9.6-4分组分解法(教学课件)
分组分解法因式分解课件
在分组后，需要对每个组内的项式进行因式分解。常用的因式分解技巧包括提公 因式法、十字相乘法、公式法等。根据不同组内项式的特征，选择合适的因式分 解技巧，并灵活运用，以获得最佳的分解结果。
问题三：如何确定分组分解法的正确性？
总结词
确定分组分解法的正确性是确保因式分解结果准确无误的重要步骤。
详细描述
03
原理概述
分组分解法是一种将多项 式分组，然后对每组进行 因式分解的方法。
分组依据
分组依据是多项式的项数 和各项系数的特征，通常 是将系数相近或具有某种 关系的项分为一组。
分解步骤
分组后，对每组进行因式 分解，最后将各组的因式 结果组合起来。
原理应用示例
示例1
将多项式$2x^2 + 3x - 5$分组为$(2x^2 - 5) + 3x$，然后 分别对$2x^2 - 5$和$3x$进行因式分解，得到结果$(2x + 5)(x - 1) + 3x = 2x^2 + x - 5$。
特点
分组分解法适用于多项式的因式 分解，尤其在处理复杂的多项式 时具有高效性和实用性。
分组分解法的应用场景
多项式的因式分解
适用于任何可以分组提取公因式的多 项式，如二次、三次、四次多项式等 。
代数方程的求解
数学竞赛和数学教育
分组分解法是数学竞赛和中学数学教 育中的重要内容，用于提高学生的数 学思维和解题能力。
06 分组分解法的总结与展望
总结
定义
分组分解法是一种将多项式分 组并提取公因式进行因式分解
的方法。
适用范围
适用于具有明显分组特征的多 项式，如三项一组、二项一组 等。
步骤
首先观察多项式的项数和系数 特点，然后选择合适的分组方 式，提取公因式进行因式分解 。
上海教育版七年级上册9.16《分组分解法》课件2
ax ay a
一、填空
(1) ax+ay=a( ) (2) a(x+y)+b(x+y)=(x+y)( ) (3)ax+ay+bx+by =( )( )
问题： （3）与（1）（2）有什么不同？
有相似之处吗？ 你的解题思路是什么？ 你又有什么新发现？ 下一步怎么做？
• 2 分组添括号时要注意符号的变化
• 3要将分解到底，不同分组的结果应该是一 样的。
例题2：
因式分解：a2 - ab 2a 2b
提示：a 2 a a
练习：
因式分解： y 2 xy yz xz
例题3 ①
②
③④
分解因式：6k 2 9km 6mn 4kn
练习:
-----分组，加法结合律
a(3x 4 y) b(3x 4 y)
------第一次提公因式
(3x 4 y（) a b)-----第二次提公因式
m
分组分解法的特点: (1)分组后连续两次提公因式; (2)分组后用公式和提公因式 思考4 ：(1)是否任意分组都行? (2)分组应达 到什么目的?
这类题目有什么特点： 1四项 2分组分解(分组要合理） 做法： 1分组
2每组分别提取公因式 3再提取公因式
概念
(①②)+(③④)
分组分解法：利用分组来分解因式的方法叫做分组
分解法因式分解 。
-
①②③ ④
例题1 分解因式：2ac-6ad+bc-3bd
原式=（2ac-6ad）+（bc-3bd）
=2a(c-3d)+b(c-3d) =(c-3d)(2a+b)
《分组分解法》课件
分组分解法的原理
原理概述
分组分解法的原理基于代数的基本性 质，通过分组和因式分解，将复杂的 多项式简化为易于处理的形式。
原理应用
在数学中，分组分解法广泛应用于解 决代数方程、不等式和函数问题。通 过分组分解，可以简化多项式的计算 过程，提高解题效率。
分组分解法的应用场景
01
02
03
代数方程
在解代数方程时，分组分 解法可以用于简化方程左 侧的多项式，使其更容易 进行因式分解或化简。
要点一
总结词
分组分解法在求解矩阵的逆时也具有重要应用，能够帮助 我们快速找到矩阵的逆。
要点二
详细描述
矩阵的逆是线性代数中一个重要的概念，但在某些情况下 ，直接求逆的计算量非常大。分组分解法提供了一种有效 的替代方法，通过将原矩阵分解为若干个子矩阵，然后分 别求出这些子矩阵的逆，最后再组合起来得到原矩阵的逆 。这种方法在处理大型矩阵时特别有用，能够大大减少计 算时间和计算机存储空间的使用。
求解每个子问题，得到每个因式或公 因式的值。
合并子问题的解
将各个子问题的解合并起来，得到原多项式的分组分解结果 。
检查合并后的结果是否正确，确保所有项都已包含在内，且 没有重复或遗漏。
03 分组分解法的实例分析
实例一：求解线性方程组
总结词
分组分解法在求解线性方程组中具有广 泛应用，能够简化计算过程，提高解题 效率。
实例三：求解特征值和特征向量
总结词
分组分解法在求解特征值和特征向量时同样适用，能 够简化计算过程并提高准确性。
详细描述
特征值和特征向量是矩阵分析中的重要概念，它们在许 多实际问题中都有应用。然而，求解特征值和特征向量 有时会面临计算量大、精度要求高等挑战。分组分解法 提供了一种有效的解决方案，通过将原矩阵分解为若干 个子矩阵，然后分别求出这些子矩阵的特征值和特征向 量，最后再组合起来得到原矩阵的特征值和特征向量。 这种方法能够大大简化计算过程，提高求解的准确性和 效率。
分组分解法2PPT教学课件
2021/01/21
8
例4 把2(a2－3mn)+a(4m－3n) 分解因式.
解: 2(a2－3mn)+a(4m－3n) =2a2－6mn+4am－3an =(2a2－3an)+(4am－6mn) =a(2a－3n)+2m(2a－3n) =(2a－3n)(a+2m).
2021/01/21Biblioteka 9把下列各式分解因式：
2021/01/21
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1.把下列各式分解因式：
(1)x3y－xy3；
(2)a4b－ab4；
(3)4x2－y2+2x－y； (4)a4+a3+a+1；
(5)x4y+2x3y2－x2y-2xy2；
(6)x3－8y3－x2－2xy－4y2；
(7)x2+x－(y2+y)；
(8)ab(x2－y2)+xy(a2－b2).
2021/01/21
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例3 把45m2－20ax2+20axy－5ay2 分解因式.
解: 45m2－20ax2+20axy－5ay2 =5a(9m2－4x2+4xy－y2) =5a[9m2－(4x2－4xy+y2)] =5a[(3m2)－(2x－y) 2] =5a(3m+2x－y)(3m－2x+y)
(1)a2+2ab+b2－ac－bc；
(2)a2－2ab+b2－m2－2mn－n2；
(3)4a2+4a－4a2b+b+1；
(4)ax2+16ay2－a－8axy；
(5)a(a2－a－1)+1；
(6)20a21/b01/2(1 m2+n2)+mn(a2+b2)；
9.6因式分解(十字相乘、分组分解)
9.6因式分解——分组分解法、十字相乘法班级________姓名________【学习目标】1、理解分组分解法、十字相乘法的概念和意义，会用分组分解法、十字相乘法进行因式分解。
2、培养学生的观察、分析、抽象、概括的能力，渗透化归数学思想和局部、整体的思想方法。
【学习过程】I.分组分解法一、分解因式：（1）ax+ay+ab+ac （2）ax+ay+bx+by二、新知探索：把下列多项式分解因式：1.按字母特征分组：（1）a+b+ab+1 （2）a²-ab+ac-bc2.按系数特征分组：（1）2x²+3y+xy+6x （2）2ac-6ad+bc-3bd3.按指数特点分组：（1）a²-b²+2a-2b （2）x²+x-4y²-2y4.按公式特点分组：（1）a²-2ab+b²-c²（2）a²-4b²+12bc-9c²小结：分组分解法的步骤：（1）________________________（2）________________________（3）________________________练习1：把下列各式分解因式：（1）x²+6y-3x-2xy （2）a²+ab-3a-3b （3）4x²-4xy-a²+y²（4）1-m²-n²+2mnII ．十字相乘法一、情境创设：1.口答计算结果： （1）（x+2）（x-1） （2）（x+2）（x+1） （3）（x+3）（x+2） （4）（x+2）（x-3）（5）（x-2）（x+1） （6）（x-2）（x+3） （7）（x-2）（x-1） （8）（x-2）（x-3）2.想一想：你怎样将这类题目算得又快有准确呢？二、探索尝试：根据上面的公式将多项式写成两个一次因式相乘的形式：x ²+（2 +3）x+ 2 × 3 = x ²+（-1-2）x+（-1）×（-2）= x ²+（-1+2）x+（-1）× 2 = x ²+（ 1-2）x+ 1 ×（-2）= 小结：对于二次三项式q px x ++2，若ab q b a p =+=,， 则()ab x b a x q px x +++=++22可分解为()()b x a x ++三、例题讲解：将下列各式因式分解（1）x ²+7x+6 （2）x ²-5x-6 （3）x ²-5x+6练习2：把下列各式分解因式：（1）x ²-7x+6 （2）a ²-4a-21 （3）t ²-2t-8（4）x ²+xy-12y ² （5）x 2+5x-6 （6）a ²-11ab-12b ²III.自主检测：分解因式 1．1--+b a ab2．22441b ab a --- 3．by bx ay ax 3322--+4．1072+-x x 5．x x x +-232 6．2)(3)(2++-+y x y x ()pxx b a bx ax bxbxax a x =+=++课后作业姓名____________班级____________一、选择题1．如果))((2b x a x q px x ++=+-，那么p 等于 ( )A ．abB ．a ＋bC ．－abD ．－(a ＋b )2．如果305)(22--=+++⋅x x b x b a x ，则b 为 ( )A ．5B ．－6C ．－5D ．63．多项式a x x +-32可分解为(x －5)(x －b )，则a ，b 的值分别为 ( ) A ．10和－2 B ．－10和2 C ．10和2 D ．－10和－24．分解结果等于(x ＋y －4)(x ＋y －5)的多项式是 ( )A ．20)(13)(2++-+y x y xB ．20)(13)22(2++-+y x y xC ．20)(13)(22++++y x y xD ．20)(9)(2++-+y x y x 二、填空题1．=-+1032x x __________．2．=--652m m (m ＋a )(m ＋b )． a ＝__________，b ＝__________． 3．+2x ____=-22y (x －y )(__________)．4．22____)(____(_____)+=++a mna ． 5．若x －y ＝6，3617=xy ，则代数式32232xy y x y x +-的值为__________．三、解答题1.把下列各式分解因式：(1)6724+-x x ； (2)36524--x x ； (3)2287b b a a --；(4)1+--y x xy (5)315523+--x x x (6)x xy y x 21372-+-2．把下列各式分解因式：(1)2224)3(x x -- (2)9)2(22--x x(3)2222)332()123(++-++x x x x (4)60)(17)(222++-+x x x x(5)8)2(7)2(222-+-+x x x x ； (6)48)2(14)2(2++-+b a b a(7)xy y x y xy x x 22))(1(3222+++-+ (8)b a bx ax bx ax ++--+223．已知x ＋y ＝2，xy ＝a ＋4，2622=+y x ，求a 的值．5. 已知：长方形的长、宽为x 、y ，周长为16cm ，且满足02222=++-+-y xy x y x ，求长方形的面积。
分组分解法ppt课件
(3) -x3y3-x2y2+xy
(4) -12a2m+1bm+2+20am+1b2m+4
解原式=-xy(x2y2+xy-1) 解原式=-4am+1bm+2(3am5bm+2)
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
练习5: ab - 1 + a - b
解原式 = a(b + 1) - (b + 1) = (b + 1)(a - 1)
解原式 = b(a - 1) + (a - 1) = (a - 1)(b + 1)
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
因式分解
(3) -x3y3-x2y2+xy
(4) -12a2m+1bm+2+20am+1b2m+4
解原式=-xy(x2y2+xy-1) 解原式=-4am+1bm+2(3am5bm+2)
因式分解时，应首先考虑能否提取
公因式，能提取公因式的，要先提取公
因式而后考虑继续分解，公因式的符号
一般应与多项式的首项的符号相同。
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
因式分解
分析
在用分组分解法因式分解时，要注意分 组不能使一个多项式变为乘积形式，分 组的目的是分好的各组能提取各自的公 因式同时使各组提取公因式后剩下的多 项式又是各组的公因式，可以再提取， 从而使问题得到解决，上述规律可以通
七年级数学上册 9.16《分组分解法》课件
第二页，共三十页。
【注意】 (1)把有公因式的各项归为一组，并使组之间产生新的公因
式，这是正确分组的关键，因此，设计分组方案是否有效
要有预见性. (2)分组的方法不唯一，而合理地选择分组方案，会使 分解过程简单. (3)分组时要用到添括号法则，注意在添加带有“－”号的 括号时，括号内每项的符号都要改变. (4)实际上，分组只是为完成分解创造条件，并没有直 接达到(dádào)分解的目的．
例２ 把2ax-10ay+5by-bx分解(fēnjiě)因 分析式：把这个多项式的前两项与后两项分
成两组，然后从两组分别提出(tí chū)公因式
2a与-b，这时，另一个因式正好都是 x-5y，这样全式就可以提出公因式x-5y。
第八页，共三十页。
还有其他(qítā)分 组的方法吗？
解： 2ax-10ay+5by-bx ： 解法 二 (jiě fǎ)
=(2ax-10ay)+(5by-bx) 2ax-10ay+5by-bx
=(2ax-10ay)+(-bx +5by）=(2ax-bx)+(5by-10ay)
=2a(x-5y)-b(x- 5y)
=(2ax-bx)+(-10ay +5by）
=(x-5y)(2a-b)
=x(2a-b)-5y(2a-b)
= (2a-b)(x-5y)
am+bm+an-cm+bn-cn
=(am+bm-cm)+(an+bn-cn)
=m(a+b-c)+n(a+b-c)
西师大版数学(2024)一年级上册1.1.4 6-9 的组合与分解课件(共32张PPT)
6可以分成1和5,1和 5能组成6。
互动新授
6的组合与分解
6
谁能说一说6 可以怎么 分,6是由哪 两个数组成 的?
6可以分成5和1,5 和16
谁能说一说6 可以怎么 分,6是由哪 两个数组成 的?
6还可以分成2和4,也可 以分成4和2。它们都 能组成6。
互动新授
8可以分成6和2 也可以分成2和6。 它们都能组成8。
8可以分成5和3也 可以分成3和 5。 它们都能组成8。
8因可为以两分边成同4样和多4，，4 和调换4能过组来成还8是。一样。
互动新授
8的组合与分解
22
5 3 35
44
小 6和和结5请 法;28,：也可有同8可以条学可以分理们以分地打分成成把开成4和2例教7和和4题材。61;中第,8也可的1可6以空页以格分，分填成根成上5据1和。小和3,棒7也。的可8分可以以分分成成3
谁能来说说5个蘑菇 可以怎样分?
可以分为4和1。
复习导入
同学们可是帮了小兔子大 忙了。既然大家都会5的 组合与分解了,那么我们 一起来看看 6~9的组合与 分解吧!
可以分为1和4。 可以分为2和3。 可以分为3和2。 可以分为4和1。
互动新授
6的组合与分解
6
请谁大能家说拿一出说6根6 小人摆小可分两为棒棒,以,个看6单分,是一以怎数位成看同由么组两,桌摆 ,哪6成根堆两一, 有的几? 种分法？
复习导入
同学们还记得我们学过的 5的分解与组合吗?今天老 师想请同学们帮两只小兔 子分一分蘑菇,看看可以 怎样分。
复习导入
谁能来说说5个蘑菇 可以怎样分?
可以分为1和4。
复习导入
谁能来说说5个蘑菇 可以怎样分?
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解:原式= a(a b) c(a b)
(a b)(a c)
这个多项式各项既没有公因式,又不能 直接运用公式,所以设法把原多项式的前 两项与后两项分成两组,在前两项提出a, 后两项提出c,发现两组都含有因式(a-b), 再继续用提取公因式法分解因式分组. 这种分解因式的方法叫做分组分解法.
典例讲析
例1：因式分解：⑵ 2ax 10ay 5by bx
解:原式= 2ax 10ay bx 5by
2a( x 5 y) b( x 5 y) ( x 5 y)(2a b)
用分组分解法分解因式,一定要想想 分组后能否继续进行分解因式.
练习1
因式分解：⑴ 5m(a b) a b
练习：因式分解
2、x 6xy 9 y 9 y 3x
2 2
x 6xy 9 y 3x 9 y
2 2
x 3y 3x 3y
1.若
2
,则
x 3 y x 3 y 3
小结:
如果一个多项式各项既没有公因式, 又不能直接运用公式,但把一个多项 式分组后各组都能分解因式,且在各 组分解后,各组之间又能继续分解因 式,那么这个多项式就可以用分组分 解法分解因式. 用分组分解法分解因式,一定要想想 分组后能否继续进行分解因式.
练习2 分解因式:
(1).x y 2x 2 y
2 2
( x y)(x y) 2( x y) ( x y)(x y 2)
(2).2a 6b a 9b
2
2
2(a 3b) (3b a)(3b a) (a 3b)(2 3b a)
5m(a b) (a b) (a b)(5m 1)
(2).2m 2n 4 x(n m) 2(m n) 4 x(m n) 2(m n)(1 2 x)
(2).4 xy 3 yz 8x 6 z y(4 x 3z) 2(4 x 3z ) (4 x 3z )( y 2)
这个多项式的前两项用平方差公 式分解后与后两项有公因式(x+y)可 继续分解,这也是分组分解法中常见 的情形.
典例讲析
例2：因式分解：⑵ a 2ab b c
2 2 2
解:原式= (a b) c
2
2
(a b c)(a b c)
如果把一个多项式分组后各组都 能分解因式,且在各组分解后,各组之 间又能继续分解因式,那么,这个多项 式就可以用分组分解法分解因式.
1.若 ,则
∴(a-3)2+(b+1)2=0
∴a=3,b=-1
练习3：因式分解
1、a b a b 1
2 2
2
2
2
a b 1 b 1
2 2 2 2
b 1a 1
继续分解因 式为止.
(3).1 6ab a 9b
2 2
2
1 (a 6ab 9b ) 2 1 (a 3b)
2
(1 a 3b)(1 a 3b)
练习：已知a2+b2-6a+2b+10=0,求a,b 的值. 解:∵ a2+b2-6a+2b+10=0
∴
a2-6a+9+b2+2b+1=0
作业：
实验手册P72
(3).x 3x 3x 9
3 2
x ( x 3) 3( x 3)
2
( x 3)(x 3)
2
典例讲析
例2：因式分解：⑴
x y ax ay
2 2
解:原式= ( x y)(x y) a( x y)
( x y)(x y a)
实践与探索
因式分解：⑴ a(a 2) a 2
解:原式=a(a 2) (a 2)
(a 2)(a 1)
实践与探索
因式分解：⑵ m n p(n m)
解:原式= (m n) p(m n)
(m n)(1 p)
典例讲析
例1：因式分解：⑴ a ab ac bc