2015年浙江省高中数学竞赛试卷

三、解答题（本大题共有3小题，16题16分，17、18每题18分，共52分）
16． 设,a b R ∈，函数2
()(1)2f x ax b x =++-．若对任意实数b ，方程()f x x =有两个相异的实根，求实数a 的取值范围．
参考答案：
因为方程()f x x =有两个相异的实根，即方程2(1)20ax b x b +-+-=有两个相异的实数根，所以{20,(1)4(2)0x a b a b ≠∆=---> ………………………………4分
即{202(12)810
a b a b a ≠-+++>对任意实数b 恒成立，所以 {20
4(12)4(81)0b a a a ≠∆=+-+<，…………………………………………………12分 解得01a <<.…………………………………………………………………………16分
17．已知椭圆22
122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率
为2
，右焦点为
圆222:(7C x y +=的圆心．
(I)求椭圆1C 的方程；
(II)若直线l 与曲线C 1，C 2都只有一个公共点，记直线l 与圆C 2的公共点为A ，求点A 的坐标．
参考答案：（Ⅰ）设椭圆1C 的半焦距长为c
，则2c c a ⎧=⎪⎨⎪⎩，解得{
21a b ==，所以椭圆方程为2
214
x y +=.………………………………………………………………………………4分 （Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，显然不满足题意.当直线l 的率存在时，可设直线l 的方程为(,)y kx m k m R =+∈，点A 的坐标为(,)A A x y
，其中21A km y k
-=-+.
联立方程2214x y y kx m
⎧⎪+=⎨⎪=+⎩，消去y 得222(14)8440k x kmx m +++-=…………（1） 所以22116(41)0,k m ∆=-+=即
22410k m -+=……………………（2）……………………………………………8分
联立方程22(7x y y kx m
⎧-+=⎪⎨=+⎪⎩消去y 得
222(1)2(40k x km x m +++-= (3)
所以22216(47)0,k m ∆=--+=即
22470k m --+=……………………………（4）…………………………12分
（2）-（4
）得km = （5）
（5）代入（3
）得0A x ==………………（6）…………………………16分 （6
）代入222:(7C x y +=得2A y =±.
经检验(0,2),A 或(0,2)A -符合题意，这样点A 的坐标为(0,2),(0,2)-.…………18分
18．已知数列{}{},n n a b 满足1*1111,0,0,,1n n n n n n a a b a b n N b b a ++⎧=+⎪⎪>>∈⎨=+⎪⎪⎩
．证明:505020a b +>． 参考答案： 证明：因为22221122112()n n n n n n n n n n a b a b a b a b b a +++=++
+++， 所以 49492222505011
221111()2()i i i i i i i i a b a b a b a b b a ==+=+++++∑∑ 221122
111122494449200.a b a b >++++⨯⨯≥+⨯=……………………8分
又1112n n n n n n
a b a b a b ++=++， 所以4950501111111
1124998100i i i a b a b a b a b a b ==++⨯>++≥∑.……………………16分 所以222505*********()2200200400a b a b a b +=++>+=.因此505020a b +>……18分
四、附加题（本大题共有2小题，每题25分，共50分）
附加1已知数列{}n a 满足11a =
，13n n a a +=+*n N ∈． (I) 证明：{}n a 是正整数数列；
(II) 是否存在*m N ∈，使得2015m a ，并说明理由．
参考答案：（Ⅰ
）由13n n a a +=+
2211640n n n n a a a a +++++=，……………………………… （1） 同理可得 22
2212640n n n n a a a a +++++++=，………………（2）……………………5分 由（1）（2）可知，2,n n a a +为方程2211640n n x a x a ++-++=的两根，又2n n a a +<，即有216n n n a a a +++=，即216.n n n a a a ++=-
因为121,5,a a ==所以n a 为正整数.……………………………………………………10分 （Ⅱ）不存在*m N ∈，使得2015m a .…………………………………………………15分 假设存在*m N ∈，使得2015m a ，则31m a .
一方面，2214m m m a a a ++=+，所以2
1314m a ++,即
214(mod31)m a +≡-，所以301530142(mod31)m a +≡-≡-. 由费马小定理知3021(mod31)≡，所以3011(mod31)m a +≡-…………………………20分 另一方面，1(,31)1m a +=.事实上，
假设1(,31)1m a d +=>，则31d ，即31d =，所以131m a +，而2
1314m a ++，这样得到314.矛盾.
所以，由费马小定理得3011(mod31)m a +≡. 这样得到11(mod31)≡-.矛盾.所以不存在*
m N ∈，使得2015m a .………………25分
附加2 设k 为正整数，称数字1~31k +的排列1231,,,k x x x + 为“N 型”的，如果这些数满足
（1）121k x x x +<<< ； （2）1221k k k x x x +++>>> ；（3）212231k k k x x x +++<<< ． 记k d 为所有“N 型”排列的个数．
(I)求1d ，2d 的值； (II)证明：对任意正整数k ，k d 均为奇数．
参考答案：
首先注意到1k x +的值只能取31,3,,21k k k ++ 这些数字，因为必须有2k 个值比它小，而21k x +的值只能取1,2,,1k + 这些数字，因为必须有2k 个值比它大。

记12132,k k x k j x i ++=+-=（,1,2,,1i j k =+ ）时的N 型排列个数为(,)i j k d ，则
(,)1131()31()(1)i j k i k j k k i j k i j k i d
C C +-+-+-++-+-+-=，1(,),1k i j k k i j d d +==∑.
化简得 (,)(31)!(1)!(1)!(1)!
i j k k i j d k k i k j +--=-+-+-.………………………………………………………10分 (1) 计算可得 125,71d d ==………………………………………………………………15分
(2) 易知 (,)(,)i j j i k k d d =， (,)(312)!(1)!(1)!(1)!i i k k i d k k i k i +-=-+-+-（1,2,,i k = ），(1,1)1k k k d ++=.
当1k >时，对于所有1,2,,i k = ，(,)i i k d 是偶数。

事实上对于21k x i +=，132k x k i
+=+-（1,2,,i k = ）时的任何一个N 型排列，此时数字1,2,,1i - 只能放在121,,,i x x x - 的位置，数字32(1),32(2),,321k i k i k +--+--+- 只能放在
32(1)32(2)31,,,k i k i k x x x +--+--+ 上
（字母N 的两头），1,,,i i k x x x + 和3232(1)22,,,k i k i k x x x +-+-++ 的数字可以互换得到一个新的N 型排列，于是(,)i i k d 是偶数（1,2,,i k = ）.……25分
（也可以从表达式说明(2)!
!!!
m n
m n n
+
是偶数（1
n≥），它的组合意义就是将m个白球，n个红
球，n个蓝球排成一行的排列数。

于是任何一种排列，交换红蓝球可对应另一种排列。

于是
11
(,)(,)(1,1)(,)
,11,,1
k k k
i j i j k k i j
k k k k k
i j i i j i j
d d d d d
++
++
==≠=
==++
∑∑∑为奇数！………………………25分）。