27.2.1 第4课时 两角分别相等的两个三角形相似

27.2.1 相似三角形的判定
第4课时 两角分别相等的两个三角形相似
1．理解“两角分别相等的两个三角形相似”的含义，能分清条件和结论，并能用文字、图形和符号语言表示；(重点)
2．会运用“两角分别相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似，并解决简单的问题．(难点)
一、情境导入
与同伴合作，一人画△ABC ，另一人画△A ′B ′C ′，使得∠A 和∠A ′都等于给定的∠α，∠B 和∠B ′都等于给定的∠β，比较你们画的两个三角形，∠C 与∠C ′相等吗？对应边的比AB A ′B ′，AC A ′C ′，BC B ′C ′
相等吗？这样的两个三角形相似吗？和同学们交流． 二、合作探究
探究点：两角分别相等的两个三角形相似
【类型一】 利用判定定理证明两个三角形相似
如图，在等边△ABC 中，D 为BC 边上一点，E 为AB 边上一点，且∠ADE ＝60°.
(1)求证：△ABD ∽△DCE ；
(2)若BD ＝3，CE ＝2，求△ABC 的边长．
解析：(1)由题有∠B ＝∠C ＝60°，利用三角形外角的知识得出∠BAD ＝∠CDE ，即可证明△ABD ∽△DCE ；(2)根据△ABD ∽△DCE ，列出比例式，即可求出△ABC 的边长．
(1)证明：在△ABD 中，∠ADC ＝∠B ＋∠BAD ，又∠ADC ＝∠ADE ＋∠EDC ，而∠B ＝∠ADE ＝60°，∴∠BAD ＝∠CDE .在△ABD 和△DCE 中，∠BAD ＝∠CDE ，∠B ＝∠C ＝60°，∴△ABD ∽△DCE ；
(2)解：设AB ＝x ，则DC ＝x －3，由△ABD ∽△DCE ，∴AB DC ＝BD DE ，∴x x －3＝32
，∴x ＝9.即等边△ABC 的边长为9.
方法总结：本题主要是利用“两角分别相等的两个三角形相似”，解答此题的关键是利用三角形的外角的知识得出角相等．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第5题
【类型二】 添加条件证明三角形相似
如图，在△ABC 中，D 为AB 边上的一点，要使△ABC ∽△AED 成立，还需要添
加一个条件为____________．
解析：∵∠ABC ＝∠AED ，∠A ＝∠A ，∴△ABC ∽△AED ，故添加条件∠ABC ＝∠AED 即可求得△ABC ∽△AED .同理可得∠ADE ＝∠C 或∠AED ＝∠B 或
AD AC ＝AE AB
可以得出△ABC ∽△AED .故答案为∠ADE ＝∠C 或∠AED ＝∠B 或AD AC ＝AE AB
. 方法总结：熟练掌握相似三角形的各种判定方法是解题关键．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第3题
【类型三】 相似三角形与圆的综合应用
如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，CD ⊥AB 于点D ，交AE 于点G ，弦
CE 交AB 于点F ，求证：AC 2＝AG ·AE .
解析：延长CG ，交⊙O 于点M ，连接AM ，根据圆周角定理，可证明∠ACG ＝∠E ，根据相似三角形的判定定理，可证明△CAG ∽△EAC ，根据相似三角形对应边成比例，可得出结论．
证明：延长CG ，交⊙O 于点M ，连接AM ，∵AB ⊥CM ，∴AC ︵＝AM ︵，∴∠ACG ＝∠E ，
又∵∠CAG ＝∠EAC ，∴△CAG ∽△EAC ，∴AC AE ＝AG AC
，∴AC 2＝AG ·AE . 方法总结：相似三角形与圆的知识综合时，往往要用到圆的一些性质寻找角的等量关系证明三角形相似．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题
【类型四】 相似三角形与四边形知识的综合
如图，在▱ABCD 中，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，连接AE ，F 为AE 上一点，
且∠BFE ＝∠C .若AB ＝8，BE ＝6，AD ＝7，求BF 的长．
解析：可通过证明∠BAF ＝∠AED ，∠AFB ＝∠D ，证得△ABF ∽△EAD ，可得出关于AB ，AE ，AD ，BF 的比例关系．已知AD ，AB 的长，只需求出AE 的长即可．可在直角三角形ABE 中用勾股定理求出AE 的长，进而求出BF 的长．
解：在平行四边形ABCD 中，∵AB ∥CD ，∴∠BAF ＝∠AED .∵∠AFB ＋∠BFE ＝180°，∠D ＋∠C ＝180°，∠BFE ＝∠C ，∴∠AFB ＝∠D ，∴△ABF ∽△EAD .∵BE ⊥CD ，AB ∥CD ，
∴BE ⊥AB ，∴∠ABE ＝90°，∴AE ＝AB 2＋BE 2＝82＋62＝10.∵△ABF ∽△EAD ，∴BF AD
＝AB AE ，∴BF 7＝810
，∴BF ＝5.6. 方法总结：相似三角形与四边形知识综合时，往往要用到平行四边形的一些性质寻找角的等量关系证明三角形相似．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题
【类型五】 相似三角形与二次函数的综合
如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5m ，AB ＝10m.M 点在线段CA 上，从C
向A 运动，速度为1m/s ；同时N 点在线段AB 上，从A 向B 运动，速度为2m/s.运动时间为t s.
(1)当t 为何值时，△AMN 的面积为6m 2?
(2)当t 为何值时，△AMN 的面积最大？并求出这个最大值．
解析：(1)作NH ⊥AC 于H ，证得△ANH ∽△ABC ，从而得到比例式，然后用t 表示出NH ，根据△AMN 的面积为6m 2，得到关于t 的方程求得t 值即可；(2)根据三角形的面积计算得到有关t 的二次函数求最值即可．
解：(1)在Rt △ABC 中，∵AB 2＝BC 2＋AC 2，∴AC ＝53m.如图，作NH ⊥AC 于H ，∴
∠NHA ＝∠C ＝90°，∵∠A 是公共角，∴△NHA ∽△BCA ，∴AN AB ＝NH BC ，即2t 10＝NH 5
，∴NH
＝t ，∴S △AMN ＝ 12
t (53－t )＝6，解得t 1＝3，t 2＝43(舍去)，故当t 为3秒时，△AMN 的面积为6m 2.
(2)S △AMN ＝12t (53－t )＝－12(t 2－53t ＋754)＋752＝－12(t －532)2＋752，∴当t ＝532
时，S 最大值＝752
m 2. 方法总结：解题的关键是根据证得的相似三角形得到比例式，从而解决问题．
三、板书设计
1．三角形相似的判定定理：
两角分别相等的两个三角形相似；
2．应用判定定理解决简单的问题．
在探究式教学中教师是学生学习的组织者、引导者、合作者、共同研究者，教学过程中鼓励学生大胆探索，引导学生关注过程，及时肯定学生的表现，鼓励创新．备课时应多考虑学生学法的突破，教学时只在关键处点拨，在不足时补充．与学生平等地交流，创设民主、和谐的学习氛围.。