§5-2转动定律

由长l 的轻杆连接的质点如图所示，求
（1）质点系对过A垂直于纸面的轴的转动惯量 （2）质点系对过B垂直于纸面的轴的转动惯量
2 2 2 3m( 2l ) (4m 5m )( 2l ) 解（1） J 2ml 32ml 2
（2）
4m 3m
2 2 2 J ml 3ml 4ml 5ml 2 m 13ml 2 A
答案D
2. 一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为M的定滑 轮，绳的两端分别悬有质量为m1和m2的物体(m1＜ m2)，如图所示．绳与轮之间无相对滑动．若某时刻 滑轮沿逆时针方向转动，则绳中的张力 (A) 处处相等． O (B) 左边大于右边． (C) 右边大于左边． (D) 哪边大无法判断．
m1 m2
l l l
2m
B
l
5m
质量连续分布刚体的转动惯量
J m r r dm
2 j j 2 j
dm ：质量元
对质量线分布的刚体：如 均匀细长棒 质量线密度
m L
dm dl
对质量面分布的刚体： 如 均匀圆盘
m 质量面密度 S
dm dS
例5 一质量为 m 、长为 l 的均匀细长棒，求 通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量 .
例3 一个飞轮的质量为69kg ，半径为0.25m,正在以每 分1000转的转速转动。现在要制动飞轮，要求在5.0秒 内使它均匀减速而最后停下来。摩擦系数为0.46。求 闸瓦对轮子的压力N为多大？（J = mR2 ） 解：飞轮制动时有角加速度
0
t
0
fr N
0 t 5s

O
l 2
dr O´
r
O
l 2
r
l
d r O´
解 设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO´ 为 处的质量元 dm dr dJ r 2dm r 2dr
1 3 J r dr l l 2 12 1 ml 2 12
l/2 2
r
如转轴过端点垂直于棒
1 2 J r dr ml 0 3
l 2
例6 一质量为 m 、半径为 R 的均匀圆盘，求通 过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量 .
解 设圆盘面密度为 ， 在盘上取半径为 ，宽为 dr 的圆环 m π R2
r

圆环质量
d m 2 π rdr
2
R R
O
r dr
圆环对轴的转动惯量
dJ r dm 2 π r 3 dr
a R
mB g a mA mB mC 2 m A mB g T1 m A m B mC 2
( m A m C 2 )m B g T2 m A mB mC 2
如令mC
mA
T1
C
mC
T2
mB
0，可得
中学题目
m A mB g T1 T2 m A mB
M ij 0
j
z
O
m1
M
j
ej
( m r )α
2 j j
m j
m 2
定义转动惯量
转动定律
J m r
j
2 j j
M J
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成 正比 ，与刚体的转动惯量成反比 .
转动定律应用
M J
说明
(1) M J ,
与 M 方向相同
(2) 为瞬时关系
(3) 转动中 M J与平动中F ma 地位相同
（4） M 一定，J

动画
转动惯量是转动惯性大小的量度
例1 一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O
在竖直平面内转动，初始时它在水平位置
求（1）初始时它的角加速度等于多少？
（2）它由此下摆 角时，它的角加速度又等于多少？ 已知均匀棒对于通过其一端垂直于棒的轴的转动惯
M J
2 mgR J 3
1 J mR2 2
4 g 3R
圆盘作匀减速运动
0 t
4 g 3R
0 t
3 R t 0 4 g
3 R 答：经过 t 0 时间停止转动。 4 g
问它旋转几圈后停止转动？
2 2 0 3 R 2 0 2 8 g
§5-2
转动定律
一 力矩： 刚体绕 O z 轴旋 转 , 力 F 作用在刚体上点 P, 且在转动平面内, r 为由点 O 到力的作用点 P 的径矢 .
M
M
O
Z 的力矩 F 对转轴
z
M Fr sin Fd
M r F
r
F
*
d
P

Fi 0 , Mi 0
mB g T2 mBa
T2R T1R M f J
a R
mB g M f R a mA mB mC / 2
m A ( m B g M f / R) T1 m A mB mC / 2
m B (m A mC 2) g M f R T2 m A mB mC 2
M rF sin
M rFt rmat mr 2
M
O
z
r
m
Ft
Fn

F
质量元受外力 F ，内力 F ij ej 2 Mej Mij m j rj
外力矩 内力矩
2）刚体
z
O
rj
Fej
m j
Fij
质量元受外力 F ，内力 F ij ej 2 Mej Mij m j rj
P
1.关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是 （A）只取决于刚体的质量,与质量的空间分布 和轴的位置无关． （B）取决于刚体的质量和质量的空间分布， 与轴的位置无关． （C）取决于刚体的质量、质量的空间分布和 轴的位置． （D）只取决于转轴的位置，与刚体的质量和 质量的空间分布无关． 答案Ｃ
M 3 g cos 2l J
例2 质量为 m A 的物体 A 静止在光滑水平面上，和一 质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质量 为 m C 的 圆柱形滑轮 C, 并系在另一质量为 m B 的物体 B 上. 滑轮与绳索间没有滑动， 且滑轮与轴承间的摩擦 力可略去不计. 问： （1） 两物体的线加速度 为多少？水平和竖直两段 绳索的张力各为多少？ 已知 J 1 mR 2
转过的圈数
3 R 2 0 N 16 g 2π

四 平行轴定理
质量为 m 的刚体，如果对 其质心轴的转动惯量为 J C ，则 对任一与该轴平行，相距为 d 的转轴的转动惯量 C
d
m
O
J O J C md
2
1 圆盘对P 轴 2 2 J P mR mR 的转动惯量 2
R O m
转动 平面
变形, 对转动无贡献。 在定轴动问题中，如不加说明，所 指的力矩是指力在转动平面内的分力 对转轴的力矩。
r
2） 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消
M ij
O
M ji
d
ri
F ji i F
ij
rj
j
Mij M ji
二
转动定律 1）单个质点 m 与转 轴刚性连接
2
A
mA
C
mC
mB B
解（1）隔离物体分别对物体A、B 及滑轮作受力分析， 取坐标如图，运用牛顿第二定律 、转动定律列方程 .
N
mA
O
T1
mA g
x
T1
注意：T1 T2
mA
C
T2
T2
O
T1 mAa
mB g T2 mBa
T2R T1R J
mB
mB B m B g y
量为 J
解1

1 ml 2 3
转动定律
M J
l 2
O

mg
M l 3g M mg J 2 2l 1 J ml 2 3
（2）它由此下摆 角时，它的角加速度等于多少？
转动定律
M J
O
d
m
l
x

mg
C
1 解2 M mgd mg l cos 2
1 J ml 2 3
J m r
j
2 j j
物理意义：转动惯性的量度 .
转动惯性的计算方法
质量离散分布刚体的转动惯量
2 j j 2 11 j
J m r m r m r
2 2 2
2 j j 2
质量连续分布刚体的转动惯量
J m r r dm
j
dm
：质量元
例题4
r 宽度为dr的环带质量元 dr m dm 2rdr R 2 产生的阻力矩元 dMr r gdm (方向均向下)
dMr r gdm
dm 2rdr
Mr

R
0
2gr dr
2
r
2 2 3 gR mgR 3 3
dr
注意到阻力矩是负值，由刚体定轴转动定律
d F
: 力臂
F
Fi 0 , Mi 0
F
F
讨论 1） 力不在转动平面内
M r F r ( F1 F2 ) r F1 r F2
z
F1
F
F2
r F1 只能引起轴的
答案C
3.一轻绳绕在有水平轴的定滑轮上，滑轮的转动惯量 为J，绳下端挂一物体．物体所受重力为P，滑轮的角 加速度为b．若将物体去掉而以与P相等的力直接向下 拉绳子，滑轮的角加速度b将 (A) 不变． (B) 变小． (C) 变大． (D) 如何变化无法判断． F g F = mg