线性连续系统的能控性
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能控性与能观性
c11 c12 c c22 21 y (t ) c m1 cm 2 c1n e1t x10 c2 n e2t x20 nt cmn e xn 0
假使输出矩阵C中有某一列全为零，譬如说第2列中c12, c22, …, cm2均为零，则在 t y(t)中将不包含 e 2 x20这个自由分量，亦即不包含 x2(t)这个状态变量，很明显，这 个x2(t)不可能从y(t)的测量值中推算出来，即x2(t)是不能观的状态。
系统是状态完全能控的
x 2 1 x2 b2u y c1 c2 x
1 1 b1 x x u; 0 0 1
对于式(3-5)的系统
x 1 1 x1 x2 b1u x 2 1 x2
x2不受u(t)的控制，而为不能控的系统。
对式(3-3)的系统，系统矩阵A为对角线型，其标量微分方程形式为
x 1 1 x1
x 2 2 x2 b2u
x 2
x 1
1 1 0 x x u; 0 1 b2
对于式(3-4)的系统
y c1 c2 x
x 1 1 x1 x2
c13 c23 c33
1 2 1t 1t 1t e x10 te x20 t e x30 2! x1 (t ) 1t 1t e x20 te x30 这时，状态方程的解为 x(t ) x2 (t ) x ( t ) 3 1t e x 30
从而
y1 (t ) c11 c12 y (t ) y2 (t ) c21 c22 y3 (t ) c31 c32
假使输出矩阵C中有某一列全为零，譬如说第2列中c12, c22, …, cm2均为零，则在 t y(t)中将不包含 e 2 x20这个自由分量，亦即不包含 x2(t)这个状态变量，很明显，这 个x2(t)不可能从y(t)的测量值中推算出来，即x2(t)是不能观的状态。
系统是状态完全能控的
x 2 1 x2 b2u y c1 c2 x
1 1 b1 x x u; 0 0 1
对于式(3-5)的系统
x 1 1 x1 x2 b1u x 2 1 x2
x2不受u(t)的控制，而为不能控的系统。
对式(3-3)的系统，系统矩阵A为对角线型，其标量微分方程形式为
x 1 1 x1
x 2 2 x2 b2u
x 2
x 1
1 1 0 x x u; 0 1 b2
对于式(3-4)的系统
y c1 c2 x
x 1 1 x1 x2
c13 c23 c33
1 2 1t 1t 1t e x10 te x20 t e x30 2! x1 (t ) 1t 1t e x20 te x30 这时，状态方程的解为 x(t ) x2 (t ) x ( t ) 3 1t e x 30
从而
y1 (t ) c11 c12 y (t ) y2 (t ) c21 c22 y3 (t ) c31 c32
第4章（1）线性控制系统的能控性和能观性
第4章（1）线性控制系统的能控性和能观性第四章线性控制系统的能控性和能观性在现代控制理论中，能控性(Controllability)和能观性(Observ- ability)是两个重要的概念，它是卡尔曼(Kalman)在1960年提出的，是最优控制和最优估计的设计基础。
能观（测）性针对的是系统状态空间模型中的状态的可观测性，它反映系统的内部状态x(t)（通常是不可以直接测量的）被系统的输出量y(t)（通常是可以直接测量的）所反映的能⼒。
能控性严格上说有两种，⼀种是系统控制输⼊u(t)对系统内部状态x(t)的控制能⼒，另⼀种是控制输⼊u(t)对系统输出y(t)的控制能⼒。
但是⼀般没有特别指明时，指的都是状态的可控性。
所以，系统的能控性和能观性研究⼀般都是基于系统的状态空间表达式的。
4-1 线性连续定常系统的能控性定义对于单输⼊n 阶线性定常连续系统bu Ax x+= 若存在⼀个分段连续的控制函数u(t)，能在有限的时间段 []f t t ,0内把系统从0t 时刻的初始状态()0t x 转移到任意指定的终态()f t x ，那么就称系统在0t 时刻的状态()0t x 是能控的；如果系统每⼀个状态()0t x 都能控，那么就称系统是状态完全可控的。
反之，只要有⼀个状态不可控，我们就称系统不可控。
对于线性定常连续系统，为简便计，可以假设00=t ，()0=f t x ，即00=t 时刻的任意初始状态()0x ，在有限时间段转移到零状态()0=f t x （原点）。
4-2线性连续定常系统的能控性判别4-2-1具有约旦标准型系统的能控性判别 1．单输⼊系统具有约旦标准型系统bu x x+Λ==Λn λλλλ0000000000000321n λλλλ≠≠≠≠ 321即为n 个互异根或bu Jx x+==++n m m J λλλλλλ000000000000000100000000121111m 个重根1λn-m 个互异根n m m λλλ≠≠≠++ 21 例：分析下列系统的能控性（1）u b x x+??=221000λλ[]x c c y 21=解：?=111x xλ 1x 与u ⽆关，即不受u 控制 ?+=u b x x2222λ 2x 为能控状态该系统为状态不完全能控，因⽽为不能控系统。
现代控制理论 工程硕士 第三章 线性系统的能控性与能观性
如果存在着无约束的阶梯输入序列
ui ( k ), ui ( k + 1),, ui ( k + m 1) ( i = 1,2,, p )
在有限的m个采样周期之内, 在有限的m个采样周期之内,能使系统的状态向 量从任意给定的初态x(k) x(k), 量从任意给定的初态x(k),转移到任意期望的终 (k+m), 态xf(k+m),则称该离散系统是状态完全能控的 简称系统能控. ,简称系统能控.
定理
n阶线性定常离散系统 x ( k + 1) = Ax ( k ) + Bu( k )
状态完全能控的充要条件为, 状态完全能控的充要条件为,系统的能控性矩阵
Qk = [ B
的秩为n 的秩为n
AB
A 2 B A n 1 B ]
例:设单变量线性定常离散系统的状态方程为 1 2 1 0 x( k + 1) = 0 1 0 x( k ) + 0 u( k ) 1 4 3 1 试判断系统的能控性. 试判断系统的能控性. 解
输出y只能反映状态变量 x2 ,所以
x1不能观测.
例2:取 iL 和uc 作为状态变量,u—输入, y= uc --输出. L (1)当 R1 R4 ≠ R2 R3 + u -
iL
R1
R2
R3
uc
R4
状态能控,能观测 (2)当 R1 R4 = R2 R3 uc ≡ 0 u只能控制 iL , 不能控,不能观测.
λ3 λ3 λ3
0 1 0 B = 0 1 0 1
0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0
能控
4. 线性变换后系统的能控性不变 设
x = Ax + Bu
ui ( k ), ui ( k + 1),, ui ( k + m 1) ( i = 1,2,, p )
在有限的m个采样周期之内, 在有限的m个采样周期之内,能使系统的状态向 量从任意给定的初态x(k) x(k), 量从任意给定的初态x(k),转移到任意期望的终 (k+m), 态xf(k+m),则称该离散系统是状态完全能控的 简称系统能控. ,简称系统能控.
定理
n阶线性定常离散系统 x ( k + 1) = Ax ( k ) + Bu( k )
状态完全能控的充要条件为, 状态完全能控的充要条件为,系统的能控性矩阵
Qk = [ B
的秩为n 的秩为n
AB
A 2 B A n 1 B ]
例:设单变量线性定常离散系统的状态方程为 1 2 1 0 x( k + 1) = 0 1 0 x( k ) + 0 u( k ) 1 4 3 1 试判断系统的能控性. 试判断系统的能控性. 解
输出y只能反映状态变量 x2 ,所以
x1不能观测.
例2:取 iL 和uc 作为状态变量,u—输入, y= uc --输出. L (1)当 R1 R4 ≠ R2 R3 + u -
iL
R1
R2
R3
uc
R4
状态能控,能观测 (2)当 R1 R4 = R2 R3 uc ≡ 0 u只能控制 iL , 不能控,不能观测.
λ3 λ3 λ3
0 1 0 B = 0 1 0 1
0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0
能控
4. 线性变换后系统的能控性不变 设
x = Ax + Bu
现代控制理论第三章
方法一： 直接根据状态方程的A阵和B阵
方法二：
转化为约旦标准形 ( Aˆ, Bˆ ) ，再根据 Bˆ 判断
方法三： 传递函数
3.2 线性连续系统的能控性
方法一：线性定常连续系统(A，B), 其状态完全能控的 充要条件是其能控性矩阵的秩为n，即：
rankQc = n Qc = [ B AB A2B … An 1B ]
0 0 2
3
4 1 0
4 2
(2)
x (t)
0
4
0 x(t) 0 0u(t)
0 0 2
3 0
3.2 线性连续系统的能控性 方法三：
3.2 线性连续系统的能控性 例：从输入和状态矢量间的传递函数确定其能控性？
3.2 线性连续系统的能控性 例：判断线性连续系统能控性？
解：
3.2 线性连续系统的能控性
3.3 线性系统的能观测性
例：判断能观测性？
x (t)
2 1
1 3
x(t
)
1
1
u(t)
y(t
)
1 1
0 0 x(t)
解：
C Q0 CA
10 1 0
2 1 2 1
rankQo = 2 = n
系统能观测
3.3 线性系统的能观测性
例： 若系统的状态空间表达式为
x (t)
a d
5
x(t
)
1
7
（2）
x (t)
5
x(t)
1
y(t) 0 4 5x(t)
3 2 0 y(t) 0 3 1 x(t)
（3）
3 1 0
0 3 1
x (t) 0 0 3
x(t)
2
方法二：
转化为约旦标准形 ( Aˆ, Bˆ ) ，再根据 Bˆ 判断
方法三： 传递函数
3.2 线性连续系统的能控性
方法一：线性定常连续系统(A，B), 其状态完全能控的 充要条件是其能控性矩阵的秩为n，即：
rankQc = n Qc = [ B AB A2B … An 1B ]
0 0 2
3
4 1 0
4 2
(2)
x (t)
0
4
0 x(t) 0 0u(t)
0 0 2
3 0
3.2 线性连续系统的能控性 方法三：
3.2 线性连续系统的能控性 例：从输入和状态矢量间的传递函数确定其能控性？
3.2 线性连续系统的能控性 例：判断线性连续系统能控性？
解：
3.2 线性连续系统的能控性
3.3 线性系统的能观测性
例：判断能观测性？
x (t)
2 1
1 3
x(t
)
1
1
u(t)
y(t
)
1 1
0 0 x(t)
解：
C Q0 CA
10 1 0
2 1 2 1
rankQo = 2 = n
系统能观测
3.3 线性系统的能观测性
例： 若系统的状态空间表达式为
x (t)
a d
5
x(t
)
1
7
（2）
x (t)
5
x(t)
1
y(t) 0 4 5x(t)
3 2 0 y(t) 0 3 1 x(t)
（3）
3 1 0
0 3 1
x (t) 0 0 3
x(t)
2
4_2能控性定义及其判别准则
第二节 能控性定义及其判别准则
1. 线性定常能控性的定义 设线性பைடு நூலகம்常系统的状态方程为：
x(t) Ax(t) Bu(t)
定义：若存在一个任意的控制向量 u(t), 能在有限的 时间 t0 t t1内，把系统从初始状态 x(t0 ) (t0可为0)转 移到终止状态 x(t1) 0，则称系统状态在t0时刻是能
z z bˆu 式中 z V 1x, bˆ V 1b
用这种相似变换后得到的状态方程中状态 变量是彼此解耦的，即每个状态变量都不受其 它状态变量的影响，而只受控制作用的直接控 制，显然，系统状态能控的条件是控制矩阵每 个元素均不为零, 即
bˆi 0
12
推广到多变量系统，变换后，状态方程为:
z z Bˆu
P64
21
作业
P107 第一题 P108 第二、三、六题 P109 第八题
22
下面给出将状态方程化为对角线型或亚当标 准型的方法，同时根据能控性定义，给出吉伯特 准则。
10
首先考虑单变量系统（线性定常），其状态 方程为：
x Ax bu
设矩阵A的各特征值互不相同，则有一个
n×n维非奇异阵V将A化为对角线矩阵 ,
即
1
0
V 1AV
2
0
n
11
经过变换后的状态方程为：
0
1
1
0
矩阵J为：
0
J
0 1 4 1 0 4
6
0
n
15
在这种情况下，Gilbert提出的系统状态完全 能控的条件为： 1) V-1B中与每个亚当块最后一行相对应的行向量
不为0； 2) V-1B中与不同特征值相对应的各行中元素不全
1. 线性定常能控性的定义 设线性பைடு நூலகம்常系统的状态方程为：
x(t) Ax(t) Bu(t)
定义：若存在一个任意的控制向量 u(t), 能在有限的 时间 t0 t t1内，把系统从初始状态 x(t0 ) (t0可为0)转 移到终止状态 x(t1) 0，则称系统状态在t0时刻是能
z z bˆu 式中 z V 1x, bˆ V 1b
用这种相似变换后得到的状态方程中状态 变量是彼此解耦的，即每个状态变量都不受其 它状态变量的影响，而只受控制作用的直接控 制，显然，系统状态能控的条件是控制矩阵每 个元素均不为零, 即
bˆi 0
12
推广到多变量系统，变换后，状态方程为:
z z Bˆu
P64
21
作业
P107 第一题 P108 第二、三、六题 P109 第八题
22
下面给出将状态方程化为对角线型或亚当标 准型的方法，同时根据能控性定义，给出吉伯特 准则。
10
首先考虑单变量系统（线性定常），其状态 方程为：
x Ax bu
设矩阵A的各特征值互不相同，则有一个
n×n维非奇异阵V将A化为对角线矩阵 ,
即
1
0
V 1AV
2
0
n
11
经过变换后的状态方程为：
0
1
1
0
矩阵J为：
0
J
0 1 4 1 0 4
6
0
n
15
在这种情况下，Gilbert提出的系统状态完全 能控的条件为： 1) V-1B中与每个亚当块最后一行相对应的行向量
不为0； 2) V-1B中与不同特征值相对应的各行中元素不全
现代控制理论第三章
B
AB
0 1 An 1B n 1
如果系统是能控的，对于任意给定的初始状态x(0)都 能解出 i , i 0, , n 1，其有解的充分必要条件为
rank B AB An 1 B n
判断下面系统的能控性
输出能控性定义:如果系统的输入信号能在有限的 时间区间[t0，tf]内，将系统的任意初始输出转移到y(tf)， 那么该系统为输出完全能控的。
输出能控性判据：考虑系统
x ' Ax Bu y Cx Du
状态完全能控的充分必要条件是
rank CB CAB CAn 1 B D m
上式表明，根据在[0，tf]时间的量测值y(t)，能够 将初始状态x(0)唯一地确定下来的充要条件是
C CA n rank n 1 CA
（1）在能观测性定义中之所以把其规定为对初始 状态的确定，是因为一旦确定了初始状态，便可以 根据给定的输入信号u(t)，利用状态转移方程求出系 统在各个瞬时的状态。 （2）能观测性表示的是y(t)反映状态向量x(t)的能 力，考虑到输入信号u(t)所引起的输出是可计算的， 所以在分析能观测性问题时，常令u(t)=0。
S1的能控性等价于S2的能观性
S1的能观性等价于S2的能控性
四、能控标准型和能观标准型（单变量系统线性系统） 1 、能控标准型 若系统的状态空间表达式为：
x ' Ac x bcu y Cc x
0 Ac 0 an
1 0 an 1
0 1 a1
能控性判据：考虑系统
x ' Ax Bu
状态完全能控的充分必要条件是
rank B AB An 1 B n
现代控制理论(12-17讲：第4章知识点)
0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 x y x 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0
MIMO系统，n=5，r=5，独立特征向量为2， C阵对应列 (1、4列)，线性无关, 故系统状态完全能观。
4-4 线性定常离散系统的能控性和能观性
故系统是不能观测的。
y 3 2 0 x
18
例2：判定如下系统的能观性。
1 0 3 x x 7 u 0 3
0 0 1 y x 0 u 1 1
故系统是能观测的。
特别要注意特征值互异的条件，否则会影 响判定结论的正确性。
解： n=3、 r=1 有
0 2 8 Q c B AB A 2 B 0 0 0 1 3 11
显然：
rankQc 2( n)
4
故系统是不能控的。
3、能控性判据之二 (1)、系统特征值互异的情况：
若线性定常系统： Ax + Bu , 具有n个互不相同的 x 特征值，则其状态完全能控的充分必要条件是，系统经非 奇异变换后的状态方程式：
C 1 1 rankQo rank 1 n CA 5 5
故系统是不能观测的.（detQo=0）
16
例2：判定如下系统的能观性。
2 1 1 x x 1 u 1 3
1 0 y x 1 0
b1 0
故系统状态不可控。
特别要注意特征值互异的条件，否则会影 响判定结论的正确性。
(2)、系统具有重特征值的情况： 若线性定常系统： Ax + Bu , 具有重特征值，且 x 每一个重特征值只对应一个独立特征向量，则其状态完全能 控的充分必要条件是，系统经非奇异变换后的Jordan规范形：
现代控制理论第三章线性系统的能控性和能观测性
1 x1 u x 2 2 x2 u x y x x 1 2
1 x
u
1 s 1 s
2
x1
y
x2
2 x
由于状态变量x1、x2都受控于输入u，所以系统 是能控的；输出y能反映状态变量x1，又能反映状 态变量x2的变化，所以系统是可观测的。 即状态变量x1能控、可观测；状态变量x2能控、 可观测。
任意初态 x(t0 ) x 零终态 x(t f ) 0
状态完全能控
Байду номын сангаас
第 三章 线性控制系统式的能控性和能观测性
②把系统的初始状态规定为状态空间的原点， 即 x(t 0 ) 0，终端状态规定为任意非零有限点， 则可达定义表述如下： 对于给定的线性定常系统
Ax Bu ，如果 x
存在一个分段连续的输入 u (t )，能在 [t 0 , t f ] 有限时间间隔内，将系统由零初始状态 x(t 0 ) 转移 到任一指定的非零终端状态 x(t f ) ，则称此系统 是状态完全可达的，简称系统是可达的（能达的）。 任意初态 x(t0 ) 0 零终态 x(t f ) x 状态完全可达
第 三章 线性控制系统式的能控性和能观测性
1. 直接由A，B矩阵的结构判断系统的能控性 定理： 系统
( A, B )
即
A(t )x B(t )u x y C (t )x D(t )u
状态完全能控的充分必要条件是其能控性矩阵
Qk [ B AB A2 B An1 B]
一、线性定常连续系统状态能控性的定义 定义3.1（状态能控性定义）：
Ax Bu，如果存在一个 对于线性定常系统 x 分段连续的输入u(t)，能在有限时间间隔[t0,tf]内， 使得系统从某一初始状态x(t0)转移到指定的任一 终端状态x(tf) ，则称此状态是能控的。若系统的 所有状态都是能控的，则称此系统是状态完全能 控的，简称系统是能控的。
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Ch.4 线性系统的能控性和 能观性
本章简介(1/1)
本章简介
本章讨论线性系统的结构性分析问题。 主要介绍 动态系统的状态空间模型分析的两个基本结构性质---状态能控性和能观性,以及 这两个性质在状态空间模型的结构分解和线性变换 中的应用, 并引入能控规范形和能观规范形, 以及实现问题与最小实现的概念。 本章最后介绍基于Matlab的控制系统的结构性分析问题 的程序设计与计算。
能控性的直观讨论(7/12)
O QO
由各水槽中所盛水量的平 衡关系和流量与压力(水面 高度)的关系,有
QO 2 Q2
1 Q1
h1 h2
dh1 A1 dt QO Q1 h1 RQ1 dh 2 A2 QO Q2 h 2 RQ2 dt 其中代表平衡工作点附近的变化量。
0
t
x (t ) (t , t0 ) x (t0 ) (t , ) B( )u( )d
t0
t
因此研究讨论状态能控性问题,即输入u(t)对状态x(t)能 否控制的问题,只需考虑系统在输入u(t)的作用和状态方 程的性质,与输出y(t)和输出方程无关。
对线性连续系统,我们有如下状态能控性定义。
因此,给定输入u,则一定会存在唯一的输出y与之对应。
反之,对期望输出信号y,总可找到相应的输入信号 u(即控制量)使系统输出按要求进行控制,不存在能 否控制的问题。 此外,输出y一般是可直接测量,不然,则应能间接测量。 否则,就无从对进行反馈控制和考核系统所达到的 性能指标。 因此,在这里不存在输出y能否测量(观测)的问题。 所以,无论是从理论还是实践,经典控制理论和技术一般 不涉及到能否控制和能否观测的问题。
+ x1 + C1 R + R R -
x2
u
C2 R
若图4-1所示的电桥系统是不平衡的, 两电容的电压x1(t) 和x2(t)可以通过输入电压u(t)控制,则系统是能控的。
能控性的直观讨论(4/12)
由状态空间模型来看(若图4-1所示的电桥 系统是平衡的,即Z1=Z2=Z3=Z4=R,) 当选择两电容器两端电压为状态变量 x1(t)和x2(t)时,可得如下状态方程: 1 1 x1 x1 u RC1 RC1
概述(2/5)
动态系统的能控性和能观性是揭示动态系统不变的本质特 征的两个重要的基本结构特性。 卡尔曼在60年代初首先提出状态能控性和能观性。其 后的发展表明,这两个概念对回答被控系统能否进行控 制与综合等基本性问题,对于控制和状态估计问题的研 究,有着极其重要的意义。
系统能控性指的是控制作用u对被控系统的状态x和输 出y进行控制的可能性。
否则,就称系统为不完全能控的。
能控? r维u(t) 状 态 n维x(t) 能控? m维y(t)
下面通过实例来说明能控性的意义 。
能控性的直观讨论(2/12)
例 某电桥系统的模型如图4-1所示 。
该电桥系统中,电源电压u(t)为 输入变量,并选择两电容器两端 的电压为状态变量x1(t)和x2(t)。
能控? r维u(t) 状 态 n维x(t) 能控? m维y(t)
概述(3/5)
能观性反映由能直接测量的输入u、输出y的量测值来 确定反映系统内部动态特性的状态x的可能性。
u(t)
状 态 x(t) 能观测?
y(t)
为什么经典控制理论没有涉及到这两个结构性问题?
概述(4/5)
这是因为经典控制理论所讨论的是SISO系统输入输出的分 析和综合问题,它的输入u输出y间的动态关系可以唯一地由 传递函数 G所确定。
即状态x1(t)和x1(t)总是相差一个固定的,不受u(t)控制的函数 值。
能控性的直观讨论(12/12)
因此,x1(t)和x1(t)不能在有限时间内同时被控制到零 或状态空间中的任意状态,只能被控制在满足由状态 方程解所规定的状态空间中的曲线上。
所以,虽然状态x1(t)和x2(t)都是单独能控的,但整个系 统并不能控。 前面4个例子,可通过直观分析来讨论系统的状态能控性,但对 维数更高、更复杂的系统,直观判断能控性是困难的。 下面将通过给出状态能控性的严格定义,来导出判定系统 能控性的充要条件。
概述(5/5)
现代控制理论中着眼于对表征MIMO系统内部特性和动态 变化的状态进行分析、优化和控制。 状态变量向量x的维数n一般比输入向量u的维数r高,这 里存在多维状态 x 能否由少维输入u 控制的问题。 此外,状态变量x是表征系统动态变化的一组内部变量, 有时并不能直接测量或间接测量,故存在能否利用可测 量或观测的输入u、输出y的信息来构造系统状态x的
Q1
0 Q0 1 h 1 h2
Q0 2 Q2
图中h1(t)和h2(t)分别为水槽液面高度,Q1(t)和Q2(t)分 别为流量。
该双水槽系统的状态能控性可分析如下:
对本例的流体力学系统,假设对两个水槽的流入和流出的 水流体已处于平衡。 下面仅考虑流量Q0的变化量Q0所引起的水槽水位 的变化。
QO 2 Q2
1 t -t t-τ x1 (t ) exp x1 (0) 0 exp Qo ( )d A AR AR 1 t -t t-τ x2 (t ) exp x2 (0) 0 exp Qo ( )d A AR AR
能控性的直观讨论(5/12)
例 某并联双水槽系统如图4-2所示,其截面积均为A,它们通
过阀门0均匀地输入等量液体,即其流量Q0相同。
0 Q0 1 Q1
图4-2并联双水槽系统
Q0 2 Q2
h1
h2
能控性的直观讨论(6/12)
当阀门1和2的开度不变 时,设它们在平衡工作点 邻域阀门阻力相等并可 视为常数,记为R。
4.1.1 能控性的直观讨论
能控性的直观讨论(1/12)
状态能控性反映输入u(t)对状态x(t)的控制能力。 如果状态变量x(t)由任意初始时刻的任意初始状态引起 的运动都能由输入(控制项) u(t)来影响,并能在有限时间 内控制到空间原点,那么称系统是能控的, 或者更确切地说,是状态能控的。
目录(1/1)
目
录
概述 4.1 线性连续系统的能控性 4.2 线性连续系统的能观性 4.3 线性定常离散系统的能控性和能观性 4.4 对偶性原理 4.5 线性系统的结构性分解和零极点相消 4.6 能控规范形和能观规范形 4.7 实现问题 4.8 Matlab问题 本章小结
状态能控性的定义(2/5)—能控性定义
定义4-1 若线性连续系统 x’(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)
x(t0)
x2 x(t0)
对初始时刻t0(t0T,T为时间定义域) 和初始状态x(t0),
存在另一有限时刻t1(t1>t0,t1T),
可以找到一个控制量u(),
x(t0)
问题。
线性连续系统的能控性(1/2)
4.1 线性连续系统的能控性
本节主要讨论线性定常连续系统的状态能控性和输出能控 性问题。 重点喔! 关键问题: 1. 基本概念: 状态能控性和输出能控性 2. 基本方法: 状态能控性和输出能控性的判别方法 3. 状态能控性的物理意义和在状态空间中的几何意义 要理解喔!
能控性的直观讨论(11/12)
补充例2 给定系统的状态空间模型为 2 x1 x2 u x1 x1 2 x2 u x2 由该状态方程可知,状态变量x1(t)和x2(t)都可由输入u单独控制,
可以说,x1(t)和x1(t)都是单独能控的。
对该状态方程求解后可得 x1(t)-x2(t)=e-3t[x1(0)-x2(0)]
4.1.2 状态能控性的定义
由状态方程
x’(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t) 及其第3章的状态方程求解公式可知,
状态能控性的定义(1/5)
状态的变化主要取决于系统的初始状态x0和初始时刻 之后的输入 u(t),与输出y(t)无关。
x(t ) (t )x0 (t )Bu( )d
+ x1 + C1 R + R R -
x2
u
C2 R
x2
1 x2 RC 2
由上述状态方程可知,状态变量x2(t)的值,即电桥中电容C2 的电压,是自由衰减的,并不受输入u的控制。 因此,该电压的值不能在有限时间内衰减至零,即该状 态变量是不能由输入变量控制到原点。 具有这种特性的系统称为状态不能控的。
能控性的直观讨论(10/12)
补充例1 给定系统的状态空间模型与结构图分别为
x1 x1 x1 2 x2 u x2
1/s -1
x1
1/s -2
x2
y
u
本例中,状态变量x1的运动只受初始状态x1(0)的影响,与输入无 关, 即输入u(t)不能控制x1(t)的运动,而且x1(t)不能在有限 时间内衰减到零。 因此,状态x1(t)不能控,则整个系统是状态不完全能控的。
0
x1
能在有限时间[t0,t1]内把系统状 态从初始状态x(t0)控制到原点,即x(t1)=0,
则称t0时刻的状态x(t0)能控;
若对t0时刻的状态空间中的所有状态都能控,则称系统 在t0时刻状态完全能控;
线性连续系统的能控性(2/2)
本节首先从物理直观性来讨论状态能控的基本含义, 然后再引出状态能控性的定义。 下面将看到,这种从直观到抽象的讨论,对于理解能控性 严格定义的确切含义是有益的。 本节讲授顺序为:
能控性的直观讨论
状态能控性的定义 线性定常连续系统的状态能控性判别 线性定常连续系统的输出能控性 线性时变连续系统的状态能控性
本章简介(1/1)
本章简介
本章讨论线性系统的结构性分析问题。 主要介绍 动态系统的状态空间模型分析的两个基本结构性质---状态能控性和能观性,以及 这两个性质在状态空间模型的结构分解和线性变换 中的应用, 并引入能控规范形和能观规范形, 以及实现问题与最小实现的概念。 本章最后介绍基于Matlab的控制系统的结构性分析问题 的程序设计与计算。
能控性的直观讨论(7/12)
O QO
由各水槽中所盛水量的平 衡关系和流量与压力(水面 高度)的关系,有
QO 2 Q2
1 Q1
h1 h2
dh1 A1 dt QO Q1 h1 RQ1 dh 2 A2 QO Q2 h 2 RQ2 dt 其中代表平衡工作点附近的变化量。
0
t
x (t ) (t , t0 ) x (t0 ) (t , ) B( )u( )d
t0
t
因此研究讨论状态能控性问题,即输入u(t)对状态x(t)能 否控制的问题,只需考虑系统在输入u(t)的作用和状态方 程的性质,与输出y(t)和输出方程无关。
对线性连续系统,我们有如下状态能控性定义。
因此,给定输入u,则一定会存在唯一的输出y与之对应。
反之,对期望输出信号y,总可找到相应的输入信号 u(即控制量)使系统输出按要求进行控制,不存在能 否控制的问题。 此外,输出y一般是可直接测量,不然,则应能间接测量。 否则,就无从对进行反馈控制和考核系统所达到的 性能指标。 因此,在这里不存在输出y能否测量(观测)的问题。 所以,无论是从理论还是实践,经典控制理论和技术一般 不涉及到能否控制和能否观测的问题。
+ x1 + C1 R + R R -
x2
u
C2 R
若图4-1所示的电桥系统是不平衡的, 两电容的电压x1(t) 和x2(t)可以通过输入电压u(t)控制,则系统是能控的。
能控性的直观讨论(4/12)
由状态空间模型来看(若图4-1所示的电桥 系统是平衡的,即Z1=Z2=Z3=Z4=R,) 当选择两电容器两端电压为状态变量 x1(t)和x2(t)时,可得如下状态方程: 1 1 x1 x1 u RC1 RC1
概述(2/5)
动态系统的能控性和能观性是揭示动态系统不变的本质特 征的两个重要的基本结构特性。 卡尔曼在60年代初首先提出状态能控性和能观性。其 后的发展表明,这两个概念对回答被控系统能否进行控 制与综合等基本性问题,对于控制和状态估计问题的研 究,有着极其重要的意义。
系统能控性指的是控制作用u对被控系统的状态x和输 出y进行控制的可能性。
否则,就称系统为不完全能控的。
能控? r维u(t) 状 态 n维x(t) 能控? m维y(t)
下面通过实例来说明能控性的意义 。
能控性的直观讨论(2/12)
例 某电桥系统的模型如图4-1所示 。
该电桥系统中,电源电压u(t)为 输入变量,并选择两电容器两端 的电压为状态变量x1(t)和x2(t)。
能控? r维u(t) 状 态 n维x(t) 能控? m维y(t)
概述(3/5)
能观性反映由能直接测量的输入u、输出y的量测值来 确定反映系统内部动态特性的状态x的可能性。
u(t)
状 态 x(t) 能观测?
y(t)
为什么经典控制理论没有涉及到这两个结构性问题?
概述(4/5)
这是因为经典控制理论所讨论的是SISO系统输入输出的分 析和综合问题,它的输入u输出y间的动态关系可以唯一地由 传递函数 G所确定。
即状态x1(t)和x1(t)总是相差一个固定的,不受u(t)控制的函数 值。
能控性的直观讨论(12/12)
因此,x1(t)和x1(t)不能在有限时间内同时被控制到零 或状态空间中的任意状态,只能被控制在满足由状态 方程解所规定的状态空间中的曲线上。
所以,虽然状态x1(t)和x2(t)都是单独能控的,但整个系 统并不能控。 前面4个例子,可通过直观分析来讨论系统的状态能控性,但对 维数更高、更复杂的系统,直观判断能控性是困难的。 下面将通过给出状态能控性的严格定义,来导出判定系统 能控性的充要条件。
概述(5/5)
现代控制理论中着眼于对表征MIMO系统内部特性和动态 变化的状态进行分析、优化和控制。 状态变量向量x的维数n一般比输入向量u的维数r高,这 里存在多维状态 x 能否由少维输入u 控制的问题。 此外,状态变量x是表征系统动态变化的一组内部变量, 有时并不能直接测量或间接测量,故存在能否利用可测 量或观测的输入u、输出y的信息来构造系统状态x的
Q1
0 Q0 1 h 1 h2
Q0 2 Q2
图中h1(t)和h2(t)分别为水槽液面高度,Q1(t)和Q2(t)分 别为流量。
该双水槽系统的状态能控性可分析如下:
对本例的流体力学系统,假设对两个水槽的流入和流出的 水流体已处于平衡。 下面仅考虑流量Q0的变化量Q0所引起的水槽水位 的变化。
QO 2 Q2
1 t -t t-τ x1 (t ) exp x1 (0) 0 exp Qo ( )d A AR AR 1 t -t t-τ x2 (t ) exp x2 (0) 0 exp Qo ( )d A AR AR
能控性的直观讨论(5/12)
例 某并联双水槽系统如图4-2所示,其截面积均为A,它们通
过阀门0均匀地输入等量液体,即其流量Q0相同。
0 Q0 1 Q1
图4-2并联双水槽系统
Q0 2 Q2
h1
h2
能控性的直观讨论(6/12)
当阀门1和2的开度不变 时,设它们在平衡工作点 邻域阀门阻力相等并可 视为常数,记为R。
4.1.1 能控性的直观讨论
能控性的直观讨论(1/12)
状态能控性反映输入u(t)对状态x(t)的控制能力。 如果状态变量x(t)由任意初始时刻的任意初始状态引起 的运动都能由输入(控制项) u(t)来影响,并能在有限时间 内控制到空间原点,那么称系统是能控的, 或者更确切地说,是状态能控的。
目录(1/1)
目
录
概述 4.1 线性连续系统的能控性 4.2 线性连续系统的能观性 4.3 线性定常离散系统的能控性和能观性 4.4 对偶性原理 4.5 线性系统的结构性分解和零极点相消 4.6 能控规范形和能观规范形 4.7 实现问题 4.8 Matlab问题 本章小结
状态能控性的定义(2/5)—能控性定义
定义4-1 若线性连续系统 x’(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)
x(t0)
x2 x(t0)
对初始时刻t0(t0T,T为时间定义域) 和初始状态x(t0),
存在另一有限时刻t1(t1>t0,t1T),
可以找到一个控制量u(),
x(t0)
问题。
线性连续系统的能控性(1/2)
4.1 线性连续系统的能控性
本节主要讨论线性定常连续系统的状态能控性和输出能控 性问题。 重点喔! 关键问题: 1. 基本概念: 状态能控性和输出能控性 2. 基本方法: 状态能控性和输出能控性的判别方法 3. 状态能控性的物理意义和在状态空间中的几何意义 要理解喔!
能控性的直观讨论(11/12)
补充例2 给定系统的状态空间模型为 2 x1 x2 u x1 x1 2 x2 u x2 由该状态方程可知,状态变量x1(t)和x2(t)都可由输入u单独控制,
可以说,x1(t)和x1(t)都是单独能控的。
对该状态方程求解后可得 x1(t)-x2(t)=e-3t[x1(0)-x2(0)]
4.1.2 状态能控性的定义
由状态方程
x’(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t) 及其第3章的状态方程求解公式可知,
状态能控性的定义(1/5)
状态的变化主要取决于系统的初始状态x0和初始时刻 之后的输入 u(t),与输出y(t)无关。
x(t ) (t )x0 (t )Bu( )d
+ x1 + C1 R + R R -
x2
u
C2 R
x2
1 x2 RC 2
由上述状态方程可知,状态变量x2(t)的值,即电桥中电容C2 的电压,是自由衰减的,并不受输入u的控制。 因此,该电压的值不能在有限时间内衰减至零,即该状 态变量是不能由输入变量控制到原点。 具有这种特性的系统称为状态不能控的。
能控性的直观讨论(10/12)
补充例1 给定系统的状态空间模型与结构图分别为
x1 x1 x1 2 x2 u x2
1/s -1
x1
1/s -2
x2
y
u
本例中,状态变量x1的运动只受初始状态x1(0)的影响,与输入无 关, 即输入u(t)不能控制x1(t)的运动,而且x1(t)不能在有限 时间内衰减到零。 因此,状态x1(t)不能控,则整个系统是状态不完全能控的。
0
x1
能在有限时间[t0,t1]内把系统状 态从初始状态x(t0)控制到原点,即x(t1)=0,
则称t0时刻的状态x(t0)能控;
若对t0时刻的状态空间中的所有状态都能控,则称系统 在t0时刻状态完全能控;
线性连续系统的能控性(2/2)
本节首先从物理直观性来讨论状态能控的基本含义, 然后再引出状态能控性的定义。 下面将看到,这种从直观到抽象的讨论,对于理解能控性 严格定义的确切含义是有益的。 本节讲授顺序为:
能控性的直观讨论
状态能控性的定义 线性定常连续系统的状态能控性判别 线性定常连续系统的输出能控性 线性时变连续系统的状态能控性