3.1.5 空间向量运算的坐标表示 课件(共22张ppt)
合集下载
人教A版选修2-1高中数学《3.1.5空间向量运算的坐标表示ppt课件.ppt
【解析】(1)错误.当b=(b1,b2,b3)中的b1,b2,b3中存在0时,式子 a1 a2 a3 无意义,故此种说法错误.
b1 b2 b3
(2)错误.空间向量a=(1,1,1)的长度为 12 12 12 3，故向量 a=(1,1,1)不是单位向量.
(3)错误.由向量的坐标表示知,若向量 AB的起点A与原点重合, 则B点的坐标为(x1,y1,z1),若向量 AB 的起点A不与原点重合, 则B点的坐标就不为(x1,y1,z1). 答案:(1)× (2)× (3)×
【微思考】 (1)当a≠0时,λ a是否可以为0? 提示:不可以.当λ=0时,λa=(0,0,0)=0,并不是0. (2)空间向量的坐标运算和平面向量的坐标运算有什么不同? 提示:空间向量的坐标运算类似于平面向量的坐标运算,算法是 相同的,但空间向量比平面向量多一竖坐标,竖坐标的处理方式 与横坐标、纵坐标是一样的.
(3)两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式： ①模：|a|＝___a_12__a_2_2__a_3_2 _，
|b|＝__b_12___b_22___b_32_；
a1b1 a2b2 a3b3
②夹角：cos〈a，b〉＝__a_12__a_22___a_32 __b_12 __b_22__b_32__；
1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)对于空间任意两个向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),若a与b
共线,则 a1 a2 a3 . (
)
b1 b2 b3
(2)空间向量a=(1,1,1)为单位向量.( )
(3)若向量 AB=(x1,y1,z1),则点B的坐标为(x1,y1,z1).( )
x2－x1 y2－y1 z2－z1 . x3－x1 y3－y1 z3－z1
空间向量运算的坐标表示ppt课件
1
1
则点A的坐标为(1，0，0)，点M的坐标为( ，1， ).
2
2
于是AM =
1
(
2
− 1)2 +(1
1
2
− 0) +(
2
− 0)2 =
6
.
2
练习巩固
例3.如图，在棱长为1的正方体ABCD − A1 B1 C1 D1 中，M为BC1 的中点，E1 ，F1 分别在
1
4
1
4
棱A1 B1 ，C1 D1 上，B1 E1 = A1 B1 ，D1 F1 = C1 D1 .
(2): (2)·(－)
Ԧ
＝－2(Ԧ · )＝－2 × (－7)＝14；
(＋)·(
Ԧ
－)＝(2，－2,2)
Ԧ
· (2,0，－6)＝2 × 2－2 × 0＋2 × (－6)＝－8.
练习巩固
变式1-1.已知a ＝(−3，2，5)，b ＝(1，5 , −1)，求：
(1)Ԧ +
(2)6Ԧ
22 + 02 + (−8)2 = 2 17.
(2) ∵ ∙ = (1， − 3，2) ∙ (2，0， − 8) = −14，
∴ < ， >=
∙
||||
=
−14
14×2 17
=−
238
.
34
练习巩固
练习6.如图， = 2,原点是的中点，点的坐标为
于是P1 P2 = |P1 P2 | =
P1 P2 ∙ P1 P2 =
P2
i
O
j
x
(x2 − x1 )2 +(y2 − y1 )2 +(z2 − z1 )2 .
1
则点A的坐标为(1，0，0)，点M的坐标为( ，1， ).
2
2
于是AM =
1
(
2
− 1)2 +(1
1
2
− 0) +(
2
− 0)2 =
6
.
2
练习巩固
例3.如图，在棱长为1的正方体ABCD − A1 B1 C1 D1 中，M为BC1 的中点，E1 ，F1 分别在
1
4
1
4
棱A1 B1 ，C1 D1 上，B1 E1 = A1 B1 ，D1 F1 = C1 D1 .
(2): (2)·(－)
Ԧ
＝－2(Ԧ · )＝－2 × (－7)＝14；
(＋)·(
Ԧ
－)＝(2，－2,2)
Ԧ
· (2,0，－6)＝2 × 2－2 × 0＋2 × (－6)＝－8.
练习巩固
变式1-1.已知a ＝(−3，2，5)，b ＝(1，5 , −1)，求：
(1)Ԧ +
(2)6Ԧ
22 + 02 + (−8)2 = 2 17.
(2) ∵ ∙ = (1， − 3，2) ∙ (2，0， − 8) = −14，
∴ < ， >=
∙
||||
=
−14
14×2 17
=−
238
.
34
练习巩固
练习6.如图， = 2,原点是的中点，点的坐标为
于是P1 P2 = |P1 P2 | =
P1 P2 ∙ P1 P2 =
P2
i
O
j
x
(x2 − x1 )2 +(y2 − y1 )2 +(z2 − z1 )2 .
空间向量运算的坐标表示ppt课件
我们已经学过平面向量运算的坐标表示：
向量相加：
a+b
向量相减：
a-b
向量的数乘：
λa
空间向量运算的坐标
表示是怎样的呢？
向量的数量积：a•b
向量的模：
|a|
向量的夹角：
cos<a,b>
向量a在平面上可用有序实数对（x,y）表示，在空
间则用有序实数组（x,y,z）表示.
类比
平面向量运算的坐标表示
空间向量运算的坐标表示
a1=λb1，a2=λb2，
a·b=0
a1b1+a2b2=0
设a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3) （ ≠ 0 ）
a//b
a=λ b
a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3(λ∈R)
a⊥b
a ·b=0
a1b1+a2b2+a3b3=0
题型二：向量平行和垂直的坐标表示
1、已知a＝(1，－5，6)，b＝(0，6，5)，则a与b ( A )
a1b1+a2b2+a3b3=0
|| =
·=
1 2 + 2 2 + 3 2
d AB | AB | (a 2 a1 )2 (b2 b1 )2 (c2 c1 )2
a
b
a
b
a
b
·
1
1
2
2
3
2 2 2 2 32 2
cos < , >=
a
a
a
b
b
1
A．垂直
B．不垂直也不平行
C．平行且同向
D．平行且反向
2、设a＝(1，y，－2)，b＝(－2，－4，z)，若
向量相加：
a+b
向量相减：
a-b
向量的数乘：
λa
空间向量运算的坐标
表示是怎样的呢？
向量的数量积：a•b
向量的模：
|a|
向量的夹角：
cos<a,b>
向量a在平面上可用有序实数对（x,y）表示，在空
间则用有序实数组（x,y,z）表示.
类比
平面向量运算的坐标表示
空间向量运算的坐标表示
a1=λb1，a2=λb2，
a·b=0
a1b1+a2b2=0
设a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3) （ ≠ 0 ）
a//b
a=λ b
a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3(λ∈R)
a⊥b
a ·b=0
a1b1+a2b2+a3b3=0
题型二：向量平行和垂直的坐标表示
1、已知a＝(1，－5，6)，b＝(0，6，5)，则a与b ( A )
a1b1+a2b2+a3b3=0
|| =
·=
1 2 + 2 2 + 3 2
d AB | AB | (a 2 a1 )2 (b2 b1 )2 (c2 c1 )2
a
b
a
b
a
b
·
1
1
2
2
3
2 2 2 2 32 2
cos < , >=
a
a
a
b
b
1
A．垂直
B．不垂直也不平行
C．平行且同向
D．平行且反向
2、设a＝(1，y，－2)，b＝(－2，－4，z)，若
空间向量及其运算(共22张PPT)
向量场的点乘
两个向量场进行点乘运算，得到一个标量场，其 每个标量是原来两个向量场的对应向量的点乘结 果。
向量场的几何意义
向量场表示了空间中某一点受到的力或速度等物理量的分布情况，可以通 过图形表示出来。
向量场的方向表示了该点受到的力的方向或速度的方向，向量的大小表示 了力的大小或速度的大小。
通过观察图形可以直观地了解向量场的分布情况，从而更好地理解物理现 象和问题。
向量的模
向量的模定义为从起点到终点距离的 长度，记作|a|。
向量的模具有以下性质：|a + b| ≤ |a| + |b|，|a - b| ≤ |a| + |b|，|λa| = |λ||a| （λ为实数）。
向量的加法
向量的加法定义为同起点同终点的向量相加，即a + b = b + a（交换律），(λ + μ)a = λa + μa（结合律）。
向量场具有方向性和大小，表 示了空间中某一点受到的力或 速度等物理量的分布情况。
向量场的运算律
1 2 3
向量场的加法
将两个向量场叠加，得到一个新的向量场，其每 个向量是原来两个向量场的对应向量的和。
向量场的数乘
将一个标量与一个向量场中的每个向量相乘，得 到一个新的向量场，其每个向量是原来向量场的 对应向量与该标量的乘积。
向量在其他领域的应用
经济学
在经济学中，例如在市场分析和供需关系中，可以使用向量来表示不同因素之间的关系，通过向量的运算来分析 这些因素之间的关系。
生物学
在生物学中，例如在生态学和生物力学中，可以使用向量来描述生物体的运动、方向和力的作用，通过向量的运 算来分析这些力的作用和影响。
THANKS
两个向量场进行点乘运算，得到一个标量场，其 每个标量是原来两个向量场的对应向量的点乘结 果。
向量场的几何意义
向量场表示了空间中某一点受到的力或速度等物理量的分布情况，可以通 过图形表示出来。
向量场的方向表示了该点受到的力的方向或速度的方向，向量的大小表示 了力的大小或速度的大小。
通过观察图形可以直观地了解向量场的分布情况，从而更好地理解物理现 象和问题。
向量的模
向量的模定义为从起点到终点距离的 长度，记作|a|。
向量的模具有以下性质：|a + b| ≤ |a| + |b|，|a - b| ≤ |a| + |b|，|λa| = |λ||a| （λ为实数）。
向量的加法
向量的加法定义为同起点同终点的向量相加，即a + b = b + a（交换律），(λ + μ)a = λa + μa（结合律）。
向量场具有方向性和大小，表 示了空间中某一点受到的力或 速度等物理量的分布情况。
向量场的运算律
1 2 3
向量场的加法
将两个向量场叠加，得到一个新的向量场，其每 个向量是原来两个向量场的对应向量的和。
向量场的数乘
将一个标量与一个向量场中的每个向量相乘，得 到一个新的向量场，其每个向量是原来向量场的 对应向量与该标量的乘积。
向量在其他领域的应用
经济学
在经济学中，例如在市场分析和供需关系中，可以使用向量来表示不同因素之间的关系，通过向量的运算来分析 这些因素之间的关系。
生物学
在生物学中，例如在生态学和生物力学中，可以使用向量来描述生物体的运动、方向和力的作用，通过向量的运 算来分析这些力的作用和影响。
THANKS
( 人教A版)高中数学选修21：3.1.5空间向量运算的坐标表示课件 (共32张PPT)
(2)∵a＝A→B＝(1,1,0)，b＝A→C＝(－1,0,2)， ∴ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)． ∵(ka＋b)⊥(ka－2b)， ∴(ka＋b)·(ka－2b)＝0. 即(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0. 解得 k＝2 或 k＝－52.
数量积 a·b＝ a1b1＋a2b2＋a3b3
向量的模 |a|＝ a·a＝
a21＋a22＋a23
cos〈a，b〉＝|aa|··b|b|
向量的夹角
＝
a1b1＋a2b2＋a3b3 a21＋a22＋a23 b12＋b22＋b32
向量的垂直 若 a⊥b，则有 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
二、空间中向量的坐标及两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，设 A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则 1.A→B＝ (a2－a1，b2－b1，c2－c1) ． 2．dAB＝|A→B|＝ a2－a12＋b2－b12＋c2－c12 .
[双基自测]
1．已知向量 a＝(3，－2,1)，b＝(－2,4,0)，则 4a＋2b 等于( )
A．(16,0,4)
B．(8，－16,4)
C．(8,16,4)
D．(8,0,4)
解析：4a＝(12，－8,4)，2b＝(－4,8,0)， ∴4a＋2b＝(8,0,4)． 答案：D
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/192021/9/19Sunday, September 19, 2021
人教A版数学· 选修2-1 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/192021/9/192021/9/199/19/2021 6:43:22 PM
3.1.5 空间向量运算的坐标表示优秀课件
因为PQ ⊥AE，所以―PQ→·―A→E ＝0，
所以b－34，b－34，－1·－1，0，12＝0， 即－b－34－12＝0，解得b＝14， 所以点Q 的坐标为14，14，0， 因为―B→D ＝λ―D→Q ，所以(－1，－1,0)＝λ14，14，0， 所以4λ＝－1，故λ＝－4.
[一题多变]
1．[变条件]若本例中的PQ ⊥AE改为B1Q ⊥EQ ，其他条件不变， 结果与
C1G
所成角的余弦值为
51 17 .
(3)∵F12，12，0，H0，78，12， ∴―FH→＝－12，38，12，
∴|―FH→|＝
－122＋382＋122＝ 841.
∴FH 的长为 841.
“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(十八)” (单击进入电子文档)
(2)设点P的坐标为(x，y，z)， 则―A→P ＝(x－2，y＋1，z－2)， ∵12(―A→B －―A→C )＝―A→P ＝3，32，－2， ∴x＝5，y＝12，z＝0，则点P的坐标为5，12，0.
空间向量坐标运算的规律及注意点 (1)空间向量进行坐标运算的规律是首先进行数乘运 算，再进行加法或减法运算，最后进行数量积运算；先算 括号里，后算括号外． (2)空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算法则基 本一样，应注意一些计算公式的应用．
(4)若b≠0，则a∥b⇔a＝λb(λ∈R )⇔a1＝λb1， a2＝λb2 ，a3＝λb3 .
2．空间向量数量积的坐标表示及夹角公式
若 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
(1)a·b＝ a1b1＋a2b2＋a3b3 ； (2)|a|＝ a·a＝____a_21＋__a_22_＋__a_23__；
空间向量的平行与垂直
[典例] 正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P，
所以b－34，b－34，－1·－1，0，12＝0， 即－b－34－12＝0，解得b＝14， 所以点Q 的坐标为14，14，0， 因为―B→D ＝λ―D→Q ，所以(－1，－1,0)＝λ14，14，0， 所以4λ＝－1，故λ＝－4.
[一题多变]
1．[变条件]若本例中的PQ ⊥AE改为B1Q ⊥EQ ，其他条件不变， 结果与
C1G
所成角的余弦值为
51 17 .
(3)∵F12，12，0，H0，78，12， ∴―FH→＝－12，38，12，
∴|―FH→|＝
－122＋382＋122＝ 841.
∴FH 的长为 841.
“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(十八)” (单击进入电子文档)
(2)设点P的坐标为(x，y，z)， 则―A→P ＝(x－2，y＋1，z－2)， ∵12(―A→B －―A→C )＝―A→P ＝3，32，－2， ∴x＝5，y＝12，z＝0，则点P的坐标为5，12，0.
空间向量坐标运算的规律及注意点 (1)空间向量进行坐标运算的规律是首先进行数乘运 算，再进行加法或减法运算，最后进行数量积运算；先算 括号里，后算括号外． (2)空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算法则基 本一样，应注意一些计算公式的应用．
(4)若b≠0，则a∥b⇔a＝λb(λ∈R )⇔a1＝λb1， a2＝λb2 ，a3＝λb3 .
2．空间向量数量积的坐标表示及夹角公式
若 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
(1)a·b＝ a1b1＋a2b2＋a3b3 ； (2)|a|＝ a·a＝____a_21＋__a_22_＋__a_23__；
空间向量的平行与垂直
[典例] 正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P，
高中数学新课标人教A版选修2-1：3.1.5 空间向量运算的坐标表示 课件(共22张ppt)
x
1 1 15 BE1 DF1 0 0 ( ) 1 1 , 4 4 16
17 17 | BE1 | , | DF1 | . 4 4
15 BE1 DF1 15 16 所以 cos BE1 , DF1 . | BE1 | | DF1 | 17 17 17 4 4
D(0 , 0 , 0) , F1 (0 , 1 ，1) . 4
B1
D
C
y
A
B
3 1 BE1 (1 , , 1) (1 , 1 , 0) (0 , , 1) , 4 4
1 1 DF1 (0 , ，1) (0 , 0 , 0) (0 , ，1). 4 4
3.1.5 空间向量运算的
坐标表示
向量 a 在平面上可用有序实数对（x,y）
表示，在空间则用有序实数组{x,y,z}表示.
由平面向量的坐标运算，推广到空 间向量运算.
平面向量运算的坐标表示： 设a (a1 , a2 ), b (b1 , b2 )则
a b (a 1 b1 , a2 b2 ) ; a b (a 1 b1 , a2 b2 ) ; (a1 , a2 ) ; a a1b1 a2b2 a b ; 2 2 a a a a a 1 2
;
2 2 2 2 a1 a2 b1 b2 ; cos a , b a / /b a b ( R) a1 b1 , a2 b2 ( R); a b a b 0 a1b1 a2b2 0
例2
如图,
在正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中，B1 E1
高中数学人教A版选修2-1课件3.1.5 空间向量运算的坐标表示ppt版本
2
+
3 8
2
+
1 2
2
=
841.
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
易错辨析 易错点 共线的概念理解不透致错
【例 4】 已知 A(2,1,-3),B(1,-2,4),则与向量������������共线的单
位向量为_____________.
错解: ∵ ������������ = (−1, −3,7), |������������| = 12 + 32 + 72 = 59, ∴ 与������������
·BE
=
−
6 32
+
0
+
6 32
=
0.
所以OG ⊥ BE, 即OG⊥BE.
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
反思结合题目建立适当的空间直角坐标系,先写出所需点的坐标, 求出向量坐标,再利用坐标的运算对向量进行证明和求解运算.
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
是【DD变1,式DB训的练中3点】,G在在棱棱长C为D上1的, C正G方=体14 A������B������C, ���D���是-A���1���B11���C���的1D中1中点,E. ,F分别 (1)求证:EF⊥B1C; (2)求EF与C1G所成的角的余弦值; (3)求FH的长. 分析:依据条件建立合适的空间直角坐标系,将问题转化为向量
|������������ |·|������������ |
-1 2×
2
=
− 12,
故异面直线 BE 和 SC 所成角的余弦值为 12.
高二数学人教A版选修2-1课件：3.1.5 空间向量运算的坐标表示(共22张ppt)
空间向量的坐标表示
设a =(a1,a2),b =(b1,b2)则 设a =(a1,a2,a3),b =(b1,b2,b3)则
a b (a1b1, a2 b2 );
a b a1b1 a2b2 ;
a (a1,a2 ),( R).
a b (a1b1, a2 b2 , a3 b3 );
设 a =(a1,a2,a3), b =(b1,b2,b3).
1.距离公式 （1）向量的长度（模）公式
| a |2 a a a12 a22 a32.
| b |2 b b b12 b22 b32.
注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线 的长度.
（2）空间两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，已知 A ( x1 , y1 , z1 ) 、
解：a + b =(2,-3,5)+(-3,1,-4)=(-1,-2,1), a - b =(2,-3,5)-(-3,1,-4)=(5,-4,9), |a|= 22 +(-3)2 +52 = 38, 8a = 8(2,-3,5)=(16,-24,40), ab =(2,-3,5)(-3,1,-4)= 2×(-3)+(-3)×1+5×(-4) = -29.
2.两个向量夹角公式
cos a,b a b | a || b |
注意：
a1b1 a2b2 a3b3
.
a12 a22 a32 b12 b22 b32
（1）当 cos a , b 1时，a 与 b 同向. （2）当 cos a , b 1时，a 与 b 反向.
则p =
3
,q =
4
课件2：3.1.5空间向量运算的坐标表示
4．用坐标运算解决几何问题时，先建系，确定相关 点的坐标，找出题设条件与结论对应的向量，再依据相关 关系进行运算，最后翻译为几何关系得出结论．
5．已知两向量夹角为锐角或钝角，求参数取值范围 时，要注意共线的情形．
巩固训练
一、选择题
1．设 M(5，－1,2)，A(4,2，－1)，若O→M＝A→B，则点 B 应为( )
3．运用空间向量解决立体几何问题，先要考察原图形是否方便 建立直角坐标系，将问题中涉及的点、线(向量)、面(向量的线性组 合)用坐标表示，如果容易表示则先建系，将点用坐标表示出来，然 后，利用垂直、平行、共面的条件通过向量运算推证有关结论，利 用向量的模、向量夹角的计算公式来求线段长度及角，最后将计算 的结果转化为几何结论；当图形中的点不方便用坐标表示时，可直 接设出向量的基底，将各条件、结论中涉及的向量表示为基底的线 性组合，再运用向量线性运算及内积运算的规则进行推理、计算最 后转化为相应几何结论．
出证明．
[错解](1)取 A 为坐标原点，AB，AC，AP 所在直线分别为 x、 y、z 轴建立空间直角坐标系，设 PA＝1，则 P(0,0,1)，B(2,0,0)， O(0,2,0)，C(2,2,0)，E(2,1,0)， ∴P→E＝(2,1，－1)，A→D＝(0,2,0)， ∴P→E·A→D＝2≠0， ∴PE 与 AD 不垂直．
[解析] ∵a·b＝2k，|a|＝ 13，|b|＝ k2＋9， ∴cos120°＝ 13×2kk2＋9， ∴k＝－ 39.
[答案]
2 arccos5
6 2
[解析]以 A 为原点 AB、AD、AA1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立 直角坐标系，设正方体棱长为 1，则
E0，12，1，F1，0，21，∴A→E＝0，12，1，A→F＝1，0，12，
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
拥有梦想只是一种智力，实现梦想才 是一种能力.
1.基本知识： （1）向量的长度公式与两点间的距离公式. （2）两个向量的夹角公式. 2.思想方法：用向量计算或证明几何问题
时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐
标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或
证明.
平面向量的坐标表示
空间向量的坐标表示
设a =(a1 ,a2 ),b =(b1 ,b2 )则 设a =(a1 ,a2 ,a3 ),b =(b1 ,b2 ,b3 )则 a b ( a 1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ); a b (a 1 b1 , a2 b2 ); a b a1b1 a2 b2 a3b3 ; a b a1b1 a2b2 ; a ( a1 , a2 , a3 ),( R). a ( a1 , a2 ),( R).
3.1.5 空间向量运算的
坐标表示
向量 a 在平面上可用有序实数对（x,y）
表示，在空间则用有序实数组{x,y,z}表示.
由平面向量的坐标运算，推广示： 设a (a1 , a2 ), b (b1 , b2 )则
a b (a 1 b1 , a2 b2 ) ; a b (a 1 b1 , a2 b2 ) ; (a1 , a2 ) ; a a1b1 a2b2 a b ; 2 2 a a a a a 1 2
1 1 1 所以 EF DA1 ( , , ) (1 , 0 , 1) 0 ， 2 2 2 因此 EF DA1 ，即 EF DA1 .
1.与a = 2,-1,2 共线,且满足 a z = -18 4, 2, 4 的z = . 2.A 1,2, 1 ,B -1,3,4 ,AP = 2PB,
例2
如图,
在正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中，B1 E1
，求 BE1 与 DF1 所成的角的余弦值. 解：设正方体的棱长为1，如图建
C1
A1 B1 D1 F1 4
z
DD 11
A1 F1 E1
立空间直角坐标系 Dxyz ，则
3 B(1 , 1 , 0) , E1 (1 , , 1) , 4
（1）当 cos a , b 1 时， a 与 b 同向.
a 与 b 反向. （2）当 cos a , b 1 时，
（3）当 cos a , b 0 时，a b .
思考：当 0 cos a , b 1 及 1 cos a , b 0
时，夹角在什么范围内？
例1. 已知 a =(2,-3,5),b =(-3, 1,-4), 求a + b,a - b, |a|,8a,a b
解： a + b =(2,-3, 5)+(-3, 1,-4)=(-1,-2, 1), a - b =(2,-3, 5)-(-3, 1,-4)=(5,-4, 9), |a|= 22 +(-3)2 +52 = 38 , 8a = 8(2,-3, 5)=(16,-24,40), a b =(2,-3,5)(-3,1,-4)= 2× (-3)+(-3) ×1+5× (-4) = -29.
x
1 1 15 BE1 DF1 0 0 ( ) 1 1 , 4 4 16
17 17 | BE1 | , | DF1 | . 4 4
15 BE1 DF1 15 16 所以 cos BE1 , DF1 . | BE1 | | DF1 | 17 17 17 4 4
则OP =
1 8 ( , ,3) 3 3
.
3.三点A 1,5,-2 ,B 2,4, 1 ,C p,3,q 共线， 3 4 则p = ,q = .
(1,-1,2)
2
101
7、如图，在棱长为1的正方体
ABCD-A1B1C1D1中，E ，F ， G 分别是 DD1，BD，BB1的中点．
注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线 的长度.
（2）空间两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，已知 A ( x1 , y1 , z1 ) 、
B ( x 2 , y 2 , z 2 )，则
AB ( x 2 x1 , y 2 y1 , z 2 z1 )
2 2 2 ( x x ) ( y y ) ( z z ) | AB | AB AB 2 1 2 1 2 1
a b a b
a1b1 a2b2
1.理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单
几何体的顶点坐标.
2．掌握空间向量的坐标运算规律，会判断两个
向量的共线或垂直.（重点）
3．掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离
公式，并能运用这些知识解决一些相关问题．
（难点）
设a (a1, a2 , a3 ), b (b1, b2 , b3 )则 a b ( a 1 b1 , a 2 b2 , a 3 b3 ) ; a b ( a 1 b1 , a 2 b2 , a 3 b3 ) ;
D(0 , 0 , 0) , F1 (0 , 1 ，1) . 4
B1
D
C
y
A
B
3 1 BE1 (1 , , 1) (1 , 1 , 0) (0 , , 1) , 4 4
1 1 DF1 (0 , ，1) (0 , 0 , 0) (0 , ，1). 4 4
探究点1 空间向量运算的坐标表示
a / / b a b a1 b1 , a 2 b2 , a 3 b3 ( R ); a b a b 0 a1b1 a 2 b2 a 3 b3 0 .
a ( a1 , a2 , a3 )( R) ; a b a1b1 a 2 b2 a 3 b3 ;
;
2 2 2 2 a1 a2 b1 b2 ; cos a , b a / /b a b ( R) a1 b1 , a2 b2 ( R); a b a b 0 a1b1 a2b2 0
(1)求证：EF⊥CF.
(2)求CE的长．
1 1 1 → → 1 1 所以EF· CF＝ × ＋(－ )× ＋－ ×0＝0. 2 2 2 2 2 → → 所以EF⊥CF，即 EF⊥CF. 1 → (2)由(1)知CE＝(0，－1， )， 2 5 1 2 → 2 2 所以|CE|＝ 0 (1) ( ) ＝ . 2 2
例 3 如图，正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中， E ， F 分别是
BB1 ， D1 B1 的中点，求证： EF DA1 .
1 1 1 则 E (1 , 1 , ) ， F ( , , 1) 2 2 2 1 1 1 所以 EF ( , , ) . 2 2 2 又 A1 (1 , 0 , 1) ， D(0 , 0 , 0) ， 所以 DA1 (1, 0 ,1)
探究点2 距离与夹角
设 a =(a1,a2,a3), b =(b1,b2,b3).
1.距离公式 （1）向量的长度（模）公式
2 2 2 2 | a | a a a1 a2 a3 . 2 2 2 2 | b | b b b1 b2 b3 .
d AB
| AB | ( x 2 x1 ) 2 ( y 2 y1 ) 2 ( z 2 z1 ) 2
2.两个向量夹角公式 a1b1 a2 b2 a3b3 a b . cos a , b | a || b | a12 a2 2 a32 b12 b2 2 b32 注意：