优化设计数学建模
数学建模优化问题的求解方法
数学建模优化问题的求解方法
数学建模优化问题的求解方法有很多。
下面列举几种常见的方法：
1. 数学规划方法：包括线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划等。
这些方法通过数学模型和约束条件来描述问题，并通过寻找最优解来优化问题。
2. 图论方法：将问题抽象成图或网络，并利用图论算法来求解最优解。
常见的算法有最短路径算法、最小生成树算法、最大流算法等。
3. 近似算法：对于复杂的优化问题，往往很难找到精确的最优解。
近似算法通过寻找接近最优解的解来近似优化问题。
常见的近似算法有贪心算法、近邻算法、模拟退火算法等。
4. 遗传算法：模拟生物进化的过程，通过选择、交叉和变异等操作来搜索问题的解空间，并逐步优化解。
遗传算法适用于复杂问题和无法直接求解的问题。
5. 物理方法：将优化问题转化为物理模型，利用物理规律求解。
比如蚁群算法模拟蚂蚁找食物的行为，粒子群算法模拟鸟群觅食的行为等。
以上只是数学建模优化问题求解方法的几种常见方法，实际问题求解时要根据问题的特点选择适合的方法，并结合领域知识和实际情况进行调整和优化。
2023高教社杯 国赛数学建模a题思路 - 定日镜场的优化设计
2023高教社杯国赛数学建模A题思路-定日镜场的优化设计一、问题概述本问题涉及对定日镜场的优化设计，目标是最大化太阳光的聚焦和收集效率，以提供高效的能源输出。
在解决此问题时，需要充分考虑镜面布局、镜面跟踪、能源输出、热管理、维护与清洁、环境影响、经济性以及安全与可靠性等方面。
二、解决策略1. 镜面布局：合理的镜面布局可以提高太阳光的接收效率和均匀性。
可以使用数学模型对不同布局方案进行模拟，分析其对能源输出的影响。
2. 镜面跟踪：为了确保镜面始终对准太阳，需要设计一种跟踪系统。
这需要考虑地理位置、季节和时间等因素，以及如何实现准确、稳定的跟踪。
3. 能源输出：优化镜面设计和布局以提高太阳光的聚焦和收集效率，从而提高能源输出。
可以使用模型预测未来的能源输出量。
4. 热管理：在处理大量的聚焦太阳光时，有效的热管理至关重要。
需要考虑如何散热、如何防止过热以及如何提高系统的稳定性。
5. 维护与清洁：镜面需要定期维护和清洁以保持其效率。
分析各种清洁和维护方案的经济性和效率，选择最优方案。
6. 环境影响：考虑定日镜场的建设和运行对环境的影响，包括土地利用、水源、生物多样性等。
这需要对这些因素进行定性和定量分析。
7. 经济性：评估项目的投资回报率，包括初始投资、运营成本、能源销售收入等因素。
通过建立经济模型来分析各种设计方案的经济效益。
8. 安全与可靠性：保证系统在极端天气和其他潜在故障条件下的安全和可靠性是至关重要的。
应分析可能出现的故障模式并采取措施加以预防和恢复。
三、解题步骤1. 问题分析：详细研究题目背景和要求，明确各部分的主要目标和约束条件。
2. 数据收集：收集与镜面布局、镜面跟踪、能源输出、热管理、维护与清洁、环境影响、经济性和安全可靠性相关的数据。
3. 建立模型：根据问题的特性和收集的数据建立数学模型，包括但不限于线性规划模型、优化模型和统计分析模型等。
4. 模型求解：利用适当的算法和计算技术求解建立的数学模型，得到最优解或可行解。
MATLAB R2015b数学建模 第9章 优化设计
9.2 无约束一维极值
3. 斐波那契法 4. 牛顿法 5. 割线法 6. 抛物线法 7. 三次插值法
9.3 无约束多维极值
9.3.1 直接法
1. 模式搜索法 2. Rosenbrock法 3. 单纯形搜索法 4. Powell法
9.3.2 使用导数计算的间接法
1. 最速下降法 2. 共轭梯度法 3. 牛顿法 4. 修正牛顿法 5. 拟牛顿法 6. 信赖域法 7. 显式最速下降法
在MATLAB中，提供了fmincon函数实现约束优化问题。函数的调用 格式为：
x = fmincon(fun,x0,A,b)：fun为目标函数，x0为初始值，A、b满 足线性不等式约束Ax≤b，如果没有不等式约束，则取A=[]，b=[]。
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq)：Aeq、beq满足等式约束 Aeqx=beq，如果没有，则取Aeq=[]，beq=[]。
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)：lb、ub满足lb≤x≤ub ，如果没有界，可设lb=[]，ub=[]。
9.5.1 线性规划的方法
1. 单纯形法 2. 大M法
9.6.1 整数规划的方法
1. 割平面法 2. 分支定界法
9.7二次规划问题
9.7.1 二次规划的方法 1. 拉格朗日法 2. 起作用集法 3. 路径跟踪法
（1）建立数学模型：即用数学语言来描述最优化问题。模型中的数学 关系式反映了最优化问题所要达到的目标和各种约束条件。
（2）数学求解：数学模型建好后，选择合理的最优化方法进行求解。
9.1 优化概述
在现代工程设计、经济管理与市场规划等领域，广泛地 涉及工程优化问题。对于工厂企业，如何在消耗总工时最小的 情况下获取最大的产品数量？如何安排物流秩序，在满足最大 效率的前提下，达到成本最低、运费最小？工程优化问题几乎 涉及社会生活的每一个领域。对于工程优化问题，利用最优理 论与方法进行求解，帮助决策者作出最优的决策，以最小的成 本、获取最大的利润。
数学建模优化模型中的约束条件分析与设计
数学建模优化模型中的约束条件分析与设计数学建模是一种将现实问题转化为数学问题，并通过数学方法解决问题的方法。
在数学建模中，优化模型是常见的一种模型类型，它通过改变某些变量，使得目标函数达到最优值。
然而，在进行优化模型设计的过程中，约束条件起到了至关重要的作用。
约束条件是指在优化模型中必须满足的条件，它们可以是物理限制、逻辑限制、经济限制等等。
约束条件的分析与设计是确保优化模型能够真实反映实际问题，并得到可行解的关键步骤。
下面将介绍数学建模中约束条件分析与设计的几个重要方面。
一、问题理解与约束条件梳理在进行优化模型设计之前，首先需要充分理解问题的背景与需求，并明确目标函数和决策变量。
然后，根据问题的特点，梳理整理约束条件。
约束条件的梳理可以从以下几个方面出发：1. 数据与实际限制：根据实际情况，确定决策变量的取值范围，如数量的非负性、时间的合理性等。
2. 物理限制：考虑物理因素对问题的影响，如能量守恒、质量平衡等。
3. 逻辑限制：根据问题的逻辑关系，确定决策变量之间的关系，如约束条件的逻辑限制。
4. 经济限制：考虑经济因素对问题的影响，如成本、资源利用率等。
二、约束条件建模与数学形式确定约束条件的建模是将实际问题中的限制条件转化为数学形式的过程。
在进行建模时，需要将问题中的约束条件与目标函数进行合理的数学表达。
具体步骤如下：1. 使用变量表示决策变量和目标函数。
变量的选择应该与问题的实际特点相符。
2. 将约束条件用数学的方式进行表示，可以使用不等式、等式等形式，确保约束条件的完整性。
3. 将目标函数用数学的方式进行表示，并与约束条件进行连接，形成一种综合考虑的数学模型。
这里需要考虑目标函数的优化方向（最大化或最小化）。
三、约束条件的灵活性与敏感度分析一旦建立了优化模型的约束条件，接下来需要对约束条件的灵活性和敏感度进行分析。
这是因为在实际问题中，约束条件可能会发生变化，或者存在一些不确定性。
灵活性和敏感度分析是评估优化模型的鲁棒性和稳定性的重要手段。
优化设计的数学模型
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机械优化设计数学模型的一般形式： 机械优化设计数学模型的一般形式： 数学模型的一般形式 设 X =[x1,x2 ,…,xn]T ,x min. f(x) = f(x1, x2 ,…,xn ) ,x X∈Rn 不等式约束） （不等式约束） 1,2,…,m s.t. gu(x) ≤ 0 u = 1,2, ,m 等式约束） 1,2,…, hv(x) = 0 v = 1,2, , p< n （等式约束
* X 是极小点。 2) = (1,1,−
x1 =， 1
* 。
， x2 = 1
代入原函数，得函数的极小 x = −2
3
f (X ) = 0
例2-3 MATLAB 2-3 MATLAB实现，用M文件求函数的极值点： M
%例2-3 求函数的极值 syms x1 x2 x3 %定义函数f中的符号变量 f=2*x1^2+5*x2^2+x3^2+2*x2*x3+2*x1*x3-6*x2+3; %函数f的表达式 disp( '函数f的表达式：' ) pretty(simplify(f)); %按数学形式显示函数f latex(f); %符号表达式按LaTeX格式输 出 %计算函数的1阶偏导数
解：在MATLAB命令窗口输入主函数
syms t f=t^4-t^2-2*t+5; [x1,x2]=minJT(f,0,0.1)
第3章 一维搜索方法与MATLAB实现
各阶主子式的值为
a11 = 4 > 0
a11 a12
a12 4 0 = = 40 > 0 a22 0 10
a11 a12 a21 a22 a31 a32
优化设计的数学模型
满足上述要求的计算过程或计算方法就是所谓的 数值迭代方法。 数值迭代过程 或 数值迭代方法
数值迭代的基本思想 基本思想是：从某一个选定的初始点 基本思想 X (0) 出发，按照某种最优化方法所规定的原则，确定适 当的方向和步长，获得第一个新的修改设计点 X (1) ， 计算此点的目标函数值 F ( X (1) ) 使满足：
二、设计点与设计空间
设计点: 设计点 X(k)（x1(k), x2 (k), …,x n(k)）： 是设计向量X(k)的端点，代表设计空间中的一 个点，也代表第 k 个设计方案。可能是可行方案、 也可能不是可行方案。 设计空间 Rn ： 以x1, x2 , …,xn 为坐标轴，构成 n 维欧氏实空 间Rn。它包含了所有可能的设计点，即所有设计方 即所有设计方 案。 欧氏空间 欧氏空间: 空间
§3-1设计变量 设计变量
一、设计变量
设计变量： 变化的， 设计变量：在优化设计过程中是变化的，需要优选的 量。 设计参数： 设计参数：在优化设计过程中保持不变或预先确定 数值。 可以是几何参数 几何参数：例，尺寸、形状、位置 几何参数 运动学参数： 运动学参数 例，位移、速度、加速度 动力学参数： 动力学参数 例，力、力矩、应力 其它物理量 例，质量、转动惯量、频率、挠度 物理量： 物理量 非物理量： 例，效率、寿命、成本 非物理量 设计向量： 设计向量：用 X =[x1, x2 , …,x n]T 表示， 是定义在 n 维欧氏空间中的一个向量。
数学建模最优化模型
或[x，fval]= fminsearch（...） （4）[x，fval，exitflag]= fminunc（...）；
或[x，fval，exitflag]= fminsearch （5）[x，fval，exitflag，output]= fminunc（...）；
41m外点法sutm内点法障碍罚函数法1罚函数法2近似规划法罚函数法罚函数法基本思想是通过构造罚函数把约束问题转化为一系列无约束最优化问题进而用无约束最优化方法去求解这类方法称为序列无约束最小化方法简称为sumt法其一为sumt外点法其二为sumt内点法其中txm称为罚函数m称为罚因子带m的项称为罚项这里的罚函数只对不满足约束条件的点实行惩罚
曲线不一定通过那m个测量点,而要产生“偏差”.
将测量点沿垂线方向到曲线的距离的
y
平方和作为这种“偏差”的度量.即
2
x
S
m i 1
yi
a1
1 a3
a2 ln 1 exp
xi a4 a5
显然偏差S越小,曲线就拟合得越好,说明参数值就选择得越好，从而 我们的问题就转化为5维无约束最优化问题。即：
一下是否达到了最优。 （比如基金人投资）
• 在各种科学问题、工程问题、生产管理、社会 经济问题中，人们总是希望在有限的资源条件 下，用尽可能小的代价，获得最大的收获。
（比如保险）
数学家对最优化问题的研究已经有很多年的 历史。
以前解决最优化问题的数学方法只限于古典 求导方法和变分法（求无约束极值问题），拉格 朗日（Lagrange）乘数法解决等式约束下的条件 极值问题。
数学中的数学建模与优化问题
数学中的数学建模与优化问题数学建模和优化是数学领域中的两个重要概念，它们在解决实际问题中起着关键作用。
本文将探讨数学建模和优化的定义、原理及其在实际中的应用。
一、数学建模数学建模是指将实际问题转化为数学问题，并通过建立数学模型来描述和分析问题。
数学建模的核心是找到问题的本质，抽象出关键因素，并建立合适的数学模型。
通过建模，我们可以利用数学工具和方法来解决问题，预测未来的趋势，制定决策。
在数学建模中，常用的数学工具包括微积分、线性代数、统计学等。
数学建模的过程通常包括问题分析、模型假设、模型建立、模型求解和模型验证等步骤。
通过这些步骤，我们可以得到符合实际情况的数学模型，并进行预测和优化。
二、数学优化数学优化是指在给定的约束条件下，寻找使目标函数达到最大或最小值的一组变量取值。
数学优化在解决实际问题中，通常涉及到决策、资源分配、路径规划等方面。
通过优化，我们可以在有限资源下找到最优解，提高效率和经济性。
数学优化的常用方法包括线性规划、非线性规划、整数规划等。
这些方法通过数学理论和算法，求解最优解或次优解。
在实际应用中，我们可以通过优化来改进生产制造、物流配送、交通规划等领域，提高整体效益。
三、数学建模与优化的应用数学建模和优化在各个领域都有广泛的应用。
以下是数学建模和优化在几个领域的具体应用示例：1. 交通规划：通过数学建模和优化，可以确定最短路径、优化交通信号配时、减少拥堵等，提高城市交通效率。
2. 生产制造：通过数学建模和优化，可以优化工厂生产线布局、减少生产成本、提高生产效率，增加企业竞争力。
3. 资源分配：通过数学建模和优化，可以优化资源的分配，合理规划资源的使用，提高资源利用率和经济效益。
4. 环境保护：通过数学建模和优化，可以优化污染治理方案，减少环境污染，保护生态环境。
5. 金融投资：通过数学建模和优化，可以帮助投资者制定投资组合、分散风险、最大化收益。
通过数学建模和优化，我们可以更好地理解和解决实际问题，提高决策的科学性和准确性。
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一、问题重述
1、利用优化设计相关理论计算法，对某设计问题做优化设计。
要求如下：
①列出优化数学模型;
②选择所用优化算法；
③画出程序框图；
④程序编写；
⑤程序调试运算结果。
现根据以上条件，结合生活实际，准备以铁板为材料设计一鱼缸，为了能使鱼儿有更大的生存空间，要求鱼缸容积最大。
现有边长为5米长的方形铁板，预备在四个角减去四个相等的方形面积，用以制成方形鱼缸，如何减能使鱼缸的容积最大。
二、问题分析
2.1、对于此问题，我采用的数学模型包括三部分，即设计变量、目标函数和约束条件。
模型如下：
其中，设裁去铁块的边长为：x(0<x<2.5）
则鱼缸的容积可表示成函数：y=-x*（5-2*x）^2上述问题则可以描述为：
求变量：x
使函数：min y=-x*（5-2*x）^2（前加有”负”号，,故所求最大容积为最小y值）...........................................................................（1*）
约束条件：0<x<2.5（保证能够做成鱼缸）
2.2、本模型采用无约束优化数学模型,运用一位搜索中的0.618法进行最优值求解，通过Visio软件制作流程图，结合MATLAB软件进行编程（因C语言编程多次调试没能成功），plot函数进行绘图分析，最终成功的调试得出运算结果。
三、程序框图
四、程序编写及函数图像
4.1求极值所用程序如下：
function q=line_s(a,b)
N=10000;r=0.01;
a=0;b=1.5;
for k=1:N;
v=a+0.382*(b-a);
u=a+0.618*(b-a);
fv=-25*v+20*v^2-4*v^3;
fu=-25*u+20*u^2-4*u^3;
if fv>fu
if b-v<=r
u
fu
break;
else
a=v;v=u;
u=a+0.618*(b-a);
end
else
if u-a<=r
v
-fv
break;
else
b=u;u=v;
v=a+0.382*(b-a);
end
k=k+1
end
end
4.2 函数曲线图程序如下:
如下曲线所得y值为负，前面（1*）已作解释。
x=0:0.1:2.5;
y=-25*x+20*x.^2-4*x.^3;
plot(x,y);
五、程序调试运行结果
5.1 如图所示：
当k执行5或7或10或12次时，均有x=0.8329时，有最大y=9.2593（函数中已做处理，变负为正，可以对照曲线图）。
如下曲线所得y值为负，前面（1*）已作解释。