历年全国理科数学高考试题立体几何部分精选(含答案)

★历年全国理科数学高考试题精选2011年高考试题1.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如 右图所示，则相应的俯视图可以为2.已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6,23AB BC ==,则棱锥O ABCD -的体积为 。

3.如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD ⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明：PA ⊥BD ； (Ⅱ)若PD=AD ，求二面角A-PB-C 的余弦值。

4.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，D ，E 分别为ABC ∆的边AB ，AC 上的点，且不与ABC∆的顶点重合．已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程2140x x mn -+=的两个根．（I ）证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；（II ）若90A ∠=︒，且4,6,m n ==求C ，B ，D ，E 所在圆的半径．1.D2.833. 解：（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=︒=， 由余弦定理得3BD AD =从而BD 2+AD 2= AB 2，故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面PAD. 故 PA ⊥BD（Ⅱ）如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz ，则()1,0,0A ，()03,0B ，，()1,3,0C -，()0,0,1P 。

(1,3,0),(0,3,1),(1,0,0)AB PB BC =-=-=-uu u v uu v uu u v设平面PAB 的法向量为n=（x ，y ，z ），则0,0,{n AB n PB ⋅=⋅=u u u r u u u r即 3030x y y z -+=-=因此可取n=(3,1,3) 设平面PBC 的法向量为m ，则 m 0,m 0,{PB BC ⋅=⋅=u u u ru u u r可取m=（0，-1，3-） 427cos ,727m n -==- 故二面角A-PB-C 的余弦值为 277-4. 解：（I ）连接DE ，根据题意在△ADE 和△ACB 中， AD×AB=mn=AE×AC ，即ABAEAC AD =.又∠DAE=∠CAB ，从而△ADE ∽△ACB 因此∠ADE=∠ACB 所以C ，B ，D ，E 四点共圆。

（Ⅱ）m=4， n=6时，方程x 2-14x+mn=0的两根为x 1=2，x 2=12. 故 AD=2，AB=12.取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ，F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连接DH.因为C ，B ，D ，E 四点共圆，所以C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH. 由于∠A=900，故GH ∥AB ， HF ∥AC. HF=AG=5，DF= 21(12-2)=5. 故C ，B ，D ，E 四点所在圆的半径为522010年高考试题1. 正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为A23 B 33 C 23D 632. 已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为俩切点，那么PA PB •u u u v u u u v的最小值为(A) 42-+ (B)32-+ (C) 422-+ (D)322-+3. 已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为(A)233 (B)433 (C) 23 (D) 8334. 本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 如图，四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB//DC ，AD ⊥DC ，AB=AD=1，DC=SD=2，E 为棱SB 上的一点，平面EDC ⊥平面SBC .（Ⅰ）证明：SE=2EB ；（Ⅱ）求二面角A-DE-C 的大小 . 1. D 2. D 3. B 4. 解法一：(Ⅰ)连接BD,取DC 的中点G ，连接BG,由此知 1,DG GC BG ===即ABC ∆为直角三角形，故BC BD ⊥. 又ABCD,BC SD SD ⊥⊥平面故,所以，BC ⊥⊥平面BDS,BC DE .作BK ⊥EC,EDC SBC K ⊥为垂足，因平面平面，故,BK EDC BK DE DE ⊥⊥平面，与平面SBC 内的两条相交直线BK 、BC 都垂直 DE ⊥平面SBC ，DE ⊥EC,DE ⊥SB226SB SD DB =+=3SD DB DE SB ==g 22626-,-EB DB DE SE SB EB ==== 所以，SE=2EB (Ⅱ) 由225,1,2,,SA SD AD AB SE EB AB SA =+===⊥知22121,AD=133AE SA AB ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又.故ADE ∆为等腰三角形.取ED 中点F,连接AF ,则226,3AF DE AF AD DF ⊥=-=. 连接FG ，则//,FG EC FG DE ⊥.所以，AFG ∠是二面角A DE C --的平面角. 连接AG,A G=2,2263FG DG DF =-=, 2221cos 22AF FG AG AFG AF FG +-∠==-g g ,所以，二面角A DE C --的大小为120°. 解法二：以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系D xyz -， 设A(1,0,0)，则B(1,1,0),C(0,2,0),S(0,0,2)（Ⅰ）(0,2,-2),(-1,1,0)SC BC ==u u u r u u u r设平面SBC 的法向量为n=(a, b, c)由,n SC n BC ⊥⊥u u u r u u u r ，得0,0n SC n BC ==u u u r u u u rg g故2b-2c=0,-a+b=0令a=1，则b=c,c=1,n=(1,1,1)又设SE EB λ=u u r u u u r(0)λ>，则2(,,)111E λλλλλ+++ 2(,,),(0,2,0)111DE DC λλλλλ==+++u u u r u u u r设平面CDE 的法向量m=(x,y,z) 由,m DE m DC ⊥⊥,得0m DE ⊥=，0m DC ⊥= 故20,20111x y zy λλλλλ++==+++. 令2x =，则(2,0,)m λ=-.由平面DEC ⊥平面SBC 得m ⊥n,0,20,2m n λλ=-==g故SE=2EB（Ⅱ）由（Ⅰ）知222(,,)333E ，取DE 的中点F ，则111211(,,),(,,)333333F FA =--u u u r ，故0FA DE =u u u r u u u rg ，由此得FA DE ⊥又242(,,)333EC =--u u u r ，故0EC DE =u u u r u u u r g ，由此得EC DE ⊥，向量FA u u u r 与EC uuur 的夹角等于二面角A DE C --的平面角于是 1cos(,)2||||FA EC FA EC FA EC ==-u u u r u u u ru u u r u u u r g u uu r u u u r 所以，二面角A DE C --的大小为120o2009年高考试题1. 已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为（ ）（A ）3 （B ）5 （C ）7 (D) 342. 已知二面角l αβ--为60o，动点P 、Q 分别在面α、β内，P 到β的距离为3，Q 到α的距离为23，则P 、Q 两点之间距离的最小值为（ ） (A) (B)2 (C) 23 (D)43. 直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===, 120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于 。

4.（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）．．．．．．．．．．．．．如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2AD =,2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60°（I ）证明：M 在侧棱SC 的中点 （II ）求二面角S AM B --的大小。

1. 解：设BC 的中点为D ，连结1A D ，AD ，易知1A AB θ=∠即为异面直线AB 与1CC 所成的角,由三角余弦定理，易知113co c s 4os cos AD AD A AD DAB A A AB θ=∠∠⋅=⋅=.故选D 2. 解:如图分别作,,,QA A AC l C PB B αβ⊥⊥⊥于于于PD l D ⊥于，连,60,CQ BD ACQ PBD ∠=∠=︒则 23,3AQ BP ==，2AC PD ∴==又2221223PQ AQ AP AP =+=+≥Q当且仅当0AP =，即A P 点与点重合时取最小值。

故答案选C 。

3. 解:在ABC ∆中2AB AC ==,120BAC ∠=︒,可得23BC =,由正弦定理,可得ABC ∆外接圆半径r=2 设此圆圆心为O '，球心为O ，在RT OBO '∆中，易得球半径5R =，故此球的表面积为2420R ππ=.解法一：（I ）作ME ∥CD 交SD 于点E ，则ME ∥AB ，ME ⊥平面SAD 连接AE ，则四边形ABME 为直角梯形 作MF AB ⊥，垂足为F ，则AFME 为矩形 设ME x =，则SE x =，222(2)2AE ED AD x =+=-+2(2)2,2MF AE x FB x ==-+=-由2tan 60,(2)23(2)MF FB x x =•-+=-。

得 解得1x =即1ME =，从而12ME DC =所以M 为侧棱SC 的中点 （Ⅱ）222MB BC MC =+=，又60,2ABM AB ∠==o ,所以ABM ∆为等边三角形，又由（Ⅰ）知M 为SC 中点2,6,2SM SA AM ===，故222,90SA SM AM SMA =+∠=o取AM 中点G ，连结BG ，取SA 中点H ，连结GH ，则,BG AM GH AM ⊥⊥,由此知BGH ∠为二面角S AM B --的平面角BCB C A 111D连接BH ，在BGH ∆中，22312223,,222BG AM GH SM BH AB AH =====+= 所以2226cos 2BG GH BH BGH BG GH +-∠==-••二面角S AM B --的大小为6arccos()3-解法二:以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系D-xyz 设(2,0,0)A ，则(2,2,0),(0,2,0),(0,0,2)B C S （Ⅰ）设(0)SM MC λλ=〉,则2222(0,,),(2,,)1111M MB λλλλλ-=++++ 又(0,2,0),,60AB MB AB =-o故||||cos 60MB AB MB AB •=•o即222422(2)()()111λλλ-=+++++ 解得1λ=，即SM MC = 所以M 为侧棱SC 的中点（II ）由(0,1,1),(2,0,0)M A ，得AM 的中点211(,,)222G 又231(,,),(0,1,1),(2,1,1)222GB MS AM =-=-=- 0,0GB AM MS AM •=•=所以,GB AM MS AM ⊥⊥因此,GB MS 等于二面角S AM B --的平面角6cos ,3||||GB MS GB MS GB MS •==-• 所以二面角S AM B --的大小为6arccos()3-2008年高考试题1．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ）A ．13B ．23C ．33D ．232．等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦值为33，M 、N 分别是AC 、BC 的中点，则EM 、AN 所成角的余弦值等于 ． 3．（本小题满分12分）四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，2BC =，2CD =AB AC =．（Ⅰ）证明：AD CE ⊥；（Ⅱ）设CE 与平面ABE 所成的角为45o，求二面角C AD E --的大小．1.B2.答案：16. 3．解：(I)作AO ⊥BC ，垂足为O ，连接OD ，由题设知，AO ⊥底面BCDE ，且O 为BC 中点， 由21==DE CD CD OC 知，Rt △OCD ∽Rt △CDE ， 从而∠ODC=∠CED ，于是CE ⊥OD ， 由三垂线定理知，AD ⊥CE（II ）由题意，BE ⊥BC ，所以BE ⊥侧面ABC ，又BE ⊂侧面ABE ，所以侧面ABE ⊥侧面ABC 。