数学建模零件参数的优化设计

数学建模零件参数的优化设计IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】零件参数的优化设计摘要本文建立了一个非线性多变量优化模型。

已知粒子分离器的参数y由零件参数)72,1 (=ixi 决定，参数ix的容差等级决定了产品的成本。

总费用就包括y偏离y0造成的损失和零件成本。

问题是要寻找零件的标定值和容差等级的最佳搭配，使得批量生产中总费用最小。

我们将问题的解决分成了两个步骤：1.预先给定容差等级组合，在确定容差等级的情况下，寻找最佳标定值。

2.采用穷举法遍历所有容差等级组合，寻找最佳组合，使得在某个标定值下，总费用最小。

在第二步中，由于容差等级组合固定为108种，所以只要在第一步的基础上，遍历所有容差等级组合即可。

但是，这就要求，在第一步的求解中，需要一个最佳的模型使得求解效率尽可能的要高，只有这样才能尽量节省计算时间。

经过对模型以及matlab代码的综合优化，最终程序运行时间仅为秒。

最终计算出的各个零件的标定值为：ix={,,,,,,},等级为：BBCCBBBd,,,,,,=一台粒子分离器的总费用为：元与原结果相比较，总费用由（元/个）降低到（元/个），降幅为%，结果是令人满意的。

为了检验结果的正确性，我们用计算机产生随机数的方式对模型的最优解进行模拟检验，模拟结果与模型求解的结果基本吻合。

最后，我们还对模型进行了误差分析，给出了改进方向，使得模型更容易推广。

关键字：零件参数非线性规划期望方差一、问题重述一件产品由若干零件组装而成，标志产品性能的某个参数取决于这些零件的参数。

零件参数包括标定值和容差两部分。

进行成批生产时，标定值表示一批零件该参数的平均值，容差则给出了参数偏离其标定值的容许范围。

若将零件参数视为随机变量，则标定值代表期望值，在生产部门无特殊要求时，容差通常规定为均方差的３倍。

进行零件参数设计，就是要确定其标定值和容差。

这时要考虑两方面因素：一是当各零件组装成产品时，如果产品参数偏离预先设定的目标值，就会造成质量损失，偏离越大，损失越大；二是零件容差的大小决定了其制造成本，容差设计得越小，成本越高。

试通过如下的具体问题给出一般的零件参数设计方法。

粒子分离器某参数（记作y ）由7个零件的参数（记作x 1,x 2,...,x 7）决定，经验公式为：y 的目标值（记作y 0）为。

当y 偏离y 0+时，产品为次品，质量损失为1,000元；当y 偏离y 0+时，产品为废品，损失为9,000元。

零件参数的标定值有一定的容许范围；容差分为Ａ、Ｂ、Ｃ三个等级，用与标定值的相对值表示，Ａ等为+1%，Ｂ等为+5%，Ｃ等为+10%。

7个零件参数标定值的容许范围，及不同容差等级零件的成本（元）如下表（符号／表示无此等级零件）：现进行成批生产，每批产量1,000个。

在原设计中，7个零件参数的标定值为：x 1=,x 2=,x 3=,x 4=,x 5=,x 6=16,x 7=;容差均取最便宜的等级。

请你综合考虑y 偏离y 0造成的损失和零件成本，重新设计零件参数（包括标定值和容差），并与原设计比较，总费用降低了多少？二、模型假设1、将各零件参数视为随机变量，且各自服从正态分布；2、假设组成离子分离器的各零件互不影响，即各零件参数互相独立；3、假设小概率事件不可能发生，即认为各零件参数只可能出现在容许范围内；4、在大批量生产过程中，整批零件都处于同一等级，。

本题可认为1000各零件都为A 等、B 等或C 等；5、生产过程中出质量损失外无其他形式的损失；6、在质量损失计算过程中，认为所有函数都是连续可导的。

三、符号说明i x ：第i 类零件参数的标定值（i=1,2……7）；i x ∆：第i 类零件参数的实际值相对目标值的偏差（i=1,2……7）；i r ：第i 类零件参数的容差（i=1,2,……7）；i σ：第i 类零件参数的方差（i=1,2,……7）；i i b a ,：标定值i x 的上、下限；y ：离子分离器某参数的实际值；y：离子分离器该参数的目标值；y：离子分离器某参数的均值；y∆：离子分离器某参数的实际值y相对平均值y的偏差；σ：离子分离器某参数的方差；yP:一批产品中正品的概率；1P:一批产品中次品的概率；2P:一批产品中废品的概率；3W：一批产品的总费用（包括损失和成本费）；C：第i类零件对应容差等级为j的成本（j=A,B,C）单位：元/个。

ij四、问题分析布，联想正态分布的性质——当各变量均服从正态分布时，其线性组合也服从正态分布。

题中所给经验公式为一复杂的非线性的公式，无法直接对其分析处理，所以需借助泰勒公式将其展开并作相应处理使其线性化。

而对于零件成本，需先确定容差等级才能求得成本费。

由容差等级和各类零件的标定值i x 便可知道给类零件的容差i r 。

最后，便将问题转化为i x 、i r 关于总目标函数的最优解的问题上。

在进行零件参数设计时，如果零件设计不妥，造成产品参数偏离预先设定值，就会造成质量损失，且偏差越大，损失也越大；零件容差的大小决定了其制造成本，容差设计得越小（即精度越高）零件成本越高。

合理的设计方案应既省费用又能满足产品的预先设定值，设计方向应该如下：（1）设计的零件参数，要保证由零件组装成的产品参数符合该产品的预先设定值，即使有偏离也应是在满足设计最优下的容许范围。

（2）零件参数（包括标定值和容差等级）的设计应使总费用最小为优。

此外分析零件的成本及产品的质量损失不难发现，质量损失对费用的影响远大于零件成本对费用的影响，因而设计零件参数时，主要考虑提高产品质量来达到减少费用的目的。

五、模型建立为了确定原设计中标定值（x i i (,,,)=127 的期望值）及已给的容差对产品性能参数影响而导致的总损失W ，即确定y 偏离目标值y 0所造成的损失和零件成本，先列出总损失的数学模型表达如下：当然，为了确定总损失W ，必须知道1P 、2P 、3P （即正品、次品及废品的概率）。

为此，将经验公式用泰勒公式在)72,1( ==i x X i 处展开并略去二次以上高次项后来研究y 的概率分布，设y x f =)(，则将标定值)72,1( =i x i 带入经验公式即得 所以 i i ix x fy y y ∆∂∂=-=∆∑=71 由于在加工零件时，在标定值知道的情况下，加工误差服从正态分布，即 且i x ∆相互独立，由正态分布性质可知 由误差传递公式得 22712712)()()(i i i i ii i i yx x x f x f σσσ∑∑==∂∂=∂∂= （1）由于容差为均方差的3倍，容差与标定值的比值为容差等级，则 y 的分布密度函数为y 偏离1.00±y 的概率，即次品的概率为⎰⎰+=8.16.14.12.12)()()()(y d y y d y P ϕϕ （2）y 偏离3.00±y 的概率，即废品的概率为⎰⎰+∞∞-+=8.12.13)()()()(y d y y d y P ϕϕ （3）由于y 偏离0y 越远，损失越大，所以在y σ固定时，调整y 使之等于目标值0y 可降低损失。

取0y y y -=∆即0y y =，则)(t φ为标准正态分布函数。

综合考虑y 偏离y 0造成的损失和零件成本，设计最优零件参数的模型建立如下： 目标函数min )90001000(10003271P P C W i ij ++⨯=∑=. )72,1( =≤≤i a x b ii i六、模型求解初略分析对于原给定的设计方案，利用matlab编程计算（见附录），计算结果如下：由于按原设计方案设计的产品正品率过低，损失费过高，显然设计不够合理。

进y=太远，致使损失过大。

尽管原设计方案保一步分析发现，参数均值y=偏离目标值证了正本最低，但由于零件参数的精度过低，导致正品率也过低。

所以我们应综合考虑成本费和损失费。

模型的实现过程：本模型通过matlab进行求解，我们通过理论模型求解和随机模拟的求解过程如下：在给定容差等级的情况下，利用matlab中求解非线性规划的函数fmincon，通过多次迭代求解，最终求得一组最优解。

最初，我们设定的fmincon函数的目标函数就是总费用，约束条件为各个标定值的容许范围，以及各零件标定值带入产品参数表达y，即。

然而，在迭代过程中我们发现，求解过程十分慢，在给定容差等级的式应为确定的情况下，计算最优标定值需要将近400秒，如果在此基础上对108种容错等级进行穷举查找最优组合，将需要大概12小时。

显然这是不合理的。

因此，我们在仔细对matlab实现代码研究发现，求解过程之所以慢，是因为代码中存在多次调用求偏导和积分的函数，在fmincon的多次迭代中，耗费大量时间。

所以，为了提高求解速度，我们首先利用matlab中diff函数对产品参数中的各个表达式进行求偏导，然后得到多个带参表达式，利用int函数对y的概率密度函数进行积分，分别得到出现次品和废品概率的表达式，然后将这些表达式写进程序里，这样在求解过程中就不需要在每一次迭代中都要求偏导和积分了，修改后的程序运行时间大大减少。

程序流程图模型检验对设计方案进行动态模拟，由于每种零件参数均服从正态分布，用正态分布随机数发生器在每种零件参数允许范围内产生1000个随机数参与真实值i x 的计算随机模拟N 次后结果如下：根据最优解的y =，y σ=画出y 的概率分布图，再对x 随机取样画出y 的概率分布图（见图），由图可知：两组数据所画概率分布图的拟合度相当高，进一步确保了模型的正确性。

图概率分布图对比图通过以上数据，与原设计方案所得结果相比较，总费用由（元/个）降低到（元/个），降幅为%，结果是令人满意的。

七、误差分析1、在建模过程中，通过泰勒公式将)(X f y =展开并略去二次及以上项使线性化，不可避免地产生了截断误差，所以展开后的式子只是原经验公式的近似关系式。

但在一般情况下，线性化和求总和在实用上具有足够的精度，所以由于函数线性化而略去的高次项可以忽略不计。

在函数关系式较复杂的情况下，将其线性化更具有明显的优势。

2、本模型忽略了小概率事件发生的可能，认为零件的参数只可能出现在允 范围内，即[]i i i i x x σσ3,3+-。

现实中，小概率事件仍有发生的可能性，但在大批量生产中，小概率事件的发生对最终结果没有影响，所以可以忽略。

3、该模型对于质量损失的计算，将所有函数都看作连续函数，而这对于每 个零件参数而言是不可能的，所以其中也会产生误差。

八、模型的评价及推广1.优点（1）建模过程中，采用泰勒公式将经验公式简化，并假设各零件参数都服从满足大量数据的正态分布，使得整个模型的建立及求解得到大大简化。