余子式

一 子式、余子式、代数余子式、顺序主子式.____1_)(),,2,1(0,0.1212221212111==≠≠⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=A r A n i b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a A i i n n n n n n 的秩则矩阵，，其中设例 .:.2n A a A a n A ij ij 的秩等于明自己的代数余子式，证都等于它的每一个元素全为实数。

如果阶非零矩阵，且是设例.1,.002**21212211111212111111=======>+++=+++=≠A A A E A AA AA A A A a n A r a a a A a A a A a A a nT T ij ij n n n 于是两边取行列式，得由，所以．进而，因为）（所以，，不妨设解 .______||,3,2,1.33322111=++-A A A A A A 的代数余子式则的特征值是是三阶可逆矩阵，如果例.1213161213161,.213161321332211*1*1=++=++⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=--A A A P A P P A A 同的迹，所以，又根据相似矩阵有相使得故存在可逆矩阵，，的特征值为，所以，，的特征值为： 因为解二 0=A的一个特征值是相关的行（列）向量组线性有非零解不可逆注：A A n A r AX A A 0)(00⇔⇔<⇔=⇔⇔=.1.1是不可逆矩阵证明：的转置，且是维非零列向量，是阶单位矩阵，是，其中设例A n n E E A TT T =-=ξξξξξξξ不可逆。

的一个特征值，所以是，所以，因为证明A A E A T 000)(:≠⋅=-=ξξξξξξ86,20092006,)4,4,4,4(,)3,3,3,3(,)2,2,2,2(,1,1,1,14.22484321P a a a a T T T T 》考研数学真题分类全解答案详见《考研真题，本题为问何时它们线性相关？）（维向量组设例+=+=+=+=αααα三 矩阵的运算注：几个运算规律.00,00100(2).,010,)0,,1,,0()1(列，其余元素变为列换成第的第将，行，其余元素变为行换成第的第将则设列的第取行的第取，则设i j A AE j i A A E i E j A A i A A j ij ij jij j i j ii ==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡===⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==βαβα[][].,11,,11,(3)111m m 1的各列反序排列即将则令的各行反序排列，即将则令A A A A A A n n ββββαααα =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=[][].010*******,.,001010,,001010,(4)1112m 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=- A A A A A A A A n n m 和同理可得的各列向右递推一次将则令的各行向上递推一次，将则令ββββααααA A A B AB A B AB A B AB n B A n T T T λλ====---,)(,)(,)(,)5(***111阶矩阵，为设 .,,)6(利用相似（对角化）利用矩阵分解用运算规律矩阵求幂常见方法：利._____101000101.12009=-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=A E A α，则设例 ).2(]2)2[(202020210100010122))((2)1(221111111n n n n n n n n n T n T T T T n a a a a a aa A E A -=--=--=-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-===--------ααααααααααα 解.,221010241.22009A A 求设例⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---= ().0)1()1(,011102,10101201111321321--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--P P A P P A P A nn n 从而，，所以，令，的特征向量分别为：，再求相应的线性无关，，的特征值为：：先求解ξξξξξξ注：关于初等变换选择题。

出题规律;.,,1,,;,,1)1())(,(1))(,())(,())(,())(,())1((1))(,())(())(())((),(1),(),(),(),(k j i k j i k i j T k j i k j i ki k i k i T k i k i j i j i j i T j i j i E E E E E EE E E k E E E E E E ----========-=TT PAP C AP P C PAP C AP P C B P C B B A A ====⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=---)D ()C ()B ()A (100010011,211123.311，则记得列倍加到第列的的第，再将行得行加到第的第阶矩阵，将为设例**********21)(21)(21)(21)(,21),2(.4B A D B A C B A B B A A CB A B A B A n n A --≥行得行与第的第交换列得列与第的第交换行得行与第的第交换列得列与第的第交换的伴随矩阵，则分别为与，行得行与第的第交换阶可逆矩阵为设例四 可逆矩阵注:特征值法等克莱姆法则利用分块矩阵定义法初等变换法求逆方法,,,,:(1)(2)矩阵可逆的充要条件是可以写成初等矩阵的乘积.)(0)(0)(0)(,0.12><≠==+a D a C a B a A B A aA A 可逆，则且设例.3232,2,3.2*可逆不可逆，则阶矩阵，是设例E A E A E A E A A -++- ，所以可逆。

，，的特征值为，进而，，，的特征值为：故，，的特征值为：即所以，证明：由条件，763322233.2321,0232,0322**-------=--=--=-=+=+=-E A A A A E A E A E E A E A E A 五 矩阵的秩注：(1) 求秩方法:初等变换法,定义法,公式法..]9[0)(]8[1)(01)(1)()(]7[)()(,0)}(),(min{)()()(,,[6])()(;)()(]5[)()()(]4[)()(]3[1)(0]2[},min{)(0]1[:(2)*阵有相同的秩等价，相似，合同的矩可逆阶方阵，则为设若若若则特别的，若则设可逆，则若可逆，则若，则若阶矩阵，则为设求秩常用公式A A n A r n A n A r n A r n A r n A r n B r A r AB B r A r AB r n B r A r B A A r AB r B B r AB r A B r A r B A r A r A r A r A n m A r n m A s n n m T ⇔≠⇔=⎪⎩⎪⎨⎧-<-===≤+=≤≤-+==+=+=≥≠≤≤⨯⨯⨯(3) 结合点:向量组的线性关系，基础解系，有解判定，同解方程组. ).()(00,[4].)()(00[3].)()(00]2[.]1[)4(1122++=========⨯==⨯n n n n T T A r A r X A X A n A A r A r X A AX n A A A r A r AX A AX n m A Q Qb QAX b AX n m A 同解，从而与方程组阶矩阵为设同解，从而与阶实对称矩阵，方程组为设同解，从而与阶实矩阵，方程组为设为可逆矩阵同解，其中与矩阵，为设常见同解方程组：.___1__*)*(**4)(3)(4.1===B A r B A B r A r B A 则，、为，它们的伴随矩阵分别，阶方阵，均为、设例.0.000.2的通解求余子式的代数中元素，而的系数行列式设齐次线性方程组例=≠==AX A a A A AX kl kl.),,,(,),,,(.1)1(.),,,(:00||0.0,1,1)(21121121221122111212111为任意常数从而全部解为是基础解系所以关解个数为又基础解系所含线性无一个非零解知根据不妨设阶子式非零中至少有一个所以矩阵因为证k A A A k A A A A n n A A A A A a A a A a A A a A a A a A a A a A a A n A n A r T kn k k T kn k k k T kn k k k kn nn k n k n knkn k k k k kn n k k il =--⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++==++=++≠--=).()(.31+=n n A r A r n A 阶方阵，证明：为设例.,,,00,00111线性无关，证明且，有解向量使得线性方程组阶矩阵，若存在正整数是利用结论：设同解即可，与提示：只需证ααααα--+≠===k k k n n A A A X A k n A X A X A 六 矩阵的三大关系结合点: (1) 矩阵等价与向量组等价: 同阶矩阵等价的充要条件秩同; 但秩同仅是向量组等价的必要条件.(2) 相似的必要条件: 略BPAQ Q P D BAC C C C B AP P P B BAAB A DB A T ====-使存在可逆矩阵使存在可逆矩阵使存在可逆矩阵同阶可逆矩阵，则，设例,,)(,)(,)()(.11等价与矩阵矩阵等价与向量组向量组线性表示可由向量组向量组线性表示可由向量组向量组件为线性无关的充分必要条维列向量组线性无关，则维列向量组设例),,,(),,,()D (,,,,,)C (,,,,,)B (,,,,,,)A (,,,)(,,,.221212121212121212121m m m m m m m m m mB A Dn n m n βββαααβββααααααββββββαααβββααα ==<件是秩同同阶矩阵等价的充要条条件相互线性表出，而解：向量组等价的充要既不合同，也不相似不合同，但相似合同，但不相似合同，且相似）（与，则，设矩阵例)D ()C ()B ()A (000010001211121112.3B B A B A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=，所以合同。

，，的特征值为但是，经计算，的迹不同，故不相似，解：因为033,A B A 七 矩阵的特征值与特征向量注：特征值常用结论：(1) 属于特征值λ的特征向量不唯一;但一个特征向量只能属于一个特征值. (2) A 与T A 有相同的特征值.(3) 若A 可逆,λ是A 的特征值,则0≠λ,且λ1是1-A 的特征值.(4) 若λ是A 的非零特征值,则λA是*A 的特征值.(5) 若λ是A 的特征值,)(A f 是A 的矩阵多项式,则)(λf 是f (A )的特征值. (6) 若A 是幂零阵,则特征值为( ). (7) 若A 是幂等阵,则特征值为( ). (8) 若A 是对合阵,则特征值为( ). (9) 属于不同特征值的特征向量线性无关.(10) A E -λ的最高次项是( ),常数项是( ). (11).0的特征值是不可逆A A E A E λλλ⇔=-⇔- (12) 设)(ij a A =,n 个特征值为n λλ,,1 ,则 [1] nn n a a ++=++ 111λλ [2] n A λλ 1=.,,100101010322232223.1*1的特征值和特征向量求，设矩阵例E B P A P B P A +=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-()不为零。