历年全国理科数学高考试题立体几何部分精选(含答案)
★历年全国理科数学高考试题精选
2011年高考试题
1.在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如 右图所示,则相应的俯视图可以为
2.已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上,且6,23AB BC ==,则棱锥
O ABCD -的体积为 。
3.如图,四棱锥P —ABCD 中,底面ABCD 为平行四
边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD ⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明:PA ⊥BD ; (Ⅱ)若PD=AD ,求二面角A-PB-C 的余弦值。
4.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
如图,D ,E 分别为ABC ?的边AB ,AC 上的点,且不与ABC
?的顶点重合.已知AE 的长为m ,AC 的长为n ,AD ,AB 的长是关于x 的方程2140x x mn -+=的两个根.
(I )证明:C ,B ,D ,E 四点共圆;
(II )若90A ∠=?,且4,6,m n ==求C ,B ,D ,E 所在圆的半径.
1.D
2.83
3. 解:(Ⅰ)因为60,2DAB AB AD ∠=?=, 由余弦定理得3BD AD =
从而BD 2+AD 2= AB 2,故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ,可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面PAD. 故 PA ⊥BD
(Ⅱ)如图,以D 为坐标原点,AD 的长为单位长,射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz ,则
()1,0,0A ,()03,0B ,,()
1,3,0C -,()0,0,1P 。
(1,3,0),(0,3,1),(1,0,0)AB PB BC =-=-=-uu u v uu v uu u v
设平面PAB 的法向量为n=(x ,y ,z ),则0,0,{
n AB n PB ?=?=u u u r u u u r
即 3030
x y y z -+=-=
因此可取n=(3,1,3) 设平面PBC 的法向量为m ,则 m 0,m 0,
{
PB BC ?=?=u u u r
u u u r
可取m=(0,-1,3-) 427
cos ,727
m n -=
=- 故二面角A-PB-C 的余弦值为 27
7
-
4. 解:(I )连接DE ,根据题意在△ADE 和△ACB 中, AD×AB=mn=AE×AC ,
即
AB
AE
AC AD =
.又∠DAE=∠CAB ,从而△ADE ∽△ACB 因此∠ADE=∠ACB 所以C ,B ,D ,E 四点共圆。
(Ⅱ)m=4, n=6时,方程x 2-14x+mn=0的两根为x 1=2,x 2=12. 故 AD=2,AB=12.
取CE 的中点G ,DB 的中点F ,分别过G ,F 作AC ,AB 的垂线,两垂线相交于H 点,连接DH.因为C ,B ,D ,E 四点共圆,所以C ,B ,D ,E 四点所在圆的圆心为H ,半径为DH. 由于∠A=900,故GH ∥AB , HF ∥AC. HF=AG=5,DF= 2
1
(12-2)=5. 故C ,B ,D ,E 四点所在圆的半径为52
2010年高考试题
1. 正方体ABCD-1111A B C D 中,B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为
A
23 B 33 C 2
3
D 63
2. 已知圆O 的半径为1,PA 、PB 为该圆的两条切线,A 、B 为俩切点,那么PA PB ?u u u v u u u v
的最小值为
(A) 42-+ (B)32-+ (C) 422-+ (D)322-+
3. 已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点,若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为
(A)
233 (B)433 (C) 23 (D) 83
3
4. 本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效.........
) 如图,四棱锥S-ABCD 中,SD ⊥底面ABCD ,AB//DC ,AD ⊥DC ,AB=AD=1,DC=SD=2,E 为棱SB 上的一点,平面EDC ⊥平面SBC .
(Ⅰ)证明:SE=2EB ;
(Ⅱ)求二面角A-DE-C 的大小 . 1. D 2. D 3. B 4. 解法一:
(Ⅰ)连接BD,取DC 的中点G ,连接BG,
由此知 1,DG GC BG ===即ABC ?为直角三角形,故BC BD ⊥. 又ABCD,BC SD SD ⊥⊥平面故,
所以,BC ⊥⊥平面BDS,BC DE .
作BK ⊥EC,EDC SBC K ⊥为垂足,因平面平面,
故,BK EDC BK DE DE ⊥⊥平面,与平面SBC 内的两条相交直线BK 、BC 都垂直 DE ⊥平面SBC ,DE ⊥EC,DE ⊥SB
226SB SD DB =+=
3
SD DB DE SB =
=g 22626
-,-EB DB DE SE SB EB ==
== 所以,SE=2EB (Ⅱ) 由225,1,2,,SA SD AD AB SE EB AB SA =
+===⊥知
2
2
121,AD=133AE SA AB ????
=+= ? ?????
又.
故ADE ?为等腰三角形.
取ED 中点F,连接AF ,则226,3
AF DE AF AD DF ⊥=-=
. 连接FG ,则//,FG EC FG DE ⊥.
所以,AFG ∠是二面角A DE C --的平面角. 连接AG,A G=2,2263
FG DG DF =
-=
, 2221
cos 22
AF FG AG AFG AF FG +-∠==-g g ,
所以,二面角A DE C --的大小为120°. 解法二:
以D 为坐标原点,射线DA 为x 轴的正半轴,建立如图所示的直角坐标系D xyz -, 设A(1,0,0),则B(1,1,0),C(0,2,0),S(0,0,2)
(Ⅰ)(0,2,-2),(-1,1,0)SC BC ==u u u r u u u r
设平面SBC 的法向量为n=(a, b, c)
由,n SC n BC ⊥⊥u u u r u u u r ,得0,0n SC n BC ==u u u r u u u r
g g
故2b-2c=0,-a+b=0
令a=1,则b=c,c=1,n=(1,1,1)
又设SE EB λ=u u r u u u r
(0)λ>,则
2(,,)111E λλλλλ+++ 2(,,),(0,2,0)111DE DC λλλλλ
==+++u u u r u u u r
设平面CDE 的法向量m=(x,y,z) 由,m DE m DC ⊥⊥,得
0m DE ⊥=,0m DC ⊥= 故
20,20111x y z
y λλλλλ
++==+++. 令2x =,则(2,0,)m λ=-.
由平面DEC ⊥平面SBC 得m ⊥n,0,20,2m n λλ=-==g
故SE=2EB
(Ⅱ)由(Ⅰ)知222(,,)333E ,取DE 的中点F ,则111211
(,,),(,,)333333
F FA =--u u u r ,
故0FA DE =u u u r u u u r
g ,由此得FA DE ⊥
又242
(,,)333EC =--u u u r ,故0EC DE =u u u r u u u r g ,由此得EC DE ⊥,
向量FA u u u r 与EC uuu
r 的夹角等于二面角A DE C --的平面角
于是 1
cos(,)2||||
FA EC FA EC FA EC ==-u u u r u u u r
u u u r u u u r g u u
u r u u u r 所以,二面角A DE C --的大小为120o
2009年高考试题
1. 已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等,1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点,则异面直线
AB 与1CC 所成的角的余弦值为( )(A )
3 (B )5 (C )7 (D) 3
4
2. 已知二面角l αβ--为60o
,动点P 、Q 分别在面α、β内,P 到β的距离为3,Q 到α的距离为23,
则P 、Q 两点之间距离的最小值为( ) (A) (B)2 (C) 23 (D)4
3. 直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上,若12AB AC AA ===, 120BAC ∠=?,则此球的表
面积等于 。
4.(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效).............
如图,四棱锥S ABCD -中,底面ABCD 为矩形,SD ⊥底面ABCD ,
2AD =,2DC SD ==,点M 在侧棱SC 上,ABM ∠=60°
(I )证明:M 在侧棱SC 的中点 (II )求二面角S AM B --的大小。
1. 解:设BC 的中点为D ,连结1A D ,AD ,易知1A AB θ=∠即为异面直线AB 与1CC 所成的角,由三角余弦定理,易知113
co c s 4
os cos AD AD A AD DAB A A AB θ=∠∠?=?=.故选D 2. 解:如图分别作,,,QA A AC l C PB B αβ⊥⊥⊥于于于
PD l D ⊥于,连,60,CQ BD ACQ PBD ∠=∠=?则 23,3AQ BP ==,2AC PD ∴==
又2221223PQ AQ AP AP =
+=+≥Q
当且仅当0AP =,即A P 点与点重合时取最小值。故答案选C 。
3. 解:在ABC ?中2AB AC ==,120BAC ∠=?,可得23BC =,由正弦定理,可得ABC ?外接圆半径r=2 设此圆圆心为O ',球心为O ,在RT OBO '?中,易得球半径5R =
,故此球的表面积为2420R ππ=.解法一:(I )作ME ∥CD 交SD 于点E ,则ME ∥AB ,ME ⊥平面SAD 连接AE ,则四边形ABME 为直角梯形 作MF AB ⊥,垂足为F ,则AFME 为矩形 设ME x =,则SE x =,222(2)2AE ED AD x =
+=-+
2(2)2,2MF AE x FB x ==-+=-
由2
tan 60,(2)23(2)MF FB x x =?-+=-。
得 解得1x =
即1ME =,从而1
2
ME DC =
所以M 为侧棱SC 的中点 (Ⅱ)222MB BC MC =
+=,又60,2ABM AB ∠==o ,所以ABM ?为等边三角形,
又由(Ⅰ)知M 为SC 中点
2,6,2SM SA AM ===,故222,90SA SM AM SMA =+∠=o
取AM 中点G ,连结BG ,取SA 中点H ,连结GH ,则,BG AM GH AM ⊥⊥,由此知BGH ∠为二面角
S AM B --的平面角
B
C
B C A 1
1
1
D
连接BH ,在BGH ?中,
22312223,,222
BG AM GH SM BH AB AH =
====+= 所以2226
cos 2BG GH BH BGH BG GH +-∠==-??
二面角S AM B --的大小为6
arccos()3
-
解法二:以D 为坐标原点,射线DA 为x 轴正半轴,建立如图所示的直角坐标系D-xyz 设(2,0,0)A ,则(2,2,0),(0,2,0),(0,0,2)B C S (Ⅰ)设(0)SM MC λλ=?,则
2222
(0,
,),(2,,)1111M MB λλλλλ
-=++++ 又(0,2,0),,60AB MB AB =-o
故||||cos 60MB AB MB AB ?=?o
即
222
422(2)()()111λλλ
-=+++++ 解得1λ=,即SM MC = 所以M 为侧棱SC 的中点
(II )由(0,1,1),(2,0,0)M A ,得AM 的中点211
(
,,)222
G 又231
(
,,),(0,1,1),(2,1,1)222
GB MS AM =-=-=- 0,0GB AM MS AM ?=?=
所以,GB AM MS AM ⊥⊥
因此,GB MS 等于二面角S AM B --的平面角
6
cos ,3||||
GB MS GB MS GB MS ?=
=-? 所以二面角S AM B --的大小为6
arccos()3
-
2008年高考试题
1.已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等,1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心,则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于( )
A .
1
3
B .
23
C .
33
D .
23
2.等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ,二面角C AB D --的余弦值为
3
3
,M 、N 分别是AC 、BC 的中点,则EM 、AN 所成角的余弦值等于 . 3.(本小题满分12分)四棱锥A BCDE -中,底面BCDE 为矩形,侧面ABC ⊥底面BCDE ,2BC =,
2CD =AB AC =.
(Ⅰ)证明:AD CE ⊥;
(Ⅱ)设CE 与平面ABE 所成的角为45o
,求二面角C AD E --的大小.
1.B
2.答案:
1
6
. 3.解:(I)作AO ⊥BC ,垂足为O ,连接OD ,由题设知,AO ⊥底面BCDE ,且O 为BC 中点, 由
2
1
==DE CD CD OC 知,Rt △OCD ∽Rt △CDE , 从而∠ODC=∠CED ,于是CE ⊥OD , 由三垂线定理知,AD ⊥CE
(II )由题意,BE ⊥BC ,所以BE ⊥侧面ABC ,又BE ?侧面ABE ,所以侧面ABE ⊥侧面ABC 。 作CF ⊥AB ,垂足为F ,连接FE ,则CF ⊥平面ABE 故∠CEF 为CE 与平面ABE 所成的角,∠CEF=45° 由CE=6,得CF=3
又BC=2,因而∠ABC=60°,所以△ABC 为等边三角形 作CG ⊥AD ,垂足为G ,连接GE 。 由(I )知,CE ⊥AD ,又CE ∩CG=C ,
故AD ⊥平面CGE ,AD ⊥GE ,∠CGE 是二面角C-AD-E 的平面角。
C
D
E A
B
CG=
3
2
622=
?=?AD CD AC GE=,6,3
10652)21
(2
2==?=-?CE AD DE AD DE
cos ∠CGE=1010
3
10
3226
310
3422
2
2
-=?
?-+=?-+GE CG CE GE CG
所以二面角C-AD-E 为arccos(10
10-
) 解法二:(I )作AO ⊥BC ,垂足为O ,则AO ⊥底面BCDE ,且O 为BC 的中点,以O 为坐标原点,射线OC 为x 轴正向,建立如图所示的直角坐标系O-xyz. 设A (0,0,t ),由已知条件有 C(1,0,0), D(1,2,0), E(-1,
2,0),
),2,1(),0,2,2(t AD CE -=-=
所以0=?AD CE ,得AD ⊥CE
(II )作CF ⊥AB ,垂足为F ,连接FE , 设F (x,0,z )则CF =(x-1,0,z),
0),0,2,0(=?=BE CF BE
故CF ⊥BE ,又AB ∩BE=B ,所以CF ⊥平面ABE , ∠CEF 是CE 与平面ABE 所成的角,∠CEF=45° 由CE=6,得CF=3
又CB=2,所以∠FBC=60°,△ABC 为等边三角形,因此A (0,0,3) 作CG ⊥AD ,垂足为G ,连接GE ,在Rt △ACD 中,求得|AG|=
3
2
|AD| 故G[
3
3,322,32] ???
?????--=????????--=33,32,35,33,322,31GE GC
又)3,2,1(-=AD
0,0=?=?AD GE AD GC
所以与的夹角等于二面角C-AD-E 的平面角。 由cos(GE GC ,10
10-
= 知二面角C-AD-E 为arccos(10
10-)
近五年高考数学(理科)立体几何题目汇总
高考真题集锦(立体几何部分) 1.(2016.理1)如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积是( ) A 20π B24π C28π D.32π 2. βα,是两个平面,m,n 是两条直线,有下列四个命题: (1)如果m ⊥n,m ⊥α,n ∥β,那么βα⊥; (2)如果m ⊥α,n ∥α,那么m ⊥n. (3)如果αβα?m ,∥那么m ∥β。 (4)如果m ∥n,βα∥,那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。 其中正确的命题有___________ 3.(2016年理1)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是π328,则它的表面积是 A 17π B.18π C.20π D.28π 4.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ,α//平面11D CB ,?α平面ABCD =m , ?α平面11A ABB =n,则m,n 所成角的正弦值为( ) A.23 B.22 C.33 D.3 1 5.(2016年理1)如图,在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF=2FD ,∠AFD=90°,且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60° .(12分) (Ⅰ)证明:平面ABEF ⊥平面EFDC ; (Ⅱ)求二面角E-BC-A 的余弦值.
6. (2015年理1)圆柱被一个平面截取一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积是16+20π,则r=( ) A.1 B.2 C.7 D.8 7.如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E,F 是平面ABCD 同一侧的亮点,BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC. (1) 证明:平面AEC ⊥平面AFC; (2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。 8.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截取部分体积和剩余 部分体积的比值为() 9.如图,长方体1111D C B A ABCD -中,AB = 16,BC = 10,AA1 = 8,点E ,F 分别在1111C D B A , 上,411==F D E A ,过点E,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形。 (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (2)求直线AF 与平面α所成的角的正弦值 10.如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ,AB=5,AC=6,点E,F 分别在AD,CD 上,AE=CF=45 ,EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF 的位置,OD ’=10 (1)证明:D ’H ⊥平面ABCD (2)求二面角B-D ’A-C 的正弦值
历届成人高考数学分类试题
历届成人高考分类试题 第1讲集合与简易逻辑 【最近七年考题选】 2001 年 1、设全集M={1,2,3,4,5},N={2,4,6},T={4,5,6},则(M T) N 是( ) (A) {2,4,5,6} (B) {4,5,6} (C) {1,2,3,4,5,6} (D) {2,4,6} 2、命题甲:A=B,命题乙:sinA=sinB.贝9( ) (A) 甲是乙的充分条件但不是必要条件 (B) 甲是乙的必要条件但不是充分条件 (C) 甲是乙的充分必要条件 (D) 甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 2002 年 1、设集合A {1,2},集合B {2,3,5},则A B等于() A. {2} B ? {1,2,3,5} C .{1,3} D .{2,5} 2、设甲:x 3,乙:x 5,则() A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充分必要条件 D. 甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 2003 年 1、设集合M { x, y | x2 y21},集合N 2 2 { x, y |x y 2},则集合M与集合N的关系是() A. M N M B . M N C . N M D .M N 9、设甲:k 1且b 1,乙:直线y kx b与y x平行,则() A.甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件 B ?甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件 C. 甲不是乙的必要条件也不是乙的充分条件 D. 甲是乙的充分必要条件 2004 年 1、设集合M a,b,c,d , N a,b,c ,则集合M N=() A. a, b, c B . d C a,b, c, d D 2、设甲:四边形ABCD是平行四边形,乙:四边形ABCD是正方形,则( ) A.甲是乙的充分不必要条件 B ?甲是乙的必要不充分条件 C.甲是乙的充分必要条件 D .甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 2005 年 1、设集合P= {1 , 2,3 , 4,5},集合Q= {2,4 , 6,8 , 10},贝U PA Q= A、{2,4} B {1,2 , 3,4 , 5,6 , 8, 10} C、{2} D 、{4} 7、设命题甲:k=1 , 命题乙:直线y=kx与直线y=x+1平行,则 A、甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件 B甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件 C甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
高考数学专题复习立体几何(理科)练习题
A B C D P 《立体几何》专题 练习题 1.如图正方体1111D C B A ABCD -中,E 、F 分别为D 1C 1和B 1C 1的中点, P 、Q 分别为A 1C 1与EF 、AC 与BD 的交点, (1)求证:D 、B 、F 、E 四点共面; (2)若A 1C 与面DBFE 交于点R ,求证:P 、Q 、R 三点共线 2.已知直线a 、b 异面,平面α过a 且平行于b ,平面β过b 且平行于a ,求证:α∥β. 3. 如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEFG 4=AB 1=BC 3=BE ,4=CF ,若如图所示建立空间直角坐标系. ①求EF 和点G 的坐标; ②求异面直线EF 与AD 所成的角; ③求点C 到截面AEFG 的距离. 4. 如图,三棱锥P —ABC 中, PC ⊥平面ABC ,PC=AC=2,AB=BC ,D 是PB 上一点,且CD 平面PAB . (I) 求证:AB ⊥平面PCB ; (II) 求异面直线AP 与BC 所成角的大小; (III )求二面角C-PA-B 的余弦值. 5. 如图,直二面角D —AB —E 中,四边形ABCD 是边长为2的正方形,AE=EB ,F 为CE 上的点,且BF ⊥平面ACE. (1)求证AE ⊥平面BCE ; (2)求二面角B —AC —E 的余弦值. 6. 已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2,点M 在侧棱1BB 上. P Q F E D 1C 1B 1A 1D C B A F E C B y Z x G D A
(Ⅰ)若P 为AC 的中点,M 为BB 1的中点,求证BP//平面AMC 1; (Ⅱ)若AM 与平面11AA CC 所成角为30ο,试求BM 的长. 7. 如图,在底面是矩形的四棱锥P —ABCD 中,PA ⊥底面ABCD ,PA =AB =1,BC =2. (1)求证:平面PDC ⊥平面PAD ; (2)若E 是PD 的中点,求异面直线AE 与PC 所成角的余弦值; 8. 已知:在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,AB = a ,AA 1 = 2a . D 是侧棱BB 1的中点.求证: (Ⅰ)求证:平面ADC 1⊥平面ACC 1A 1; (Ⅱ)求平面ADC 1与平面ABC 所成二面角的余弦值. 9. 已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形,且60DAB ∠=,1AD AA =F 为 棱1BB 的中点,M 为线段1AC 的中点. (Ⅰ)求证:直线MF //平面ABCD ; (Ⅱ)求证:直线MF ⊥平面11ACC A ; (Ⅲ)求平面1AFC 与平面ABCD 所成二面角的大小 10. 棱长是1的正方体,P 、Q 分别是棱AB 、CC 1上的内分点,满足 21==QC CQ PB AP . P A B C D E
最新-江苏高考数学立体几何真题汇编
A B C D E F 2008-2018江苏高考数学立体几何真题汇编 (2008年第16题) 在四面体ABCD 中, CB =CD ,AD ⊥BD ,且E 、F 分别是AB 、BD 的中点, 求证:(1)直线EF ∥平面ACD (2)平面EFC ⊥平面BCD 证明:(1) ??? E , F 分别为AB ,BD 的中点?EF ∥AD 且AD ?平面ACD ,EF ?平面ACD ?直线EF ∥平面ACD (2)? ?????CB =CD F 是BD 的中点 ? CF ⊥BD ? ?? AD ⊥BD EF ∥AD ? EF ⊥BD ?直线BD ⊥平面EFC 又BD ?平面BCD , 所以平面EFC ⊥平面BCD
B C? (2009年第16题) 如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,E,F分别是A1B,A1C的中点,点D在B1C1上,A1D⊥B1C . 求证:(1)EF∥平面ABC (2)平面A1FD⊥平面BB1C1C 证明:(1)由E,F分别是A1B,A1C的中点知EF∥BC, 因为EF?平面ABC,BC?平面ABC,所以EF∥平面ABC (2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1, 又A1D?平面A1B1C1,故CC1⊥A1D, 又因为A1D⊥B1C,CC1∩B1C=C,CC1、B1C?平面BB1C1C 故A1D⊥平面BB1C1C,又A1D?平面A1FD, 故平面A1FD⊥平面BB1C1C
P A B C D D P A B C F E (2010年第16题) 如图,在四棱锥P —ABCD 中,PD ⊥平面ABCD ,PD =DC =BC =1,AB =2,AB ∥DC , ∠BCD =90°. (1)求证:PC ⊥BC ; (2)求点A 到平面PBC 的距离. 证明:(1)因为PD ⊥平面ABCD , BC ?平面ABCD ,所以PD ⊥BC . 由∠BCD =90°,得CD ⊥BC , 又PD ∩DC =D ,PD 、DC ?平面PCD , 所以BC ⊥平面PCD . 因为PC ?平面PCD ,故PC ⊥BC . 解:(2)(方法一)分别取AB 、PC 的中点E 、F ,连DE 、DF ,则: 易证DE ∥CB ,DE ∥平面PBC ,点D 、E 到平面PBC 的距离相等. 又点A 到平面PBC 的距离等于E 到平面PBC 的距离的2倍. 由(1)知:BC ⊥平面PCD ,所以平面PBC ⊥平面PCD 于PC , 因为PD =DC ,PF =FC ,所以DF ⊥PC ,所以DF ⊥平面PBC 于F . 易知DF = 2 2 ,故点A 到平面PBC 的距离等于2. (方法二)等体积法:连接AC .设点A 到平面PBC 的距离为h . 因为AB ∥DC ,∠BCD =90°,所以∠ABC =90°. 从而AB =2,BC =1,得△ABC 的面积S △ABC =1. 由PD ⊥平面ABCD 及PD =1,得三棱锥P —ABC 的体积V =13S △ABC ×PD = 1 3 . 因为PD ⊥平面ABCD ,DC ?平面ABCD ,所以PD ⊥DC . 又PD =DC =1,所以PC =PD 2+DC 2=2. 由PC ⊥BC ,BC =1,得△PBC 的面积S △PBC = 2 2 . 由V A ——PBC =V P ——ABC ,13S △PBC ×h =V = 1 3 ,得h =2, 故点A 到平面PBC 的距离等于2.
历届数学高考试题精选——等比数列
历届高考中的“等比数列”试题精选 一、选择题:(每小题5分,计50分) 1.(2008福建理)设{a n}是公比为正数的等比数列,若,a5=16, 则数列{a n}前7项的和为() A.63 B.64 C.127 D.128 2.(2007福建文)等比数列{a n}中,a4=4,则a2·a6等于() A.4 B.8 C.16 D.32 3.(2007重庆文)在等比数列{a n}中,a2=8,a5=64,则公比q为() (A)2 (B)3 (C)4 (D)8 4.(2005江苏)在各项都为正数的等比数列中,首项,前三项和为21,则=() A.84 B.72 C.33 D.189 5. (2008海南、宁夏文、理)设等比数列的公比,前n项和为,则() A. 2 B. 4 C. D. 6.(2004全国Ⅲ卷文)等比数列中,,则的前4项和为() A.81 B.120 C.168 D.192 7.(2004春招安徽文、理)已知数列满足, (),则当时,=() (A)2n(B)(C)(D) 8.(2006辽宁理)在等比数列中,,前项和为,若数列也是等比数列,则等于( ) (A)(B) (C) (D)
9.(2006湖北理)若互不相等的实数成等差数列,成等比数列,且,则( ) A.4 B.2 C.-2 D.-4 10.(2007海南、宁夏文)已知成等比数列,且曲线 的顶点是,则等于() A.3 B.2 C.1 D. 二、填空题:(每小题5分,计20分) 11.(2006湖南文)若数列满足:,2,3….则 . 12.(2004全国Ⅰ卷文)已知等比数列{则该数列的通 项= . 13.(2005湖北理)设等比数列的公比为q,前n项和为S n,若S n+1,S n,S n+2成等差数列,则q的值为. 14.(2002北京文、理)等差数列中,a1=2,公差不为零,且a1, a3,a11 恰好是某等比数列的前三项,那么该等比数列公比的值等于_____________. 三、解答题:(15、16题各12分,其余题目各14分) 15.(2006全国Ⅰ卷文)已知为等比数列,,求 的通项式。