中考数学专题知识突破专题五数学思想方法

2015中考数学专题知识突破专题五数学思想方法（一）

（整体思想、转化思想、分类讨论思想）

一、中考专题诠释

数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。

抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．

二、解题策略和解法精讲

数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。

三、中考考点精讲

考点一：整体思想

整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体,通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。

整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。

例1 若a-2b=3，则2a-4b-5= ．

1．已知实数a，b满足a+b=2，a-b=5，则（a+b）3•（a-b）3的值是．

2.（2014•威海）已知x2－2=y，则x（x－3y）+y（3x－1）－2的值是（）A．－2 B．0 C．2 D．4

考点二：转化思想

转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、图形与图形之间都可以通过转化来获得解决问题的转机。

例2 如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容

器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上

沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为m（容

器厚度忽略不计）．

变式训练

1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P是AB上的任意一点，作PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，连结DE，则DE的最小值

为。

2. （2014•潍坊）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高

二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”

题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高

为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰

好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是尺．

考点三：分类讨论思想

在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加

以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是

一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，

它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．

例3 某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案，印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要．两种印刷方式的费用y（元）与印刷份数x（份）之间的关系如图所示：

（1）填空：甲种收费的函数关系式是．

乙种收费的函数关系式是．

（2）该校某年级每次需印制100～450（含100和450）份学案，选择哪种印刷方式较合算？

变式训练

1．（2014•潍坊）经统计分析，某市跨河大桥上的车流速度v（千米/小时）是车流密度x（辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到220辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为80千米/小时，研究表明：当20≤x≤220时，车流速度v是车流密度x的一次函数．

（1）求大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度；

（2）在交通高峰时段，为使大桥上的车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时，应控制大桥上的车流密度在什么范围内？

（3）车流量（辆/小时）是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量=车流速度×车流密度．求大桥上车流量y的最大值．

2.（2014•德州）问题背景：如图1：在四边形ABC中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．

小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；

探索延伸：

如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的

点，且∠EAF=1

2∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；

实际应用：

如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．

四、达标检测

1．已知一个圆柱的侧面展开图为如图所示的矩形，则其底面圆的面积为（）