二维形式的柯西不等式(一)资料
8.柯西不等式(1).
y 5
x 1
2 5 x
52 ( 2) 2 ( x 1) 2 ( 5 x ) 2
= 27 4=6 3
当且仅当 2 x 1 5 5 x时,即 127 当x 时函数取最大值6 3. 27
2.本题利用了柯西不等式的变式
注意：1.利用不等式求最值的步骤为：一定，二相等。
练习
1.若2x 3 y 1, 求4x 9 y 的最小值, 并求最小值点.
2 2
解:
由柯西不等式(4 x 2 9 y 2 )(12 12 ) (2 x 3 y ) 2 1,
2 2
1 4x 9 y . 2 当且仅当2 x 1 3 y 1, 即2 x 3 y时取等号. 1 x 2 x 3 y 4 由 得 2 x 3 y 1 y 1 6 1 1 1 4 x 9 y 的最小值为 , 最小值点为( , ) 2 4 6
2 2
1.若a, b R, 且a 2 b 2 10, 则a b的取值范围是( A. -2 5, 2 5 C. 10, 10 B. 2 10, 2 10 D. 5, 5
补充练习
A)
2. 已知x y 1, 那么2 x 2 3 y 2的最小值是( B ) 5 6 25 36 A. B. C. D. 6 5 36 25
1 a a 4 1 b b
2
问：当且仅当什么条件时取等号?
答:
a=b
练习 .
解:
a b 已知x, y, a, b R ,且 1,求x y的最小值. x y
a b x, y, a, b R , 1, x y
二维形式的柯西不等式
06
二维形式的柯西不等式的拓 展与推广
向高维空间的拓展
高维柯西不等式
对于任意两个n维向量a和b，有 (a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+... +bn^2) ≥ (a1b1+a2b2+...+anbn)^2，当 且仅当a和b线性相关时取等号。
几何意义
高维柯西不等式在几何上可以理解为两个高 维向量长度的乘积大于等于它们内积的平方。
与其他数学分支的联系与应用
01
线性代数中的应用
柯西不等式在线性代数中可用于证明矩阵的正定性、求解特征值问题等。
02 03
概率论与数理统计中的应用
在概率论与数理统计中，柯西不等式可用于证明某些概率不等式、求解 某些统计量的界等。例如，利用柯西不等式可以证明切比雪夫不等式、 马尔可夫不等式等。
分析学中的应用
柯西不等式二维形式的几何意义
柯西不等式的二维形式可以看作是平面中两个向量的模长之积与它们的内积的 平方之间的关系。当且仅当两个向量共线时，等号成立。
柯西不等式二维形式的性质
• 性质一：正定性。当$a_1, a_2$和$b_1, b_2$均不为零时，柯西不等式的左边 总是大于零，即$(a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2) > 0$。
04
二维形式的柯西不等式在几 何中的应用
在三角形中的应用
面积估计
通过二维形式的柯西不等式，可以对 三角形的面积进行估计，得到面积的 上界和下界。
边长关系
式关系， 如两边之和大于第三边等。
在平行四边形中的应用
对角线性质
二维形式的柯西不等式可用于研究平行四边形的对角线性质，如对角线长度与边 长之间的关系。
二维形式的柯西不等式(一)
教学要求：认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义， 并会证明二维柯西不等式及向量形式.教学重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式. 教学难点：理解几何意义.教学过程：一、复习准备：1. 提问： 二元均值不等式有哪几种形式？答案：(0,0)2a ba b +>>及几种变式. 2. 练习：已知a 、b 、c 、d 为实数，求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+证法：（比较法）22222()()()a b c d ac bd ++-+=….=2()0ad bc -≥二、讲授新课：1. 教学柯西不等式：① 提出定理1：若a 、b 、c 、d 为实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+. → 即二维形式的柯西不等式 → 什么时候取等号？ ② 讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？ 证法二：（综合法）222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++222()()()ac bd ad bc ac bd =++-≥+. （要点：展开→配方）证法三：（向量法）设向量(,)m a b =，(,)n c d =，则22||m a b =+，2||n c d =+∵m n ac bd ∙=+，且||||cos ,m n m n m n =<>，则||||||m n m n ≤. ∴….. 证法四：（函数法）设22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++，则22()()()f x ax c bx d =-+-≥0恒成立.∴22222[2()]4()()ac bd a b c d ∆=-+-++≤0，即….. ③ 讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？ 222||c d ac bd +≥+ 或 222||||c d ac bd +≥+222c d ac bd +≥+.④ 提出定理2：设,αβ是两个向量，则||||||αβαβ≤. 即柯西不等式的向量形式（由向量法提出 ）→ 讨论：上面时候等号成立？（β是零向量，或者,αβ共线）⑤ 练习：已知a 、b 、c 、d . 证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义？（构造三角形） 2. 教学三角不等式：① 出示定理3：设1122,,,x y x y R ∈分析其几何意义 → 如何利用柯西不等式证明→ 变式：若112233,,,,,x y x y x y R ∈，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？ 3. 小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点）三、巩固练习：1. 练习：试写出三维形式的柯西不等式和三角不等式2. 作业：教材P 37 4、5题.教学要求：会利用二维柯西不等式及三角不等式解决问题，体会运用经典不等式的一般方法——发现具体问题与经典不等式之间的关系，经过适当变形，依据经典不等式得到不等关系. 教学重点：利用二维柯西不等式解决问题. 教学难点：如何变形，套用已知不等式的形式.教学过程：一、复习准备：1. 提问：二维形式的柯西不等式、三角不等式？ 几何意义？答案：22222()()()a b c d ac bd ++≥+≥2. 讨论：如何将二维形式的柯西不等式、三角不等式，拓广到三维、四维？3. 如何利用二维柯西不等式求函数y =?要点：利用变式22||ac bd c d ++.二、讲授新课：1. 教学最大（小）值：① 出示例1：求函数y =分析：如何变形？ → 构造柯西不等式的形式 → 板演→ 变式：y = 推广：,,,,,)y a b c d e f R +=∈ ② 练习：已知321x y +=，求22x y +的最小值.解答要点：（凑配法）2222222111()(32)(32)131313x y x y x y +=++≥+=. 讨论：其它方法 （数形结合法） 2. 教学不等式的证明：① 出示例2：若,x y R +∈，2x y +=，求证：112x y+≥.分析：如何变形后利用柯西不等式？ （注意对比 → 构造）要点：2222111111()()]22x y x y x y +=++=++≥… 讨论：其它证法（利用基本不等式）② 练习：已知a 、b R +∈，求证：11()()4a b a b++≥.3. 练习：① 已知,,,x y a b R +∈，且1a bx y+=，则x y +的最小值.要点：()()a bx y x y x y+=++=…. → 其它证法② 若,,x y z R +∈，且1x y z ++=，求222x y z ++的最小值. （要点：利用三维柯西不等式）变式：若,,x y z R +∈，且1x y z ++=.3. 小结：比较柯西不等式的形式，将目标式进行变形，注意凑配、构造等技巧.三、巩固练习：1. 练习：教材P 37 8、9题2. 作业：教材P 37 1、6、7题第三课时 3.2 一般形式的柯西不等式教学要求：认识一般形式的柯西不等式，会用函数思想方法证明一般形式的柯西不等式，并应用其解决一些不等式的问题.教学重点：会证明一般形式的柯西不等式，并能应用. 教学难点：理解证明中的函数思想.教学过程：一、复习准备： 1. 练习：2. 提问：二维形式的柯西不等式？如何将二维形式的柯西不等式拓广到三维？答案：22222()()()a b c d ac bd ++≥+；2222222()()()a b c d e f ad be cf ++++≥++二、讲授新课：1. 教学一般形式的柯西不等式：① 提问：由平面向量的柯西不等式||||||αβαβ≤，如果得到空间向量的柯西不等式及代数形式？② 猜想：n 维向量的坐标？n 维向量的柯西不等式及代数形式？ 结论：设1212,,,,,,,n n a a a b b b R ∈，则222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b +++++≥+++讨论：什么时候取等号？（当且仅当1212n na a ab b b ===时取等号，假设0i b ≠）联想：设1122n n B a b a b a b =+++，22212n A a a a =++，22212n C b b b =+++，则有20B A C -≥，可联想到一些什么？③ 讨论：如何构造二次函数证明n 维形式的柯西不等式？ （注意分类）要点：令2222121122)2()n n n f x a a a x a b a b a b x =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+（）（22212()n b b b +++⋅⋅⋅+ ，则 2221122()()())0n n f x a x b a x b a x b =++++⋅⋅⋅+≥+（.又222120n a a a ++⋅⋅⋅+>，从而结合二次函数的图像可知，[]22221122122()4()n n n a b a b a b a a a ∆=+++-++22212()n b b b +++≤0即有要证明的结论成立. （注意：分析什么时候等号成立.）④ 变式：222212121()n n a a a a a a n++≥++⋅⋅⋅+. （讨论如何证明）2. 教学柯西不等式的应用：① 出示例1：已知321x y z ++=，求222x y z ++的最小值.分析：如何变形后构造柯西不等式？ → 板演 → 变式：② 练习：若,,x y z R +∈，且1111x y z ++=，求23y zx ++的最小值.③ 出示例2：若a >b >c ，求证：ca cb b a -≥-+-411. 要点：21111()()[()()]()(11)4a c a b b c a b b c a b b c-+=-+-+≥+=---- 3. 小结：柯西不等式的一般形式及应用；等号成立的条件；根据结构特点构造证明.三、巩固练习：1. 练习：教材P 41 4题2. 作业：教材P 41 5、6题第四课时 3.3 排序不等式教学要求：了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题，体会运用经典不等式的一般方法.教学重点：应用排序不等式证明不等式. 教学难点：排序不等式的证明思路.教学过程：一、复习准备：1. 提问： 前面所学习的一些经典不等式？ （柯西不等式、三角不等式）2. 举例：说说两类经典不等式的应用实例. 二、讲授新课：1. 教学排序不等式： ① 看书：P 42~P 44.② 提出排序不等式（即排序原理）： 设有两个有序实数组:12a a ≤≤···n a ≤;12b b ≤≤···n b ≤.12,,c c ···n c 是12,b b ，···,n b 的任一排列,则有1122a b a b ++···+n n a b (同序和) 1122a c a c ≥++···+n n a c (乱序和) 121n n a b a b -≥++···+1n a b (反序和) 当且仅当12a a ==···=n a 或12b b ==···=n b 时，反序和等于同序和. （要点：理解其思想，记住其形式） 2. 教学排序不等式的应用：① 出示例1：设12,,,n a a a ⋅⋅⋅是n 个互不相同的正整数，求证：32122211112323n a a a a n n+++⋅⋅⋅+≤+++⋅⋅⋅+. 分析：如何构造有序排列？ 如何运用套用排序不等式？ 证明过程：设12,,,n b b b ⋅⋅⋅是12,,,n a a a ⋅⋅⋅的一个排列，且12n b b b <<⋅⋅⋅<，则121,2,,n b b b n ≥≥⋅⋅⋅≥.又222111123n>>>⋅⋅⋅>，由排序不等式，得3322112222222323n n a a b b a b a b n n +++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+≥… 小结：分析目标，构造有序排列. ② 练习：已知,,a b c 为正数，求证：3332222()()()()a b c a b c b a c c a b ++≥+++++. 解答要点：由对称性，假设a b c ≤≤，则222a b c ≤≤，于是 222222a a b b c c a c b a c b ++≥++，222222a a b b c c a b b c c a ++≥++， 两式相加即得.3. 小结：排序不等式的基本形式.三、巩固练习：1. 练习：教材P 45 1题2. 作业：教材P 45 3、4题。
二维形式的柯西不等式
根据两点间距离公式以及三角形 的边长关系:
x12 y12 x22 y22 (x1 x2)2 (y1 y2)2
定理３（二维形式的三角不等式）设x1,Fra biblioteky, 1
x
,
2
y R 2
，那么
x12 y12 x22 y22 (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
问题：
你能否利用柯西不等式，从代数的角度 证明这个不等式？
这在以后证明不等式时会用到
定理2: （柯西不等式的向量形式） 设 , 是两个向量,则
当且仅当 是零向量,或存在实数k , 使 k 时,等号成立.
一. 学习新课
（一）定理3 （二）例题 （三）练习
观察
y
0
P1(x1,y1)
y P1(x1,y1)
P2(x2,y2)
0
x
x P2(x2,y2)
一、二维形式的柯西不等式 （第二课时）
一. 课前复习
（一）定理1（二维形式的柯西不等式）:
若a,b,c,d都是实数,则 (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
当且仅当ad=bc时,等号成立.
二维形式的柯西不等式经过变形后 可得到两个比较重要的不等式：
a2 b2 c2 d 2 ac bd a2 b2 c2 d 2 ac | | bd
例3.设a,b∈R+,a+b=1,求证
11 4 ab
注意应用公式： (a b)( 1 1 ) 4
ab
练习巩固：
练习一：
设a，b为正数，求
(a 1)(2b 1 )
b
2a
的最小值
练习二： P37 第6题
小结：
二维的柯西不等式
二维形式的柯西不等式 例1.已知 已知a,b为实数，求证 为实数， 已知 为实数
(a +b )(a +b ) ≥ (a +b )
4 4 2 2 3
3 2
例2.设a,b是正实数，a+b=1,求证 设 是正实数， 求证 是正实数
练习： 练习：
1 1 + ≥4 a b
1. 证明 (x2+y4)(a4+b2)≥(a2x+by2)2 证明: 2. 已知 已知x+2y=1, 求x2+y2的最小值 的最小值.
------二维形式的柯西不等式
一般地，对于 、 一般地，对于a、b
2 2
a +b ≥ 2ab
当且仅当 a
R，我们有： ∈ ，我们有：
= b 时，等号成立。 等号成立。
我们是如何推导的？你能类比它的推导 我们是如何推导的？ 过程，研究一下关于(a 过程，研究一下关于 2+b2)(c2+d2)的 的 不等关系吗？ 不等关系吗？
二维形式的柯西不等式
定理1：若a,b,c,d都是实数，则 定理 ： 都是实数， 都是实数
2 2 2 2
(a +b )(c +d ) ≥ (ac +bd)
2 2 2 2
2
当且仅当ad=bc时，等号成立. 时 当且仅当 推论： 推论：
1.
a +b ⋅ c +d ≥| ac +bd |
2 +
2.(a +c)(b+d) ≥ ( ac + bd ) .(a,b, c, d ∈R ) (1,2当且仅当 当且仅当ad=bc时，等号成立.) 当且仅当 时 3. a2 +b2 ⋅ c2 +d2 ≥ ac | +| bd | | 当且仅当|ad|=|bc|时，等号成立. 当且仅当 时
二维形式柯西不等
变式 3.已知 3x 2 y 6 ,求 x2 2 y2 的最小值. 36
11
思考 3.求函数 y 5 x 1 10 2 x 的最大值.
课堂练习：P36 第1，3，4
课堂练习：P36 第 5 题: 已知 a,b R ，a+b=1, x1 , x2 R ,
求证： ax1 bx2 bx1 ax2 ≥ x1x2
= a b2 x1x2 x1x2 .得证
课堂练习：P36 第6，7，8, 9
课外思考:
已知 a 1 b2 b 1 a2 1, 求证： a2 b2 1 .
证明：由柯西不等式，得
a 1 b2 b 1 a2 ≤ a2 1 a2 b2 1 b2 1
当且仅当 b 1 b2 时，上式取等号，
a2c2 b2c2 a2d 2 b2d 2 b2c2 a2d 2 2abcd
a2c2 2abcd b2d 2
(ac bd)2
0
（比较法）
(a2 b2)(c2 d2)≥(ac bd)2
思考3：柯西不等式还有其它等价形式吗？
类比a b 2 ab a b2 4ab,
你能想到什么？
若a,b, c, d都是实数，则 (a2 b2 ) (c2 d 2 ) ac bd
当且仅当ad bc时，等号成立。
若a,b, c, d都是实数，则 (a2 b2 ) (c2 d 2 ) ac bd 。 当且仅当bc ad 时，等号成立。
这两个结论也是非常有用的.
思考4：观察柯西不等式，它有几何意义吗？
等号成立的条件分别是什么？bc=ad (ac=bd)
发现定理: 定理 1(二维形式的柯西不等式)
若 a,b,c,d 都是 实数,则 (a2 b2)(c2 d 2)≥(ac bd)2 . 当且仅当 ad bc 时,等号成立.
二维形式的柯西不等式 课件
a1b1， a2b2； ab11， ab22.
证明 ∵(a1b1＋a2b2)ba11＋ab22
＝[( a1b1)2＋( a2b2)2]
ab112＋
ba222≥
a1b1·
ba11＋
a2b2·
ab222＝(a1＋a2)2.
提示
∵cos〈α，β〉＝|αα|·|ββ|＝
a1b1＋a2b2 a12＋a22 b21＋b22
∴cos2〈α，β〉＝a21a＋1ba122＋ba212＋b2b222≤1，
即(a12＋a22)(b12＋b22)≥(a1b1＋a2b2)2，
a21＋a22· b21＋b22≥|a1b1＋a2b2|.
∴|α||β|≥|α·β|，等号成立的充要条件为 α＝λβ (λ≠0)．
二维形式的柯西不等式
1．二维形式的柯西不等式
(1) 定 义 ： 若 a ， b ， c ， d 都 是 实 数 ， 则 (a2＋ b2)(c2＋ 形式的柯西不等式的一些变式 变式 1: a2＋b2· c2＋d2≥|ac＋bd|(当且仅当 ad＝bc 时，等 号成立) 变式 2：(a＋b)(c＋d)≥( ac＋ bd)2.(a，b，c，d∈R＋，当 且仅当 ad＝bc 时，等号成立) 变式 3: a2＋b2· c2＋d2≥|ac|＋|bd|(当且仅当|ad|＝|bc|时， 等号成立)
∴原不等式得证．
题型二 利用柯西不等式求函数的最值 【例 3】 求函数 y＝5 x－1＋ 10－2x的最大值．
[思维启迪] 变形 → 构造柯西不等式的形式 → 巧拆常数 → 凑出定值 解 函数的定义域为{x|1≤x≤5}． y＝5 x－1＋ 2 5－x≤ 52＋2 x－1＋5－x ＝ 27×2＝6 3， 当且仅当 5 5－x＝ 2 x－1， 即 x＝12277时取等号，故函数的最大值为 6 3.
柯西不等式
1柯西不等式复习一、知识梳理1、二维形式的柯西不等式.,)())((,,,, )( 122222等号成立时当且仅当则都是实数若二维形式的柯西不等式定理bc ad bd ac d c b a d c b a =+≥++二维形式的柯西不等式的变式:.,,,,, )( 2等号成立时使或存在实数向量是零是两个向量设柯西不等式的向量形式定理k k =≤bd ac d c b a +≥+⋅+2222)1(bdac d c b a +≥+⋅+2222)2(2332244)())((,, 1b a b a b a b a +≥++证明为实数已知例4111,b a ,, 2≥+=+∈+ba Rb a 求证设例的最大值求函数例x x y 21015 3-+-=221221222221212211)()(R,y ,x ,y , )( 3y y x x y x y x x -+-≥+++∈那么设二维形式的三角不等式定理.1,yb ,,,, 1的最小值求且已知例y x x a R b a y x +=+∈+.,94,13222并求最小值点的最小值求若y x y x +=+2 2、一般形式的柯西不等式222112222122221)())((b n n n b a b a b a b b b a a a ++≥+++++。
,),,2,1(,),,2,1(0,,,,,,,,,,)(321321等号成立时使得或存在一个数当且仅当则是实数设一般形式的柯西不等式定理n i kb a k n i b b b b b a a a a i i i n n ====2222122121)(1,,,, 1n n n a a a a a a n a a a +++≤+++ 求证都是实数已知例22122221222)111( ))(111(:n n a a a a a a ⨯++⨯+⨯≥++++++ 证明22221221)(1n n a a a a a a n +++≤+++∴ 22122221)( )(n n a a a a a a n +++≥+++∴ da cd bc ab d c b a d c b a +++>+++2222,,,, 2证明是不全相等的正数已知例dacd bc ab d c b da cd bc ab d c b a a d d c c b b a d c b a da cd bc ab a d c b d c a +++>++++++>+++∴===∴+++≥++++++2222222222222222222a )()(,,,,)( ))((:即不成立是不全相等的正数证明 的最小值求已知例222,132 3z y x z y x ++=++141143,71,141321141)32()321)((:2222222222222取最小值时即当且仅当证明z y x z y x z y x z y x z y x z y x ++=====≥++=∴++≥++++1111x 1x :1,x x ,R x ,x , 6. 412222121n 21n 21+≥++++++=+++∈+n x x x x x x P n n 求证且设1)()1x 1 1111()x 1x 11()11x (1 )111()1(:2212n 222111n 2n 222121212222121=+++=+⋅++++⋅+++⋅+≥++++++⋅++++++=++++++⋅+n nn n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x n 证明3练习：证明：))(1)(1)(1)](()()([333b a c c a b c b a b a c c a b c b a ++++++++++22)()111(ab ac bc c b a ++=++≥23)(23)(21)(1)(1)(132333=≥++≥+++++abc ca bc ab b a c c a b c b a （当且仅当） 36941,1,,, 2≥++=++∈+z y x z y x R z y x 求证且已知例.,21,31,61,914136)321()941)((941:2222等号成立时即当且仅当用柯西不等式证法一======⋅+⋅+⋅≥++++=++z y x z y x z z y y x x z y x z y x z y x .,21,31,61,3,236126414)94()9()4(14)(9)(4)(1941:等号成立时即当且仅当代入法证法二======+++≥++++++=++++++++=++z y x x z x y zy y z z x x z y x x y z y x zz y x y z y x x z y x 222222236)sin 1sin 1sin 1)((:,,,,,1RC B A c b a R c b a ABC ≥++++∆求证外接圆半径为设其各边长为中在3100)1()1()1(:,1,,,.2222≥+++++=++c c b b a a c b a c b a 求证且为正数设23)(1)(1)(1:,1,,,.3333≥+++++=∈+b a c c a b c b a abc R c b a 试证明且满足设。
二维形式的柯西不等式 ppt课件
思考 3.求函数 y 5 x 1 10 2x 的最大值.
课堂练习：P36 第1，3，4
16
课外思考:
已知 a 1 b2 b 1 a2 1, 求证： a2 b2 1 .
证明：由柯西不等式，得
a 1 b2 b 1 a2 ≤ a2 1 a2 b2 1 b2 1
当且仅当 b 1 b2 时，上式取等号，
证明:由于 a, b R ,根据柯西不等式,得
(a b)( 1 1)≥( a 1 b 1 )2 4
ab
a
b
又 a b 1,∴ 1 1 ≥ 4 ab
补全a,b,c,d
9
变 式 1 ： 若 2 x 3 y 1 , 求 4 x 2 9 y 2 的 最 小 值 .
解 :由 柯 西 不 等 式 (4 x 2 9 y 2 )(12 12 ) (2 x 3 y ) 2 1,
14
定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 a,b,c,d 都 是实数,则 (a2 b2)(c2 d2)≥(ac bd)2 .
当且仅当 ad bc 时,等号成立.
变变形……,可得下面两个不等式: ⑴ 若 a,b,c,d 都 是实数 ,则 (a2 b2 ) (c2 d 2 ) ≥ ac bd . 当且仅当 ad bc 时,等号成立. ⑵若 a,b,c,d 都是实数,则 (a2 b2 ) (c2 d 2 ) ≥ ac bd . 当且仅当 ad bc 时,等号成立.
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 当且仅当ad=bc时,等号成立.
仔细观察上述定理，概括它的特点 平方的和的乘积不小于乘积的和的平方
7
例1：已知a,b为实数，求证
(a 4 b 4 )a ( 2 b 2 ) (a 3 b 3 )2
13级：第三讲(1)：二维形式的柯西不等式
y
P1x1, y1
关系吗 ? y
P1x1, y1 P2 x 2 , y2
O 容易 P x , y O x 发现 据两点间距离公式和三角形的边角关系有
2
2 2
x
9
x y x y x1 x 2 y1 y 2 ,
2 1 2 1 2 2 2 2 2 2
（3）
2 2 2 2
问：等号什么时候成立？
定理2 柯西不 等 式的向量形式 设 , 是两 定理 2 个向量, 则 | || || | ,当且仅当 是零向量, 或存在实数k , x1 , y 1 , P2 x 2 , y 2 ,问x1 , y 1 , x 2 y 2 这4个实数蕴涵着何种大小
探究一：
试类 a b 2aba, b R 的推 比 导，
2 2
探究 a b c d 与 相关 等关系 的不
2 2 2
2
a, b, c, d R
2
分析研究
展 这 乘 得 开 个 积 ：
2 2 2 2
a
2
2 2
b c d
2 2 2
2
2
ac bd ad bc 2 ac bd .
二维柯西不等式 若a, b, c, d R 2 2 2 2 2 则 a b c d ac bd , 当且仅
定理 1 当ad bc 时, 等号成立 .
1）、如何证明？ 还有没有其 法二：（比较法） 它证明方法？
(a b )(c d ) (ac bd )
定理 3 二维形式的三角不等式设x1 , y1 , x2 , y2 定理3 R, 那么 x y x y
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
教学要求：认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义， 并会证明二维柯西不等式及向量形式.教学重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式. 教学难点：理解几何意义.教学过程：一、复习准备：1. 提问： 二元均值不等式有哪几种形式？答案：(0,0)2a ba b +>>及几种变式. 2. 练习：已知a 、b 、c 、d 为实数，求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+证法：（比较法）22222()()()a b c d ac bd ++-+=….=2()0ad bc -≥二、讲授新课：1. 教学柯西不等式：① 提出定理1：若a 、b 、c 、d 为实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+. → 即二维形式的柯西不等式 → 什么时候取等号？ ② 讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？ 证法二：（综合法）222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++222()()()ac bd ad bc ac bd =++-≥+. （要点：展开→配方）证法三：（向量法）设向量(,)m a b =u r ，(,)n c d =r ，则||m =u r ||n r∵ m n ac bd •=+u r r，且||||cos ,m n m n m n =<>u r r u r r u r r g g g ，则||||||m n m n ≤u r g g . ∴ ….. 证法四：（函数法）设22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++，则22()()()f x ax c bx d =-+-≥0恒成立.∴ 22222[2()]4()()ac bd a b c d ∆=-+-++≤0，即…..③ 讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？||ac bd + 或||||ac bd +ac bd +.④ 提出定理2：设,αβ是两个向量，则||||||αβαβ≤u r u r u r u rg . 即柯西不等式的向量形式（由向量法提出 ）→ 讨论：上面时候等号成立？（βu r 是零向量，或者,αβu r u r共线）⑤ 练习：已知a 、b 、c 、d . 证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义？（构造三角形） 2. 教学三角不等式：① 出示定理3：设1122,,,x y x y R ∈≥分析其几何意义 → 如何利用柯西不等式证明→ 变式：若112233,,,,,x y x y x y R ∈，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？ 3. 小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点）三、巩固练习：1. 练习：试写出三维形式的柯西不等式和三角不等式2. 作业：教材P 37 4、5题.教学要求：会利用二维柯西不等式及三角不等式解决问题，体会运用经典不等式的一般方法——发现具体问题与经典不等式之间的关系，经过适当变形，依据经典不等式得到不等关系. 教学重点：利用二维柯西不等式解决问题. 教学难点：如何变形，套用已知不等式的形式.教学过程：一、复习准备：1. 提问：二维形式的柯西不等式、三角不等式？ 几何意义？答案：22222()()()a b c d ac bd ++≥+≥2. 讨论：如何将二维形式的柯西不等式、三角不等式，拓广到三维、四维？3. 如何利用二维柯西不等式求函数y =?要点：利用变式||ac bd +二、讲授新课：1. 教学最大（小）值：① 出示例1：求函数y =分析：如何变形？ → 构造柯西不等式的形式 → 板演→ 变式：y =→ 推广：,,,,,)y a b c d e f R +=∈② 练习：已知321x y +=，求22x y +的最小值.解答要点：（凑配法）2222222111()(32)(32)131313x y x y x y +=++≥+=. 讨论：其它方法 （数形结合法） 2. 教学不等式的证明：① 出示例2：若,x y R +∈，2x y +=，求证：112x y+≥.分析：如何变形后利用柯西不等式？ （注意对比 → 构造）要点：2222111111()()]22x y x y x y +=++=++≥… 讨论：其它证法（利用基本不等式）② 练习：已知a 、b R +∈，求证：11()()4a b a b++≥.3. 练习：① 已知,,,x y a b R +∈，且1a bx y+=，则x y +的最小值.要点：()()a bx y x y x y+=++=…. → 其它证法② 若,,x y z R +∈，且1x y z ++=，求222x y z ++的最小值. （要点：利用三维柯西不等式）变式：若,,x y z R +∈，且1x y z ++=.3. 小结：比较柯西不等式的形式，将目标式进行变形，注意凑配、构造等技巧.三、巩固练习：1. 练习：教材P 37 8、9题2. 作业：教材P 37 1、6、7题第三课时 3.2 一般形式的柯西不等式教学要求：认识一般形式的柯西不等式，会用函数思想方法证明一般形式的柯西不等式，并应用其解决一些不等式的问题.教学重点：会证明一般形式的柯西不等式，并能应用. 教学难点：理解证明中的函数思想.教学过程：一、复习准备： 1. 练习：2. 提问：二维形式的柯西不等式？如何将二维形式的柯西不等式拓广到三维？答案：22222()()()a b c d ac bd ++≥+；2222222()()()a b c d e f ad be cf ++++≥++二、讲授新课：1. 教学一般形式的柯西不等式：① 提问：由平面向量的柯西不等式||||||αβαβ≤u r u r u r u rg ，如果得到空间向量的柯西不等式及代数形式？② 猜想：n 维向量的坐标？n 维向量的柯西不等式及代数形式？ 结论：设1212,,,,,,,n n a a a b b b R ∈L L ，则222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b +++++≥+++L L讨论：什么时候取等号？（当且仅当1212n na a ab b b ===L 时取等号，假设0i b ≠）联想：设1122n n B a b a b a b =+++，22212n A a a a =++L ，22212n C b b b =+++L ，则有20B AC -≥，可联想到一些什么？③ 讨论：如何构造二次函数证明n 维形式的柯西不等式？ （注意分类）要点：令2222121122)2()n n n f x a a a x a b a b a b x =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+（）（22212()n b b b +++⋅⋅⋅+ ，则 2221122()()())0n n f x a x b a x b a x b =++++⋅⋅⋅+≥+（.又222120n a a a ++⋅⋅⋅+>，从而结合二次函数的图像可知，[]22221122122()4()n n n a b a b a b a a a ∆=+++-++L g 22212()n b b b +++L ≤0即有要证明的结论成立. （注意：分析什么时候等号成立.）④ 变式：222212121()n n a a a a a a n++≥++⋅⋅⋅+L . （讨论如何证明） 2. 教学柯西不等式的应用：① 出示例1：已知321x y z ++=，求222x y z ++的最小值.分析：如何变形后构造柯西不等式？ → 板演 → 变式：② 练习：若,,x y z R +∈，且1111x y z ++=，求23y zx ++的最小值.③ 出示例2：若a >b >c ，求证：ca cb b a -≥-+-411. 要点：21111()()[()()]()(11)4a c a b b c a b b c a b b c-+=-+-+≥+=---- 3. 小结：柯西不等式的一般形式及应用；等号成立的条件；根据结构特点构造证明.三、巩固练习：1. 练习：教材P 41 4题2. 作业：教材P 41 5、6题第四课时 3.3 排序不等式教学要求：了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题，体会运用经典不等式的一般方法.教学重点：应用排序不等式证明不等式. 教学难点：排序不等式的证明思路.教学过程：一、复习准备：1. 提问： 前面所学习的一些经典不等式？ （柯西不等式、三角不等式）2. 举例：说说两类经典不等式的应用实例. 二、讲授新课：1. 教学排序不等式： ① 看书：P 42~P 44.② 提出排序不等式（即排序原理）： 设有两个有序实数组:12a a ≤≤···n a ≤;12b b ≤≤···n b ≤.12,,c c ···n c 是12,b b ，···,n b 的任一排列,则有1122a b a b ++···+n n a b (同序和) 1122a c a c ≥++···+n n a c (乱序和) 121n n a b a b -≥++···+1n a b (反序和) 当且仅当12a a ==···=n a 或12b b ==···=n b 时，反序和等于同序和. （要点：理解其思想，记住其形式） 2. 教学排序不等式的应用：① 出示例1：设12,,,n a a a ⋅⋅⋅是n 个互不相同的正整数，求证：32122211112323n a a a a n n +++⋅⋅⋅+≤+++⋅⋅⋅+. 分析：如何构造有序排列？ 如何运用套用排序不等式？ 证明过程：设12,,,n b b b ⋅⋅⋅是12,,,n a a a ⋅⋅⋅的一个排列，且12n b b b <<⋅⋅⋅<，则121,2,,n b b b n ≥≥⋅⋅⋅≥.又222111123n>>>⋅⋅⋅>，由排序不等式，得3322112222222323n n a a b b a b a b n n +++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+≥… 小结：分析目标，构造有序排列. ② 练习：已知,,a b c 为正数，求证：3332222()()()()a b c a b c b a c c a b ++≥+++++. 解答要点：由对称性，假设a b c ≤≤，则222a b c ≤≤，于是 222222a a b b c c a c b a c b ++≥++，222222a a b b c c a b b c c a ++≥++， 两式相加即得.3. 小结：排序不等式的基本形式.三、巩固练习：1. 练习：教材P 45 1题2. 作业：教材P 45 3、4题。