大学物理- 动量、动量守恒定律习题和解答

- ⎰ 0第二章 动量、动量守恒定律2—1 质量为 m 的子弹以速率v 0 水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速 度成正比，比例系数为 k ，忽略子弹的重力，求：(1)子弹射入沙土后，速度大小随时间的变化关系； (2)子弹射入沙土的最大深度。

[解] 设任意时刻子弹的速度为 v ，子弹进入沙土的最大深度为 s ，由题意知，子弹所受的阻力f = - kv(1) 由牛顿第二定律f = ma = m d vd t 即 - kv == md vd t所以 d v = - kd t对等式两边积分 v m⎰v d v = - k ⎰tv 0v得lnv v 0m 0= - k tm因此(2) 由牛顿第二定律- k tv = v 0 emf = ma = md v= m d v d x = mv d v d t 即 - kv = mvd vd x 所以- kd x = d v m d x d t d x对上式两边积分k s d x = ⎰d v m 0 v 0得到 - ks = -vm 0即s = mv 0k2—2 质量为 m 的小球，在水中受到的浮力为 F ，当它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为 f ＝kv (k 为常数)。

若从沉降开始计时，试证明小球在水中竖直沉降的速率 v 与时间的关系为mg - F ⎛ v =1 - e - kt ⎫ m ⎪ k ⎝ ⎭d tmg - kv mg + kv m kge- 1 mg 2tk m kgm kgT T v [证明] 任意时刻 t 小球的受力如图所示，取向下为 y 轴的正方向，开始沉降处为坐标原 点由牛顿第二定律即mg - F - f = ma = m d vd t mg - F - kv = ma = m d vd t整理得d vmg - F - kv =d t m对上式两边积分⎰vd v = ⎰t d t 0 mg - F - kv 0 m得lnmg - F - kv mg - F= -kt m即 v =mg - F ⎛ 1 - e - kt ⎫ m ⎪ k ⎝ ⎭2—3 跳伞运动员与装备的质量共为 m ，从伞塔上跳出后立即张伞，受空气的阻力与速率的平方成正比，即 F = kv 2 。

求跳伞员的运动速率 v 随时间 t 变化的规律和极限速率v 。

[解] 设运动员在任一时刻的速率为 v ，极限速率为v T ，当运动员受的空气阻力等于运动员及装备的重力时，速率达到极限。

此时mg = kv 2即v T =有牛顿第二定律mg - kv 2 = m d vd t整理得d v mg - kv 2 =d t m对上式两边积分vd v =td t 1⎰mg - kv 2⎰0m 2mgk得ln =t m整理得2tv =e + 1 2te - 12t T e + 1m kg mgk=2gs ⎭⎝2—4 一根线密度为λ 的均匀柔软链条，上端被人用手提住，下端恰好碰到桌面。

现将手突然松开，链条下落，设每节链环落到桌面上之后就静止在桌面上，求链条下落距离 s 时对桌面的瞬时作用力。

[解] 链条对桌面的作用力由两部分构成：一是已下落的 s 段对桌面的压力 N 1 ，另一部分是正在下落的d x 段对桌面的冲力 N 2 ，桌面对d x 段的作用力为 N 2' 。

显然 N 1 = λsg取正在下落的d x 段链条为研究对象，它在d t 时间之内速度由v = 变为零，根据动量定理由(2)、(3)式得N 2'd t = d p d p = 0 - λv d x d x = v d tN 2' = -2sg λN 2 = -N 2' = 2sg λ (1)(2) (3)故链条对桌面的作用力为 N = N 1 + N 2 = 3λsg2—5 一半径为 R 的半球形碗，内表面光滑，碗口向上固定于桌面上。

一质量为 m 的小球正以角速度 沿碗的内面在水平面上作匀速率圆周运动。

求小球的运动水平面距离碗底的高度。

[分析] 小钢球沿碗内壁作圆周运动，其向心力是由内壁对它的支承力的分力提供的，而支承力的方向始终与该点内壁相垂直，显然，不同的角速度对应不同大小和方向的支承力。

[解] 设小球的运动水平面距碗底的高度为 h ，小球受力如图所示，则 N sin θ = mgN cos θ = m ω 2 rsin θ = R - hR cos θ = rR由以上四式得h = R ⎛1 - g ⎫ω 2 R ⎪v 0 R 2 e 2—6 一飞车运动员在一个呈锥形内表面的演出舱内进行表演。

若人与车的质量为 m ，锥面的半顶角为θ 。

飞车运动员恰好在一水平面内作匀速率圆周运动，其速率为v 0 。

忽略摩擦 阻力，试作飞车运动员及车的受力图，并将圆周的半径用v 0 、g 和θ 表示之。

[解] 飞车运动员的及车的受力如图所示，设其距锥面顶点的高度为 h ，则 N sin θ = mg2 N cos θ = m 0 r联立两式得r = v 2ctg θg2—7 在光滑的竖直圆环上，套有两个质量为 m 的小球 A 和 B ，并用轻而不易拉伸的绳子把两球联结起来。

两球由图示位置开始释放，试求此时绳上的张力。

[解] 小球 A 和 B 受力如图，因绳子不可伸长，开始释放时球的速度为零，小球 A 和 B 的切向加速度 a t 相等，法向加速度为零，则π对 A 球对 B 球 T sin 4= ma tmg - T sin π4由上面两式得 T =22—8 一人造地球卫星质量 m =1327kg ，在离地面 h = 1.85 ⨯106 m 的高空中环绕地球作匀速率圆周运动。

求：(1)卫星所受向心力 f 的大小；(2)卫星的速率 v ；(3)卫星的转动周期 T 。

[解] 卫星所受的向心力即是卫星和地球之间的引力f = G M 地 m(R + h )2g = G M 地e= ma t2mg7.82 ⨯103 ⨯ (6378 ⨯103 + 1.85 ⨯106 ) 1327e ω 2 eR 2 由上面两式得 f = mge = 1327 ⨯ 9.8 ⨯(6378 ⨯103 )2= 7.82 ⨯103N(R + h )2(6378 ⨯103+ 1.85 ⨯106 )2(2) 由牛顿第二定律f = mv 2R e + hv == = 6.96 ⨯103 m s(3) 卫星的运转周期T = 2π (R + h ) = v 2π (6378 ⨯103 + 1.85 ⨯106 ) 6.96 ⨯103= 7.43 ⨯103 s = 2h3min40s2—9 试求赤道上方的地球同步卫星距地面的高度。

[解] 设同步卫距地面高度为 h ，距地心为 R +h ，则G Mm = mr ω 2r 2G Mm= mg R 2所以GM = gR 2⎛ gR 2 ⎫1 3代入第一式中r = ⎪ ⎝ ⎭ω = 2π= 7.27 ⨯10-5 rad s24 ⨯ 3600解得r = 4.22 ⨯107 mh = r - R = 4.22 ⨯107 - 6.37 ⨯106 = 3.58 ⨯104 m2—10 自动步枪连发时每分钟射出 120 发子弹，每颗子弹的质量为 m ＝7.90g ，出口速率为 735 m s ，求射击时(以分钟计)抢托对肩的平均压力。

[解] 取∆t 时间之内射出的子弹为研究对象，作用在子弹上的平均力为 N ' ，根据动量定理N '∆t = ∆p∆ m 120 ∆tv - 0 所以 N ' = p = 60= 2mv = 2 ⨯ 7.90 ⨯10-3 ⨯ 735 = 11.6N∆t ∆t故枪托对肩部的平均压力为N = N ' = 11.6N2—11 水力采煤是利用高压水枪喷出的强力水柱冲击煤层。

设水柱直径为 D =30mm ，水速v =56 m s ，水柱垂直射到煤层表面上，冲击煤层后速度变为零。

求水柱对煤层的平均冲力。

2 2 1[解] 取长为 dx 的一段水柱为研究对象，设它受到的煤层的作用力为 N ' ，根据动量定理N 'd t = d p所以N ' = d p =d td t (30 ⨯10-3 )2= -π D 4 ρv 2故水柱对煤层的平均冲力= -π ⨯⨯1⨯103 ⨯ 562 = -2.22 ⨯103 N 4N = -N ' = 2.22 ⨯103 N2—12 F ＝30+4t 的力作用在质量为 10kg 的物体上，求： (1)在开始两秒钟内，此力的冲量是多少?(2)要使冲量等于 300 N ⋅ s ，此力作用的时间为多少?(3)若物体的初速度为 10m s ，方向与 F 相同，在 t =6.86s 时，此物体的速度是多少?[解] 根据冲量定义I = ⎰ F d t = ⎰ (30 + 4t )d t = 30t + 2t 2t t(1) 开始两秒钟此力的冲量(2) 当 I = 300N ⋅ s 时I = 30t + 2t 2 = 30 ⨯ 2 + 2 ⨯ 22 = 68N ⋅ s30t + 2t 2 = 300解得 t = 6.86s(3) 当t = 6.86s 时， I = 300N ⋅ s ，根据动量定理I = ∆p = mv - mv 0因此v = I + mv 0 = 300 + 10 ⨯10 = 40 m sm 102—13 质量为 m 的质点，以不变速率 v 沿图示三角形 ABC 的水平光滑轨道运动。

求质点越过角 A 时，轨道作用于质点冲量的大小。

[解] 如图所示，质点越过 A 角时动量的改变为∆p = m (v - v ) 由图知∆p 的大小0 - d x ⋅ π ⋅ (D 2)2ρv 2∆p = 2mv sin 600 = 3mv根据动量定理I = ∆p = 3mv2—14 质量为 m 的质点在 xOy 平面内运动，其运动方程 r = a cos ωt i + b sin ωt j ，试求：(1)2π质点的动量；(2)从 t ＝0 到t = ω点的动量是否守恒?为什么? [解] 质点的速度这段时间内质点受到的合力的冲量；(3)在上述时间内，质(1) 质点的动量v =d r= -a ω sin ωt i + b ω cos ωt j d tp = mv = m ω(- a s in ωt i + b ω cos ωt j )(1)(2) 由(1)式得t = 0 时，质点的速度v 0 = b ωjt = 2π ω时，质点的速度为v t = -a ω sin 2πi + b ω cos 2πj = b ωj根据动量定理I = ∆p = mv t - mv 0 = 0(3) 质点的动量不守恒，因为质点的速度随时间 t 变化，故动量也随时间 t 变化。