高等数学课件D10_1二重积分概念

D
2012-9-27
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二重积分存在定理: (证明略)
定理1. 若函数
在有界闭区域 D上连续, 则
在有界闭区域 D 上除去有
在D上可积.
定理2. 若有界函数 积. 例如, f ( x, y )
x y x y
2 2
限个点或有限个光滑曲线外都连续 , 在D :
第十章
重 积 分
一元函数积分学 重积分 多元函数积分学 曲线积分 曲面积分
第一节
第十章
二重积分的定义与性质
一、引例
二、二重积分的定义与可积性
三、二重积分的性质
四、曲顶柱体体积的计算
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一、引例
1.曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体: 底： xoy 面上的闭区域 D 顶: 连续曲面
V lim
f ( k , k ) k 0
k 1
n
n
平面薄片的质量:
M lim
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( k , k ) k 0
k 1
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二、二重积分的定义及可积性
定义: 设 f ( x, y ) 是定义在有界区域 D上的有界函数 ,
2 2 2 2 D
2 2
( sin x cos x )d
又 D 的面积为 1 ,
故结论成立 .
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参考题
1. 估计 I
D
d x y 2 xy 16 1
2 2
Hale Waihona Puke 的值, 其中 D 为y
0 x 1, 0 y 2.
y
1
3
D
o x
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y
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2 x3
yx y x
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3
2 3
3. 计算
解:

0 cos( x y) 0 d y
2


2

0 [sin y cos y ] d y
2

cos y sin y
2
0
2
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k 1 高等数学课件
4)“取极限”
( k ) max P P2 P ,P2 k 1 1
令 max ( k )
1 k n
V lim
f ( k , k ) k 0
k 1
n
f ( k , k )
( k , k )
以它们为底把曲顶柱体分为 n 个 小曲顶柱体 2)“常代变” 在每个
( k , k )
D
k
中任取一点
则
y
Vk f ( k , k ) k
(k 1, 2 ,, n)
n
D
3)“近似和”
f ( k , k ) k
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x
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z
1 ( x) y 2 ( x) D ( x, y ) a xb
y
D
任取
平面
截柱体的
y
o
a
x0 b x
截面积为
故曲顶柱体体积为
V
a b
y 1 ( x)
D
f ( x, y ) d A( x)d x
a
D
[
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b
( x)
但不好估计 .
3 2 (4 3) (1 3 2) 0
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例3. 估计下列积分之值
I
D
d xd y 100 cos x cos y
2 2
D : x y 10
y
10
解: D 的面积为 (10 2) 2 200 由于
解: 积分域 D 的边界为圆周
1
D 2
3 x x y 1
o 1
它与 x 轴交于点 (1,0) ,
于直线的上方, 故在 D 上 x y 1, 从而
( x y) ( x y)

2 3
而域 D 位
D
( x y ) d ( x y ) d
2 3 D
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0
i 1
2. 二重积分的性质 (与定积分性质相似)
3. 曲顶柱体体积的计算 二次积分法
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思考与练习
1. 比较下列积分值的大小关系:
I2
1 1

xy d x d y
x y 1
I3
1 1

xy d xd y
y 1 1
2
2
解: 被积函数 f ( x, y )
( x y ) 16
D
o
1 x
D 的面积 2
在D上 f ( x, y ) 的最大值
f ( x, y ) 的最小值
故 2 5 I 2 4 , 0.4 I 0.5
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2. 判断
D f ( x, y ) d


D ( x, y ) d

特别, 由于 f ( x, y ) f ( x, y ) f ( x, y )
D f ( x, y ) d
D
f ( x, y ) d
6. 设 则有
m
D
D 的面积为 ,
f ( x, y ) d M
D D
3. f ( x, y )d
D
D1
f ( x, y ) d
D2
f ( x, y ) d
为D 的面积, 则
1 d d
D D
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5. 若在D上 f ( x, y ) ( x, y ) , 则
将区域 D 任意分成 n 个小区域
任取一点 若存在一个常数 I , 使 记作
则称 f ( x, y ) 可积 , 称 I 为 f ( x, y ) 在D上的二重积分.
积分和
积分表达式
x , y 称为积分变量
积分域
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被积函数
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面积元素
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如果 f ( x, y ) 在D上可积, 可用平行坐标轴的直线来划
x y 1
ln( x y ) d x d y ( 0) 的正负.
2 2
y
解：当 x y 1 时，
0 x y ( x y) 1
2 2
2
1 1
o
1
D
1 x
故
ln( x y ) 0
2
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7.(二重积分的中值定理)
连续, 为D 的面积 , 则至少存在一点
在闭区域D上
使
f ( , )
D f ( x, y)d
证: 由性质6 可知,
m 1
D f ( x, y ) d
1
M
由连续函数介值定理, 至少有一点
1 102
1 100 cos x cos y
2 2
D
10

1 100
o
10
10
x
积分性质5
200 102
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I
200 100
即: 1.96 I 2
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四、曲顶柱体体积的计算
设曲顶柱的底为
y 2 ( x)
D
f ( x, y ) d
2 ( y) 1 ( y )
[

d
f ( x, y ) d x ] d y
y c o
x
d x
a
b
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内容小结
1. 二重积分的定义
n
D
f ( x, y ) d lim f ( i ,i ) i (d dxd y )
d
的大小顺序为 ( D
)
( B ) I 2 I1 I 3 ; ( D ) I 3 I1 I 2 .
2 1 2
( A) I1 I 2 I 3 ; (C ) I 3 I 2 I1 ;
提示: 因 0 < y <1, 故 y y y
又因 x 0, 故在D上有
1
;
1
2 ( x)
f ( x, y ) d y ] d x
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oa
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b x
结束
同样, 曲顶柱的底为
D ( x, y ) 1 ( y ) x 2 ( y ), c y d

则其体积可按如下两次积分计算
V
c
y
d
x 1 ( y) x 2 ( y)