椭圆专题一 椭圆的定义答案
椭圆专题一 椭圆的定义
班级__________ 姓名：__________
一、椭圆的第一定义：
1.已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23
＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( C )
A ．2 3
B ．6
C ．4 3
D ．12
2.（四川2012理科15）椭圆22
143
x y +=的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，当FAB ?的周长最大时，FAB ?的面积是_____3_____。
3.已知定圆05562
2=--+x y x ，动圆M 和已知圆内切且过点P(-3，0)，则圆心M 的轨迹方程是____22
1167
x y +=_____。 4.已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左右焦点为12,F F ，设P 是椭圆上的任意一点， 若12F PF ∠的外角平分线为PT ，焦点在PT 上的射影M 的轨迹方程是 222a y x =+ .
二、椭圆的第二定义：
1. 离心率e =35，一条准线方程为x=503
的椭圆的标准方程为__22110064x y +=___. 2.点A(1,1),1F (4,0)，点M 在椭圆221259x y +=上运动，则154MA MF +的最小值为 4
21 ． 3.(07宁夏14)设椭圆22
12516
x y +=上一点P 到左准线的距离为10，F 是该椭圆的左焦点，若点M 满足1()2
OM OP OF =+，则||OM = 2 ． 4.(2010辽宁理数20)设椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60o ,2AF FB =.则椭圆C 的离心率为___3
2___. 5．已知A （3，2）、B （－4，0），P 是椭圆x y 22
259
1+=上一点，则|P A |＋|PB|的最大值为（ C ） A ．10 B ．105- C ．105+ D ．1025+
6.已知动点),(y x P 在椭圆116
252
2=+y x 上，若A 点坐标为),0,3(,1||=AM 且0=?AM PM ，
则||PM 的最小值是
椭圆第二定义教学活动设计
椭圆第二定义教学设计 一、背景分析： 本节课是在学生学习完了椭圆定义及其标准方程、椭圆简单几何性质的基础上进行的；是对椭圆性质（离心率）在应用上的进一步认识；着重引出椭圆的第二定义、准线方程，掌握椭圆定义的应用。教学中力求以教师为主导，以学生为主体，充分结合多媒体技术，以“形”为诱导，以椭圆的二个定义为载体，以培养学生的思维能力、探究能力、归纳总结的能力以及等价转化思想为重点的教学思想. 二、教材的地位和作用： 圆锥曲线是解析几何的重要内容，而椭圆又是高考的热点问题之一；能否学好椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质，是学生能否比较系统地学好另外两种圆锥曲线的基础，甚至是学生能否学好解析几何的关键。而椭圆在教材中具有“承上启下”的作用，从图形和第一定义来看椭圆与圆比较接近，从而对于学生来说学习完圆后再学习椭圆比较容易接受；而椭圆的第二定义即“到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹”，正好可以把椭圆、双曲线、抛物线这三种圆锥曲线有机地统一起来，使学生对圆锥曲线有个整体知识体系，所以说这个定义在整章起到了一种“纽带”的作用. 三、学法指导： 以问题为诱导，结合图形，引导学生进行必要的联想、类比、化归、转化. 四、教学目标
知识目标：椭圆第二定义、准线方程； 能力目标： 1、使学生了解椭圆第二定义给出的背景； 2、了解离心率的几何意义； 3、使学生理解椭圆第二定义、椭圆的准线定义； 4、使学生掌握椭圆的准线方程以及准线方程的应用； 5、使学生掌握椭圆第二定义的简单应用； 情感与态度目标：通过问题的引入和变式，激发学生学习的兴趣，应用运动变化的观点看待问题，体现数学的美学价值. 五、教学重点：椭圆第二定义、准线方程； 六、教学难点：椭圆的第二定义的简单运用； 七、教学方法：创设问题、启发引导、探究活动、归纳总结. 八、教学过程 （一）、引入课题(上一节的例题得出的结果) 例、椭圆的方程为 116 252 2=+y x ，M 1为椭圆上的点,若点M 1为（4，y 0）不求出点M 2的纵坐标，你能求出这点到焦点F （3，0）的距离吗？ 解：2 2 )34(||y MF +-=且 116 2542 02=+y 代入消去2 0y 得51325169||==MF 【推广】根据上面这个问题的解题思路你能否将椭圆122 22=+b y a x 上任一点),(y x M 到焦点 )0)(0,(>c c F 的距离表示成点M 横坐标x 的函数吗？
习题课：椭圆第二定义的应用(精)
人教版高二数学上册§8.2 椭圆第二定义的应用(习题课 班级姓名自我学习评价 :优良还需努力 【学习目标】1. 进一步加深对椭圆第二定义及其性质的认识，会熟练运用椭圆的几何性质和第二定义解决有关问题； 2. 通过对椭圆的第二定义的应用，体会和感悟“方程思想”和“数形结合”，“分类讨论”的数学思想方法。 【学习重点】灵活运用椭圆的第二定义及性质解决有关问题。 【学习过程】 一、学习准备（知识准备） 请独立完成下列填空： 1．椭圆的第一定义为：；其中的两点为椭圆的 ；常数等于椭圆的； 2．椭圆第二定义：若平面内的动点M（x，y）到定点F（c，0）的距离和它到定直线 的距离的比是常数，则点M 的轨迹为；定直线叫做，准线与长轴所在直线____，椭圆的准线有条. 常数，（）是的离心率。e1时，椭圆趋于；e0时，椭圆趋向于。 3．由椭圆第二定义我们得到了焦半径公式。设为椭圆上任意一点，对于标准方程 的焦半径；；对于标准方程的焦半径； .
椭圆第二定义及其性质在解题中有何价值和作用？你知道吗？通过本节课的学习你就会知道了！ ●基础练习：试一试，你能根据已知很快独立完成下列问题吗？有困难的题可与小组同学讨论。 1、椭圆的准线方程是（）A.； B.； C.； D. 2 椭圆的一个焦点到相应准线的距离为，离心率为，则短轴长为（）A B C. D. 3 设点P为椭圆上一点，P到左准线的距离为10，则P到右准线的距离为（） A . 6 ； B .8 ； C.10 ； D.15 4 已知点A（2，y）是椭圆上的点，F是其右焦点，则∣AF∣=； 5．椭圆与椭圆〉0）的形状怎样？它们的离心率有何关系？你 能否快速求出与椭圆有相同的离心率且经过点（，）的椭圆的方程？其方程为 你是用什么方法求解的？。 二、典型例析 【探究一】利用椭圆第二定义解题
椭圆的第二定义及简单几何性质
二、椭圆的简单几何性质 一、知识要点 椭圆的第二定义：当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 )10(<<= e a c e 时，这个点的轨迹是椭圆．定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率． 可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义． e d MF =| |∴ 准线方程：对于椭圆12222=+b y a x ，相应于焦点)0,(c F 的准线方程是c a x 2 =．根据对 称性，相应于焦点)0,(c F ′的准线方程是c a x 2-=．对于椭圆122 22=+b x a y 的准线方程是c a y 2 ±=． 焦半径公式： 由椭圆的第二定义可得： 右焦半径公式为ex a c a x e ed MF -|-|||2 ===右； 左焦半径公式为ex a c a x e ed MF +===|)-(-|||2 左 二、典型例题 例1、求椭圆 116 252 2=+y x 的右焦点和右准线；左焦点和左准线； 练习：椭圆8192 2 =+y x 的长轴长为_________，短轴长为_________，半焦距为_________，
离心率为_________，焦点坐标为_________，顶点坐标为__________________，准线方程为____________. 例2、已知椭圆方程136 1002 2=+y x ，P 是其上一点，21,F F 分别为左、右焦点，若81=PF ， 求P 到右准线的距离. 例3、已知点M 为椭圆116 252 2=+y x 的上任意一点，1F 、2F 分别为左右焦点；且)2,1(A 求 ||3 5 ||1MF MA +的最小值. 变式、若椭圆：3 \* MERGEFORMAT 13 42 2=+y x 内有一点3 \* MERGEFORMAT )1-,1(P ，3 \* MERGEFORMAT F 为右焦点，椭圆上有一点3 \* MERGEFORMAT M ，使3 \* MERGEFORMAT MF MP 2+值最小，求：点3 \* MERGEFORMAT M 的坐标。
椭圆的定义与标准方程教案
椭圆地定义与标准方程导学案 题型一、椭圆方程地求法 例1、求适合下列条件地椭圆地标准方程 （1）两个焦点坐标分别是（-4,0）和（4,0），椭圆上一点到两焦点地距离地和等于10； （2）两个焦点地坐标分别是（0，-2）和（0,2），且经过点35-22?? ??? ，； （3）焦点在x 轴上，且经过点（2,0）和点（0，1） 练习：求下列椭圆地方程 （1）焦点分别为（0，-2）和（0,2 ），且经过点 (4； （2 ）过点，且与椭圆 22 1259 y x +=有相同地焦点. 变式：求下列椭圆地方程 （1 ）经过两点(2 和-1? ? ? ； （2）若方程 22 1925x y m m +=+-表示焦点在x 轴上地椭圆，求实数m 地取值范围. 练习：已知椭圆 22 1102x y m m +=--地焦点在y 轴上，若焦距为4，则m= 题型二、椭圆地定义及其标准方程地应用 例2、已知经过椭圆 22 12516 x y +=地右焦点作垂直于x 轴地直线AB ，交椭圆于A 、B 两点，1F 是椭圆地左焦点. （1）求1AF B ?地周长； （2）如果AB 不垂直于x 轴，1AF B ?地周长有何变化吗？为什么？
练习：如果椭圆 22 110036 x y +=上一点P 到1F 地距离为6，那么2PF = 例3、已知椭圆22 143 x y +=中，点P 是椭圆上一点，1F ，2F 是椭圆地焦点，且12120PF F ? ∠=,求 12PF F ?地面积. 练习： （1）设1F ，2F 是椭圆()2 2 2:101y E x b b +=<<地 左、右焦点，过1F 地直线l 与E 交与A 、B 两点，且2AF ，AB ，2BF 成等差数列，则AB = （2）椭圆22 192 x y +=地焦点为1F ，2F ，点P 在椭圆上，若14PF =，则12F PF ∠地大小是 题型三、与椭圆有关地轨迹方程 例4、在圆2 2 4x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴地垂线段PD ，D 为垂足.当P 在圆上运动时，求线段PD 地中点M 地轨迹方程. 变式：设点A 、B 地坐标分别为（-5,0）和（5,0）直线AM ，BM 相交于点M ，且它们地斜率之积是4 9 -，求点M 地轨迹方程.
椭圆的标准方程教案
河北阜城中学--高二数学组 组题人：高泽宁 审核人：沈志华 日期：2019年 月 日 …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○ 学校： 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○ 第 1 页 共 3 页 学习目标： 1：熟练掌握椭圆的定义。 2：熟练掌握椭圆的标准方程，会根据所给的条件画出椭圆并确定椭圆的标准方程。 学习重点：椭圆的定义及标准方程。 学习难点：椭圆的定义及标准方程的推导。 教学过程： 一：椭圆概念的引入： 1：动画演示：（1）天体行星和卫星运行的轨道。 （2）立体几何中作圆的一种直观图。 2：手工操作演示椭圆的形成：取一条定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的F 1,F 2两点，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉近，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆。 分析：在这个运动过程中，什么是不变的？ 答：两个定点，绳长。 即不论运动到何处，绳长不变（即轨迹上与两个定点距离之和不变） 3：由此总结椭圆定义： 平面内与两个定点F 1,F 2的距离之和等于常熟（大于）的点的轨迹叫作椭圆， 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。 说明 注意椭圆定义中容易遗漏的两处地方： （1）两个定点------两点间距离确定。 （2） 绳长------轨迹上任意点到两定点距离和确定。 思考： 改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？ 绳长能小于两图钉之间的距离吗？ 二：根据定义推导椭圆标准方程： 1：复习求轨迹方程的基本步骤： 2：推导：取过焦点21F F 的直线为x 轴，线段21F F 的垂直平分线为y 轴。 设P （x,y ）为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是2c （ c>0）. 则：)0,()0,(21c F c F -，又设M 与F 1,F 2距离之和等于2a （常数） {}a PF PF P P 221=+=∴ 221)(y c x PF ++= 又， a y c x y c x 2)()(2222=+-+++∴，化简，得： )()(22222222c a a y a x c a -=+-，由定义c a 22> 022>-∴c a 令222b c a =-∴代入，得： 222222b a y a x b =+，两边同除22b a 得： 选修2-1 第一章 2.2.2 椭圆的标准方程 教案 试卷类型 学案 ※ 数学是一切知识的最高形式----柏拉图 条件 结论 2a>|F1F2| 动点的轨迹是椭圆 2a ＝|F1F2| 动点的轨迹是线段F1F2 2a<|F1F2| 动点不存在，因此轨迹不存在
椭圆定义、标准方程及性质(一)
椭圆的定义、标准方程及性质(一) 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.） 1、椭圆的焦距（） A．2 B． C． D． 2、是定点，，动点M满足，则点M的轨迹是（） A．椭圆 B．圆 C．线段 D．直线 3、若椭圆的两个焦点分别为，且椭圆过点则椭圆的方程为（）A． B． C． D． 4、方程表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是（） A． B． C． D．（0,1） 5、过椭圆的一个焦点的直线与椭圆交于A、B两点，则A、B与椭圆的另一焦点构成的周长是（） A． B．2 C． D．1 6、已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆方程为（） A．或 B． C．或 D． 7、已知，则曲线有（） A．相同的短轴 B．相同的焦点 C．相同的离心率 D．相同的长轴 8、椭圆的焦点，P为椭圆上的一点，已知，则的面积为（） A．9 B．12 C．10 D．8 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．) 9、椭圆的离心率为，则= . 10、设是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，则*的最大值为 . 11、椭圆的焦点分别是，点在椭圆上.如果线段的中点在轴上，那么是倍. 12、已知圆及点，为圆上一点，的垂直平分线交于于，则点的轨迹方程为 . 三、解答题(本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 13、如果点在运动的过程中，总满足关系式，点的轨迹是什么曲线?写出它的方程.
14、点到定点的距离和它到定直线的距离的比是，求点的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形. 15、已知点是椭圆上的一点，且以点及焦点为顶点的三角形的面积等于1，求点的坐标.
椭圆定义及应用
一、椭圆第一个定义的应用 1.1 椭圆的第一个定义平面内有两个定点F1、F2，和一个定长2a。若动点P到两个定点距离之和等于定长2a，且两个定点距离|F1F2|<2a.则动点轨迹是椭圆。两个定点F1、F2称为椭圆的焦点。 由此定义得出非常重要的等式，其中P为椭圆上一个点。此等式既表明作为椭圆这个点的轨迹的来源，也说明椭圆上每一个具有的共同性质。即椭圆上每一个点到两个焦点距离之和等于定长2a .在有关椭圆的问题中，若题设中含有有关椭圆上一点到两个焦点距离的信息，首先考虑的就是能否用上这个关系式。 1.2 应用举例 例1.已知点 1(3,0) F-,2(3,0) F,有 126 PF PF +=,则P点的轨迹是 . 例2.求证以椭圆 (a>b>0) 上任意一点P的 焦半径为直径画圆，这个圆必与圆相切. 解评：此题若用一般方法解或用椭圆参数方程解答，计算量都很大，解题过程冗长，属于中档题。我们若抓住PF2为一个圆直径，PF1为另一个圆半径的2倍，用公式，很容易得出正确解答。
例3. F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点， 求的面积.24 解评：题设中有椭圆上一点到两个焦点间距离的信息，即可试探是否能用 解决 例4.P 是椭圆2 2 145 20 x y + =上位于第一象限内的点, F 1、F 2是椭圆的左、右焦点, 若 则12PF PF -的值为( ) A. D. 3 例5. 在圆C:22(1)25x y ++=内有一点A (1,0),Q 为圆C 上一点,AQ 的垂直平分线线段CQ 的交点为M,求M 点的轨迹方程. 练:一动圆与圆⊙o 1：x 2+y 2+6x+5=0外切,同时与⊙o 2 ： x 2+y 2_ 6x _ 91=0 内切， 求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。
椭圆的标准方程与性质
椭圆的标准方程与性质 教学目标： 1 了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用； 2 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 高考相关点： 在高考中所占分数：13分 考查出题方式：解答题的形式，而且考查方式很固定，涉及到的知识点有：求曲线方程，弦长，面积，对称关系，围问题，存在性问题。 涉及到的基础知识 1．引入椭圆的定义 在平面与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|=2c)的点的轨迹叫做椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数： 有以下3种情况 (1)若a＞c，则集合P为椭圆； (2)若a＝c，则集合P为线段； (3)若a＜c，则集合P为空集． 2．椭圆的标准方程和几何性质
题型总结 类型一椭圆的定义及其应用 例1：如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是( )
A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆 【解析】根据CD 是线段MF 的垂直平分线.可推断出 ,进而可以知道结果为定值,进而根据椭圆的定义推断出点P 的轨迹 【答案】根据题意知,CD 是线段MF 的垂直平分线. , (定值),又显然 , 根据椭圆的定义可推断 出点P 轨迹是以F 、O 两点为焦点的椭圆.所以A 选项是正确的 练习１：已知F 1，F 2是椭圆C ：22 221x y a b +=(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆 C 上的一点，且 PF → 1⊥2PF ，若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________． 【解析】由题意的面积 ∴ 故答案为： 【答案】3 练习2：已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 2 9＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A ，B 两点，在△AF 1B 中，若有两边之和是10，则第三边的长度为( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 【解析】由椭圆方程知，椭圆的长轴 ，则 周长为16，故第三 边长为6.所以正确答案为A. 【答案】A 类型二 求椭圆的标准方程 例2：在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为 2 2 .过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么椭圆C 的方程为________． 【解析】设椭圆方程为x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)， 由e ＝22，知c a ＝22，故b 2a 2＝1 2 .
椭圆的第二定义应用
椭圆的第二定义应用 班级 姓名 基础梳理 1.椭圆第二定义：___________________________距离之比是常数 e c a e M = <<()01的动点的轨迹叫做椭圆，定点为椭圆的一个焦点，定直线为 椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率。 注意：①对对应于右焦点，的准线称为右准线，x a y b a b F c 22222100+=>>()() 方程是，对应于左焦点，的准线为左准线x a c F c x a c =-=-212 0() ②e 的几何意义：椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。 自测自评 1、椭圆125 92 2=+y x 的准线方程是（ ) A 、425± =x B 、516±=y C 、516±=x D 、4 25±=y 2、椭圆的一个焦点到相应的准线的距离为45，离心率为32，则短轴长为（ ） A 、2 5 B 、5 C 、52 D 、1 3、设P 为椭圆136 1002 2=+y x 上一点，P 到左准线的距离为10，则P 到右准线的距离为（ ） A 、6 B 、 8 C 、 10 D 、15 4、已知P 是椭圆2100x + 2 36 y =1上的点，P 到右准线的距离是8.5，则p 到左焦点的距离是______
5、已知动点M 到定点（3,0）的距离与到定直线x= 253，的距离之比是35，则动点M 的轨迹方程是_________________。 6、.已知P 点在椭圆225x +2 16 y =1上，且P 到椭圆左、右焦点距离的比是1:4，则P 到两准线的距离分别为_________________。 7、求中点在原点、焦点在x 轴上、其长轴端点与最近的焦点相距为1，与相近的一条准线距离是53 的椭圆标准方程。 8、 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率． 9、已知，，是椭圆的右焦点，点在椭圆上移动，当A F x y M ()-+=231612 122 |MA|＋2|MF|取最小值时，求点M 的坐标。 10、已知A,B 是椭圆192522 22=+a y a x 上的两点，2F 是右焦点，若a BF AF 5822=+，AB 的中点P 到左准线的距离为23，求椭圆的方程。
椭圆的定义及其标准方程教学设计
课题：§椭圆的定义及其标准方程 鹿城中学田光海 一、教案背景： 1.面向对象：高中二年级学生 2. 学科：数学 3. 课时：2课时 4.教学内容：高中新课程标准教科书《数学》北师大版选修1-1 第二章圆锥曲线与方程§椭圆及其标准方程 二. 教材分析 本节课是圆锥曲线的第一课时，它是继学生学习了直线和圆的方程，对曲线和方程的概念有了一些了解，对用坐标法研究几何问题有了初步认识的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线。椭圆的学习可以为后面研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础。因此这节课有承前启后的作用，是本章的重点内容之一。 1. 教法分析结合生活经验观察发现、启发引导、探究合作。在学生的生活体验、直观感知、知识储备的基础上，引导学生逐步建构概念，为学生数学思想方法的形成打下基础。利用多媒体课件, 精心构建学生自主探究的教学平台,启发引导学生观察, 想象, 思考, 实践, 从而发现规律、突破学生认知上的困难，让学生体验问题解决的思维过程，获得知识, 体验成功。主要采用探究实践、启发与讲练相结合。 2. 学法分析从知识上看，学生已掌握了一些椭圆图形的实物与实例，对曲线和方程的概念有了一些了解，对用坐标法研究几何问题有了初步的认识。 从学生现有的学习能力看，通过一年多的学习，学生已具备了一定的观察事物的能力，积累了一些研究问题的经验，在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语 言转换能力 从学生的学习心理上看，学生头脑中虽有一些椭圆的实物实例，但并没有上升为“概念”
的水平，如何给椭圆以数学描述如何“定性” “定量”地描述椭圆是学 生关注的问题，也是学习的重点问题。他们渴望将感性认识理性化，渴望通过自己动手作图、观察来辨析和完善概念，通过对比产生顿悟，渴望获得这种学习的积极心向是学生学好本节课的情感基础。 3.教学目标 知识与技能：掌握椭圆的定义；理解椭圆标准方程的推导过程，掌握椭圆标准 方程的两种形式，会运用待定系数法求椭圆的标准方程。 过程与方法：经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，逐步提高学生的观察、分析、归纳、类比、概括能力；通过椭圆标准方程的推导，进一步掌握求曲线方程的一般方法坐标法，并渗透数形结合、等价转化的数学思想方法。 情感、态度与价值观：通过课堂活动参与，激发学生学习数学的兴趣，提高学生审美情趣，培养学生勇于探索的精神。 4.教学重点与难点 重点：椭圆的定义和椭圆标准方程的两种形式 难点：椭圆的标准方程的建立和推导教学方法 5.教学准备 通过百度搜索与椭圆有关的图片资料，利用百度搜索相关的教学资料制作多媒体课件，自制教具：绘图板、图钉、细绳。 三、教学过程
第一讲椭圆的定义及其练习题(精)
中心在坐标原点的椭圆的标准方程和几何意义 一、 知识清单 1. 椭圆的定义： （1）把平面内与两个定点F 1、F 2的距离的和等于定长（大于F 1F 2）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。符号表示： |PF 1|+|PF 2|=2a (2a >|F 1F 2| a 2 (2平面内，到定点F(c,0的距离与到直线l ：x = c 的动点的轨迹叫做椭圆。2. 椭圆的简单几何性质： 焦点在x 轴上 标准方程 的距离之比是常数 c (a >c >0 a 焦点在y 轴上 x 2y 2
+2=12a b x 2y 2 +2=12b a 图形， 焦点坐标对称性顶点坐标范围长轴短轴离心率准线方程 F 1(?c , 0, F 2(c , 0 F 1(0, ?c , F 2(0, c 关于x 、y 轴成轴对称，关于原点成中心对称 椭圆点的焦距与长轴长的比e = c a x 2y 2 3. 点P (x 0, y 0 和椭圆2+2=1的关系： a b (1 P (x 0, y 0 在椭圆内 ?_______________________________________________________(2 P (x 0, y 0 在椭圆上?_______________________________________________________ (3 P (x 0, y 0 在椭圆外 ?_______________________________________________________ 二、例题讲解 例1. 求下列椭圆的离心率： （1）已知一椭圆的短轴长与它的焦距相等，求椭圆的离心率；
椭圆教学设计(人教版)教学教材
《椭圆及其标准方程》教学设计龙城高级中学胡宇娟
（一）指导思想与理论依据 1、本节课的设计力图体现“教师为主导,学生为主体”的教学思想。在教 学的过程中始终本着“教师是课堂教学的组织者、引导者、合作者”的原则，让学生通过实验、观察、思考、分析、推理、交流、合作、反思等过程建构新知识，并初步学会从数学的角度去观察事物和思考问题，产生学习数学的浓厚兴趣。 2、在“椭圆的标准方程”的引入与推导中，遵循学生的认识规律，运用“实 验——猜想——推导——应用”的思想方法，逐步由感性到理性地认识定理，揭示知识的发生、发展过程；遵循现代教育理论中的“要把学生学习知识当作认识事物的过程来进行教学”的观点。 3、数学学习的核心是思考，离开思考就没有真正的数学。针对这节课的内 容：教师提问；学生操作、观察、思考、讨论；教师再演示、点评，最大限度地调动学生积极参与教学活动。在教学重难点处适当放慢节奏，给学生充分的时间与空间进行思考与讨论，教师适时给予适当的思维点拨，必要的可进行大面积提问，让学生做课堂的主人，充分发表自己的观点，交流、汇集思想。这样既有利于化解难点、突出重点，也有利于充分发挥学生的主体作用，使课堂气氛更加活跃，让学生在生生互动、师生互动中掌握知识，提高解决问题的能力。另外通过学法指导，引导学生思维向更深更广发展，以培养学生良好的思维品质，并为以后进一步学习椭圆的几何性质及双曲线和抛物线作好辅垫。 （二）教学背景分析 A、学情分析 1、能力分析 ①学生已初步掌握用坐标法研究直线和圆的方程; ②对含有两个根式方程的化简能力薄弱。 2、认知分析 ①学生已初步熟悉求曲线方程的基本步骤; 共 8 页第1页
椭圆的第一定义与基本性质的练习题
椭圆的第一定义与基本性质的练习题 1.椭圆2x 2 +3y 2 =6的焦距是 A.2 B.2(3－2) C.25 D.2(3+2) 2.方程4x 2+Ry 2=1的曲线是焦点在y 轴上的椭圆，则R 的取值范围是 A.R >0 B.0 椭圆的第二定义与性质的练习题 16.点M 到一个定点F (0，2)的距离和它到一条定直线y =8的距离之比是1∶2，则M 点的轨迹方程是__________. 17.如果椭圆的两个焦点将长轴三等分，那么这个椭圆的两条准线间的距离是焦距的 A.4倍 B.9倍 C.12倍 D.18倍 18.设点A (－2，3)，椭圆16 2 x + 12 2 y =1的右焦点为F ，点P 在椭圆上移动.当|P A |+2|PF |取最小值时,P 点的坐 标是__________. 19.设椭圆 2 2a x + 2 2b y =1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－2,0),左准线l 1与x 轴交于点N (－3,0),过点N 且倾斜角为30° 的直线l 交椭圆于A 、B 两点. (1)求直线l 和椭圆的方程； (2)求证:点F 1(－2,0)在以线段AB 为直径的圆上. 20.已知椭圆的两焦点为F 1(0，－1)、F 2(0，1)，直线y =4是椭圆的一条准线. (1)求椭圆方程； (2)设点P 在椭圆上，且|PF 1|－|PF 2|=1，求tan ∠F 1PF 2的值. 21.设椭圆的中心为坐标原点，它在x 轴上的一个焦点与短轴两端点连成60°的角，两准线间的距离等于83，求椭圆方程. 课题：§ 2.1.1椭圆的定义及其标准方程 鹿城中学田光海 一、教案背景： 1. 面向对象：高中二年级学生 2. 学科：数学 3. 课时：2课时 4. 教学内容：高中新课程标准教科书《数学》北师大版选修1-1 第二章圆锥曲线与方程§ 2.1.1椭圆及其标准方程 二.教材分析 本节课是圆锥曲线的第一课时，它是继学生学习了直线和圆的方程，对曲线和方程的概念有了一些了解，对用坐标法研究几何问题有了初步认识的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线。椭圆的学习可以为后面研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础。因此这节课有承前启后的作用，是本章的重点内容之一。 1. 教法分析 结合生活经验观察发现、启发引导、探究合作。在学生的生活体验、直观感知、知识储备的基础上，引导学生逐步建构概念，为学生数学思想方法的形成打下基础。利用多媒体课件，精心构建学生自主 探究的教学平台，启发引导学生观察，想象，思考，实践，从而发现规律、突破学生认知上的困难，让学生体验问题解决的思维过程，获得知识, 体验成功。主要采用探究实践、启发与讲练相结合。 2. 学法分析 从知识上看，学生已掌握了一些椭圆图形的实物与实例，对曲线和方程的概念有了一些了解，对用坐标法研究几何问题有了初步的认识。 从学生现有的学习能力看，通过一年多的学习，学生已具备了一定的观察事物的能力，积累了一些研究问题的经验，在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力。 从学生的学习心理上看，学生头脑中虽有一些椭圆的实物实例， 但并没有上升为“概念”的水平，如何给椭圆以数学描述？如何“定性”“定量”地描述椭圆是学生关注的问题，也是学习的重点问题。 他们渴望将感性认识理性化，渴望通过自己动手作图、观察来辨析和完善概念，通过对比产生顿悟，渴望获得这种学习的积极心向是学生学好本节课的情感基础。 3. 教学目标 知识与技能：掌握椭圆的定义；理解椭圆标准方程的推导过程，掌握椭圆标准方程的两种形式，会运用待定系数法求椭圆的标准方程。 过程与方法：经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，逐步提高学生的观察、分析、归纳、类比、概括能力；通过椭圆标准方程的推导，进一步掌握求曲线方程的一般方法——坐标法，并渗透数形结 合、等价转化的数学思想方法。 情感、态度与价值观：通过课堂活动参与，激发学生学习数学的 兴趣，提咼学生审美情趣，培养学生勇于探索的精神 椭圆 一 定义 二 标准方程和几何性质 三 典型例题 １.已知椭圆116 252 2=+y x 上的一点P ，到椭圆一个焦点的距离为３，则P 到另一焦点距离为（ ） A ．２ B ．３ C ．５ D ．７ ２．中心在原点，焦点在横轴上，长轴长为4，短轴长为２，则椭圆方程是（ ） A. 22143x y += B. 22 134 x y += C. 2214x y += D. 2214y x += ３.与椭圆4x 2+9y 2 =36有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是( ) A 185801452012520120 252222222 2=+=+=+=+y x D y x C y x B y x ４．椭圆2255x ky -=的一个焦点是(0,2)，那么k 等于（ ） A. 1- B. 1 C. 5 D. ５．若椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直，则离心率等于( ) A. 12 B. 2 C. D. 2 ６．椭圆两焦点为 1(4,0)F -，2(4,0)F ，P 在椭圆上，若 △12PF F 的面积的最大值为12，则椭圆方程为（ ） A. 22 1169 x y += B . 221259x y += C . 2212516x y += D . 221254x y += ７．椭圆的两个焦点是F 1(－1, 0), F 2(1, 0)，P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则该椭圆方程是（ ）。 A 16x 2＋9y 2＝1 B 16x 2＋12y 2＝1 C 4x 2＋3y 2＝1 D 3x 2＋4 y 2＝1 ８.椭圆的两个焦点和中心，将长轴的距离四等分，则它的焦点与短轴端点连线的夹角为( ) (A)450 (B)600 (C)900 (D)120 椭圆的定义教学设计 The definition of ellipse teaching design 椭圆的定义教学设计 前言：小泰温馨提醒，数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种，在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。本教案根据数学课程标准的要求和针对教学对象是高中生群体的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和计划、并以启迪发展学生智力为根本目的。便于学习和使用，本文下载后内容可随意修改调整及打印。 （第1课时）教案 教学目标：1、掌握椭圆的定义，椭圆标准方程的两种形式及其推导过程。 2、通过椭圆标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，提高运用坐标法解决几何问题的能力。 3、培养学生用数学的眼光观察生活，探索科学的思维习惯，培养学生的观察能力和探索能力。 教学重点：椭圆定义及椭圆标准方程的两种形式。 教学难点：椭圆标准方程的建立和推导。 教学过程： 情景设置： 教师：我们这节课讲的是椭圆及其标准方程，哪位同学能说出几个椭圆在实际生活及自然界的例子？ 教师：我们要学会观察生活，而且要学会用我们的知识去分析和研究我们观察到的东西。 探索研究： 教师：椭圆在生活中这么普遍，那么哪位同学会画椭圆吗？（找学生回答） 教师演示椭圆的画法。 教师：哪位同学能用数学语言定义一下椭圆（找学生回答）教师强调以下几点： ①平面内 ②两个定点 ③常数大于两定点间距离 教师：我们现在知道什么是椭圆了，可是我们数学要研究一个曲线这还远远不够吧？首先要求出这个曲线的方程，然后通过方程研究曲线的性质。 教师：那么椭圆的方程怎么求呢？求曲线方程方法和步骤有哪些？ （同学回答，教师小结） 巧用椭圆的第二定义解题 《普通数学课程标准》在圆锥曲线这一章较过去增加一种要求：即学生要根据方程的形式和图形特征等进行类比猜想，培养直觉思维与合情推理能力。增加这一要求是很科学的，因为很多圆锥曲线问题用代数法运算非常繁杂，而一旦抓住图形特征后，运用数形结合，则可以简化运算，大幅度提高解题效率，下面以椭圆为例说明。 例：已知椭圆的中心在原点，其左焦点为F （－2，0），左准线l 的方程为x=－22 3 ，PQ 是过F 且与x 轴不垂直的弦，PQ 的中点M 到左准线l 1：求椭圆的方程2：求证： d PQ 为定值 3：在l 上是否存在点R ，使?PQR 为正三角形 若存在，求出点R 的坐标，若不存在，说明理由 1：解析：易得椭圆的方程11 32 2=+y x 2：证明：如图，作PP / ⊥l 与P ，QQ / ⊥l 与Q ，则由椭圆的第二定义，易得 e PP PF =/ ，e QQ QF =/；于是PQ=PF+QF=ePP /＋eQQ / =2ed=362=定值 3：解析：此题若从代数角度入手，设直线的方程，联立的方程再用韦达定理，则运算繁杂，很多同学会丧失信心；若能抓住图形特征，运用椭圆的第二定义和正三角形的性质，则可化难为易。假设存在点R ，使?PQR 分线RM 也确定，所以RM 的斜率确定，可以考虑先求RM 即求倾斜角π－/ /MM Q ∠的大小， 而COS / / MM Q ∠=M Q MM //，由第2问的结论可得： COS / / MM Q ∠=M Q MM // = PQ PQ e 2 321= 2 231= e ，//MM Q ∠ 为45○ ，根据对称性，RM 的斜率应为1±，进而可得PQ 的方程及中点M 的坐标，再由点斜式求得RM 的方程，再联立左准线l 的方程x=－ 223 课题：§2.1.1椭圆的定义及其标准方程 鹿城中学田光海 一、教案背景： 1.面向对象：高中二年级学生 2.学科：数学 3.课时：2课时 4.教学内容：高中新课程标准教科书《数学》北师大版选修1-1第二章圆锥曲线与方程§2.1.1椭圆及其标准方程 二. 教材分析 本节课是圆锥曲线的第一课时，它是继学生学习了直线和圆的方程，对曲线和方程的概念有了一些了解，对用坐标法研究几何问题有了初步认识的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线。椭圆的学习可以为后面研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础。因此这节课有承前启后的作用，是本章的重点内容之一。 1. 教法分析 结合生活经验观察发现、启发引导、探究合作。在学生的生活体验、直观感知、知识储备的基础上，引导学生逐步建构概念，为学生数学思想方法的形成打下基础。利用多媒体课件,精心构建学生自主探究的教学平台,启发引导学生观察,想象,思考,实践,从而发现规律、突破学生认知上的困难，让学生体验问题解决的思维过程，获得知识,体验成功。主要采用探究实践、启发与讲练相结合。 2. 学法分析 从知识上看，学生已掌握了一些椭圆图形的实物与实例，对曲线和方程的概念有了一些了解，对用坐标法研究几何问题有了初步的认识。 从学生现有的学习能力看，通过一年多的学习，学生已具备了一定的观察事物的能力，积累了一些研究问题的经验，在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力。 从学生的学习心理上看，学生头脑中虽有一些椭圆的实物实例，但并没有上升为“概念”的水平，如何给椭圆以数学描述? 如何“定性”“定量”地描述椭圆是学生关注的问题，也是学习的重点问题。他们渴望将感性认识理性化，渴望通过自己动手作图、观察来辨析和完善概念，通过对比产生顿悟，渴望获得这种学习的积极心向是学生学好本节课的情感基础。 3.教学目标 知识与技能：掌握椭圆的定义；理解椭圆标准方程的推导过程，掌握椭圆标准方程的两种形式，会运用待定系数法求椭圆的标准方程。 过程与方法：经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，逐步提高学生的观察、分析、归纳、类比、概括能力；通过椭圆标准方程的推导，进一步掌握求曲线方程的一般方法——坐标法，并渗透数形结合、等价转化的数学思想方法。 情感、态度与价值观：通过课堂活动参与，激发学生学习数学的兴趣，提高学生审美情趣，培养学生勇于探索的精神。 《椭圆及其标准方程》教学设计及反思 扶风高中任海岐 教学目标： （一）知识目标：掌握椭圆的定义及其标准方程，能正确推导椭圆的标准方程． （二）能力目标：培养学生的动手能力、合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力；培养学生运用类比、分类讨论、数形结合思想解决问题的能力． （三）情感目标：激发学生学习数学的兴趣、提高学生的审美情趣、培养学生勇于探索，敢于创新的精神． 教学重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程． 教学难点：椭圆标准方程的推导． 教学方法：探究式教学法，即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果，引导学生直观观察→归纳抽象→总结规律，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力． 教具准备：多媒体课件和自制教具：绘图板、图钉、细绳． 教学过程 （一）设置情景，引出课题: 1．对椭圆的感性认识.通过演示课前老师和学生共同准备的有关椭圆的实 物和图片，让学生从感性上认识椭圆. 2．通过动画设计，展示椭圆的形成过程，使学生认识到椭圆是点按一定“规律”运动的轨迹。 提问：点M运动时，F 1、F 2 移动了吗？点M按照什么条件运动形成的轨迹是 椭圆？ 下面请同学们在绘图板上作图，思考绘图板上提出的问题： 1．在作图时，视笔尖为动点，两个图钉为定点，动点到两定点距离之和符合什么条件？其轨迹如何？ 2．改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？ 3．当绳长小于两图钉之间的距离时，还能画出图形吗？ .（二）研讨探究，推导方程 1、知识回顾：利用坐标法求曲线方程的一般方法和步骤是什么？ 2、研讨探究 问题：如图已知焦点为的椭圆，且=2c,对椭圆上任一点M，有 ，尝试推导椭圆的方程。 思考：如何建立坐标系，使求出的方程更为简单？ 将各组学生的讨论方案归纳起来评议，选定以下两种方案，由各组学生自己完成设点、列式、化简。 方案一方案二 高中二年级数学（人教版） 椭圆第一定义与第二定义 的统一 椭圆第一定义与第二定义的统一 一、学习目标与任务 学习目标描述 知识方面： 1．复习巩固椭圆的第一定义； 2．认识椭圆的第二定义，椭圆的准线，离心率等概念； 3．通过“几何画板”的实际操作，了解离心率对椭圆扁平程度的影响； 4．通过椭圆构造实验，引入双曲线，初步理解圆锥曲线的统一定义； 能力方面： 1．学会利用软件“几何画板”以不同的方法探求椭圆的轨迹； 2．学会改变模拟数据进行数学实验； 3．学会在网络环境下的合作学习与交流。 学习内容与学习任务说明 问题1：如图，点B是半径为r的圆A的一个定点，点C是圆A上的一个动点，线段BC的垂直平分线l交直线AC于点N，求点N的轨迹。 实验1：将点B在圆A内部左右拖动，观察点N的轨迹有哪些变化。 深入：由实验1继续利用“几何画板”作图，观察椭圆的几何性质，作出椭圆的准线，理解椭圆的第二定义。 实验2：将点B拖到圆外离点A不同距离的地方，观察点N的轨迹有哪些变化。 二、学习者特征分析 （说明学生的学习特点、学习习惯、学习交往特点等） 学生已经掌握了椭圆的第一定义，以及相关的一些“几何画板”简单操作。高中的学生具有较抽象的思维能力，喜欢自己探索、发现问题和解决问题。 三、学习环境选择与学习资源设计 1、学习环境选择（打√） （1）Web教室（2）局域网 (3)城域网 （4）校园网√（5）Internet √（6）其它 2、学习资源类型（打√） （1）课件（网络课件）（2）工具√（3）专题学习网站 （4）多媒体资源库（5）案例库√ 6）题库 （7）网络课程（8）其它√ 3、学习资源内容简要说明（说明名称、网址、主要内容） 教师设计制作了多个椭圆的构造实验，把它放在校园网上。利用几何画板让学生自己探索构造椭圆，并深入思考是否可以推广变化为圆锥曲线的统一定义。 四、学习情境创设 1、学习情境类型（打√） （1）真实情境（2）问题性情境√ （3）虚拟情境（4）其它 2、学习情境设计 以具体的数学问题结合“几何画板”有趣的数学实验引起学生的学习兴趣和探究欲望。下面的每一个具体的问题都结合动态的数学实验，让学生利用“几何画板”自己动手“做”，探究椭圆构造的方法，以及和其他圆锥曲线（双曲线、抛物线）的联系。 五、学习活动组织 1．学生学习设计《椭圆的定义及其标准方程》教学设计
椭圆定义教案
椭圆的定义教学设计
巧用椭圆的第二定义解题
《椭圆的定义及其标准方程》教学设计
椭圆及其标准方程教学设计与反思
椭圆第一定义与第二定义的统一