点线面位置关系例题及练习包括答案.doc
点、线、面的位置关系●知识梳理（一） .平面公理 1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。
公理 2：不共线的三点确定一个平面.．．．推论 1：直线与直线外的一点确定一个平面. 推论2：两条相交直线确定一个平面. 推论3：两条平行直线确定一个平面.公理 3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线（二）空间图形的位置关系1.空间直线的位置关系：相交，平行，异面平行线的传递公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线；异面直线所成的角：（ 1）范围：0 ,90；（2）作异面直线所成的角：平移法.2.直线与平面的位置关系：包含，相交，平行3.平面与平面的位置关系：平行，相交（三）平行关系（包括线面平行，面面平行）1.线面平行：①定义：直线与平面无公共点.a //b a //②判定定理： a a// ③性质定理： a a // bb I b2.线面斜交：①直线与平面所成的角（简称线面角）：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角。
范围：0 ,903.面面平行：①定义：I // ；②判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行；符号表述：a,b , a I b O ,a // ,b // //判定2：垂直于同一条直线的两个平面互相平行.符号表述： a , a // .////③面面平行的性质：（ 1） a //；（2）I a a // baI b（四）垂直关系（包括线面垂直，面面垂直）1.线面垂直①定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。
符号表述：若任意 a , 都有 l a ，且 l ，则 l .a,ba Ib O②判定： l l ③性质：（ 1）l , a l a ；（ 2 ）l al ba ,b a // b ；面面斜交①二面角：（ 1）定义：【如图】 OB l ,OA l AOB 是二面角－ l 的平面角范围：AOB [0 ,180 ]②作二面角的平面角的方法：（ 1）定义法；（ 2）三垂线法（常用）；（ 3）垂面法 .面面垂直（ 1）定义：若二面角l的平面角为90 ，则；a（ 2）判定定理：a（ 3）性质：①若a I ABa ，二面角的一个平面角为MON ，则 MON 90 ；②aa AB● 热点例析【例 1】热点一有关线面位置关系的组合判断若 a， b 是两条异面直线，α，β是两个不同平面， a? α， b? β，α∩β＝ l，则 ( )．A．l 与 a， b 分别相交B． l 与 a， b 都不相交C． l 至多与 a，b 中一条相交D． l 至少与 a， b 中的一条相交解析：假设 l 与 a，b 均不相交，则l∥ a，l∥ b，从而 a∥ b 与 a， b 是异面直线矛盾，故l 至少与 a，b 中的一条相交．选 D.热点二线线、线面平行与垂直的证明【例 2】如图，在四棱台 ABCD－A1 1 1 1 1B C D 中，D D⊥平面 ABCD，底面 ABCD是平行四边形， AB＝ 2AD，AD＝ A1B1，∠BAD＝60°.(1)证明： AA1⊥BD；(2)证明： CC1∥平面 A1 BD．(1)方法一：因为D1 D⊥平面 ABCD，且 BD? 平面 ABCD，所以 D1D⊥ BD.又因为 AB＝ 2AD，∠BAD＝60°，在△ ABD 中，由余弦定理得BD2＝ AD2＋ AB2－2AD·ABcos 60 °＝3AD2，所以 AD2＋ BD2＝ AB2.所以 AD⊥ BD.又 AD∩D1D＝D，所以 BD⊥平面 ADD1A1 .又AA1 ? 平面 ADD1 A1，故 AA1⊥ BD.方法二：因为D1D⊥平面 ABCD，且 BD? 平面 ABCD(如图 )，所以 BD⊥ D1D.取 AB 的中点 G，连接 DG(如图 )．在△ ABD 中，由 AB＝ 2AD 得 AG＝ AD.又∠ BAD＝ 60°，所以△ ADG为等边三角形，因此GD＝ GB，故∠ DBG＝∠ GDB.又∠ AGD＝ 60°，所以∠GDB＝30°，故∠ ADB＝∠ ADG＋∠ GDB＝ 60°＋ 30°＝ 90°，所以 BD⊥ AD.又AD∩D1D＝ D，所以 BD⊥平面 ADD1A1.又AA1 ? 平面 ADD1 A1，故 AA1⊥ BD.(2)如图，连接 AC，A1C1.设AC∩BD＝ E，连接 EA1.1因为四边形ABCD为平行四边形，所以EC＝2AC.由棱台定义及 AB＝2AD＝ 2A1B1知 A1C1∥ EC且 A1C1＝EC，所以四边形 A1 ECC1为平行四边形．因此 CC1∥EA1.又因为 EA1 ? 平面 A1BD，CC1平面A1BD，所以 CC1∥平面 A1BD.热点三面面平行与垂直的证明【例 3】在直角梯形ABCD中， AD∥ BC， AB⊥BC， AD＝ 2，BC＝ 4， P 为平面 ABCD外一点，且PA ＝PB， PD＝ PC， N 为 CD的中点．(1)求证：平面 PCD⊥平面 ABCD；(2)在线段 PC 上是否存在一点 E 使得 NE∥平面 ABP 若存在，说明理由并确定 E 点的位置；若不存在，请说明理由．(1)证明：取AB 中点 M ，连接 PM，PN，MN ，则PM⊥ AB， PN⊥ CD.又ABCD为直角梯形， AB⊥ BC，∴ MN ⊥AB.∵ PM∩MN ＝M ，∴ AB⊥平面 PMN.又PN? 平面 PMN，∴ AB⊥PN.∵AB 与 CD相交，∴ PN⊥平面 ABCD.又 PN? 平面PCD，∴平面PCD⊥平面 ABCD.1 1(2) 解：假设存在．在PC， PB 上分别取点E， F，使 BF＝4BP， CE＝4CP，连接 EF， MF， NE，3则 EF∥ BC 且可求得EF＝4BC＝ 3.∵MN ＝3 且 MN ∥ BC，∴ EF∥ MN 且 EF＝ MN .∴四边形 MNEF 为平行四边形，∴ EN∥ FM.又∵ FM? 平面 PAB，1∴在线段PC上存在一点 E 使得 NE∥平面 ABP，此时 CE＝4PC.热点四折叠问题例 4 如 图 所 示 ， 在 直 角 梯 形 ABCP 中 ，PPA DFPPFEBGECHFEADEOBG C DA BDCG CGFOKBAAP1AP 2PCD PDG EF 1 1 EF GOEOEO2D EFCD GOCD22EF1CD GE 1PB CDEF1AB EGEF E, PB AB B,PA // DA, DC , DP2 22P 0,0,2 , C 0,2,0 , G 1,2,0 , E 0,1,1 , F 0,0,1 , A2,00 . D xyzAP2,0,2 , EF0, 1,0 , EG1,1, 1 nx, y, zn EF 0y 0x z.n EG0 x y z 0y 0 n1,0,1 n AP 12 0 0 1 2 0, nAP APADDC PDAD PD PD CD DADDA DA2,0,0 n 1,0,1cos DA, nDA n 2 22 .DA n22G EFD 450. PABCD PA ABCD6 PAD ABCD PADAC, BD O PA ABCD6 322 2PFO PAD ABCDPFO tan PFOPO 3PFO3PAD ABCD3 EO //1PDFO2EOD PDO PDOD 2PO25EO5 AO BD AO PO AOPBD AOEO24AOE tan AEOAO 2 10 2 10 FO BC G PG H PG EH ,GHPABCD F AD G BC EO55BCPG BCFG BC 面 PFG PBC 面 PFG PFPGPFO 3 PFG FHPGFH 面 PBC HE // FK HE FK HEKF KE // FH KE 面 PBC m, n , , mn / / m n / // /mmm/ /n / /m / /n//a,b,ca 2b 2c 2 1 a 2 b 2 c 22 a 2 b 2 c 23 a 2 b 2 c 2 A BCDAC222BCD , BDDC , BD DC , AC a, ABC300CABD5 a 15 a 3 a 15 a5553ABCD A 1B 1C 1D 1 E A 1C 1CE AC BD A 1 D A 1D 1 P ABC PH H ABC ABCD AC 2 1A CDB 1 1 3 2 S ABC a E, F SC AB EF SA 900 600 450 300 A, B 4cm 6cm AB M2 3 3 3600 12 2 6 P ABC AB 4, PA 8A PB, PC D E ADE1C(1)求证：BE＝B1E；(2)若 AA1＝ A1B1，求平面 A1EC与平面 A1B1C1所成二面角的大小．3如图，在四棱锥 P－ ABCD 中， PD⊥平面 ABCD，底面 ABCD 为矩形， PD＝DC＝ 4， AD＝2， E 为 PC 的中点．(1)求证： AD⊥ PC；(2)求三棱锥 A－ PDE 的体积；(3)在 AC 上是否存在一点 M，使得 PA∥平面 EDM 若存在，求出 AM 的长；若不存在，请说明理由．答案一、选择题1． A ③若 m/ / ， n / / ，则 m / / n ，而同平行同一个平面的两条直线有三种位置关系④若，，则// ，而同垂直于同一个平面的两个平面也可以相交2． C 设同一顶点的三条棱分别为x, y, z ，则x2 y2 a2 , y2 z2 b2 , x2 z2 c2得 x2 y2 z2 1 (a2 b2 c2 ) ，则对角线长为 1 ( a2 b2 c2 ) 2 a2 b2 c22 2 23． B 作等积变换 V A BCD V C ABD4． B BD 垂直于 CE 在平面 ABCD 上的射影5． C BC PA BC AH6． C 取 AC 的中点 E ，取 CD 的中点 F ，EF 1, BE2, BF3cos EF 3 2 2 2 BF 37． C 取 SB 的中点 G ，则 GE GF a，在△ SFC 中，EF2a ，EFG 4502 2二、填空题1. 5cm或1cm 分 A, B 在平面的同侧和异侧两种情况2. 48 每个表面有 4 个，共 6 4 个；每个对角面有 4 个，共 6 4 个3.900垂直时最大4.60 度5. 11沿着PA将正三棱锥P ABC 侧面展开，则A, D , E, A'共线，且 AA' // BC三、解答题：略1．证明： (1)连接 BD，MO .在平行四边形ABCD中，因为 O 为 AC 的中点，所以 O 为 BD 的中点．又 M 为 PD 的中点，所以 PB ∥ MO.因为 PB 平面 ACM ， MO? 平面 ACM ，所以 PB ∥平面 ACM.(2) 因为 ∠ADC ＝ 45°，且 AD ＝ AC ＝ 1， 所以 ∠ DAC ＝ 90°，即 AD ⊥ AC.又 PO ⊥平面 ABCD ， AD? 平面 ABCD ，所以 PO ⊥ AD. 而 AC ∩PO ＝O ，所以 AD ⊥平面 PAC.2[解析 ] (1)取 A 1C 1 中点 F ，作 EG ⊥ 面 AC 1 于 G ，B 1F ∥ EG? B 1EGF 为平行四边形 ? FG ⊥ A 1C 1? G 为 A 1C 之中点．B 1E ∥ 面 AC 1? BE ∥ FG从而 E 为 BB 1 之中点． ∴BE ＝B 1E.(2) 由 (1)知 G 为矩形 ACC 1A 1 的中心， 过 G 作直线平行于 A 1 C 1，交 AA 1 于点 P ，交 CC 1 于 Q 点，连结 EP ，EQ ，则平面 A B C ∥ 平面 PEQ ，即求平面 AEC 与平面 PEQ 所成的角，11 1∵ 交线为 EG ， ∴其平面角为 ∠ A 1GP ，因 AA 1＝ A 1 B 1，则 ACC 1A 1 为正方形，则 ∠ A 1GP ＝ 45°.3． (1) 证明：因为 PD ⊥平面 ABCD ，所以 PD ⊥ AD ． 又因为四边形 ABCD 是矩形，所以 AD ⊥ CD ． 因为 PD ∩CD ＝ D ，所以 AD ⊥ 平面 PCD ． 又因为 PC? 平面 PCD ，所以 AD ⊥ PC ．(2) 解： 由(1)知 AD ⊥ 平面 PCD ，所以 AD 是三棱锥 A － PDE 的高．因为 E 为 PC 的中点，且 PD ＝ DC ＝ 4，所以 S △PDE1△ PDC 1 1＝ 2S ＝ 2×2× 4×4＝4.1 1 8 又 AD ＝ 2，所以 V A －PDE ＝ AD ·S △PDE ＝ × 2×4＝ .3 33(3) 解： 取 AC 的中点 M ，连接 EM ， DM ，因为 E 为 PC的中点， M 是 AC 的中点，所以 EM∥ PA．又因为 EM? 平面 DEM， PA?平面 EDM，所以 PA∥平面 DEM.1 1AD2＋ DC2＝122＋ 42＝ 5，此时 AM ＝ AC＝2 22即在 AC 上存在一点M，使得 PA∥平面 EDM，且 AM 的长为 5.。
第二章 点、线、面位置关系(含答案)
第二章 点、线、面的位置关系一、线面位置关系线线平行面面平行线线垂直面面垂直二、空间中的各种角1、异面直线所成的角(1)定义：a 、b 是两条异面直线，经过空间任意一点O ，分别引直线a ′∥a,b ′∥b,则a ′和b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 和b 所成的角. (2)取值范围：0°＜θ≤90°. (3)求解方法①根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角θ； ②解含有θ的三角形，求出角θ的大小.2、直线和平面所成的角——斜线和射影所成的锐角 (1)取值范围0°≤θ≤90° (2)求解方法①作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角θ. ②解含θ的三角形，求出其大小.习 题1．在空间，下列命题错误的是（ ）A ．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交B ．一个平面与两个平行平面相交，交线平行C ．平行于同一平面的两个平面平行D ．平行于同一直线的两个平面平行 【答案】D2．已知,,m n l 是不同的直线，,αβ是不同的平面，以下命题正确的是（ ）①若m ∥n ，,m n αβ⊂⊂，则α∥β； ②若,m n αβ⊂⊂，α∥l m β⊥，，则l n ⊥； ③若,,m n αβα⊥⊥∥β，则m ∥n ； ④若αβ⊥，m ∥α，n ∥β，则m n ⊥； （A ）②③ （B ）③ （C ）②④ （D ）③④ 【答案】B3．已知,a b 是空间中两不同直线，,αβ是空间中两不同平面，下列命题中正确．．的是（ ） A ．若直线//a b ，b α⊂，则//a α B ．若平面αβ⊥，a α⊥，则//a β C ．若平面//αβ，,a b αβ⊂⊂，则//a b D ．若,a b αβ⊥⊥，//a b ，则//αβ 【答案】D4．在下列关于直线l 、m 与平面α、β的命题中,正确的是 （ ） A ．若l β⊂且αβ⊥,则l α⊥ B ．若l β⊥且//αβ,则l α⊥ C ．若l β⊥且αβ⊥,则//l α D ．若m αβ⋂=且//l m ,则//l α【答案】B5．设,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ） A ．若//,//,//m l m l αα则 B ．若,,//m l m l αα⊥⊥则C ．若//,,//,l m l m αβαβ⊥⊥则D ．若,//,,//,//m m l l αββααβ⊂⊂则【答案】C6．如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 是平行四边形，M ，N 分别是AB ，PC 的中点． 求证：MN //平面PAD ． 【答案】证明见解析【解析】证明：如图，取CD 的中点E ，连接NE ，ME∵M ，N 分别是AB ，PC 的中点，NE PD ∴//，ME AD //，可证明NE //平面PAD ，ME //平面PAD ．又NEME E =，∴平面MNE //平面PAD ，又MN ⊂平面MNE ，∴MN //平面PAD ．7．在正方体1111D C B A ABCD -中，G 是C 1D 1的中点，H 是A 1B 1的中点（1）求异面直线AH 与BC 1所成角的余弦值； （2）求证：BC 1∥平面B 1DG ．【答案】（1）异面直线AH 与1BC所成角的余弦值为；（2）证明过程详见试题解析． 【解析】试题解析：（1）连结1AD ，1HD ，∵AB ∥11C D ，AB =11C D ∴四边形11ABC D 为平行四边形， ∴1AD ∥1BC ，∴1D AH ∠为异面直线AH 与1BC 所成的角，设正方体棱长为1，在1AD H ∆中，1AD1AH D H ==，∴2221111cos 2D A AH D H D AH D A AH +-∠==⋅∴异面直线AH 与1BC所成角的余弦值为 （2）连结1BD 交1B D 于点O ，连结OG ，易知O 为1BD 的中点，在11BC D ∆中，OG 为中位线，∴OG ∥BC1HGD 1C 1B 1A 1DCBAACDA 1B 1C 1D 1GHOHGD 1C 1B 1A 1DC BA又OG ⊂平面1B DG 且1BC ⊄平面1B DG ∴BC1∥平面1B DG考点：异面直线所成的角、线面平行的判定定理．8．长方体1111ABCD A B C D -中,2AB =,14AA AD ==,点E 为AB 中点． （Ⅰ）求证：1BD // 平面1A DE ；（Ⅱ）求证：1A D ⊥平面1ABD ；【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．试题解析：（Ⅰ）设1A D 与1AD 交于点O ,连结EO 1分在长方体1111ABCD A B C D -中,O 、E 分别为1AD 、AB 的中点,∴1//OE BD∵OE ⊂平面1A DE ,1BD ⊄平面1A DE ∴1BD // 平面1A DE ．（Ⅱ）在长方体1111ABCD A B C D -中, ∵1AD AA = ∴11A D AD ⊥ 又11,,AB AD AB AA ADAA A ⊥⊥=, ∴AB ⊥面11ADD A∵1A D ⊂面11ADD A , ∴1AB A D ⊥ ∵ 1AD AB A = ∴ 1A D ⊥平面1ABD考点：1．线面平行的判定定理；2．线面垂直的判定定理．9．（本小题满分13分）如图，⊙O 在平面α内，AB 是⊙O 的直径，PA ⊥平面α，C 为圆周上不同于A 、B 的任意一点，M ，N ，Q 分别是PA ，PC ，PB 的中点.（1）求证：//MN 平面α； （2）求证：平面//MNQ 平面α； （3）求证：BC ⊥平面PAC . 【答案】见解析试题解析：证明：（1）∵,M N 分别是,PA PC 的中点，∴//MN AC . 又∵,MN AC αα⊂⊂/，∴//MN 平面α.（2）由（1）知//MN 平面α， 同理可证//NQ 平面α. ∵MN ⊂平面,MNQ NQ ⊂平面,MNQ 且MNNQ N =， ∴平面//MNQ 平面α.（3）∵PA ⊥平面α，BC ⊂平面α，∴BC PA ⊥.又∵AB 是⊙O 的直径，C 为圆周上不同于A 、B 的任意一点，∴BC AC ⊥.AB CDA 1B 1C 1D 1EAB CDA 1B 1C 1D 1AD AB A=A D ⊥ABD∵PA AC A =,,PA AC ⊂平面PAC ， ∴BC ⊥平面PAC .考点：线面平行的判定，面面平行的判定，线面垂直的判定.10．矩形ABCD 中，AD ⊥面ABE ，2===BC EB AE，CEF 为上的点，且BF ⊥面ACE ，AC 、BD 交于点G .（1）求证：AE ⊥BCE 面； （2）求证：AE //面BFD . 【答案】（1）略（2）略【解析】（1）由BF ⊥面ACE ，得BF AE ⊥，由AD ⊥面ABE ，得,AE AD ⊥根据线面垂直的判定定理得证；（2）由已知易证FG 为AEC ∆的中位线，根据线面平行的判定定理得证。
数学必修二点线面之间的位置关系习题打印版(含答案)z
点、直线、平面之间的位置关系1.如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E、F分别是AB、BD的中点．求证：(1)直线EF∥面ACD.(2)平面EFC⊥平面BCD.2.如图所示，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝22，M为BC的中点．(1)证明：AM⊥PM；(2)求二面角P－AM－D的大小．3．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC与△A1B1C1都为正三角形且AA1⊥面ABC，F、F1分别是AC，A1C1的中点．求证：(1)平面AB1F1∥平面C1BF；(2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1.4．如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q分别为AE，AB的中点．(1)证明：PQ∥平面ACD；(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值．5．如图，△ABC中，AC＝BC＝22AB，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G，F分别是EC，BD的中点．(1)求证：GF∥底面ABC；(2)求证：AC⊥平面EBC；(3)求几何体ADEBC的体积V.答案1.证明：(1)∵E、F分别是AB、BD的中点，∴EF∥AD.又AD⊂平面ACD，EF⊄平面ACD，∴直线EF∥面ACD.(2)在△ABD中，∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD.在△BCD中，∵CD＝CB，F为BD的中点，∴CF⊥BD.∵CF∩EF＝F，∴BD⊥平面EFC，又∵BD⊂平面BCD，∴平面EFC⊥平面BCD.2. (1)证明：如图所示，取CD的中点E，连接PE，EM，EA，∵△PCD为正三角形，∴PE⊥CD，PE＝PD sin∠PDE＝2sin60°＝ 3.∵平面PCD⊥平面ABCD，∴PE⊥平面ABCD，而AM⊂平面ABCD，∴PE⊥AM.∵四边形ABCD是矩形，∴△ADE，△ECM，△ABM均为直角三角形，由勾股定理可求得EM＝3，AM＝6，AE＝3，∴EM2＋AM2＝AE2.∴AM⊥EM.又PE∩EM＝E，∴AM⊥平面PEM，∴AM⊥PM.(2)解：由(1)可知EM⊥AM，PM⊥AM，∴∠PME是二面角P－AM－D的平面角．∴tan ∠PME ＝PE EM ＝33＝1，∴∠PME ＝45°.∴二面角P －AM －D 的大小为45°.3. 本题可以根据面面平行和面面垂直的判定定理和性质定理，寻找使结论成立的充分条件．[证明] (1)在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， ∵F 、F 1分别是AC 、A 1C 1的中点， ∴B 1F 1∥BF ，AF 1∥C 1F .又∵B 1F 1∩AF 1＝F 1，C 1F ∩BF ＝F ， ∴平面AB 1F 1∥平面C 1BF .(2)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1，∴B 1F 1⊥AA 1. 又B 1F 1⊥A 1C 1，A 1C 1∩AA 1＝A 1，∴B 1F 1⊥平面ACC 1A 1，而B 1F 1⊂平面AB 1F 1， ∴平面AB 1F 1⊥平面ACC 1A 1.4. 因为P ，Q 分别为AE ，AB 的中点， 所以PQ ∥EB .又DC ∥EB ，因此PQ ∥DC ， 又PQ ⊄平面ACD ，从而PQ ∥平面ACD .(2)如图，连接CQ ，DP ，因为Q 为AB 的中点，且AC ＝BC ，所以CQ ⊥AB .因为DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ， 所以EB ⊥平面ABC ，因此CQ ⊥EB . 故CQ ⊥平面ABE .由(1)有PQ ∥DC ，又PQ ＝12EB ＝DC ，所以四边形CQPD 为平行四边形，故DP ∥CQ ， 因此DP ⊥平面ABE ，∠DAP 为AD 和平面ABE 所成的角， 在Rt △DP A 中，AD ＝5，DP ＝1，sin ∠DAP ＝55，因此AD 和平面ABE 所成角的正弦值为55. 5. (1)转化为证明GF 平行于平面ABC 内的直线AC ；(2)转化为证明AC 垂直于平面EBC 内的两条相交直线BC 和BE ；(3)几何体ADEBC 是四棱锥C －ABED .[解] (1)证明：连接AE ，如下图所示． ∵ADEB 为正方形，∴AE ∩BD ＝F ，且F 是AE 的中点， 又G 是EC 的中点，∴GF ∥AC ，又AC ⊂平面ABC ，GF ⊄平面ABC ， ∴GF ∥平面ABC .(2)证明：∵ADEB 为正方形，∴EB ⊥AB ，又∵平面ABED ⊥平面ABC ，平面ABED ∩平面ABC ＝AB ，EB ⊂平面ABED ，∴BE ⊥平面ABC ，∴BE ⊥AC . 又∵AC ＝BC ＝22AB ，∴CA 2＋CB 2＝AB 2，∴AC ⊥BC . 又∵BC ∩BE ＝B ，∴AC ⊥平面BCE .(3)取AB 的中点H ，连GH ，∵BC ＝AC ＝22AB ＝22，∴CH ⊥AB ，且CH ＝12，又平面ABED ⊥平面ABC∴G H ⊥平面ABCD ，∴V ＝13×1×12＝16.。
07点线面的位置关系
第七讲 立体几何—点线面的位置关系【知识要点归纳】1. 平面图形知识总结2. 立体图形总结3. 总结线线的位置关系4. 总结线面的位置关系5. 总结面面的位置关系【经典例题】例1：（07广东高考）将正三棱柱截去三个角（如图1所示A B C ，，分别是GHI △三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）例2：请根据三视图，还原图形，并求体积 （1）（09山东高考改）侧(左)视图俯视图（2）（07山东高考改）（3）（07宁夏高考改）例3：某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a + b 的最大值为（ ）A. 22B. 32C. 4D. 52例4：在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，哪些棱与AA 1平行？异面？垂直？例5：在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的中，哪些面与AB 平行？垂直？正视图侧视图俯视图例6：判断下列说法是否正确？（1）若,m n α⊥∥β，αβ⊥，则m n ⊥（2）若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行 （3）垂直于同一直线的两条直线相互平行 （4）若αα//,//,n n m m 则⊂（5）如果m n m ,,αα⊄⊂、α//,n n 那么是异面直线 （6）若平面α内有不共线三点到平面β的距离相等，则βα// （7）若βαγβγα//,,则⊥⊥（8）若m 、n 与α所成的角相等，则n ∥m例7：已知一个平面α，那么对于空间内的任意一条直线a ，在平面α内一定存在一条直线b ，使得a 与b （ ）A. 平行B. 相交C. 异面D. 垂直【课堂练习】1.将装有水的长方体的水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度，则倾斜后水槽的水形成的几何体是（ ） A.棱柱 B.棱台 C.棱柱与棱锥组合体 D.不能确定2.若P 是两条异面直线,l m 外的任意一点，则（ ） A ．过点P 有且仅有一条直线与,l m 都平行 B ．过点P 有且仅有一条直线与,l m 都垂直C ．过点P 有且仅有一条直线与,l m 都相交D ．过点P 有且仅有一条直线与,l m 都异面3.（09浙江理）若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是 3cm ．4.（09宁夏海南理）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：c 2m ）为（ ）A ．B ．C ．D ．5.长方体1111ABCD A B C D −中，5,3,41===BB BC AB ，一只蚂蚁从点A 出发沿表面爬行到点1C ，求蚂蚁爬行的最短路线的长.答案：1.A 2.B 3.18 4. 5. 74。
2必修二-点线面之间的位置关系测试题-含答案-1130
第二章点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1．设α，β为两个不同的平面，l，m为两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，有如下的两个命题：①若 α∥β，则l∥m；②若l⊥m，则 α⊥β．那么()．A．①是真命题，②是假命题B．①是假命题，②是真命题C．①②都是真命题D．①②都是假命题2．如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误．．的是()．A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1(第2题)D．异面直线AD与CB1角为60°3．关于直线m，n与平面 α，β，有下列四个命题：①m∥α，n∥β 且 α∥β，则m∥n；②m⊥α，n⊥β 且 α⊥β，则m⊥n；③m⊥α，n∥β 且 α∥β，则m⊥n；④m∥α，n⊥β 且 α⊥β，则m∥n．其中真命题的序号是()．A．①②B．③④C．①④D．②③4．给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行②垂直于同一平面的两个平面互相平行③若直线l1，l2与同一平面所成的角相等，则l1，l2互相平行④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线其中假．命题的个数是()．A．1 B．2 C．3 D．45．下列命题中正确的个数是()．①若直线l上有无数个点不在平面 α 内，则l∥α②若直线l与平面 α 平行，则l与平面 α 内的任意一条直线都平行③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行④若直线l与平面 α 平行，则l与平面 α 内的任意一条直线都没有公共点A．0个B．1个C．2个D．3个6．两直线l1与l2异面，过l1作平面与l2平行，这样的平面()．A．不存在B．有唯一的一个C．有无数个D．只有两个7．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为()．A．90°B．60°C．45°D．30°8．下列说法中不正确的．．．．是()．A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B．同一平面的两条垂线一定共面C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线在同一个平面内D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直9．给出以下四个命题：①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么些两个平面互相垂直其中真命题的个数是()．A．4 B．3 C． 2 D．110．异面直线a，b所成的角60°，直线a⊥c，则直线b与c所成的角的范围为()．A．[30°，90°]B．[60°，90°]C．[30°，60°] D．[30°，120°]二、填空题11．已知三棱锥P－ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为S1，S2，S3，则这个三棱锥的体积为．12．P是△ABC所在平面 α 外一点，过P作PO⊥平面 α，垂足是O，连PA，PB，PC．(1)若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的心；(2)PA⊥PB，PA⊥PC，PC⊥PB，则O是△ABC的心；(3)若点P到三边AB，BC，CA的距离相等，则O是△ABC的心；(4)若PA＝PB＝PC，∠C＝90º，则O是AB边的点；(5)若PA＝PB＝PC，AB＝AC，则点O在△ABC的线上．13．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各J边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点，将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为．14．直线l与平面α 所成角为30°，l∩α＝A，直线m∈α，则m与l所成角的取值范围是．15．棱长为1的正四面体内有一点P，由点P向各面引垂线，垂线段长度分别为d1，d2，d3，d4，则d1＋d2＋d3＋d4的值为．16．直二面角 α－l－β 的棱上有一点A，在平面 α，β 内各有一条射线AB，AC与l成45°，AB⊂α，AC⊂β，则∠BAC＝．三、解答题17．在四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形．(1)求证：BC⊥AD；(2)若点D到平面ABC的距离等于3，求二面角A－BC－D的正弦值；(第17题) (3)设二面角A－BC－D的大小为θ，猜想θ 为何值时，四面体A－BCD的体积最大．(不要求证明)18．如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点，连结ED，EC，EB和DB．(1)求证：平面EDB ⊥平面EBC ；(2)求二面角E －DB －C 的正切值.19*．如图，在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ－ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，SA ⊥面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝１，AD ＝21． (1)求四棱锥S —ABCD 的体积；(2)求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值．(提示：延长 BA ，CD 相交于点 E ，则直线 SE 是所求二面角的棱.20*．斜三棱柱的一个侧面的面积为10，这个侧面与它所对棱的距离等于6，求这个棱柱的体积．(提示：在 AA 1 上取一点 P ，过 P 作棱柱的截面，使 AA 1 垂直于这个截面.)(第20题)答案：DDDDB BCDBA11．313212S S S ． 12．外，垂，内，中，BC 边的垂直平分． 13．60°．14．[30°，90°]． 15．36． 16．60°或120°．三、解答题17．证明：(1)取BC 中点O ，连结AO ，DO ．∵△ABC ，△BCD 都是边长为4的正三角形，(第18题)∴AO ⊥BC ，DO ⊥BC ，且AO ∩DO ＝O ，∴BC ⊥平面AOD ．又AD ⊂平面AOD ，∴BC ⊥AD ． (第17题)解：(2)由(1)知∠AOD 为二面角A －BC －D 的平面角，设∠AOD ＝θ，则过点D 作DE ⊥AD ，垂足为E ．∵BC ⊥平面ADO ，且BC ⊂平面ABC ，∴平面ADO ⊥平面ABC ．又平面ADO ∩平面ABC ＝AO ，∴DE ⊥平面ABC ．∴线段DE 的长为点D 到平面ABC 的距离，即DE ＝3．又DO ＝23BD ＝23，在Rt △DEO 中，sin θ＝DO DE ＝23，故二面角A －BC －D 的正弦值为23．(3)当 θ＝90°时，四面体ABCD 的体积最大．18．证明：(1)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BB 1＝BC ＝1，E 为D 1C 1的中点．∴△DD 1E 为等腰直角三角形，∠D 1ED ＝45°．同理∠C 1EC ＝45°．∴︒=∠90DEC ，即DE ⊥EC ． 在长方体ABC D －1111D C B A 中，BC ⊥平面11DCC D ，又DE ⊂平面11DCC D ，∴BC ⊥DE ．又C BC EC = ，∴DE ⊥平面EBC ．∵平面DEB 过DE ，∴平面DEB ⊥平面EBC ．(2)解：如图，过E 在平面11DCC D 中作EO ⊥DC 于O ．在长方体ABCD －1111D C B A 中，∵面ABCD ⊥面11DCC D ，∴EO ⊥面ABCD ．过O 在平面DBC 中作OF ⊥DB 于F ，连结EF ，∴EF ⊥BD ．∠EFO 为二面角E －D B －C 的平面角．利用平面几何知识可得OF ＝51， (第18题) 又OE ＝1，所以，tan ∠EFO ＝5．19*．解：(1)直角梯形ABCD 的面积是M底面＝AB AD BC ⋅)(＋21＝43＝1221＋1⨯，∴四棱锥S —ABCD 的体积是V ＝31·SA ·M 底面＝31×1×43＝41．(2)如图，延长BA ，CD 相交于点E ，连结SE ，则SE 是所求二面角的棱．∵AD ∥BC ，BC ＝2AD ，∴EA ＝AB ＝SA ，∴SE ⊥SB∵SA ⊥面ABCD ，得面SEB ⊥面EBC ，EB 是交线．又BC ⊥EB ，∴BC ⊥面SEB ，故SB 是SC 在面SEB上的射影，∴CS ⊥SE ，∠BSC 是所求二面角的平面角．∵SB ＝22＋AB SA ＝2，BC ＝1，BC ⊥SB ，∴tan ∠BSC ＝22＝SB BC ，(第19题) 即所求二面角的正切值为22． 20*．解：如图，设斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面BB 1C 1C 的面积为10，A 1A 和面BB 1C 1C 的距离为6，在AA 1上取一点P作截面PQR，使AA1⊥截面PQR，AA1∥CC1，∴截面PQR⊥侧面BB1C1C，过P作PO⊥QR于O，则PO⊥侧面BB1C1C，且PO＝6．1·QR·PO·AA1∴V 斜＝S△PQR·AA1＝21·PO·QR·BB1＝21×10×6＝2＝30．(第20题)第二章点、直线、平面之间的位置关系参考答案及解析A组一、选择题1．D 解析：命题②有反例，如图中平面 α∩平面 β＝直线n，l⊂α，m⊂β，且l∥n，m⊥n，则m⊥l，显然平面 α 不垂直平面β， (第1题)故②是假命题；命题①显然也是假命题，2．D解析：异面直线AD与CB1角为45°．3．D解析：在①、④的条件下，m，n的位置关系不确定．4．D解析：利用特殊图形正方体我们不难发现①②③④均不正确，故选择答案D．5．B解析：学会用长方体模型分析问题，A1A有无数点在平面ABCD外，但AA1与平面ABCD相交，①不正确；A1B1∥平面ABCD，显然A1B1不平行于BD，②不正确；A1B1∥AB，A1B1∥平面ABCD，但AB⊂平面ABCD内，③不正确；l与平面α平行，则l与 α 无公共点，l与平面 α 内的所有直线都没有公共点，④正确，应选B．(第5题)6．B 解析：设平面 α 过l 1，且 l 2∥α，则 l 1上一定点 P 与 l 2 确定一平面 β ，β 与 α 的交线l 3∥l 2，且 l 3 过点 P . 又过点 P 与 l 2 平行的直线只有一条，即 l 3 有唯一性，所以经过 l 1 和 l 3 的平面是唯一的，即过 l 1 且平行于 l 2 的平面是唯一的.7．C 解析：当三棱锥D －ABC 体积最大时，平面DAC ⊥ABC ，取AC 的中点O ，则△DBO 是等腰直角三角形，即∠DBO ＝45°． 8．D 解析：A ．一组对边平行就决定了共面；B ．同一平面的两条垂线互相平行，因而共面；C ．这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；D ．把书本的书脊垂直放在桌上就明确了．9．B 解析：因为①②④正确，故选B ．10．A 解析：异面直线a ，b 所成的角为60°，直线c ⊥a ，过空间任一点 P ，作直线 a ’∥a ， b ’∥b ， c ’∥c . 若a ’，b ’，c ’ 共面则 b ’ 与 c ’ 成 30° 角，否则 b ’ 与 c ’ 所成的角的范围为(30°，90°]，所以直线b 与c 所成角的范围为[30°，90°] ． 二、填空题 11．313212S S S ．解析：设三条侧棱长为 a ，b ，c ．则 21ab ＝S 1，21bc ＝S 2，21ca ＝S 3 三式相乘：∴ 81a 2 b 2 c 2＝S 1S 2S 3，∴ abc ＝23212S S S ．∵ 三侧棱两两垂直， ∴ V ＝31abc ·21＝313212S S S ．12．外，垂，内，中，BC 边的垂直平分．解析：(1)由三角形全等可证得 O 为△ABC 的外心； (2)由直线和平面垂直的判定定理可证得，O 为△ABC 的垂心；(3)由直线和平面垂直的判定定理可证得，O 为△ABC 的内心；(4)由三角形全等可证得，O 为 AB 边的中点；(5)由(1)知，O 在 BC 边的垂直平分线上，或说 O 在∠BAC 的平分线上． 13．60°．解析：将△ABC 沿DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度数为60°． 14．[30°，90°]．解析：直线l 与平面 α 所成的30°的角为m 与l 所成角的最小值，当m 在 α 内适当旋转就可以得到l ⊥m ，即m 与l 所成角的的最大值为90°． 15．36．解析：作等积变换：4331⨯×(d 1＋d 2＋d 3＋d 4)＝4331⨯·h ，而h ＝36．16．60°或120°．解析：不妨固定AB ，则AC 有两种可能． 三、解答题17．证明：(1)取BC 中点O ，连结AO ，DO ． ∵△ABC ，△BCD 都是边长为4的正三角形， ∴AO ⊥BC ，DO ⊥BC ，且AO ∩DO ＝O ， ∴BC ⊥平面AOD ．又AD ⊂平面AOD ， ∴BC⊥AD ． (第17题)解：(2)由(1)知∠AOD 为二面角A －BC －D 的平面角，设∠AOD ＝θ，则过点D 作DE ⊥AD ，垂足为E ． ∵BC ⊥平面ADO ，且BC ⊂平面ABC ，∴平面ADO ⊥平面ABC ．又平面ADO ∩平面ABC ＝AO ， ∴DE ⊥平面ABC ．∴线段DE 的长为点D 到平面ABC 的距离，即DE ＝3． 又DO ＝23BD ＝23，在Rt △DEO 中，sin θ＝DODE ＝23，故二面角A －BC －D 的正弦值为23．(3)当 θ＝90°时，四面体ABCD 的体积最大．18．证明：(1)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BB 1＝BC ＝1，E 为D 1C 1的中点．∴△DD 1E 为等腰直角三角形，∠D 1ED ＝45°．同理∠C 1EC ＝45°．∴︒=∠90DEC ，即DE ⊥EC ．在长方体ABC D －1111D C B A 中，BC ⊥平面11DCC D ，又DE ⊂平面11DCC D ，∴BC ⊥DE ．又C BC EC = ，∴DE ⊥平面EBC ．∵平面DEB 过DE ，∴平面DEB ⊥平面EBC ．(2)解：如图，过E 在平面11DCC D 中作EO ⊥DC 于O ．在长方体ABCD －1111D C B A 中，∵面ABCD ⊥面11DCC D ，∴EO ⊥面ABCD ．过O 在平面DBC 中作OF ⊥DB 于F ，连结EF ，∴EF ⊥BD ．∠EFO 为二面角E －D B －C 的平面角．利用平面几何知识可得OF ＝51，(第18题)又OE ＝1，所以，tan ∠EFO ＝5．19*．解：(1)直角梯形ABCD 的面积是M底面＝AB AD BC ⋅)(＋21＝43＝1221＋1⨯，∴四棱锥S —ABCD 的体积是V ＝31·SA ·M 底面＝31×1×43＝41． (2)如图，延长BA ，CD 相交于点E ，连结SE ，则SE 是所求二面角的棱．∵AD ∥BC ，BC ＝2AD ， ∴EA ＝AB ＝SA ，∴SE ⊥SB∵SA ⊥面ABCD ，得面SEB ⊥面EBC ，EB 是交线． 又BC ⊥EB ，∴BC ⊥面SEB ，故SB 是SC 在面SEB 上的射影，∴CS ⊥SE ，∠BSC 是所求二面角的平面角．∵SB ＝22＋AB SA ＝2，BC ＝1，BC ⊥SB ，∴tan ∠BSC ＝22＝SB BC ，(第19题)即所求二面角的正切值为22．20*．解：如图，设斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面BB 1C 1C 的面积为10，A 1A 和面BB 1C 1C 的距离为6，在AA 1上取一点P 作截面PQR ，使AA 1⊥截面PQR ，AA 1∥CC 1，∴截面PQR ⊥侧面BB 1C 1C ，过P 作PO ⊥QR 于O ，则PO ⊥侧面BB 1C 1C ，且PO ＝6． ∴V 斜＝S △PQR ·AA 1＝21·QR ·PO ·AA 1＝21·PO ·QR ·BB 1＝21×10×6 ＝30．(第20题)。
高考数学专题复习八8.2空间点、线、面的位置关系-模拟练习题(附答案)
8.2空间点、线、面的位置关系基础篇考点一点、线、面的位置关系1.(2023届福建厦门联考,5)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,△A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述中正确的是()1与B1E是异面直线1与AE共面C.AE与B1C1是异面直线D.AE与B1C1所成的角为60°答案C2.(2019课标Ⅱ,7,5分)设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是()A.α内有无数条直线与β平行B.α内有两条相交直线与β平行C.α,β平行于同一条直线D.α,β垂直于同一平面答案B3.(2021安徽江南十校一模,7)设a、b为两条直线,则a∥b的充要条件是()A.a、b与同一个平面所成角相等B.a、b垂直于同一条直线C.a、b平行于同一个平面D.a、b垂直于同一个平面答案D4.(2022甘肃二诊,6)正方体上的点M,N,P,Q是其所在棱的中点,则下列各图中直线MN与直线PQ是异面直线的是()ABCD答案B5.(2023届广西桂林月考二,9)已知三条不同的直线a,b,c,平面α,β,下列说法正确的是()A.命题p:经过一个平面上一点有且只有一个平面与已知平面垂直.命题p是真命题B.已知直线a∥b,b∥c,则a∥cC.命题q:已知a∥α,b∥α,则a∥b.命题q是真命题D.已知a⊥b,b⊥c,a∥α,c∥β,则α∥β答案B6.(2023届黑龙江部分学校联考,4)一个封闭的正方体容器ABCD-A1B1C1D1,P,Q,R分别是AB,BC和C1D1的中点,由于某种原因,P,Q,R处各有一个小洞,当此容器内存水的表面恰好经过这三个小洞时,容器中水的上表面的形状是() A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形答案D7.(2022皖南八校三模,15)三棱锥A-BCD中,AB=CD=1,过线段BC中点E作平面EFGH与直线AB、CD都平行,且分别交BD、AD、AC于F、G、H,则四边形EFGH的周长为.答案2考点二异面直线所成的角1.(2018课标Ⅱ,9,5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为()答案C2.(2022江西赣州二模,8)在正四棱锥P-ABCD中,点E是棱PD的中点.若直线PB与直线CE则P B的值为()A.1B.2C.2D.22答案C3.(2022黑龙江模拟,8)如图,某圆锥SO的轴截面SAC是等边三角形,点B是底面圆周上的一点,且∠BOC=60°,点M是SA的中点,则异面直线AB与CM所成角的余弦值是()A.13 C.34答案C4.(2023届河南焦作调研一,11)已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形,AB和CD分别是该圆柱上、下底面的一条直径,若四面体ABCD则异面直线AB与CD所成角的余弦值为()C.12D.13答案D综合篇考法一点、线、面位置关系的判定及其应用1.(2023届昆明一中双测二,4)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,E,F分别为棱A1B1,B1C1的中点,经过E,F,O三点的平面与正方体相交所成的截面为() A.梯形 B.平行四边形C.矩形D.正方形答案A2.(2022黑龙江大庆实验中学月考,11)给出下列命题:①若△ABC的三条边所在直线分别交平面α于P,Q,R三点,则P,Q,R三点共线;②若直线a,b是异面直线,直线b,c是异面直线,则直线a,c是异面直线;③若三条直线a,b,c两两平行且分别交直线l于A,B,C三点,则这四条直线共面;④对于三条直线a,b,c,若a⊥c,b⊥c,则a∥b.其中所有真命题的序号是() A.①② B.①③ C.③④ D.②④答案B3.(2019课标Ⅲ,8,5分)如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则()A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线答案B4.(2023届山西大同联考一,10)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=1,AD⊥AA1,AD⊥AB,∠A1AB=60°,M,N分别是棱AB和BC的中点,则下列说法中不正确的是()A.A1,C1,M,N四点共面B.B1N与AB共面C.AD⊥平面ABB1A1D.A1M⊥平面ABCD答案B5.(2021内蒙古赤峰2月月考,16)如图,在棱长为2的正方体中,点M、N在棱AB、BC上,且AM=BN=1,P在棱AA1上,α为过M、N、P三点的平面,则下列说法正确的是.①存在无数个点P,使面α与正方体的截面为五边形;②当A1P=1时,面α与正方体的截面面积为33;③只有一个点P,使面α与正方体的截面为四边形;④当面α交棱CC1于点H时,PM、HN、BB1三条直线交于一点.答案①②④6.(2020新高考Ⅰ,16,5分)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2,∠BAD=60°.以D1为球心,5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为.答案2π2考法二异面直线所成的角的求解1.(2023届贵阳开学测试,12)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2AD=4,点E在棱CC1上,且C1E=2CE,点F在正方形ABCD内.若直线A1F与BB1所成的角等于直线EF与BB1所成的角,则AF的最小值是() A.322 B.32 C.924 D.922答案A2.(2022安徽黄山第二次质检,10)已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是梯形,AD∥BC,BC=AB=PA=2AD=2,PB=3,AC与BD交于M点,PN=2ND,连接MN,则异面直线MN与AB所成角的余弦值为()A.-18B.23 D.34答案D3.(2021东北三省四市联考,8)长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=4,AA1=43.过BC的平面分别交线段AA1,DD1于M、N两点,四边形BCNM为正方形,则异面直线D1M与BD所成角的余弦值为()A.14142114C.14435答案D4.(2018课标Ⅱ,9,5分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=3,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为() A.1556C.52答案C5.(2022四川攀枝花联考(三),10)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,D,E分别是BC,A1B1的中点,下列说法中正确的是()A.DE⊥B1C1B.A1C∥平面B1DE1与DE是相交直线D.异面直线B1D与A1C1所成角的余弦值为5答案D6.(2022太原一模,15)已知在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,PA=AB=2,若三棱锥的外接球体积为43π,则异面直线PB与AC所成角的余弦值为.答案12。
点线面位置关系练习(有详细答案)
【空间中的平行问题】（1）直线与平面平行的判定及其性质①线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。
（线线平行→线面平行）②线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
（线面平行→线线平行）（2）平面与平面平行的判定及其性质两个平面平行的判定定理：①如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（线面平行→面面平行） ②如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。
（线线平行→面面平行） ③垂直于同一条直线的两个平面平行两个平面平行的性质定理：①如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。
（面面平行→线面平行） ②如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
（面面平行→线线平行）【空间中的垂直问题】（1）线线、面面、线面垂直的定义①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。
②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。
③平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。
（2）垂直关系的判定和性质定理①线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。
性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
②面面垂直的判定定理和性质定理判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。
【空间角问题】（1）直线与直线所成的角①两平行直线所成的角：规定为 ②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。
高考数学必考点专项第22练 点、线、面的位置关系(练习及答案)(全国通用)(新高考专用)
高考数学必考点专项第22练 点、线、面的位置关系一、单选题1. 已知空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，则“m ，n ，l 在同一平面”是“m ，n ，l 两两相交”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2. 如图已知正方体1111ABCD A B C D -，M ，N 分别是1A D ，1D B 的中点，则( )A. 直线1A D 与直线1D B 垂直，直线//MN 平面ABCDB. 直线1A D 与直线1D B 平行，直线MN ⊥平面11BDD BC. 直线1A D 与直线1D B 相交，直线//MN 平面ABCDD. 直线1A D 与直线1D B 异面，直线MN ⊥平面11BDD B3. 如图，四棱锥P ABCD -，AC BD O ⋂=，M 是PC 的中点，直线AM 交平面PBD于点N ，则下列结论正确的是( )A. ,,,O N P M 四点不共面B. ,,,O N M D 四点共面C. ,,O N M 三点共线D. ,,P N O 三点共线4. 已知在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，E 是PD中点，2PA AB =，则直线BD 与CE 所成角的余弦值为( )A.6B.6C.8D.85. 设A 、B 、C 、D 的空间四个不同的点，在下列结论中，不正确的是( ) A. 若AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面B. 若AC 与BD 是异面直线，则AD 与BC 是异面直线C. 若AB AC =，DB DC =，则AD BC =D. 若AB AC =，DB DC =，则AD BC ⊥6. 当动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的体对角线1A C 上运动时，异面直线BP 与1AD 所成角的取值范围是( )A.B.C.D.7. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB=1，1AD==2AA ，P 为BC 的中点，Q为线段1CC 上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该长方体所得的截面记为.S 则下列命题正确的是( )①当0CQ 1<时，S 的形状为四边形，且当CQ=1时，S 的形状为等腰梯形；②当3CQ=2时，S 与11C D 的交点R ，满足11=3C R ；③当3CQ 22<<时，S 的形状为六边形； ④当CQ=2时，S 的面积为3.A. ①②③④B. ②③④C. ①②④D. ②③二、多选题8. 如图，下列正方体中，O 为底面的中点，P 为所在棱的中点，M ，N 为正方体的顶点，则满足MN OP ⊥的是( )A. B.C. D.9. 如图所示，在正方体1111ABCD A B C D - 中， M ， N 分别为棱1C 1D ，1C C 的中点，其中正确的结论为( )A. 直线AM 与1C C 是相交直线B. 直线AM 与BN 是平行直线C. 直线BN 与1MB 是异面直线D. 直线MN 与AC 所成的角为60︒10. 如图，点M 在正方体1111ABCD A B C D -的棱1CC 上(不含端点)，给出下列四个命题，其中正确的命题是( )A. 过M 点有且只有一条直线与直线AB ，1AD 都垂直B. 过M 点有且只有一条直线与直线AB ，1AD 都是异面直线C. 过M 点有无数个平面与直线AB ，1AD 都平行D. 过M 点有无数个平面与直线AB ，1AD 都相交11. 在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别是11A B ，11B C ，1BB 的中点，下列四个推断中正确的是( )A. //FG 平面11AA D DB. //EF 平面11BC DC. //FG 平面11BC DD. 平面//EFG 平面11BC D三、填空题12. a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB 与a 成60︒角时，AB 与b 成30︒角； ②当直线AB 与a 成60︒角时，AB 与b 成60︒角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45︒； ④直线AB 与a 所成角的最小值为60︒；其中正确的是__________.(填写所有正确结论的编号)13. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F ，G 分别是棱AB ，BC ，1CC 的中点，过E ，F ，G 三点作该正方体的截面，点M 为底面ABCD 内一动点．若1MD 与该截面平行，则直线1MD 与1CC 所成角的余弦值的最大值为__________. 四、解答题14. 如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为2，且两两夹角为60.︒求：1(1)AC 的长；1(2)BD 与AC 夹角的余弦值.15. 如图，在空间四边形ABCD 中，,E F 分别是,AB AD 的中点，,G H 分别在,BC CD 上，且::1:2.BG GC DH HC ==(1)求证：,,,E F G H 四点共面；(2)设EG 与FH 交于点P ，求证：,,P A C 三点共线.16. 如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，且22AB AD ==，2PA =，.3PAB PAD π∠=∠=(1)求线段PC 的长度；(2)求异面直线PC 与BD 所成角的余弦值；17. 如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1D D 的中点，点F在棱1B B 上，且满足12.B F FB =(1)求证：11EF A C ⊥；(2)在棱1C C 上确定一点G ，使A ，E ，G ，F 四点共面，并求此时1C G 的长； (3)求几何体ABFED 的体积．18. 如图，PA⊥平面ADE，B，C分别是AE，DE中点，AE AD⊥， 2.===AD AE AP (1)求二面角A PE D--的余弦值；(2)点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．答案和解析1.【答案】B解：空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，若m ，n ，l 在同一平面，则m ，n ，l 两两相交或m ，n ，l 有两个平行，另一直线与之相交，或三条直线两两平行． 故充分性不成立；若m ，n ，l 两两相交，则m ，n ，l 在同一平面，故必要性成立. 故m ，n ，l 在同一平面”是“m ，n ，l 两两相交”的必要不充分条件， 故选：.B2.【答案】A解：连1AD ，在正方体1111ABCD A B C D -中， M 是1A D 的中点，所以M 为1AD 中点， 又N 是1D B 的中点，所以//MN AB ，MN ⊂/平面,ABCD AB ⊂平面ABCD ，所以//MN 平面.ABCD因为AB 不垂直BD ，所以MN 不垂直BD ，则MN 不垂直平面11BDD B ，所以选项B ，D 不正确；在正方体1111ABCD A B C D -中，11AD A D ⊥，AB ⊥平面11AA D D ，所以1AB A D ⊥，1AD AB A ⋂=，所以1A D ⊥平面1ABD ，1D B ⊂平面1ABD ，所以11A D D B ⊥，且直线11,A D D B 是异面直线，所以选项C 错误，选项A 正确. 故选.A3.【答案】D解：由题意可知O ，N ，P ，M 四点均在平面PAC 上，故O ，N ，P ，M 四点共面，故A 错. 若点D 与O ，M ，N 共面，则点D 在平面PAC 内，与题目矛盾，故B 错. O ，N ∈平面PBD ，M ∉平面PBD ，故O ，M ，N 三点不共线，故C 错.连接PO ，因为平面PAC ⋂平面PBD PO =，N AM ∈，AM ⊂平面PAC ，所以N ∈平面PAC ， 又N PBD ∈，所以N PO ∈，故D 正确. 故选.D4.【答案】B解：因为2PA AB =，设2PA =，则1AB AD ==，以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，则(1,0,0)B ，(0,0,2)P ，(1,1,0)C ，(0,1,0)D ，1(0,,1)2E，设异面直线BD 与CE 所成角为θ，则故选.B5.【答案】C解：.A 若AC 与BD 共面，则A ，B ，C ，D 四点共面，则AD 与BC 共面，所以A 正确；B .假设AD 与BC 不是异面直线，则AD 与BC 共面，于是AC 与BD 共面，这与AC 与BD 是异面直线矛盾，故AD 与BC 也是异面直线，所以B 正确；D .若AB AC =，DB DC =，取BC 的中点E ，则BC AE ⊥，BC DE ⊥，AE DE E ⋂=，AE ，DE ⊂平面ADE ，故BC ⊥平面ADE ，AD ⊂平面ADE ，则AD BC ⊥，所以D 正确.C .若AB AC =，DB DC =，由上图可知 AD 不一定等于BC ，所以C 不正确； 故选.C6.【答案】B解：设BP 与1AD 所成的角为θ，以B 为坐标原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，1BB 为z 轴建立空间直角坐标系， 如图所示，不妨设||1AB =，则(0,0,0)B ，(1,0,0)C ，1(0,1,1)A ，1(1,0,1)C ，11(1,0,1)AD BC ∴==，(1,0,0)BC =，1(1,1,1).CA =-设1CP CA λ=，01λ，则1(1,,)BP BC CA λλλλ=+=-，01λ，2212(1)2λλ=⨯-+2113[,]22146()33λ=∈-+，故选.B7.【答案】C解：如图当CQ=1时，即 Q 为1CC 中点，此时可得1PQ//AD ，1AP==2QD ，故可得截面1APQ D 为等腰梯形，由上图当点 Q 向 C 移动时，满足0CQ 1<<，只需在1DD 上取点 M 满足AM//PQ ，即可得截面为四边形 APQM ，故①正确；当3CQ=2时，延长1DD 至 N ，使1=1D N ，连接 AN 交11A D 于 E ，连接 NQ 交11C D 于 R ，连接 ER ，可证AN//PQ ，由1NR D ∽1QR C ，可得1C R ：11=D R C Q ：1=1D N ：2，故可得11=3C R ，故②正确； 由上可知当3CQ 22<<，只需点 Q 上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的 APQRE ，显然为五边形，故③错误；当CQ=2时， Q 与1C 重合，取11A D 的中点 F ，连接 AF ，可证1//AF PC ，且1PC1FC1AP C F 为平行四边形，故其面积为AFP =2=3S S ，故④正确.故选.C8.【答案】BC解：对于A ，设正方体棱长为2，设MN 与OP 所成角为θ， 则12tan 12442θ==+，∴不满足MN OP ⊥，故A 错误； 对于B ，如图，作出平面直角坐标系，设正方体棱长为2，则(2,0,0)N ，(0,0,2)M ，(2,0,1)P ，(1,1,0)O ，(2,0,2)MN =-，(1,1,1)OP =-，0MN OP ⋅=，∴满足MN OP ⊥，故B 正确；对于C ，如图，作出平面直角坐标系，设正方体棱长为2，则(2,2,2)M ，(0,2,0)N ，(1,1,0)O ，(0,0,1)P ，(2,0,2)MN =--，(1,1,1)OP =--，0MN OP ⋅=，∴满足MN OP ⊥，故C 正确；对于D ，如图，作出平面直角坐标系，设正方体棱长为2，则(0,2,2)M ，(0,0,0)N ，(2,1,2)P ，(1,1,0)O ，(0,2,2)MN =--，(1,0,2)OP =，4MN OP ⋅=-，∴不满足MN OP ⊥，故D 错误．故选：.BC9.【答案】CD解：1CC ⊂平面11CC D D ，AM ⋂平面11CC D D M =，1M CC ∉，∴直线AM 与直线1CC 异面，故A 不正确，同理可证：直线AM 与直线BN 异面，故B 不正确；直线BN 与直线1MB 异面，故C 正确， 利用平移法，可得直线MN 与AC 所成的角即为1D C 和AC 所成角，即为60︒，故D 正确， 故选.CD10.【答案】AD解：接1BC ，1AD ，由题意可得11//BC AD ，如图所示：所以A 、B 、1C 、1D 共面，1(M CC ∈不含端点)，所以M 不在面11ABC D ，过M 作面11ABC D 的垂线垂足为Q ，即仅有一条过M 点的直线与直线AB ，1AD 都垂直，故A 正确；在面11ABC D 任取一点E 不在直线AB ，1AD 上，得到的直线ME 与直线AB ，1AD 都是异面直线，故B 不正确；而过M 点仅有一个平面与面11ABC D 平行，所以过M 点有无数个平面与直线AB ，1AD 都平行不正确，故C 不正确；过M 有无数多个平面与面11ABC D 相交，所以过M 点有无数个平面与直线AB ，1AD 都相交，故D 正确.故选.AD11.【答案】AC解：A 项：在正方体中，，分别是，的中点， ，，， 平面，平面，平面，故A 正确； B 项：E ，F 分别是11A B ，11B C 的中点，11//EF A C ∴，与平面相交，与平面相交，故错误；C 项：1//FG BC ，FG ⊂/平面，平面， 平面，故C 正确；D 项：与平面相交，平面与平面相交，故D 错误．故选.AC12.【答案】②③解：由题意知，a 、b 、AC 三条直线两两相互垂直，画出图形如图，不妨设图中所示正方体的棱长为1，故||1AC =，||2AB =， 斜边AB 以直线AC 为旋转轴，则A 点保持不变， B 点的运动轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆，以C 为坐标原点，以CD 为x 轴，CB 为y 轴，CA 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则(1,0,0)D ，(0,0,1)A ，直线a 的方向单位向量(0,1,0)a =，||1a =， 直线b 的方向单位向量(1,0,0)b =，||1b =，设B 点在运动过程中的坐标为(cos ,sin ,0)B θθ'，[0,360),θ︒︒∈ (cos ,sin ,1)AB θθ∴'=-，||2AB '=，设AB '与a 所成夹角为α，[0,90]α︒︒∈，则|(cos ,sin ,1)(0,1,0)|22cos |sin |[0,]22||||a AB θθαθ-⋅==∈⋅'， [45,90]α︒︒∴∈，∴③正确，④错误．设AB '与b 所成夹角为β，[0,90]β︒︒∈， |||(cos ,sin ,1)(1,0,0)|2cos |cos |2||||||||AB b AB b b AB θθβθ'⋅-⋅==='⋅⋅'， 当AB '与a 夹角为60︒时，即60α︒=时，2|sin |2cos 2cos 602θα︒===， 22cos sin 1θθ+=，21cos |cos |22βθ∴==， [0,90]β︒︒∈，60β︒∴=，此时AB '与b 的夹角为60︒，∴②正确，①错误．故答案为：②③．13.【答案】3解：由题意，补全戳面EFG 为正六边形EFGHQR ，如下图所示：1CC 1//DD ，故1DD M ∠即为直线1MD 与1CC 所成的角．由1CD //GH ，因为1CD ⊂/平面EFGHQR ，GH ⊂平面EFGHQR ，所以1CD //平面.EFGHQR由//AC EF ，因为AC ⊂/平面EFGHQR ，EF ⊂平面EFGHQR ，所以//AC 平面EFGHQR ，再由1CD AC C ⋂=，又1CD ，AC ⊂平面1ACD ，所以平面1ACD //平面.EFGHQR由1MD ⊂平面1ACD ，可得1MD //平面.EFGHQR易知点M 位于底面对角线AC 上，且当M 与底面中心O 重合时，1DD M ∠最小，其余弦值此时最大，且最大值为1112216cos .321()2D D DD O D O ∠===+ 故答案为6.314.【答案】解：设AB a =，AD b =，1AA c =，则两两夹角为60︒，且模均为2.111(1).AC AC CC AB AD AA a b c =+=++=++222221||()||||||222AC a b c a b c a b b c a c ∴=++=+++⋅+⋅+⋅112622242=+⨯⨯⨯=， 1||26AC ∴=，即1AC 的长为111(2).BD BD DD AD AB AA b a c =+=-+=-+1()()BD AC b a c a b ∴⋅=-+⋅+22 4.a b a a c b a b b c =⋅-+⋅+-⋅+⋅=21||()22BD b a c =-+=2||()23AC a b =+=，1cos BD ∴<，116||||2BD AC AC BD AC ⋅>===⋅ 1BD ∴与AC 夹角的余弦值为615.【答案】证明：(1)E 、F 分别是AB 和AD 的中点，EF ∴为ABD 的中位线，//EF BD ∴，又::1:2BG GC DH HC ==，在CBD 中//.BD GH ∴//EF GH ∴，所以，E 、F 、G 、H 四点共面．(2)EG FH P ⋂=，,,P EG P FH ∴∈∈由EG ⊂平面ABC ，,P EG ∈得P ∈平面ABC ，由FH ⊂平面ADC ，,P FH ∈得P ∈平面ADC ，又平面ABC ⋂平面ADC AC =，所以P AC ∈，所以,,P A C 三点共线.16.【答案】解：(1)PC PA AC PA AB AD =+=++，所以22222224412221PC PA AB AD PA AB PA AD AB AD =+++⋅+⋅+⋅=++-⨯-⨯3=， 所以线段PC 的长度为 3. (2)()()PC BD PA AB AD AD AB ⋅=++-111201122220222=-⨯⨯++⨯+⨯⨯-⨯-=-， 所以，故异面直线PC 与BD 所成角的余弦值为215.15(3)因为E 为AB 的中点，所以AD AE =，又因为()AP DE AP AE AD AP AE AP AD ⋅=⋅-=⋅-⋅112121022=⨯⨯-⨯⨯=， 所以AP DE ⊥，即.PA ED ⊥17.【答案】(1)证明：连接11B D ，BD ，因为四边形1111A B C D 是正方形，所以1111.A C B D ⊥在正方体1111ABCD A B C D -中，1DD ⊥平面1111A B C D ，11A C ⊂平面1111A B C D ， 所以111.A C DD ⊥因为1111B D DD D ⋂=，11B D ，1DD ⊂平面11BB D D ，所以11A C ⊥平面11.BB D D因为EF ⊂平面11BB D D ，所以11.EF AC ⊥(2)解：取1C C 的中点H ，连接BH ，则//.BH AE在平面11BB C C 中，过点F 作//FG BH ，则//.FG AE连接EG ，则A ，E ，G ，F 四点共面． 因为11122CH C C a ==，11133HG BF C C a ===， 所以111.6C G C C CH HG a =--=故当116C G a =时，A ，E ，G ，F 四点共面．(3)解：因为四边形EFBD 是直角梯形，所以几何体ABFED 为四棱锥.A EFBD - 因为211()2()52322212EFBD a a a BF DE BD S a +⨯+===， 点A 到平面EFBD 的距离为1222h AC a ==， 所以231152253312236A EFBD EFBD V S h a a a -==⨯⨯=， 故几何体ABFED 的体积为35.36a18. 【答案】解：PA ⊥平面ADE ，AD ，AB ⊂平面ADE ，PA AB ∴⊥，PA AD ⊥，AE AD ⊥，∴以{,,}AB AD AP 为正交基底建立空间直角坐标系A xyz -，则各点的坐标为(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P(1)AD AE ⊥，AD PA ⊥，AE ，PA ⊂平面PAE ，AE PA A ⋂=，AD ⊥平面PAE ，AD ∴是平面PAE 的一个法向量，(0,2,0).AD = (1,1,2)PC =-，(0,2,2).PD =- 设平面PED 的法向量为(,,)m x y z =， 则0m PC ⋅=，0m PD ⋅=，即20220.x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，令1y =，解得1z =， 1.x = (1,1,1)m ∴=是平面PED 的一个法向量， 可得cos AD <，33||||AD m m AD m ⋅>==，由图可知，二面角A PE D --为锐二面角， ∴二面角A PE D -- (2)(1,0,2)BP =-，设(,0,2)(01)BQ BP λλλλ==-， 又(0,1,0)CB =-，则(,1,2)CQ CB BQ λλ=+=--， 又(0,2,2)DP =-，cos CQ ∴<，1||||10CQ DP DP CQ DP ⋅>== 设12t λ+=，[1,3]t ∈，则2cos CQ <，2225109t DP t t >=-+ 2291520109()99t =-+， 当且仅当95t =，即25λ=时， 即|cos CQ <，|DP >的最大值为10 因为cos y x =在(0,)2π上是减函数，此时直线CQ 与DP 所成角取得最小值，又1BP ==255BQ BP ∴==。
空间点线面的位置关系带详细答案
.空间点、线、面的位置关系带详细答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：8.2空间点、线、面的位置关系五年高考A组统一命题.课标卷题组1.已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为A: B: C: D:答案详解C正确率: 62%, 易错项: B解析:本题主要考查空间直角坐标系。
以垂直于的方向为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系。
则，，由于，则，。
即，，所以异面直线与所成角的余弦值。
故本题正确答案为C。
2.已知，为异面直线，平面，平面，直线满足，，，，则（）。
A: ，且B: ，且C: 与相交，且交线垂直于D: 与相交，且交线平行于答案详解D正确率: 49%, 易错项: C解析:本题主要考查直线、平面的位置关系。
若，则由知，而，所以，与，为异面直线矛盾，所以平面与平面相交。
由平面，，且，可知，同理可知，所以与两平面，的交线平行。
故本题正确答案为D。
3.平面过正方体的顶点，平面，平面，平面，则，所成角的正弦值为（）。
A: B: C: D:答案详解A正确率: 47%, 易错项: B解析:本题主要考查点、直线、平面的位置关系。
如图所示，因为平面，若设平面平面，则，又因为平面平面，结合平面平面，所以，即，同理可得：，所以，所成角的大小与，所成角的大小相等，即的大小，因为，所以，即。
故本题正确答案为A。
4.直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值为（）。
A: B: C: D:答案详解C正确率: 73%, 易错项: B解析:本题主要考查空间向量的应用。
建立如图所示的空间直角坐标系，设，则有，，，，，所以，，则，，所以。
故本题正确答案为C。
易错项分析：空间中异面直线夹角的解法，用空间向量法解题相对简单，本题易错点是正确建立空间直角坐标系，求出两条直线的方向向量，最后正确应用向量的数量积公式求出异面直线夹角的余弦值。
点线面位置关系例题及练习包括答案.doc
点、线、面的位置关系●知识梳理（一） .平面公理 1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。
公理 2：不共线的三点确定一个平面.．．．推论 1：直线与直线外的一点确定一个平面. 推论2：两条相交直线确定一个平面. 推论3：两条平行直线确定一个平面.公理 3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线（二）空间图形的位置关系1.空间直线的位置关系：相交，平行，异面平行线的传递公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线；异面直线所成的角：（ 1）范围：0 ,90；（2）作异面直线所成的角：平移法.2.直线与平面的位置关系：包含，相交，平行3.平面与平面的位置关系：平行，相交（三）平行关系（包括线面平行，面面平行）1.线面平行：①定义：直线与平面无公共点.a //b a //②判定定理： a a// ③性质定理： a a // bb I b2.线面斜交：①直线与平面所成的角（简称线面角）：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角。
范围：0 ,903.面面平行：①定义：I // ；②判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行；符号表述：a,b , a I b O ,a // ,b // //判定2：垂直于同一条直线的两个平面互相平行.符号表述： a , a // .////③面面平行的性质：（ 1） a //；（2）I a a // baI b（四）垂直关系（包括线面垂直，面面垂直）1.线面垂直①定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。
符号表述：若任意 a , 都有 l a ，且 l ，则 l .a,ba Ib O②判定： l l ③性质：（ 1）l , a l a ；（ 2 ）l al ba ,b a // b ；面面斜交①二面角：（ 1）定义：【如图】 OB l ,OA l AOB 是二面角－ l 的平面角范围：AOB [0 ,180 ]②作二面角的平面角的方法：（ 1）定义法；（ 2）三垂线法（常用）；（ 3）垂面法 .面面垂直（ 1）定义：若二面角l的平面角为90 ，则；a（ 2）判定定理：a（ 3）性质：①若a I ABa ，二面角的一个平面角为MON ，则 MON 90 ；②aa AB● 热点例析【例 1】热点一有关线面位置关系的组合判断若 a， b 是两条异面直线，α，β是两个不同平面， a? α， b? β，α∩β＝ l，则 ( )．A．l 与 a， b 分别相交B． l 与 a， b 都不相交C． l 至多与 a，b 中一条相交D． l 至少与 a， b 中的一条相交解析：假设 l 与 a，b 均不相交，则l∥ a，l∥ b，从而 a∥ b 与 a， b 是异面直线矛盾，故l 至少与 a，b 中的一条相交．选 D.热点二线线、线面平行与垂直的证明【例 2】如图，在四棱台 ABCD－A1 1 1 1 1B C D 中，D D⊥平面 ABCD，底面 ABCD是平行四边形， AB＝ 2AD，AD＝ A1B1，∠BAD＝60°.(1)证明： AA1⊥BD；(2)证明： CC1∥平面 A1 BD．(1)方法一：因为D1 D⊥平面 ABCD，且 BD? 平面 ABCD，所以 D1D⊥ BD.又因为 AB＝ 2AD，∠BAD＝60°，在△ ABD 中，由余弦定理得BD2＝ AD2＋ AB2－2AD·ABcos 60 °＝3AD2，所以 AD2＋ BD2＝ AB2.所以 AD⊥ BD.又 AD∩D1D＝D，所以 BD⊥平面 ADD1A1 .又AA1 ? 平面 ADD1 A1，故 AA1⊥ BD.方法二：因为D1D⊥平面 ABCD，且 BD? 平面 ABCD(如图 )，所以 BD⊥ D1D.取 AB 的中点 G，连接 DG(如图 )．在△ ABD 中，由 AB＝ 2AD 得 AG＝ AD.又∠ BAD＝ 60°，所以△ ADG为等边三角形，因此GD＝ GB，故∠ DBG＝∠ GDB.又∠ AGD＝ 60°，所以∠GDB＝30°，故∠ ADB＝∠ ADG＋∠ GDB＝ 60°＋ 30°＝ 90°，所以 BD⊥ AD.又AD∩D1D＝ D，所以 BD⊥平面 ADD1A1.又AA1 ? 平面 ADD1 A1，故 AA1⊥ BD.(2)如图，连接 AC，A1C1.设AC∩BD＝ E，连接 EA1.1因为四边形ABCD为平行四边形，所以EC＝2AC.由棱台定义及 AB＝2AD＝ 2A1B1知 A1C1∥ EC且 A1C1＝EC，所以四边形 A1 ECC1为平行四边形．因此 CC1∥EA1.又因为 EA1 ? 平面 A1BD，CC1平面A1BD，所以 CC1∥平面 A1BD.热点三面面平行与垂直的证明【例 3】在直角梯形ABCD中， AD∥ BC， AB⊥BC， AD＝ 2，BC＝ 4， P 为平面 ABCD外一点，且PA ＝PB， PD＝ PC， N 为 CD的中点．(1)求证：平面 PCD⊥平面 ABCD；(2)在线段 PC 上是否存在一点 E 使得 NE∥平面 ABP 若存在，说明理由并确定 E 点的位置；若不存在，请说明理由．(1)证明：取AB 中点 M ，连接 PM，PN，MN ，则PM⊥ AB， PN⊥ CD.又ABCD为直角梯形， AB⊥ BC，∴ MN ⊥AB.∵ PM∩MN ＝M ，∴ AB⊥平面 PMN.又PN? 平面 PMN，∴ AB⊥PN.∵AB 与 CD相交，∴ PN⊥平面 ABCD.又 PN? 平面PCD，∴平面PCD⊥平面 ABCD.1 1(2) 解：假设存在．在PC， PB 上分别取点E， F，使 BF＝4BP， CE＝4CP，连接 EF， MF， NE，3则 EF∥ BC 且可求得EF＝4BC＝ 3.∵MN ＝3 且 MN ∥ BC，∴ EF∥ MN 且 EF＝ MN .∴四边形 MNEF 为平行四边形，∴ EN∥ FM.又∵ FM? 平面 PAB，1∴在线段PC上存在一点 E 使得 NE∥平面 ABP，此时 CE＝4PC.热点四折叠问题例 4 如 图 所 示 ， 在 直 角 梯 形 ABCP 中 ，PPA DFPPFEBGECHFEADEOBG C DA BDCG CGFOKBAAP1AP 2PCD PDG EF 1 1 EF GOEOEO2D EFCD GOCD22EF1CD GE 1PB CDEF1AB EGEF E, PB AB B,PA // DA, DC , DP2 22P 0,0,2 , C 0,2,0 , G 1,2,0 , E 0,1,1 , F 0,0,1 , A2,00 . D xyzAP2,0,2 , EF0, 1,0 , EG1,1, 1 nx, y, zn EF 0y 0x z.n EG0 x y z 0y 0 n1,0,1 n AP 12 0 0 1 2 0, nAP APADDC PDAD PD PD CD DADDA DA2,0,0 n 1,0,1cos DA, nDA n 2 22 .DA n22G EFD 450. PABCD PA ABCD6 PAD ABCD PADAC, BD O PA ABCD6 322 2PFO PAD ABCDPFO tan PFOPO 3PFO3PAD ABCD3 EO //1PDFO2EOD PDO PDOD 2PO25EO5 AO BD AO PO AOPBD AOEO24AOE tan AEOAO 2 10 2 10 FO BC G PG H PG EH ,GHPABCD F AD G BC EO55BCPG BCFG BC 面 PFG PBC 面 PFG PFPGPFO 3 PFG FHPGFH 面 PBC HE // FK HE FK HEKF KE // FH KE 面 PBC m, n , , mn / / m n / // /mmm/ /n / /m / /n//a,b,ca 2b 2c 2 1 a 2 b 2 c 22 a 2 b 2 c 23 a 2 b 2 c 2 A BCDAC222BCD , BDDC , BD DC , AC a, ABC300CABD5 a 15 a 3 a 15 a5553ABCD A 1B 1C 1D 1 E A 1C 1CE AC BD A 1 D A 1D 1 P ABC PH H ABC ABCD AC 2 1A CDB 1 1 3 2 S ABC a E, F SC AB EF SA 900 600 450 300 A, B 4cm 6cm AB M2 3 3 3600 12 2 6 P ABC AB 4, PA 8A PB, PC D E ADE1C(1)求证：BE＝B1E；(2)若 AA1＝ A1B1，求平面 A1EC与平面 A1B1C1所成二面角的大小．3如图，在四棱锥 P－ ABCD 中， PD⊥平面 ABCD，底面 ABCD 为矩形， PD＝DC＝ 4， AD＝2， E 为 PC 的中点．(1)求证： AD⊥ PC；(2)求三棱锥 A－ PDE 的体积；(3)在 AC 上是否存在一点 M，使得 PA∥平面 EDM 若存在，求出 AM 的长；若不存在，请说明理由．答案一、选择题1． A ③若 m/ / ， n / / ，则 m / / n ，而同平行同一个平面的两条直线有三种位置关系④若，，则// ，而同垂直于同一个平面的两个平面也可以相交2． C 设同一顶点的三条棱分别为x, y, z ，则x2 y2 a2 , y2 z2 b2 , x2 z2 c2得 x2 y2 z2 1 (a2 b2 c2 ) ，则对角线长为 1 ( a2 b2 c2 ) 2 a2 b2 c22 2 23． B 作等积变换 V A BCD V C ABD4． B BD 垂直于 CE 在平面 ABCD 上的射影5． C BC PA BC AH6． C 取 AC 的中点 E ，取 CD 的中点 F ，EF 1, BE2, BF3cos EF 3 2 2 2 BF 37． C 取 SB 的中点 G ，则 GE GF a，在△ SFC 中，EF2a ，EFG 4502 2二、填空题1. 5cm或1cm 分 A, B 在平面的同侧和异侧两种情况2. 48 每个表面有 4 个，共 6 4 个；每个对角面有 4 个，共 6 4 个3.900垂直时最大4.60 度5. 11沿着PA将正三棱锥P ABC 侧面展开，则A, D , E, A'共线，且 AA' // BC三、解答题：略1．证明： (1)连接 BD，MO .在平行四边形ABCD中，因为 O 为 AC 的中点，所以 O 为 BD 的中点．又 M 为 PD 的中点，所以 PB ∥ MO.因为 PB 平面 ACM ， MO? 平面 ACM ，所以 PB ∥平面 ACM.(2) 因为 ∠ADC ＝ 45°，且 AD ＝ AC ＝ 1， 所以 ∠ DAC ＝ 90°，即 AD ⊥ AC.又 PO ⊥平面 ABCD ， AD? 平面 ABCD ，所以 PO ⊥ AD. 而 AC ∩PO ＝O ，所以 AD ⊥平面 PAC.2[解析 ] (1)取 A 1C 1 中点 F ，作 EG ⊥ 面 AC 1 于 G ，B 1F ∥ EG? B 1EGF 为平行四边形 ? FG ⊥ A 1C 1? G 为 A 1C 之中点．B 1E ∥ 面 AC 1? BE ∥ FG从而 E 为 BB 1 之中点． ∴BE ＝B 1E.(2) 由 (1)知 G 为矩形 ACC 1A 1 的中心， 过 G 作直线平行于 A 1 C 1，交 AA 1 于点 P ，交 CC 1 于 Q 点，连结 EP ，EQ ，则平面 A B C ∥ 平面 PEQ ，即求平面 AEC 与平面 PEQ 所成的角，11 1∵ 交线为 EG ， ∴其平面角为 ∠ A 1GP ，因 AA 1＝ A 1 B 1，则 ACC 1A 1 为正方形，则 ∠ A 1GP ＝ 45°.3． (1) 证明：因为 PD ⊥平面 ABCD ，所以 PD ⊥ AD ． 又因为四边形 ABCD 是矩形，所以 AD ⊥ CD ． 因为 PD ∩CD ＝ D ，所以 AD ⊥ 平面 PCD ． 又因为 PC? 平面 PCD ，所以 AD ⊥ PC ．(2) 解： 由(1)知 AD ⊥ 平面 PCD ，所以 AD 是三棱锥 A － PDE 的高．因为 E 为 PC 的中点，且 PD ＝ DC ＝ 4，所以 S △PDE1△ PDC 1 1＝ 2S ＝ 2×2× 4×4＝4.1 1 8 又 AD ＝ 2，所以 V A －PDE ＝ AD ·S △PDE ＝ × 2×4＝ .3 33(3) 解： 取 AC 的中点 M ，连接 EM ， DM ，因为 E 为 PC的中点， M 是 AC 的中点，所以 EM∥ PA．又因为 EM? 平面 DEM， PA?平面 EDM，所以 PA∥平面 DEM.1 1AD2＋ DC2＝122＋ 42＝ 5，此时 AM ＝ AC＝2 22即在 AC 上存在一点M，使得 PA∥平面 EDM，且 AM 的长为 5.。
点线面位置关系(知识点加典型例题)
点线面位置关系(知识点加典型例题)2.1 空间中点、直线、平面之间的位置关系2.1.1 空间点、直线、平面之间的位置关系本节主要介绍空间中点、直线、平面之间的位置关系，其中重点是空间直线和平面的位置关系，难点是三种语言（文字语言、图形语言、符号语言）的转换。
在介绍空间点、直线和平面之间的位置关系前，我们需要了解三个公理。
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
符号表示为 A∈L，B∈L =。
Lα，A∈α，B∈α。
公理1的作用是判断直线是否在平面内。
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为 A、B、C三点不共线 =。
有且只有一个平面α，使A∈α、B∈α、C∈α。
公理2的作用是确定一个平面的依据。
推论有：①一条直线和其外一点可确定一个平面；②两条相交直线可确定一个平面；③两条平行直线可确定一个平面。
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为：P∈α∩β =。
α∩β=L，且P∈L。
公理3的作用是判定两个平面是否相交的依据。
另外，还有等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等。
在了解了这些公理后，我们可以进一步探讨空间中点、直线和平面之间的位置关系。
空间中两条不重合的直线有三种位置关系：相交、平行、异面。
异面直线所成角θ的范围是<θ≤90°。
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系在空间中，两条直线有如下三种关系：相交直线（同一平面内，有且只有一个公共点）、共面直线、平行直线（同一平面内，没有公共点）和异面直线（不同在任何一个平面内，没有公共点）。
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a、b、c是三条直线，a∥b，c∥b。
公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4的作用是判断空间两条直线平行的依据。
另外，等角定理指出，如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。