弧度制与角度制的换算关系
弧度制及弧度制和角度制的换算
弧度制的概念和换算总结要点1. 角度制与弧度制:这是两种不同的度量角的制度.角度制是以“度”为单位;弧度制是以“弧度”为单位.2. 度与弧度的相互换算:10≈0.01745弧度, 1弧度≈57018/.3. 在同一个式子中,两种制度不能混用.如:与600终边相同的角的集合不能表示为{x|x=2k π+600,k ∈Z},正确的表示方法是x|x=2k π+3π,k ∈Z }或{ x|x=k ·3600 +600,k ∈Z } 同步练习1. 若α=－3.2,则角α的终边在 ( ) (A)第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限2.①4π, ② －45π,③419π,④－43π,其中终边相同的角是 ( )(A) ①和② (B) ②和③ (C) ③和④ (D) ①和④ 3. 若4π<α<6π,且与－32π角的终边相同,则α=_________. 4.正三角形,正四边形,正五边形, 正六边形, 正八边形, 正十边形, 正n 边形的一个内角的大小分别_____,____ ,_____,_____,_____,_____, ______.(用弧度表示) 5.把下列各角用另一种度量制表示. ⑴1350⑵ －67030/⑶2 ⑷－67π1. 将下列各数按从小到大的顺序排列.Sin40, sin21, sin300, sin12. 把下列各角化成2k π+α（0≤α＜2π,）的形式, 并求出在(－2π,4π)内和它终边相同的角.(1)－316π; (2)－6750.3. 若角θ的终边与1680角的终边相同,求在[0,2π]内终边与3θ角的终边相同的角.练习四 弧度制(二)要点1. 弧长公式和扇形面积公式:弧长公式 L=|α|r 扇形面积公式 S=21Lr=21|α|r 2 其中α是圆心角的弧度数,L 为圆心角α所对的弧长,r 为圆半径.2. 无论是角度制还是用弧度制,都能在角的集合与实数集之间建立起一一对应的关系,但用弧度制表示角时,容易找出与角对应的实数. 同步练习1.半径为5 cm 的圆中,弧长为415cm 的圆弧所对的圆心角等于 ( ) (A)145(B) 1350(C)π135 (D)π1452.将分针拨快10分钟,则分针转过的弧度数是 ( ) (A)3π (B)－3π (C) 6π (D)－6π 3. 半径为 4 的扇形,基它的周长等于弧所在的半圆周的长,则这个扇形的面积是_________.4. 已知一弧所对的圆周角为600,圆的半径为10cm,则此弧所在的弓形的面积等于___________.5. 已知扇形的周长为6cm,面积为2cm 2,求扇形圆心角的弧度数.6. 2弧度的圆心角所对的弦长为2,求这个圆心角所夹扇形的面积.7. 一条弦的长度等于其所在圆的半径r.(1) 求这条弦所在的劣弧长;(2) 求这条弦和劣弧所组成的弓形的面积.【数学2】二、弧度制第一课时教学要求：1．理解弧度制的意义，熟练掌握弧度制与角度制的互换． 教学过程：1．为什么要引入新的角的单位弧度制.（1）为了计算的方便，角度制单位、度、分、秒是60进制，计算不方便； （2）为了让角的度量结果与实数一一对应. 2．弧度制的定义先复习角度制，即1度的角的大小是怎样定义的. 1弧度角的规定.把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 弧度的单位符号是rad ，读作弧度.如上图，AB 的长等于半径r ，∠AOB 的大小就是1弧度的角.弧AC 的长度等于2r,则∠AOC=2rad.问半圆所对的圆心角是多少弧度，圆周所对的圆心角是多少弧度？答：半圆弧长是∴=,,πππrrr 半圆所对的圆心角是π弧度.同样道理，圆周所对的圆心角（称谓周角）的大小是2π弧度.角的概念推广后，弧的概念也随之推广.所以任意一正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是零.3．弧度制与角度制的互化因为周角的弧度数是2π，角度是360°，所以有 radrad radrad 01745.018011802360≈===ππποοοοο1803602==rad rad ππ815730.57)180(1'=≈=οοοrad rad π例1：把.0367化成弧度'ο解：.835.671805.670367rad rad ππ=⨯=='οο例2：把rad 53π化成角度. οο1081805353=⨯=rad π 今后用弧度制表示角时，把“弧度”二字或“rad ”通常省略不写，比如66ππ就表示 rad ，角.2,2rad 等于就是角αα= rad 33sinππ表示角的正弦.οο360~0之间的一些特殊角的度数与弧度数的互化必需熟练掌握.例3：用弧度制表示 （1）与π32终边相同的角； （2）第四象限的角的集合. 解：（1）与.,32232Z k k ∈+πππ终边也相同的角是 （2）第四象限的角的集合是},22223|{Z k k k ∈+<<+ππαππα 也可能写成},222|{Z k k k ∈<<-παππα注意两种角度制不准混合用，如写成.,2120是不对的Z k k ∈+=παο布置作业，课本P 12，1~5题.第二课时教学要求：1．熟练弧度制与角度制的互化，理解角的集合与实数集R 的一一对应. 2．会用弧长公式，扇形面积公式，解决一些实际问题. 教学过程：复习角的弧度制与角度制的转化公式.017453.01801,81.573.573.57)180(1rad rad rad ≈='==≈=πποοοο1．学生先练习，老师再总结.（1）10 rad 角是第几象限的角？ （2）求sin1.5的值.解：（1）有两种方法. 第一种方法οοο21336057310+==rad ，是第三象限的角第二种方法πππππ23210),210(210<-<-+=而 ∴10 rad 的角是第三象限的角. （2）9975.07585sin 5.1sin 75855.1='=∴'=οο也可以直接在计算器上求得，先把角的单位转至RAD ，再求sin1.5即可得. 2．总结角的集合与实数集R 之间的一一对应关系. 正角的弧度数是一个正数，负的弧度数是一个负数， 零角的弧度是零.反过来，每个实数都对应唯一的角（角 的弧度数等于这个实数）这样就在角的集合（元素是角）与实数集R （元素是数） 之间建立了一一对应的关系.3．弧长公式，扇形面积公式的应用由弧度制的定义||αr l rld ==得弧长 例1：利用弧度制证明扇形面积公式l lR S 其中,21=是扇形弧长，R 是圆的半径. 证明：因为圆心角为1 rad 的扇形的面积是ππ22R ，而弧长为l 的扇形的圆心角为rad Rl，所以它的面积 lR R R l S 2122=⋅=ππ.若已知扇形的半径和圆心角，则它的面积又可以写成||21||21212ααR R R lR S =⋅==例2：半径R 的扇形的周长是4R ，求面积和圆心角. 解：扇形弧长为4R-2R=2R ，圆心角)(22rad RR==α 面积2221R R S ==θ. 例3：在扇形AOB 中，∠AOB=90°，弧长为l ， 求它的内切圆的面积. 解：先求得扇形的半径ππllr 22==设圆的半径为x ，圆心为C ，x OC 2||=由πlx x 22=+解得ππll x )12(2)12(2-=+=lS ⊙C ππ22)223(4l x -==4．学生课堂阅读课本P 10~11 例5、例6 并作P 11练习7、8两题.布置作业，课本P 12—13，习题4.2 6、8、9、10、11§4.2弧度制[教学目标]（1）通过本小节的学习，要使学生理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数；（2）了解角的集合与实数集R 之间可以建立起一一对应的关系；（3）掌握弧度制下的弧长公式，会利用弧度解决某些简单的实际问题。
弧度制和角度制之间的换算
1°= 180 rad=0.01745 rad
作业：
P11习题8 - 9
r
4、圆心角为半角时，l r，则 r
r
弧度制和角度制之间的换算：
360°=2 rad 180°= rad
1 rad 0.01745rad
1rad
180 180
57.30
5718
1、弧度制下角的集合与实数集的 一一对应：
正角 零角 负角
正实数 零
负实数
2、求弧长： l
R
例1（1）把67°30′化成弧度。
（2） 把 3 rad化成角度.
5
例2：利用弧度制来推导扇形面积公式S= 1 R,
其中 是扇形的弧长，R是圆的半径． 2
R
S
O
练习：
1、利用弧度制证明下列公式
(1)l R
(2)S
1 2
R2
2、把 1440 0写成 2k (k z)的形式(0 )
小结：
弧度制
角度制
பைடு நூலகம்
度量单位 弧度
角度
单位规定
等于半径的长的 圆弧所对应的圆 心角叫1 rad 的 角
周角的 1 为1度的角 360
换算关系
π =180°
1rad=
180
57.30
57°18′，
角的度量
角度制 弧度制
1度的角等于周角的
1 360
1弧度：长度等于半径的弧所对的圆心角
弧度制
r
| | l
r
R
其中:1、l是以角作为圆心角时所对弧的长，r是半径；
角度制与弧度制的换算与计算
角度制与弧度制的换算与计算数学是一门抽象而又实用的学科，其中涉及到很多概念和计算方法。
在初中数学中，我们经常会遇到角度制和弧度制的问题。
本文将重点讲解角度制与弧度制的换算与计算方法，以帮助中学生更好地理解和应用这两种制度。
一、角度制与弧度制的概念角度制是一种常用的角度计量方式，将一个圆分为360等份，每一份称为一度，用符号°表示。
而弧度制是一种更加抽象和精确的角度计量方式，将一个圆的周长等分为2π份，每一份称为一个弧度，用符号rad表示。
二、角度制与弧度制的换算1. 角度制转弧度制角度制转弧度制的换算公式为：弧度数 = 角度数× π / 180。
例如，将45°转换为弧度制，可以使用公式：弧度数= 45 × π / 180 = π / 4 rad。
2. 弧度制转角度制弧度制转角度制的换算公式为：角度数 = 弧度数× 180 / π。
例如，将π/3 rad转换为角度制，可以使用公式：角度数= π/3 × 180 / π = 60°。
三、角度制与弧度制的计算1. 角度制的计算在角度制中，我们可以进行加减乘除等基本运算。
例如，计算60°+30°的结果为90°，计算90°-45°的结果为45°。
2. 弧度制的计算在弧度制中，我们同样可以进行加减乘除等基本运算。
例如，计算π/4 rad +π/6 rad的结果为5π/12 rad，计算3π/2 rad - π/3 rad的结果为3π/6 rad。
四、角度制与弧度制的应用举例1. 三角函数的计算在三角函数中，我们常常使用弧度制进行计算。
例如，计算sin(π/6)的结果为1/2，计算cos(π/4)的结果为√2/2。
2. 弧长与扇形面积的计算在几何学中，我们需要计算弧长和扇形面积。
在弧度制中，弧长的计算公式为：弧长 = 弧度数 ×半径，扇形面积的计算公式为：扇形面积 = 弧度数 ×半径² / 2。
弧度转度数公式(一)
弧度转度数公式(一)
弧度转度数公式
在数学中，角度的度量单位有弧度和度数两种。
弧度是一种较常用的角度单位，特别适用于三角函数的运算。
度数则是我们常见的角度单位，用于日常生活中的角度测量。
弧度制与度数制的换算公式
弧度制与度数制之间可以通过以下公式进行换算：
1.弧度制转度数制公式弧度数× 180°/π
2.度数制转弧度制公式度数× π/180°
举例说明
弧度制转度数制
假设我们有一个角的弧度为π/6，要将其转换为度数制。
根据公式，我们可以进行如下计算：
弧度数× 180°/π = π/6 × 180°/π = 30°
所以，π/6弧度等于30°。
度数制转弧度制
假设我们有一个角的度数为90°，要将其转换为弧度制。
根据公式，我们可以进行如下计算：
度数× π/180° = 90° × π/180° = π/2
所以，90°等于π/2弧度。
总结
弧度转度数公式和度数转弧度公式是角度单位间进行换算的关键公式。
通过弧度制与度数制之间的转换，我们可以在数学计算和三角函数运算中灵活使用不同的角度单位。
在实际问题中，根据需求选择合适的角度单位进行计算，可以更好地解决问题。
弧度制和角度
弧度制和角度
在圆周上取一段弧AB,令弧长等于半经，弧AB所对的圆心角∠BOA就叫做一个“弧度角”。
用弧度角做单位测量角的大小，叫做“弧度制”。
它与“角度制”之间的换算关系是：
180°=π×弧度
式中的π叫做圆周率，它是圆周长与直经的比值，是一个常数，即圆周长
直经
=π=3.14159……
所以：圆周长=π×直经
或：圆周长=2π×半经
一个圆周长对应的角度是360°。
360°角内包含2π个弧度角，所以
360°=2π弧度
180°=π弧度
1°=π
180°
弧度
在应用弧度制来测量角的时候，“弧度”这两个字通常可以不
写。
如π=180°，π
2=90°，π
3
=60°，等等。
在运算时应当注意，弧度和角度不能直接相加减，必须换算成统一单位以后才能相加减。
二〇二四年十一月二十七日。
三角函数与弧度制角度制的转化表
三角函数与弧度制角度制的转化表一、弧度制与角度制的概念在数学中，我们经常会涉及到角度的计算和转化。
角度的计量方式有两种，一种是角度制，另一种是弧度制。
角度制是以度（°）为单位来度量角度的，一个圆周等于360度，一个直角等于90度。
弧度制是以弧度（rad）为单位来度量角度的，一个圆周等于2π弧度，一个直角等于π/2弧度。
二、角度制转化为弧度制将角度制转化为弧度制，只需将角度除以180，再乘以π即可。
例如，将90度转化为弧度制，计算方法如下：90度÷ 180 × π = π/2弧度同理，将其他角度制转化为弧度制的方法也是一样的。
三、弧度制转化为角度制将弧度制转化为角度制，只需将弧度除以π，再乘以180即可。
例如，将π/2弧度转化为角度制，计算方法如下：π/2弧度÷ π × 180 = 90度同理，将其他弧度制转化为角度制的方法也是一样的。
四、角度制与弧度制之间的转化关系角度制与弧度制是相互转化的，它们之间的转化关系可以通过以下公式表示：角度制 = 弧度制÷ π × 180弧度制 = 角度制× π ÷ 180五、总结通过以上的介绍，我们了解到了角度制与弧度制之间的转化关系。
在实际应用中，我们需要根据具体的问题来选择使用角度制还是弧度制来进行计算和表示。
在数学和物理领域中，弧度制是更为常见和方便的计量方式，因为它与圆的性质更为密切相关。
而在日常生活和一些特定的领域中，角度制更为常用，例如方向、时间和温度等的表示。
希望通过这篇文章，您能够更加清晰地理解三角函数与弧度制角度制的转化关系，为您的学习和工作带来帮助。
弧度制与角度制的转换方法
弧度制与角度制的转换方法弧度制和角度制是数学中常见的两种角度单位制。
在数学、物理等领域中，经常需要进行弧度制和角度制之间的转换。
本文将详细介绍弧度制和角度制的定义及其互相转换的方法。
一、弧度制的定义弧度制是一种角度单位，用弧长与半径之比定义。
当一个弧长等于半径的弧所对的角度为1弧度（1 rad）。
弧度制的符号为"rad"。
二、角度制的定义角度制是一种角度单位，将圆分为360等份，每一份称为一度（1°）。
而每一度又分为60等份，每一份称为一分（1'）。
每一分再分为60等份，每一份称为一秒（1"）。
三、弧度制到角度制的转换方法1. 弧度转角度：θ(°) = θ(rad) * (180/π)弧度制到角度制的转换公式为将弧度乘以180再除以π即可得到对应的角度值。
2. 角度转弧度：θ(rad) = θ(°) * (π/180)角度制到弧度制的转换公式为将角度乘以π再除以180即可得到对应的弧度值。
四、角度制到弧度制的转换方法1. 角度转弧度：θ(rad) = θ(°) * (π/180)角度制到弧度制的转换公式为将角度乘以π再除以180即可得到对应的弧度值。
2. 弧度转角度：θ(°) = θ(rad) * (180/π)弧度制到角度制的转换公式为将弧度乘以180再除以π即可得到对应的角度值。
这两种转换方法是互逆的，即通过其中一种方法转换得到的结果再通过另一种方法转换，应该能够得到原始的角度或弧度值。
五、举例说明1. 将30°转换为弧度制：θ(rad) = 30° * (π/180) = 0.523 rad (取三位小数)2. 将2π/3 rad转换为角度制：θ(°) = (2π/3) * (180/π) = 120°六、应用场景弧度制和角度制在不同的数学和物理问题中有不同的应用。
弧度制和角度制的转换及应用
弧度制和角度制的转换及应用一、弧度制和角度制的定义1.角度制：角度制是一种度量角度大小的制度，以一个圆的周长作为基准，将圆周分为360等分，每一等分称为1度，符号为°。
2.弧度制：弧度制是以圆的半径作为基准，将圆周分为2π等分，每一等分称为1弧度，符号为rad。
二、弧度制和角度制的转换公式1.从角度制转换为弧度制：公式：弧度 = 角度× π / 1802.从弧度制转换为角度制：公式：角度 = 弧度× 180 / π三、弧度制和角度制的应用1.在三角函数中：–三角函数的定义和计算通常使用弧度制。
–在解三角形问题时，可以利用弧度制和角度制的转换，将角度制的角度转换为弧度制，以便于运用三角函数进行计算。
2.在圆周运动中：–描述物体在圆周运动时的角度变化时，通常使用角度制。
–计算物体在圆周运动中的速度、加速度等物理量时，需要将角度制转换为弧度制，以便于使用相应的物理公式。
3.在数学分析和高等数学中：–许多公式和定理涉及角度和弧度的转换。
–在研究周期性函数和角动量等问题时，需要熟练掌握弧度制和角度制的转换。
4.在计算机科学中：–计算机图形学中，坐标系统的转换、旋转等操作涉及弧度制和角度制的转换。
–计算机算法中的循环、迭代等操作，有时也需要用到弧度制和角度制的转换。
弧度制和角度制是数学和物理中常用的两种度量角度大小的制度。
掌握弧度制和角度制的转换公式，以及它们在各个领域的应用，对于中学生来说，是学习数学和物理的基础知识。
在日常学习中，要注意理解和运用这两种制度，提高自己的数学和物理素养。
习题及方法：1.习题：将30°转换为弧度制。
方法：使用转换公式，弧度 = 角度× π / 180答案：30° × π / 180 = π / 62.习题：将π弧度转换为角度制。
方法：使用转换公式，角度 = 弧度× 180 / π答案：π × 180 / π = 180°3.习题：已知一个圆的半径为5cm，求该圆的周长（以弧度制表示）。
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课题：弧度制和弧度制与角度制之间的换算（1） 教学目的：要求学生掌握弧度制的定义，学会弧度制与角度制互化，并进
而建立角的集合与实数集R 一一对应关系的概念。
教学重点：使学生理解弧度的意义，正确地进行角度与弧度的换算.
教学过程：
一、回忆（复习）度量角的大小第一种单位制—角度制的定义。
二、提出课题：弧度制—另一种度量角的单位制
它的单位是rad 读作弧度 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。
如图：AOB=1rad
AOC=2rad
周角=2
rad 1．正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0
2．角的弧度数的绝对值 r
l =α（l 为弧长，r 为半径） 3．用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0） 用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。
三、角度制与弧度制的换算
1、 360
=2rad ∴180= rad ∴ 1=rad rad 01745.0180≈π
o r
C 2rad 1rad r l=2r
o A A B
'185730.571801οοο
=≈⎪⎭
⎫ ⎝⎛=πrad 2．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad ”可以省如：3表
示3rad sin 表示rad 角的正弦 3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住
4．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。
任意角的集合 实数集R
四、例题讲解
例1把'3067ο化成弧度，把rad π5
3化成度 注意：常用特殊角的角度制与弧度制之间的转化
角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°
弧度 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π
角度 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°
弧度 7π/6 5π/4 4π/3 3π/2 5π/3 7π/4 11π/6
2π 例2用弧度制表示：
1 终边在x 轴上的角的集合
2 终边在y 轴上的角的集合
3 终边在坐标轴上的角的集合
正角 零角 负角 正实数 零 负实数
例3．求图中公路弯道处弧AB的长l（精确到1m）图中长度单位为：m？
例4已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积
小结：1．弧度制定义 2．与弧度制的互化
小结：本节课我们学习了：弧度制定义、角度制与弧度制的互化、特殊角的弧度数、用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式．
课堂练习：第12页练习A、B
课后作业：第13页习题1-1A：3、4、5，习题1-1B:3
课堂检测：
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