⎢⎢⎢⎡012431543335520012204150325153234401⎦⎥⎥⎥⎥⎤58. Construct a completion of the semi-Latin squareAnswer ：思路：构造二分图，找完美匹配（匹配算法）。

研究生数学试题及答案

研究生数学试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个选项是函数f(x)=x^2+3x+2的导数？A. 2x+3B. 2x+6C. x^2+3D. 3x+2答案：A2. 矩阵A和矩阵B的乘积AB中，如果A是3x2矩阵，B是2x4矩阵，那么AB的维度是多少？A. 3x4B. 3x3C. 2x4D. 4x4答案：A3. 以下哪个级数是收敛的？A. 1/nB. 1/n^2C. 1/n^3D. 1/n^(1/2)答案：B4. 函数f(x)=sin(x)在区间[0, π]上的定积分是多少？A. 0B. πC. 2D. -π答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 如果函数f(x)在x=a处连续，那么lim(x→a)f(x) = _______。

答案：f(a)2. 矩阵A的特征值是特征多项式det(A-λI)=0的解，其中I是单位矩阵，λ代表_______。

答案：特征值3. 微分方程y''+y=0的通解是y=C1cos(x)+C2sin(x)，其中C1和C2是常数，那么这个方程的特解y_p=_______。

答案：04. 函数f(x)=x^3-3x+1在x=1处的二阶导数是_______。

答案：6三、解答题（每题15分，共30分）1. 证明函数f(x)=x^3在实数域R上是单调递增的。

证明：由于f'(x)=3x^2≥0对所有x∈R成立，且仅在x=0时取等号，因此f(x)在R上单调递增。

2. 求解微分方程y'+2y=e^(-2x)的通解。

解：首先找到齐次方程y'+2y=0的解，得到y_h=Ce^(-2x)。

然后使用待定系数法找到特解y_p=A，代入原方程得到A=1/2e^(-2x)。

因此，通解为y=Ce^(-2x)+1/2e^(-2x)。

结束语：本试题及答案旨在考察研究生数学的基本概念、计算能力和证明技巧，希望同学们通过练习能够加深对数学知识的理解与应用。

排列组合考研练习题

排列组合考研练习题在数学领域中，排列组合是一种重要的概念，尤其对于那些即将参加考研的同学来说，掌握排列组合原理是必不可少的。

在这篇文章中，我们将通过一些练习题来帮助读者更好地理解和应用排列组合的知识。

1. 问题一：某公司有5个职位，有10个员工申请。

求职位与员工之间的匹配可能性。

解答：这是一个典型的排列问题。

由于每一个职位只能被一个员工占据，因此需要计算全排列。

根据排列的计算公式，结果为5的阶乘，即5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120。

所以，职位与员工之间存在120种可能的匹配方式。

2. 问题二：某班级有10个男生和8个女生，要从中选择一位班长和一位副班长。

求男生和女生之间的不同组合方式。

解答：这是一个组合问题。

首先我们从10个男生中选择班长，共有C(10,1) = 10种选择方式。

然后从8个女生中选择副班长，共有C(8,1) = 8种选择方式。

根据组合的计算公式，最后的结果为10 x 8 =80种不同的组合方式。

3. 问题三：某超市有10种口味的冰淇淋，小明想买5种不同口味的冰淇淋。

求他有多少种选择方式。

解答：这是一个组合问题。

小明需要从10种冰淇淋中选择5种口味，共有C(10,5)种选择方式。

根据组合的计算公式，结果为10! / (5! x (10-5)!)= 10 x 9 x 8 x 7 x 6 / (5 x 4 x 3 x 2 x 1) = 252种选择方式。

4. 问题四：某餐厅有三道主菜和四种甜点，顾客需要选择一道主菜和一种甜点。

求顾客的选择方式。

解答：这是一个乘法原理的问题。

顾客可以从三道主菜中选择一道，共有3种选择方式。

然后从四种甜点中选择一种，共有4种选择方式。

根据乘法原理，最后的结果为3 x 4 = 12种选择方式。

通过以上几个练习题的计算，我们可以看到排列组合在实际问题中的应用。

掌握排列组合原理不仅能够帮助我们解决类似的问题，还能够培养我们的逻辑思维能力。

组合数学研究生试卷整理版

学科专业代码 081202/081203/430112学科专业名称计算机应用技术、计算机软件与理论、计算机技术考试科目代码_ 01 考试科目组合数学题号一二三四五六七八九十总分分数评卷人（本试卷考试时间为2个小时，卷面分数100分，答案请写在答题本上）一、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）1、在35⨯棋盘中选取两个相邻的方格（即有一条公共边的两个方格），有 __________种不同的选取方法。

2、将5封信投入3个邮筒，有_________种不同的投法。

3、含3个变元,,x y z 的一个对称多项式包含9个项，其中4项包含x ，2项包含 xyz ，1项包含常数项，求包含xy 的项有个.4、由1，2，3，4，5 组成的大于43500的五位数的共有____个。

5、把9个相同的球放入3个相同的盒，不允许空盒，则有_______种不同方式。

三、应用题（本大题共5小题，每题各15分，共75分）6、若有1克砝码3枚，2克砝码4枚，4克砝码2枚，问能称出多少种不同的重量？各有多少方案？7、某学者每周上班6天工作42小时，每天工作的小时数是整数，且每天工作时间不少于6小时也不多于8小时。

今要编排一周的工作时间表，问有多少种不同的编排方法？8、核反应堆中有α和β两种粒子，每秒钟内一个α粒子分裂成三个β粒子，而一个β粒子分裂成一个α粒子和两个β粒子，若在时刻t = 0时反应堆中只有一个α粒子，问t = 100秒时反应堆中将有多少个α粒子？多少个β粒子？9、正六面体的8个顶点分别用红蓝两色染色，问有多少种不同的染色方案？刚体运动使之吻合算一种方案。

10、期末考试有六科要复习，若每天至少复习完一科（复习完的科目不再复习），5天里把全部科目复习完，则有多少种不同的安排？一、填空题（每小题5分，共25分）：专业姓名1、22 解：用加法原则：5×（3-1）+3×（5-1）=22。

科技大学数学系《组合数学》试题及答案

组合数学试题共 5 页，第 1 页科技大学研究生试卷及答案（考试时间：至，共 2 小时）课程名称组合数学教师学时 40 学分 2 教学方式讲授考核日期 20XX 年 XX 月日成绩考核方式：（学生填写）一、(共10分) 1、（4分）名词解释：广义Ramsey 数R (H 1，H 2，…，H r )。

2、（6分）证明：R(C 4,C 4) ≥ 6，其中C 4为4个顶点的无向回路图。

解：1、使得K n 对于(H 1，H 2，…，H r )不能r －着色的最小正整数n 称为广义Ramsey 数R (H 1，H 2，…，H r )。

-----------------4分2、如下图所示的5个顶点的完全图就没有一个纯的C 4，实线和虚线分别代表不同的颜色。

-----------------4分故R(C 4,C 4)>=6。

-----------------2分二、(16分)未来5届欧盟主席职位只能有法国、德国、意大利、西班牙、葡萄牙五国的人当选，一个国家只能当选一次。

假如法国只能当选第一届、第二届或者第三届，德国不能当选第二届和第三届，意大利不能当选第一届，西班牙不能当选第五届，葡萄牙只能能当选第二届、第四届或者第五届。

问未来的5届欧盟主席职位有多少种不同的当选方案？解：原问题可模型化为一个5元有禁位的排列. 其禁区棋盘C 如下图的阴影部分。

-----------------4分学号姓名学院……………………密……………封……………线……………以……………内……………答……………题……………无……………效……………………组合数学试题共 5 页，第 2 页1 5432EDCBA由图,可得C 的棋盘多项式为 R(C)=3223)21()21()1(])21)(1()1([x x x x x x x x x +++++++++ ----------------4分＝543211242281x x x x x +++++-----------------4分所以安排方案数为5! - 8·4! + 22·3! - 24·2! +11-1 -----------------4分 = 22即共有22种。

太原理工大学研究生期末考试组合数学

1. 填空（本题共20分，共10空，每空2分）1）三只白色棋子和两只红色棋子摆放在 5*5的棋盘上，要求每行每列只放置一个棋子，则共有1200种不同的摆放方法。

2答案：5! C 512002）在（5a 「2a 2+3a 3）6 的展开式中，a/?a 2?a 33 的系数是 -81000。

色 52 ( 2) 3381000答2!1!3!3）有n 个不同的整数，从中取出两组来，要求第一组数里的最小数大于第n 1二组的最大数，共有n 2 1种方案。

4）六个引擎分列两排，要求引擎的点火的次序两排交错开来，试求从一特定引擎开始点火有12种方案。

答案：C 3 c ； C 2125）从1到600整数中既不能被3整除也不能被5整除的整数有320 个。

6）要举办一场晚会，共10个节目，其中6个演唱节目，4个舞蹈节目。

现要编排节目单，要求任意两个舞蹈节目之间至少要安排一个演唱节目，则共可以写出 604800种不同的节目单。

3答案.6! C 7 4! 60480027）把n 男n 女排成一只男女相间的队伍，共有2 （n!）种排列方法；2若围成一圆桌坐下，又有2 （n!） /（2n ）种方法。

2n8） n 个变量的布尔函数共有n个互不相同的。

9）把r 个相异物体放入n 个不同的盒子里，每个盒子允许放任意个物体，而且要考虑放入同一盒中的物体的次序，这种分配方案数目为P(n r 1,r)/ 八(n r 1)! ~ / 、 …w P(n r 1,r)n(n 1)(n 2)答案：2. (本题10分)核反应堆中有a 和B 两种粒子，每秒钟内一个 a 粒子分裂成三个B 粒子，而一个B 粒子分裂成一个a 粒子和两个B 粒子。

若在时刻t=0时，反应堆中只有一个a 粒子，问t=100秒时反应堆中将有多少个 a 粒子？多少个B 粒子? 解：设t 秒钟的a 粒子数位a t ， B 粒子数为b t ,则a tb t i b 3a t 1 2b t 1 a 。

组合数学考试题附答案2

组合数学试题共 4 页，第 1 页电子科技大学研究生试卷（考试时间： 14：30 至 16：30 ，共 2 小时）课程名称组合数学教师卢光辉，张先迪学时 40 学分 2 教学方式讲授考核日期 2006 年 12 月 2 日成绩考核方式：（学生填写）一．填空题（每空2分，共22分）1．食品店有三种不同的月饼（同种月饼不加区分），第一种有5个，第二种有6个，第三种有7个， (1) 从中取出4个装成一盒（盒内无序），则不同的装法数有种； (2) 从中取出6个装成一盒（盒内无序），则不同的装法数有种；（3）若将所有的月饼排在一个货架上，则排法数有种（给出表达式，不必算出数值结果）。

（4）若将所有的月饼装在三个不同的盒子中，盒内有序（即盒内作线排列），盒子不空，则不同的装法数又有种（给出表达式，不必算出数值结果）。

2．棋盘C 如图1所示，则棋子多项式R (C ) =3．设有足够多的红球、黄球和绿球，同色球不加区分，设从中无序地取出n 个球的方式数为a n ，有序地取出n 个球的方式数为b n ，但均需满足红球的数量为偶，黄球的数量为奇，则(1) 由组合意义写出的{a n }的普通母函数为；求和后的母函数为。

(2)由组合意义写出的{b n }的指数母函数为；求和后的母函数为。

4．（1）将6个无区别的球放入3个无区别的盒子中且盒子不空的放法数为。

学号姓名学院……………………密……………封……………线……………以……………内……………答……………题……………无……………效……………………图1题……………无效…组合数学试题共 4 页，第 2 页（2）将6个有区别的球放入3个无区别的盒子中且盒子不空的放法数为。

（已知将5个有区别的球放入3个无区别的盒子中且盒子不空的放法数为25）二、（14 分）给定重集B = {3·A , 3·B , 4·C ,10·D }。

《组合数学》工学研究生1

西安电子科技大学研究生课程考试试题考试科目：组合数学考试日期：考试时间：120 分考试方式：闭卷任课教师：学生姓名：学号：一、（10分）请计算多项式8322⎪⎭⎫⎝⎛++-c b a 的展开式中222c b a和22bc a 两项的系数。

① ()222232121!2!2!2!2!8⎪⎭⎫⎝⎛-＝22680 (5)分②()32232121!3!2!1!2!8⎪⎭⎫⎝⎛-＝－22680 (5)分二、（10分）满足不定方程4321x x x x +++＝62的整数解共有多少组？其中要求31-≥x ，52≥x ，03≥x ，04≥x 。

① 做变换11x y =＋3, 22x y =－5, 33x y =,44x y = ……………………………… 2分 ② 原方程化为4321y y y y +++＝60 (2)分③ 问题等价于从4种相异元素中可重复地选60个元素的组合问题 (3)分④ 答案为601604C-+＝363C＝!60!3!63 (2)分⑤ 结果为39711 ………………………………………………………………………………………… 1分三、（10分）一位学者要在一周内安排38个小时的工作时间，而且每天至少工作5小时，最多工作10个小时。

问共有多少种不同的安排方案？假设一周有5个工作日。

① 分析问题，写相应的（普）母函数 …………………………………………………………… 4分()x G ＝()51065x x x +++② 母函数展开得 ()x G ＝25x＋526x＋…＋67638x＋…＋50x…………………………… 4分()x G ＝()552251xxx x++++＝25x(1＋2x ＋32x ＋43x ＋54x ＋65x ＋…＋10x )350⎪⎭⎫⎝⎛∑=i i x （系数对称）＝25x(1＋3x ＋62x ＋103x ＋154x ＋215x ＋256x ＋277x ＋…＋15x)250⎪⎭⎫⎝⎛∑=i i x ＝25x (1＋4x ＋102x ＋203x ＋354x ＋565x ＋806x ＋1047x ＋1258x ＋1409x＋14610x ＋…＋20x )⎪⎭⎫⎝⎛∑=50i i x＝25x (1＋4x ＋102x ＋203x ＋354x ＋565x ＋806x ＋1047x ＋1258x ＋1409x＋14610x ＋…＋20x )⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=50i i x＝25x (1＋5x ＋152x ＋353x ＋704x ＋…＋78013x ＋…＋524x ＋25x )＝25x＋526x＋1527x＋3528x＋7029x＋…＋78038x＋…＋549x＋50x③ 答：共有780种选法 …………………………………………………………………………… 2分四、（10分）把4个颜色不同的糖果分给甲、乙、丙3位小朋友，且甲、乙、丙每人分得的糖果数最多分别为3、3、4颗。

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学科专业代码 081202/081203/430112
学科专业名称计算机应用技术、计算机软件与理论、计算机技术考试科目代码_ 0606191301 考试科目组合数学
（本试卷考试时间为2个小时，卷面分数100分，答案请写在答题本上）
一、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
1、在35⨯棋盘中选取两个相邻的方格（即有一条公共边的两个方格），有 __________种不同的选取方法。

2、将5封信投入3个邮筒，有_________种不同的投法。

3、含3个变元,,x y z 的一个对称多项式包含9个项，其中4项包含x ，2项包含 xyz ，1项包含常数项，求包含
xy 的项有个. 4、由1，2，3，4，5 组成的大于43500的五位数的共有____个。

5、把9个相同的球放入3个相同的盒，不允许空盒，则有_______种不同方式。

三、应用题（本大题共5小题，每题各15分，共75分）
6、若有1克砝码3枚，2克砝码4枚，4克砝码2枚，问能称出多少种不同的重量？各有多少方案？
7、某学者每周上班6天工作42小时，每天工作的小时数是整数，且每天工作时间不少于6小时也不多于8小时。

今要编排一周的工作时间表，问有多少种不同的编排方法？
8、核反应堆中有α和β两种粒子，每秒钟内一个α粒子分裂成三个β粒子，而一个β粒子分裂成一个α粒子和两个β粒子，若在时刻t = 0时反应堆中只有一个α粒子，问t = 100秒时反应堆中将有多少个α粒子？多少个β粒子？
9、正六面体的8个顶点分别用红蓝两色染色，问有多少种不同的染色方案？刚体运动使之吻合算一种方案。

10、期末考试有六科要复习，若每天至少复习完一科（复习完的科目不再复习），5天里把全部科目复习完，则有多少种不同的安排？
一、填空题（每小题5分，共25分）：
1、22 解：用加法原则：5×（3-1）+3×（5-1）=22。

2、243 解：每封信都有3个选择。

信与信之间是分步关系。

所以分步属于乘法原则，即
3×3×3×3×3＝81×3=243。

3、 2 解：设S 为9个项构成的集合，设a 表示含有x 这一性质，设b 表示含有y 这一性
质，…，设c 表示含有z 这一性质，所求为：()N ab ，而：
0()()()()()()()S N N a N b N c N ab N bc N ac N abc =+++---+
（其中0N 为常数项个数）.再由对称性有： ()()()N a N b N c ==， ()()()N ab N bc N ac ==，又9,()4,()2S N a N abc ===
得：()2N ab =。

4、 900 解：题目可理解为：
将所求方案分成三类：
(1)万位上是5， (2)万位上是4，千位上是4或5，(3)万位上是4，千位上是3，百位上是5，于是所求为54 ＋ 2×53 ＋52 = 900
5、 7 解：等价于正整数9的3-部无序分拆数)9(3P 。

由定理∑=-=
r
k k r r n P n 1)()(P )(r n >得： )9(3P =)6()6()6()6(3211
P P P P r k k ++=∑=
=1+3+)6(3P =4+)3(1P +)3(2P +)3(3P =4+1+1+1=7
二、应用题（本大题共5小题，每题各15分，共75分）
6. 解：23246848234561819()(1)(1)(1)
122334...G x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++++++++=+++++++++
能称出从1克至19克的重量，称出n 克的方案数即x n 的系数
7. 解：设i x 为第i 天工作小时数()61≤≤i
题目可以转化为：
求不定方程42654321=+++++x x x x x x 满足条件86≤≤i x （i=1,2…6）的个数设所求为N ，则N 是
()68
76)(t t t t A ++=展开式中42t 的系数，而 ()()()k k t k t t t t t t t t t A ∑∞
=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=063366633663365511)1(11
即 N 是()k k t k t ∑∞
=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-063551展开式中6
t 的系数 ()()()1415565535561553111626006116226=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=C C C C C N 8.
解：设t 秒钟的α粒子数为t a ，β粒子数为t b 。

1110032 1,0t t t t t a b b a b a b ---=⎧⎪=+⎨⎪==⎩1120123 (*) 0,3t t t t t a b b b b b b ---=⎧⎪⇔=+⎨⎪==⎩
(*)式的特征方程为 2
230x x --= ，解得121 , 3r r =-= 12 (1)3t t b A A =⋅-+⋅
代入初始值010, 3 b b ==,解得1233 , 44
A A =-= 33 (1)3 ,44t t t b ∴=-⋅-+⋅11133(1)344
t t t t a b ---==-⋅-+⋅ 991003(31) , 4a =+1001003(31)4
b =-
9、解：第一类置换：p1= (1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8) ；
第二类置换：
绕上下面中心逆旋转90度p2= (1234)(5678)，
绕上下面中心逆旋转180度p3= (13)(24)(57)(68)，
绕上下面中心逆旋转270度p4= (1432)(5876)，
同理绕左右面和前后面中心的旋转置换格式各2个42，1个24，共6个42格式置换，3个24格式置换；
第三类置换：
绕对棱的中点连线EF 翻转p11= (48)(26)(17)(35)，
同理绕其余5对对棱中点连线可得翻转置换都是24格式，
共6个24格式置换；
第四类置换：
绕体对角线46逆旋转120度p17= (4)(6)(138)(275)，
绕体对角线46逆旋转240度p18= (4)(6)(183)(257)，
同理绕其余3条体对角线旋转120或240度得置换都是1232格式，共8个1232格式置换；
以上四类置换的格式：1个18, 6个42, 9个24, 8个1232
∴ l = (28 + 6⨯22 + 9⨯ 24 + 8⨯ 24)/24 = 23
10、解：该问题类同于求将6件相异物分放到5个不同盒中使得无一空的不同方法，
即求： 5！×）（5,6S 2。

因此 5！×）（5,6S 2=5！×⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛2n =1800。