2015-2016学年四川省宜宾市一中高一下学期半期考试数学模拟试题 word版

宜宾市一中高2015级高一下半期考试数学模拟试题姓名 班级 得分一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合}{2230A x x x =--<，}{1B x x =>,则A B ⋂= （ ）A ．}{1x x > B ．}{3x x < C ．}{13x x << D ．}{11x x -<< 2.下列各组平面向量中，可以作为基底的是（ ） A.12(00)(12)==-，，，e e B.12(12)(57)=-=，，，e e C.12(35)(610)==，，，e e D.1213(23)()24=-=-，，，e e 3.等差数列{}n a 满足11a =,公差3d =,若298n a =,则n =（ ） A.99B.100C.101D.1024．在ABC ∆中，角,,A B C 对边分别为,,a b c ．若6A π=，3,4a b ==，则sin sin a bA B+=+（ ）A.B.6D.185.若0,10a b <-<<，则下列不等关系正确的是（ ） A.2ab ab a >> B.2ab ab a >> C.2ab a ab >>D.2a ab ab >>6.设M 是平行四边形ABCD 的对角线的交点,O 为四边形ABCD 所在平面内任意一点,则OA OB OC OD +++= （ ）A.OMB.2OMC.3OMD.4OM7.已知数列{}n a ,满足111n na a +=-,若112a =,则2016a =( )A.1- B.2 C.12D.18.正数,a b 满足20a ab b -+=,则2a b +的最小值为（ ）A.32+ B.1 D.39.一艘轮船从A 出发，沿南偏东70︒的方向航行40海里后到达海岛B ,然后从B 出发，沿北偏东35的方向航行了C .如果下次航行直接从A 出发到C ，此船航行的方向和路程（海里）分别为（ ）A.北偏东80︒,B.北偏东65︒,2)C.北偏东65︒,D.北偏东80︒,2)10.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边为,,a b c 且有cos cos a A b B =，则此三角形是( ) A .等腰三角形 B.等腰三角形或直角三角形 C.等边三角形 D.直角三角形 11.对于任意实数x ,不等式()()222240a x a x ----<恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A.(2,2)-B.(2,2]-C.(,2)-∞D.(,2]-∞12.已知等差数列{}n a 中,n S 是它的前n 项和，若16170,0S S ><，则当n S 取最大值时,n 的值为（ ）A ．8 B.9 C.10 D.16 二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 13.数列{}n a 满足111,2n n a a a n +=-=，则5a = .14.已知实数x y ，满足约束条件30131x y x y -+≥⎧⎪≤≤⎨⎪≥⎩，，， 则y x z +=的最大值是 .15.已知数列{}n a 的前n 项和23n n S =+，则n a = .16.在钝角ABC ∆中,A ∠为钝角,令,a AB b AC ==，若()AD x y x y =+∈R，a b .现给出下面结论:① 当11,33x y ==时，点D 是ABC ∆的重心；② 记ABD ∆，ACD ∆的面积分别为ABD S ∆，ACD S ∆，当43,55x y ==时，34ABD ACD S S ∆∆=；③ 若点D 在ABC ∆内部（不含边界），则12y x ++的取值范围是1(,1)3；④ 若AD AE λ= ,其中点E 在直线BC 上，则当4,3x y ==时,5λ=．其中正确的有 （写出所有正确结论的序号）．三.解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17（本题满分10分）已知公差大于零的等差数列{}n a 满足：3448a a =,3414a a +=． (Ⅰ) 求数列{}n a通项公式；(Ⅱ) 记n an b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18（本题满分12分）已知向量,a b 满足11=1,=,()()22⋅⋅-=a a b a +b a b .(Ⅰ)求a 与b 的夹角；(Ⅱ)求-a b 与a +b 的夹角的余弦值.19（本题满分12分）在ABC ∆中，角A BC ,,对边分别为c b a ,,.设向量(,),(sin ,sin )a b B A ==m n ,()2,2b a --p =．(Ⅰ) 若//m n ，求证:ABC ∆为等腰三角形；(Ⅱ) 已知2c =,3C π=,若⊥m p ,求ABC ∆的面积ABC S ∆．20.（本题满分12分）在数列{}n a 中，2111,2n n a a a +==，又2log n n b a =．(Ⅰ) 求证：数列{}1n b +是等比数列；(Ⅱ) 设n n c nb =,求数列{}n c 的前n 项和n T ．21.（本题满分12分）已知函数2()(1)1()f x ax a x b a b =-++-∈R ,．(Ⅰ) 若1a =，关于x的不等式()6f x x≥在区间[13]，上恒成立，求b 的取值范围；(Ⅱ) 若0b =,解关于x 的不等式()0f x <.22.（本题满分12分）设()()1122,,,A x y B x y 是函数()21log 21xf x x=+-的图象上任意两点， 且1()2OM OA OB =+ ,已知点M 的横坐标为12. (Ⅰ)求证：M 点的纵坐标为定值； (Ⅱ)若121...,,2n n S f f f n n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫*=+++∈≥⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭N 且求n S ； （Ⅲ）已知n a =12 131 2(1)(1)nn n n S S +⎧=⎪⎪⎨⎪≥++⎪⎩,其中n *∈N ,n T 为数列{}n a 的前n 项和，若()11n n T S λ+<+对一切n *∈N 都成立，试求λ的取值范围.宜宾市一中高15级第二学期数学半期考试模拟试题参考答案及评分意见（数学）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

1－5．C B B C A ；6－10．D C A C B 11-12 B A 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

13. 21；14. 9；15. 1*5,12,2n n n a n n N -=⎧=⎨≥∈⎩且 ；16.①②③ 三、解答题：本大题共6个小题，共70分。

17．（本小题满分10分）(Ⅰ) 由公差0d >及343448,14a a a a =+=，解得346,8a a ==． ········· 3分 所以432d a a =-=，所以通项3(3)2n a a n d n =+-=． ············· 6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)有2n a n n b ==， ······················ 7分 所以{}n b 是等比数列，首项12b =，公比2=q ． ··············· 8分 所以数列{}n b 的前n 项和11(1)221n n n b q T q+-==--. ··············· 10分18．（本小题满分12分）解：⑴ ()()12a b a b -⋅+=∴21=-22==∴ ………………………………………………….2分 设a 与b 的夹角为θ，则cos 2a b a bθ⋅==……………………….4分而[]0,θπ∈ 4πθ∴=………………………………………………………………6分⑵设a b - 与a b +的夹角为φ，2a b -=== ………………………………….8分a b +==………………………………..10分 ()()cos a b a b a b a bφ-⋅+==-+ …………………………………………………….12分19．（本小题满分12分）(Ⅰ) 因为//,m n 所以sin sin a A b B =， ··················· 3分 由正弦定理得22a b =，即a b =，所以ABC ∆为等腰三角形. ·········· 5分 (Ⅱ) 因为⊥m p ，所以(2)(2)0a b b a -+-=，即a b ab +=，......①， ···· 7分 又因为2c =，3C π=，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得224a b ab +-=， ············ 9分 即2()34a b ab +-=，把①代入得2()340ab ab --=，解得4ab =（1ab =-舍去）， ······················· 11分所以ABC ∆的面积1sin 2S ab C ==···················· 12分20．（本小题满分12分）(Ⅰ) 由题有0>n a ，所以111n n b b ++=+212log 1log 1n n a a +++222log 21log 1n n a a +=+ 2222log 2log 1log 1n n a a ++=+222log 22log 1n n a a +==+． ··················· 5分 所以，数列{}1n b +是公比为2，首项为2的等比数列． ············ 6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)有12n n b +=，所以21n n b =-，2n n n c nb n n ==⋅- ········· 8分 数列{}n c 的前n 项和1231222322(123...)n n T n n =⋅+⋅+⋅++⋅-++++21231222322()2nn nn +=⋅+⋅+⋅++⋅- . ·················· 9分令1231222322n n A n =⋅+⋅+⋅++⋅ ， 则234121222322n n A n +=⋅+⋅+⋅++⋅ ， 两式相减，得：23122222n n n A n +-=++++-⋅ 111222(1)22n n n n n +++=--⋅=--，所以1(1)22n n A n +=-+． ························· 11分所以22n n n n T A +=-214(1)22n n n n ++-=--. ················· 12分 21．解：(Ⅰ) 不等式化为6122≥-+-xbx x ，即x b x x 6122≥-+-， 即281x x b -+≥在区间[]1,3上恒成立， ··················· 3分 由二次函数图象可知，当3x =时，281x x -+有最小值2min (81)14x x b -+=-≥， 所以b 的取值范围为(,14]-∞-． ······················ 4分(Ⅱ) 当0b =时，不等式()0f x <化为(1)(1)0ax x --<， ··········· 5分 ① 当0a =时，不等式解集为(1,)+∞； ··················· 6分② 当0a <时，不等式解集为1(,)(1,)a -∞+∞ ； ··············· 8分③ 当0a >时，不等式()0f x <化为1()(1)0x x a --<， ············ 10分若1a =，不等式解集为 ；若1a >，不等式解集为1(,1)a ；若01a <<，不等式解集为1(1,)a ．综上所述：①当0a <时，不等式解集为1(,)(1,)a -∞+∞ ；②当0a =时，不等式解集为(1,)+∞；③当01a <<时，不等式解集为1(1,)a ；④当1a =时，不等式解集为 ；⑤当1a >时，不等式解集为1(,1)a． ···················· 12分22．⑴证明：设(),M x y 1()2OM OA OB =+ ∴121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩由21=x 知121=+x x ，122111x x x x -=-=∴, …………………2分 ()()1222121212121222221211log log 112221log 1log log 1222x x f x f x y y x x y x x x xx x x x ++++--∴===⎛⎫+⋅++ ⎪⎝⎭=== ∴M 点的纵坐标为定值21……………………………………………………4分 （2）由（1）知()()12121,1x x f x f x +=+= ………………………5分121...n n S f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭121n n n S f f f n n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋯+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,两式相加得：2n S =112211...n n n f f f f f f n n n n n n ⎡-⎤⎡-⎤⎡-⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦1n =-……6分 ∴()*12,2n n S n n N -=≥∈ ………………………………………………7分 (2)当2n ≥时,114114().(1)(1)(1)(2)12n n n a S S n n n n +===-++++++ …………………8分123...n n T a a a a =++++=432+)](...)()[(211151414131+-+++-+-n n =432+(112).322n n n -=++ ………………………………9分 由()11n n T S λ+<+得22+n n ＜λ·.22+n ∴λ＞.444444)2(422++=++=+nn n n n n n ∵4n n +≥4,当且仅当2=n 时等号成立, ………………………………………10分∴.21444444=+≤++nn当1n =时,49λ> ………………………………………11分因此λ＞21，即λ的取值范围是（,21+∞）…………………………………………12分。