(松江2021.1)初三一模数学试卷
D
B
（第 21 题图）
A B
DC
（第 22 题图）
F
23.（本题满分 12 分，第（1）小题 5 分，第（2）小题 7 分）
如图，已知在□ABCD 中，E 是边 AD 上一点，联结 BE、CE， A 延长 BA、CE 相交于点 F， CE 2 DE BC ．
ED
（1）求证：∠EBC=∠DCE；
（2）求证： BE EF BF AE ．
5
A
2
AD，tan∠DAC= ．
3
（1）求边 AC 的长；
（2）求 cot∠BAD 的值． C
22．（本题满分 10 分，每小题各 5 分）
如图，垂直于水平面的 5G 信号塔 AB 建在垂直于水平
面的悬崖边 B 点处（点 A、B、C 在同一直线上）．某测量员
从悬崖底 C 点出发沿水平方向前行 60 米到 D 点，再沿斜坡
DC 3 ①求 P 点坐标； ②点 Q 在 x 轴上，如果∠QCA=∠PCB ，求点 Q 的坐标.
y
P
D
O B
C
A
x
（第 24 题图）
25．（本题满分 14 分，第（1）小题 4 分，第（2）、（3）小题各 5 分）
如图，已知在等腰△ABC 中，AB=AC= 5 5 ，tan∠ABC=2，BF⊥AC，垂足为 F，点 D
l5 D
l4
C
A
l1
A
A
D
BE
C
F
（第 13 题图）
l2 A
D
E
l3
BB
CB
C
（第 14 题图）
（第 15 题图）
（第 16 题图）
14．如图，△ABC 在边长为 1 个单位的方格纸中，△ABC 的顶点在小正方形顶点位置，那么 ∠ABC 的正弦值为________．
DE 3 15．如图，已知点 D、E 分别在△ABC 的边 AB 和 AC 上，DE∥BC， ，四边形 DBCE
是边 AB 上一点（不与 A，B 重合）. （1）求边 BC 的长； （2）如图 2，延长 DF 交 BC 的延长线于点 G，如果 CG=4，求线段 AD 的长； （3）过点 D 作 DE⊥BC，垂足为 E，DE 交 BF 于点 Q，联结 DF，如果△DQF 和△ABC 相似， 求线段 BD 的长.
G 分别在边 AB、AC 上．已知△ABC 的边 BC=16cm，高 AH
为 10cm，则正方形 DEFG 的边长为_________cm． D
18．如图，已知矩形纸片 ABCD，点 E 在边 AB 上，且 BE=1，
E HF C
（第 17 题图）
C
将△CBE 沿直线 CE 翻折，使点 B 落在对角线 AC 上的点 F 处，联结 DF．如果点 D、F、E 在同一直线上，则线段 AE 的长为________________.
A
A
A
D·
D
F
F
FHale Waihona Puke BCBCGB
C
（图 1）
（图 2）
（备用图）
初三数学 第 4 页 共 4 页
F
A
EB
（第 18 题图）
初三数学 第 2 页 共 4 页
三、解答题（本大题共 7 题，满分 78 分） 19．（本题满分 10 分）
用配方法把二次函数 y 3x2 6x 5化为 y a x m2 k 的形式，并指出这个函数图
像的开口方向、对称轴和顶点坐标．
20．（本题满分 10 分，每小题各 5 分）
B
C
（第 23 题图）
初三数学 第 3 页 共 4 页
24.（本题满分 12 分，第（1）小题 3 分，第（2）小题第①题 4 分、第②题 5 分）
如图，在平面直角坐标系 xoy 中，抛物线 y ax2 +bx 2 经过点 A（2,0）和 B（-1,-1），
与 y 轴交于点 C. （1）求这个抛物线的表达式； （2）如果点 P 是抛物线位于第二象限上一点，PC 交 x 轴于点 D， PD 2 .
12．已知点 A2, y1 、B 3, y2 在抛物线 y x2 2x c（c 为常数）上，则 y1 _____ y2 ．（填
“>”、“=”或“<”） 13．如图，已知直线 l1、l2、l3 分别交直线 l4 于点 A、B、C，交直线 l5 于点 D、E、F，且 l1∥l2∥l3，
AB=4，AC=6，DF=10，则 DE=_________．
船与 A 的距离（ ）
C
B
（A）15 千米；
（B）10 千米；
西
（C）10 3 千米； （D） 5 3 千米．
6．如图，已知在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，点 G 是△ABC 的 A
A东
（第 5 题图）
重心，GE⊥AC，垂足为 E，如果 CB=8，则线段 GE 的长
为（ ）
5
7
（A） ； （B） ；
rr 4．已知 a 2b ，下列说法中不正确的是（ ）
rr
rr
rr
（A） a 2b 0 ； （B） a 与 b 方向相同；（C） a ∥ b ；
rr （D） a 2 b ．
5．如图，一艘船从 A 处向北偏东 30°的方向行驶 10 千米到 B
北
处，再从 B 处向正西方向行驶 20 千米到 C 处，这时这艘
2．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A= ，BC=2，那么 AC 的长为（
（A） 2 sin ；
（B） 2 cos ；
（C） 2 tan ；
3．抛物线 y 2x2 向右平移 3 个单位后得到的抛物线是（ ）
）
（D） 2 cot .
（A） y 2x2 3 ； （B） y 2x2 3 ； （C）y 2( x 3)2 ；（D）y 2( x 3)2 ．
DE 方向前行 65 米到 E 点（点 A、B、C、D、E 在同一平面
E
内），在点 E 处测得 5G 信号塔顶端 A 的仰角为 37°，悬崖
BC 的高为 92 米，斜坡 DE 的坡度 i=1∶2.4.
H
（1）求斜坡 DE 的高 EH 的长；
（2）求信号塔 AB 的高度．
（参考数据：sin 37 0.60 ，cos 37 0.80 ，tan 37 0.75 ．）
计算的主要步骤．
一、选择题（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答
题纸的相应位置上】
1．如果两个相似三角形对应边的比为1: 4 ，那么它们的周长比是（ ）
（A）1: 2 ；
（B）1: 4 ；
（C）1: 8 ；
（D）1:16 ．
如图，已知 AB∥CD，AD、BC 相交于点 E，AB=6，BE=4，BC=9，联结 AC．
（1）求线段 CD 的长；
A
B
（2）如果 AE=3，求线段 AC 的长．
E
21．（本题满分 10 分，每小题各 5 分）
C
D
（第 20 题图）
3
如图，已知在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，sin∠ABC= ，点 D 在边 BC 上，BD=4，联结
9．计算： sin 30cot 60 =___________．
3
10．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC=6，cosA= ，那么 AB 的长为________．
4
11．一个边长为 2 厘米的正方形，如果它的边长增加 x（x>0）厘米，则面积随之增加 y 平方
厘米， 那么 y 关于 x 的函数解析式为_______________________．
3
3
8 （C） ；
3
10 （D） ．
3
E ·G
C
B
（第 6 题图）
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二、填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）
【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
x5
x y
7．已知 ，那么
=_____．
y3
y
8．已知线段 MN 的长是 4cm，点 P 是线段 MN 的黄金分割点，则较长线段 MP 的长是_________cm．
BC 4
的面积等于 7，则△ADE 的面积为_________．
uuur r
16．如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，BC=2AD，设向量 AB a ，
uuur r
r r uuur
AD b ，用向量 a 、 b 表示 AC 为_______________．
A
D
G
17．如图，正方形 DEFG 的边 EF 在△ABC 的边 BC 上，顶点 D、 B
松江区 2020 学年度第一学期期末质量监控
初三数学
考生注意：
（满分 150 分，完卷时间 100 分钟）
2021.01
1．本试卷含三个大题，共 25 题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，
在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或
2021上海初三数学一模试题分类整理(填空压轴题)
2021上海初三数学一模试题分类整理（填空压轴题）1.（杨浦）如图，已知在△ABC中，∠B=45º，∠C=60º，将△ABC绕点A旋转，点B、C分别落在点B1、C 1处，如果BB1//AC，联结C1B1交边AB于点D，那么1BDB D的值为.2．（徐汇）如图，在ABC∆中，︒=∠120ABC，12=AB，点D在边AC上，点E在边BC上，54sin=∠ADE，5=ED，如果ECD∆的面积是6，那么BC的长是_______．3．（松江）如图，已知矩形纸片ABCD，点E在边AB上，且BE=1，将△CBE沿直线CE翻折，使点B落在对角线AC上的点F处，联结DF．如果点D、F、E在同一直线上，则线段AE的长为________________.4．（普陀）如图，在□ABCD中，点E在边BC上，将△ABE沿着直线AE翻折得到△AFE，点B的对应点F恰好落在线段DE上，线段AF的延长线交边CD于点G，如果:3:2BE EC=，那么:AF FG的值等于．5．（浦东）如图，△ABC中，AB=10，BC=12，AC=8，点D是边BC上一点，且BD∶CD=2∶1，联结AD，过AD中点M的直线将△ABC分成周长相等的两部分，这条直线分别与边BC、AC相交于点E、F，那么线段BE的长为．6．（闵行）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB =90°，AB =3，1tan 2B =．将△ABC 绕着点A 顺时针旋转后，点B 恰好落在射线CA 上的点D 处，点C 落在点E 处，射线DE 与边AB 相交于点F ，那么BF =．7.（静安）在Rt△ABC 中，∠C =90°，AB =13，2tan 3B =（如图），将△ABC 绕点C 旋转后，点A 落在斜边AB 上的点A’，点B 落在点B’，A’B’与边BC 相交于点D ，那么CD A'D 的值为．8.（嘉定）已知在△ABC 中，90ACB ∠=︒，10AB =，sin 5B =，把△ABC 绕着点C 按顺时针方向旋转α︒（0360α<<），将点A 、B 的对应点分别记为点A '、B '，如果AA C '△为直角三角形，那么点A 与点B '的距离为.9．（黄浦）已知一个矩形的两邻边长之比为1∶2.5，一条平行于边的直线将该矩形分为两个小矩形，如果所得两小矩形相似，那么这两个小矩形的相似比为．10．（虹口）如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，AC =6，BC =8．D 是BC 的中点，点E 在边AB 上，将△BDE 沿直线DE 翻折，使得点B 落在同一平面内的点B'处，线段B'D 交边AB 于点F ，联结AB'．当△AB'F 是直角三角形时，BE 的长为．11．（奉贤）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB =90°，AC =3，BC =4，CD 是△ABC 的角平分线，将Rt△ABC绕点A 旋转，如果点C 落在射线CD 上，点B 落在点E 处，联结DE ，那么∠AED 的正切值为．12．（崇明）在△ABC 中，42AB =，45B ∠=︒，60C ∠=︒．点D 为线段AB 的中点，点E 在边AC 上，连结DE ，沿直线DE 将△ADE 折叠得到A DE '△．连结AA '，当A E AC '⊥时，则线段AA '的长为．13.（宝山）等腰△ABC 中，BC AC =，∠ACB=90°，点E 、F 分别是边CA 、CB 的中点.已知点P 在线段EF 上，联结AP ，将线段AP 绕点P 逆时针旋转90°得到线段DP .如果点P 、D 、C 在同一直线上，那么tan CAP ∠=.14.（金山）已知在ABC Rt ∆中，90=∠C ，1=BC ，2=AC ，以点C 为直角顶点的DCE Rt ∆的顶点D 在BA 的延长线上，DE 交CA 的延长线于点G ，若21tan =∠CED ，GE CE =，那么BD 的长等于．A C B。
中考数学第一次模试卷含答案解析
上海市松江区中考数学一模试卷一.选择题1．如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是( )A．1：16B．1：4C．1：6D．1：22．下列函数中，属于二次函数的是( )A．y=2x+1B．y=（x﹣1）2﹣x2C．y=2x2﹣7D．3．在Rt△ABC中，△ACB=90°，BC=1，AB=2，则下列结论正确的是( ) A．B．C．D．4．若四边形ABCD的对角线交于点O，且有，则以下结论正确的是( ) A．B．C．D．5．如果二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么( )A．a＜0，b＞0，c＞0B．a＞0，b＜0，c＞0C．a＞0，b＞0，c＜0D．a＜0，b＜0，c＜06．P是△ABC一边上的一点（P不与A、B、C重合），过点P的一条直线截△ABC，如果截得的三角形与△ABC相似，我们称这条直线为过点P的△ABC的“相似线”．Rt△ABC中，△C=90°，△A=30°，当点P为AC的中点时，过点P的△ABC的“相似线”最多有几条？( )A．1条B．2条C．3条D．4条二.填空题7．若a：b：c=1：3：2，且a+b+c=24，则a+b﹣c=__________．8．已知线段a=2cm，b=8cm，那么线段a和b的比例中项为__________cm．9．二次函数y=﹣2x2﹣x+3的图象与y轴的交点坐标为__________．10．在Rt△ABC中，△C=90°，如果AC=4，sinB=，那么AB=__________．11．一位运动员投掷铅球，如果铅球运行时离地面的高度为y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为y=﹣，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为__________米．12．如图，直线AD△BE△CF，，DE=6，那么EF的值是__________．13．在一个斜坡上前进5米，水平高度升高了1米，则该斜坡坡度i=__________．14．若点A（﹣3，y1）、B（0，y2）是二次函数y=﹣2（x﹣1）2+3图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是__________（填y1＞y2、y1=y2或y1＜y2）．15．将抛物线y=x2沿x轴向右平移2个单位后所得抛物线的解析式是__________．16．如图，已知DE△BC，且DE经过△ABC的重心G，若BC=6cm，那么DE等于__________cm．17．已知二次函数的图象经过（0，3）、（4，3）两点，则该二次函数的图象对称轴为直线__________．18．已知在△ABC中，△C=90°，BC=3，AC=4，点D是AB边上一点，将△ABC沿着直线CD翻折，点A落在直线AB上的点A′处，则sin△A′CD=__________．三.解答题19．已知抛物线y=x2+bx+3经过点A（﹣1，8），顶点为M；（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线对称轴与x轴交于点B，连接AB、AM，求△ABM的面积．20．（16分）如图，已知平行四边形ABCD，点M、N是边DC、BC的中点，设=，=；（1）求向量（用向量、表示）；（2）在图中求作向量在、方向上的分向量；（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）21．如图，小明所在教学楼的每层高度为3.5米，为了测量旗杆MN的高度，他在教学楼一楼的窗台A处测得旗杆顶部M的仰角为45°，他在二楼窗台B处测得M的仰角为31°，已知每层楼的窗台离该层的地面高度均为1米，求旗杆MN的高度；（结果保留两位小数）（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）22．如图，已知△ABC中，△C=90°，tanA=，点D在边AB上，AD：DB=3：1，求cot△DCB的值．23．已知如图，在△ABC中，BD平分△ABC交AC于点D，点E在AB上，且BD2=BE•BC；（1）求证：△BDE=△C；（2）求证：AD2=AE•AB．24．如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，O是坐标原点，已知点B的坐标是（3，0），tan△OAC=3；（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P在x轴上方的抛物线上，且△PAB=△CAB，求点P的坐标；（3）点D是y轴上一动点，若以D、C、B为顶点的三角形与△ABC相似，求出符合条件的点D的坐标．25．（18分）已知，等腰梯形ABCD中，AD△BC，△B=△BCD=45°，AD=3，BC=9，点P是对角线AC上的一个动点，且△APE=△B，PE分别交射线AD和射线CD于点E和点G；（1）如图1，当点E、D重合时，求AP的长；（1）如图2，当点E在AD的延长线上时，设AP=x，DE=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当线段DG=时，求AE的值．上海市松江区中考数学一模试卷一.选择题1．如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是( )A．1：16B．1：4C．1：6D．1：2【考点】相似三角形的性质．【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．【解答】解：△两个相似三角形的面积比是1：4，△两个相似三角形的相似比是1：2，△两个相似三角形的周长比是1：3，故选：D．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．2．下列函数中，属于二次函数的是( )A．y=2x+1B．y=（x﹣1）2﹣x2C．y=2x2﹣7D．【考点】二次函数的定义．【分析】根据一次函数、反比例函数、二次函数的定义判断各选项即可得出答案．【解答】解：A、是一次函数，故本选项错误；B、整理后是一次函数，故本选项错误；C、y=2x2﹣7是二次函数，故本选项正确；D、y与x2s是反比例函数关系，故本选项错误．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的定义，关键是掌握二次函数的定义条件：二次函数y=ax2+bx+c的定义条件是：a、b、c为常数，a≠0，自变量最高次数为2．3．在Rt△ABC中，△ACB=90°，BC=1，AB=2，则下列结论正确的是( ) A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】首先利用勾股定理求得AC的长，然后利用三角函数的定义求解，即可作出判断．【解答】解：在直角△ABC中，AC===．则sinA==，故A错误；cosA==，故B正确；tanA===，故C错误；cotA===，故D错误．故选B．【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．4．若四边形ABCD的对角线交于点O，且有，则以下结论正确的是( ) A．B．C．D．【考点】*平面向量．【分析】首先根据题意画出图形，然后由，可得AB△CD，AB=2DC即可证得△OAB△△OCD，然后由相似三角形的对应边成比例，证得OA：OC=OB：OD=AB：CD=2：1，继而求得答案．【解答】解：A、△，△AB△CD，AB=2DC，△△OAB△△OCD，△OA：OC=AB：DC=2：1，△OA=2OC，△=2；故正确；B、||不一定等于||；故错误；C、≠，故错误；D、=；故错误．故选A．【点评】此题考查了平面向量的知识以及相似三角形的判定与性质．注意掌握证得△AOB△△COD是解此题的关键．5．如果二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么( )A．a＜0，b＞0，c＞0B．a＞0，b＜0，c＞0C．a＞0，b＞0，c＜0D．a＜0，b＜0，c＜0【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】数形结合．【分析】利用抛物线开口方向确定a的符号，利用对称轴方程可确定b的符号，利用抛物线与y轴的交点位置可确定c的符号．【解答】解：△抛物线开口向下，△a＜0，△抛物线的对称轴在y轴的右侧，△x=﹣＞0，△b＞0，△抛物线与y轴的交点在x轴上方，△c＞0．故选A．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．6．P是△ABC一边上的一点（P不与A、B、C重合），过点P的一条直线截△ABC，如果截得的三角形与△ABC相似，我们称这条直线为过点P的△ABC的“相似线”．Rt△ABC中，△C=90°，△A=30°，当点P为AC的中点时，过点P的△ABC的“相似线”最多有几条？( )A．1条B．2条C．3条D．4条【考点】相似三角形的判定．【专题】新定义．【分析】根据相似三角形的判定方法分别利用平行线以及垂直平分线的性质得出对应角相等即可得出．【解答】解：如图所示：当PD△BC时，△APD△△ACB；当PE△AC时，△BPE△△BAC；当PF△AB时，△APD△△ABC故过点P的△ABC的相似线最多有3条．故选：C．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法作出辅助线是解题关键．二.填空题7．若a：b：c=1：3：2，且a+b+c=24，则a+b﹣c=8．【考点】比例的性质．【分析】设a=k，则b=3k，c=2k，根据a+b+c=24即可代入求得k，然后代入求得所求代数式的值．【解答】解：△a：b：c=1：3：2，△设a=k，则b=3k，c=2k，又△a+b+c=24，△k+3k+2k=24，△k=4，△a+b﹣c=k+3k﹣2k=2k=2×4=8．故答案是：8．【点评】本题考查了比例的性质，根据a：b：c=1：3：2正确设出未知数是解决本题的关键．8．已知线段a=2cm，b=8cm，那么线段a和b的比例中项为4cm．【考点】比例线段．【分析】比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积．【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．设它们的比例中项是x，则x2=2×8，x=±4（线段是正数，负值舍去）．故答案为4．【点评】考查了比例中项的概念，注意：求两条线段的比例中项的时候，应舍去负数．9．二次函数y=﹣2x2﹣x+3的图象与y轴的交点坐标为（0，3）．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】把x=0代入即可求得．【解答】解：把x=0代入y=﹣2x2﹣x+3得，y=3，所以二次函数y=﹣2x2﹣x+3的图象与y轴的交点坐标为（0，3），故答案为（0，3）．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，y轴上的点的横坐标为0是解题的关键．10．在Rt△ABC中，△C=90°，如果AC=4，sinB=，那么AB=6．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据正弦函数的定义即可直接求解．【解答】解：△sinB=，△AB===6．故答案是：6．【点评】本题考查了正弦函数的定义，是所对的直角边与斜边的比，理解定义是关键．11．一位运动员投掷铅球，如果铅球运行时离地面的高度为y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为y=﹣，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为3米．【考点】二次函数的应用．【分析】直接利用配方法求出二次函数最值即可．【解答】解：由题意可得：y=﹣=﹣（x2﹣8x）+=﹣（x﹣4）2+3，故铅球运动过程中最高点离地面的距离为：3m．故答案为：3．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确利用配方法求出最值是解题关键．12．如图，直线AD△BE△CF，，DE=6，那么EF的值是4．【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，即可得出结果．【解答】解：△AD△BE△CF，，△=，即，解得：EF=4故答案为：4．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．13．在一个斜坡上前进5米，水平高度升高了1米，则该斜坡坡度i=1：2．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】推理填空题．【分析】根据在一个斜坡上前进5米，水平高度升高了1米，可以计算出此时的水平距离，水平高度与水平距离的比值即为坡度，从而可以解答本题．【解答】解：设在一个斜坡上前进5米，水平高度升高了1米，此时水平距离为x米，根据勾股定理，得x2+12=52，解得，（舍去），故该斜坡坡度i=1：2．故答案为：1：2．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是明确什么是坡度．14．若点A（﹣3，y1）、B（0，y2）是二次函数y=﹣2（x﹣1）2+3图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是y1＜y2（填y1＞y2、y1=y2或y1＜y2）．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】分别计算自变量为﹣2、3时的函数值，然后比较函数值的大小即可．【解答】解：当x=﹣3时，y1=﹣2（x﹣1）2+3=﹣29；当x=0时，y2=﹣2（x﹣1）2+3=1；△﹣29＜1，△y1＜y2，故答案为：y1＜y2．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．15．将抛物线y=x2沿x轴向右平移2个单位后所得抛物线的解析式是y=（x﹣2）2．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】直接根据“左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=x2向右平移2个单位，所得函数解析式为：y=（x﹣2）2．故答案为：y=（x﹣2）2．【点评】本题考查的是函数图象平移的法则，根据“上加下减，左加右减”得出是解题关键．16．如图，已知DE△BC，且DE经过△ABC的重心G，若BC=6cm，那么DE等于4cm．【考点】三角形的重心．【分析】利用重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，进而求出答案．【解答】解：连接AG并延长到BC上一点N，△△ABC的重心G，DE△BC，△△ADG△△ABN，BN=CN，DG=GE，△==，△=，解得：DG=2，△DE=4．故答案为：4．【点评】此题主要考查了重心的定义以及相似三角形的判定与性质，得出DG的长是解题关键．17．已知二次函数的图象经过（0，3）、（4，3）两点，则该二次函数的图象对称轴为直线x=2．【考点】二次函数的性质．【专题】推理填空题．【分析】根据二次函数图象具有对称性，由二次函数的图象经过（0，3）、（4，3）两点，可以得到该二次函数的图象对称轴，从而可以解答本题．【解答】解：△二次函数的图象经过（0，3）、（4，3）两点，△该二次函数的图象对称轴为直线：x=，故答案为：x=2．【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确二次函数的性质，二次函数的图象关于对称轴对称．18．已知在△ABC中，△C=90°，BC=3，AC=4，点D是AB边上一点，将△ABC沿着直线CD翻折，点A落在直线AB上的点A′处，则sin△A′CD=．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】点A落在直线AB上的点A′处，则CD△AB，D就是垂足，根据三角形的面积公式求得CD的长，然后在直角△ACD中利用勾股定理求得AD，再根据sin△A′CD=sin△ACD 求解．【解答】解：作CD△AB于点D．在直角△ABC中，AB===5，△S△ABC=AB•CD=BC•AC，△CD===，在直角△ACD中，AD==，△sin△A′CD=sin△ACD===．故答案是：．【点评】本题考查了图形的折叠以及勾股定理的应用，正确理解△ACD=△A′CD是关键．三.解答题19．已知抛物线y=x2+bx+3经过点A（﹣1，8），顶点为M；（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线对称轴与x轴交于点B，连接AB、AM，求△ABM的面积．【考点】待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x轴的交点．【分析】（1）把点A的坐标代入函数解析式，列出关于系数b的方程，通过解方程求得b 的值即可；（2）由（1）中函数解析式得到对称轴为x=2，然后结合三角形的面积公式进行解答即可．【解答】解：（1）△抛物线y=x2+bx+3经过点A（﹣1，8），△8=（﹣1）2﹣b+3，解得b=﹣4，△所求抛物线的表达式为y=x2﹣4x+3；（2）作AH△BM于点H，△由抛物线y=x2﹣4x+3解析式可得，点M的坐标为（2，﹣1），点B的坐标为（2，0），△BM=1，△对称轴为直线x=2，△AH=3，△△ABM的面积=．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x轴的交点．解题的关键是正确求出抛物线的解析式．20．（16分）如图，已知平行四边形ABCD，点M、N是边DC、BC的中点，设=，=；（1）求向量（用向量、表示）；（2）在图中求作向量在、方向上的分向量；（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）【考点】*平面向量．【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得，又由点M、N是边DC、BC的中点，根据三角形中位线的性质，即可求得向量；（2）首先平移向量，然后利用平行四边形法则，即可求得答案．【解答】解：（1）方法一：△四边形ABCD是平行四边形，△AB△DC，AD△BC，AB=DC，AD=BC，△，，△，，△点M、N分别为DC、BC的中点，△，，△．方法二：△，，△，△点M、N分别为DC、BC的中点，△；（2）作图：结论：、是向量分别在、方向上的分向量．【点评】此题考查了平面向量的知识、平行四边形的性质以及三角形的中位线的性质．注意掌握平行四边形法则与三角形法则的应用是解此题的关键．21．如图，小明所在教学楼的每层高度为3.5米，为了测量旗杆MN的高度，他在教学楼一楼的窗台A处测得旗杆顶部M的仰角为45°，他在二楼窗台B处测得M的仰角为31°，已知每层楼的窗台离该层的地面高度均为1米，求旗杆MN的高度；（结果保留两位小数）（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】过点M的水平线交直线AB于点H，设MH=x，则AH=x，结合等腰直角三角形的性质和解直角三角形ABH得到AB=AH﹣BH=x﹣0.60x=0.4x=3.5，由此求得MH的长度，则MN=AB+BH．【解答】解：过点M的水平线交直线AB于点H，由题意，得△AMH=△MAH=45°，△BMH=31°，AB=3.5，设MH=x，则AH=x，BH=xtan31°=0.60x，△AB=AH﹣BH=x﹣0.60x=0.4x=3.5，解得x=8.75，则旗杆高度MN=x+1=9.75（米）答：旗杆MN的高度度约为9.75米．【点评】本题考查了解直角三角形﹣﹣仰角俯角问题．要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．22．如图，已知△ABC中，△C=90°，tanA=，点D在边AB上，AD：DB=3：1，求cot△DCB的值．【考点】解直角三角形．【专题】探究型．【分析】作辅助线DH△BC，根据，△C=90°，tanA=，点D在边AB上，AD：DB=3：1，可知△BDH△△BAC，从而可以得到各边之间的关系，从而可以得到cot△DCB的值．【解答】解：过D点作DH△BC于点H，如下图所示：△△ACB=90°，△DH△AC，△△BDH△△BAC，△△BDH=△A，△AD：DB=3：1，△BH：BC=BD：BA=1：4，设BH=x，则BC=4x，CH=3x，△△C=90°，，△BDH=△A，△DH=2x，△DH△BC，△cot△DCB=，即cot△DCB=．【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是找出各边之间的关系，然后求出所求角的三角函数值．23．已知如图，在△ABC中，BD平分△ABC交AC于点D，点E在AB上，且BD2=BE•BC；（1）求证：△BDE=△C；（2）求证：AD2=AE•AB．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据角平分线的定义得到△ABD=△CBD，由BD2=BE•BC，得到，推出△EBD△△DBC，根据相似三角形的性质即可得到结论；（2）由△BDE=△C，推出△DBC=△ADE，等量代换得到△ABD=△ADE，证得△ADE△△ABD，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】证明：（1）△BD平分△ABC，△△ABD=△CBD，△BD2=BE•BC，△，△△EBD△△DBC，△△BDE=△C；（2）△△BDE=△C，△DBC+△C=△BDE+△ADE，△△DBC=△ADE，△△ABD=△CBD，△△ABD=△ADE，△△ADE△△ABD，△，即AD2=AE•AB．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握相似三角形的性质即可得到结论．24．如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，O是坐标原点，已知点B的坐标是（3，0），tan△OAC=3；（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P在x轴上方的抛物线上，且△PAB=△CAB，求点P的坐标；（3）点D是y轴上一动点，若以D、C、B为顶点的三角形与△ABC相似，求出符合条件的点D的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据正切函数，可得A点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据正切函数，可得P点坐标，根据图象上的点满足函数解析式，可得关于x的方程，根据解方程，可得答案；（3）根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得关于y的方程，根据解方程，可得答案．【解答】解（1）△抛物线y=ax2+bx﹣3与y轴交于点C，△点C的坐标为（0，﹣3），△OC=3，△tan△OAC=3，△OA=1，即点A的坐标为（﹣1，0），又点B（3，0），△，解得，△抛物线的函数表达式是y=x2﹣2x﹣3；（2）△△PAB=△CAB，△tan△PAB=tan△CAB=3，△点P在x轴上方，设点P的横坐标为x，则点P的纵坐标为3（x+1），△3（x+1）=x2﹣2x﹣3，得x=﹣1（舍去）或x=6，当x=6时，y=21，△点P的坐标为（6，21）；（3）如图，设点D的坐标为（0，y），易得△ABC为△ABC=45°的锐角三角形，所以△DCB也是锐角三角形，△点D在点C的上方，△△DCB=45°，△△ABC=△DCB，△AB=4，BC=，DC=y+3，①如果=，则=，△y=1，即点D（0，1），②如果=则=，△y=，即点D1（0，）．【点评】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数求函数解析式；利用正切函数得出P 点坐标是解题关键，又利用图象上的点满足函数解析式得出P点坐标；利用两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似得出关于y的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．25．（18分）已知，等腰梯形ABCD中，AD△BC，△B=△BCD=45°，AD=3，BC=9，点P是对角线AC上的一个动点，且△APE=△B，PE分别交射线AD和射线CD于点E和点G；（1）如图1，当点E、D重合时，求AP的长；（1）如图2，当点E在AD的延长线上时，设AP=x，DE=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当线段DG=时，求AE的值．【考点】相似形综合题．【专题】综合题；图形的相似．【分析】（1）作AH垂直于BC，垂足为H，如图1所示，由△B=△BCD=45°，得到三角形ABH为等腰直角三角形，由等腰梯形的两底之差的一半求出BH的长，即为AH的长，由BC﹣BH求出HC的长，利用勾股定理求出AC的长，由AD与BC平行，得到一对内错角相等，再由已知角相等，利用两角相等的三角形相似得到三角形ADP与三角形CAB相似，由相似得比例求出AP的长即可；（2）由AD与BC平行，得到一对内错角相等，再由已知角相等，利用两角相等的三角形相似得到三角形ADP与三角形CAB相似，由相似得比例列出y与x的函数解析式，并求出定义域即可；（3）分两种情况考虑：当点G在线段CD上时，作DM△EP交AC于点M，如图2所示，同理求出AM的长，进而求出MC的长，由CD﹣DG求出GC的长，根据GP与MD平行，由平行得比例求出PM的长，由DM与EP平行，根据平行得比例，求出DE的长，根据AD+DE求出AE的长；②当点G在CD的延长线上时，如图3所示，同理求出DE 的长，由AD﹣DE求出AE的长即可．【解答】解：（1）作AH△BC于点H，如图1所示：△△B=△BCD=45°，AD=3，BC=9，等腰梯形ABCD，AD=3，BC=9，△BH=AH=（BC﹣AD）=×（9﹣3）=3，△BH=AH=3，根据勾股定理得：AB==3，CH=BC﹣BH=9﹣3=6，△AC==3，△AD△BC，△△DAP=△ACB，又△APE=△B，△△ADP△△CAB，△=，即=，△AP=；（2）如图2所示，△AD△BC，△△DAP=△ACB，△△APE=△B，△△APE△△CBA，△=，即=，△y=x﹣3（＜x≤3）；（3）分两种情况考虑：①当点G在线段CD上时，作DM△EP交AC于点M，如图2所示，由（1），同理可得AM=，△CM=，△DG=，CD=AB=3，△CG=2，△GP△DM，△=，即=，△MP=，△DM△EP，△=，即=，解得：DE=，△AE=AD+DE=3+=；②当点G在CD的延长线上时，如图3所示，同①可得DE=，△AE=AD﹣DE=3﹣=．【点评】此题属于相似形综合题，涉及的知识有：平行线等分线段成比例，等腰梯形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．第21页共21页。
┃精选3套试卷┃2021年上海市松江区中考数学第一次练兵模拟试题
中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，若AB＝6，EF＝2，则BC的长为()A．8 B．10 C．12 D．14【答案】B【解析】试题分析：根据平行四边形的性质可知AB=CD，AD∥BC，AD=BC，然后根据平行线的性质和角平分线的性质可知AB=AF，DE=CD，因此可知AF+DE=AD+EF=2AB=12，解得AD=BC=12-2=10.故选B.点睛：此题主要考查了平行四边形的性质和等腰三角形的性质，解题关键是把所求线段转化为题目中已知的线段，根据等量代换可求解.2．已知圆锥的侧面积为10πcm2，侧面展开图的圆心角为36°，则该圆锥的母线长为（）A．100cm B．10cm C．10cm D．10cm【答案】C【解析】圆锥的侧面展开图是扇形，利用扇形的面积公式可求得圆锥的母线长．【详解】设母线长为R，则圆锥的侧面积=236360R=10π，∴R=10cm，故选C．【点睛】本题考查了圆锥的计算，熟练掌握扇形面积是解题的关键.3．如图，△ABC中，∠CAB=65°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AED的位置，使得DC∥AB，则∠BAE等于（）A．30°B．40°C．50°D．60°【答案】C【解析】试题分析：∵DC ∥AB ，∴∠DCA=∠CAB=65°.∵△ABC 绕点A 旋转到△AED 的位置，∴∠BAE=∠CAD ，AC=AD.∴∠ADC=∠DCA="65°." ∴∠CAD=180°﹣∠ADC ﹣∠DCA="50°." ∴∠BAE=50°．故选C ．考点：1.面动旋转问题； 2. 平行线的性质；3.旋转的性质；4.等腰三角形的性质．4．“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则下面所列方程中正确的是（ ）A ．606030(125%)x x -=+B ．606030(125%)x x-=+ C ．60(125%)6030x x ⨯+-= D ．6060(125%)30x x⨯+-= 【答案】C【解析】分析：设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合提前 30 天完成任务，即可得出关于x 的分式方程．详解：设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则原来每天绿化的面积为125%x +万平方米， 依题意得：606030125%x x -=+，即()60125%6030x x ⨯+-=． 故选C ．点睛：考查了由实际问题抽象出分式方程．找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 5．一组数据：1、2、2、3，若添加一个数据2，则发生变化的统计量是( )A ．平均数B ．中位数C ．众数D ．方差【答案】D【解析】解：A ．原来数据的平均数是2，添加数字2后平均数仍为2，故A 与要求不符；B ．原来数据的中位数是2，添加数字2后中位数仍为2，故B 与要求不符；C ．原来数据的众数是2，添加数字2后众数仍为2，故C 与要求不符；D ．原来数据的方差=222(12)2(22)(32)4-+⨯-+-=12， 添加数字2后的方差=222(12)3(22)(32)5-+⨯-+-=25， 故方差发生了变化．故选D ．6．在六张卡片上分别写有13，π，1.5，5，0，2六个数，从中任意抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是（）A．16B．13C．12D．56【答案】B【解析】无限不循环小数叫无理数，无理数通常有以下三种形式：一是开方开不尽的数，二是圆周率π，三是构造的一些不循环的数，如1.010010001……（两个1之间0的个数一次多一个）.然后用无理数的个数除以所有书的个数，即可求出从中任意抽取一张，卡片上的数为无理数的概率.【详解】∵这组数中无理数有 ，2共2个，∴卡片上的数为无理数的概率是21=63.故选B.【点睛】本题考查了无理数的定义及概率的计算.7．下列二次根式中，最简二次根式的是（）A．15B．0.5C．5D．50【答案】C【解析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【详解】A、15=5，被开方数含分母，不是最简二次根式；故A选项错误；B、0.5=22，被开方数为小数，不是最简二次根式；故B选项错误；C、5，是最简二次根式；故C选项正确；D．50=52，被开方数，含能开得尽方的因数或因式，故D选项错误；故选C．考点：最简二次根式．8．下列交通标志是中心对称图形的为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据中心对称图形的定义即可解答．【详解】解：A、属于轴对称图形，不是中心对称的图形，不合题意；B、是中心对称的图形，但不是交通标志，不符合题意；C、属于轴对称图形，属于中心对称的图形，符合题意；D、不是中心对称的图形，不合题意．故选C．【点睛】本题考查中心对称图形的定义：绕对称中心旋转180度后所得的图形与原图形完全重合．9．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+b（k、b是常数，且k≠0）与反比例函数y2=cx（c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点，则不等式y1＞y2的解集是（）A．﹣3＜x＜2 B．x＜﹣3或x＞2 C．﹣3＜x＜0或x＞2 D．0＜x＜2【答案】C【解析】一次函数y1=kx+b落在与反比例函数y2=cx图象上方的部分对应的自变量的取值范围即为所求．【详解】∵一次函数y1=kx+b（k、b是常数，且k≠0）与反比例函数y2=cx（c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点，∴不等式y1＞y2的解集是﹣3＜x＜0或x＞2，故选C．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合是解题的关键．10．如图，△ABC的三个顶点分别为A(1，2)、B(4，2)、C(4，4)．若反比例函数y＝kx在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是()A．1≤k≤4B．2≤k≤8C．2≤k≤16D．8≤k≤16【答案】C【解析】试题解析：由于△ABC 是直角三角形，所以当反比例函数k y x =经过点A 时k 最小，进过点C 时k 最大，据此可得出结论．∵△ABC 是直角三角形，∴当反比例函数k y x=经过点A 时k 最小，经过点C 时k 最大， ∴k 最小=1×2=2，k 最大=4×4=1，∴2≤k≤1．故选C ．二、填空题（本题包括8个小题）11．一元二次方程()21210k x x ---=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是________． 【答案】2k <且1k ≠【解析】根据一元二次方程的根与判别式△的关系，结合一元二次方程的定义解答即可.【详解】由题意可得，1−k≠0，△＝4+4(1−k)＞0，∴k ＜2且k≠1.故答案为k ＜2且k≠1.【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式的应用，解题中要注意不要漏掉对二次项系数1-k≠0的考虑． 12．如图，定长弦CD 在以AB 为直径的⊙O 上滑动（点C 、D 与点A 、B 不重合），M 是CD 的中点，过点C 作CP ⊥AB 于点P ，若CD=3，AB=8，PM=l ，则l 的最大值是【答案】4【解析】当CD ∥AB 时，PM 长最大，连接OM ，OC ，得出矩形CPOM ，推出PM=OC ，求出OC 长即可．【详解】当CD ∥AB 时，PM 长最大，连接OM ，OC ，∵CD ∥AB ，CP ⊥CD ，∴CP ⊥AB ，∵M 为CD 中点，OM 过O ，∴OM ⊥CD ，∴∠OMC=∠PCD=∠CPO=90°，∴四边形CPOM是矩形，∴PM=OC，∵⊙O直径AB=8，∴半径OC=4，即PM=4.【点睛】本题考查矩形的判定和性质，垂径定理，平行线的性质，此类问题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大.13．抛物线y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c＝0的解为_____．【答案】x1＝1，x2＝﹣1．【解析】直接观察图象，抛物线与x轴交于1，对称轴是x＝﹣1，所以根据抛物线的对称性可以求得抛物线与x轴的另一交点坐标，从而求得关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c＝0的解．【详解】解：观察图象可知，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的一个交点为（1，0），对称轴为x＝﹣1，∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（﹣1，0），∴一元二次方程﹣x2+bx+c＝0的解为x1＝1，x2＝﹣1．故本题答案为：x1＝1，x2＝﹣1．【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系．一元二次方程-x2+bx+c=0的解实质上是抛物线y=-x2+bx+c与x轴交点的横坐标的值．14．已知m=444153，n=44053，那么2016m﹣n=_____．【答案】1【解析】根据积的乘方的性质将m的分子转化为以3和5为底数的幂的积，然后化简从而得到m=n，再根据任何非零数的零次幂等于1解答.【详解】解：∵m=444153=4?444353=44053，∴m=n，∴2016m-n=20160=1．故答案为：1【点睛】本题考查了同底数幂的除法，积的乘方的性质，难点在于转化m的分母并得到m=n.15．如图，一根直立于水平地面的木杆AB在灯光下形成影子AC（AC＞AB），当木杆绕点A按逆时针方向旋转，直至到达地面时，影子的长度发生变化．已知AE＝5m，在旋转过程中，影长的最大值为5m，最小值3m，且影长最大时，木杆与光线垂直，则路灯EF的高度为_____ m．【答案】7.5【解析】试题解析：当旋转到达地面时，为最短影长，等于AB，∵最小值3m，∴AB=3m，∵影长最大时，木杆与光线垂直，即AC=5m，∴BC=4，又可得△CAB∽△CFE，∴BC AB=，EC EF∵AE=5m，∴43=，10EF解得：EF=7.5m.故答案为7.5.点睛：相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例.16．如图,点A、B、C是圆O上的三点,且四边形ABCO是平行四边形,OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF=__．【答案】15°【解析】根据平行四边形的性质和圆的半径相等得到△AOB 为等边三角形，根据等腰三角形的三线合一得到∠BOF ＝∠AOF ＝30°，根据圆周角定理计算即可．【详解】解答：连接OB ，∵四边形ABCO 是平行四边形，∴OC=AB ，又OA=OB=OC ，∴OA=OB=AB ，∴△AOB 为等边三角形.∵OF ⊥OC,OC ∥AB ，∴OF ⊥AB ，∴∠BOF=∠AOF=30°. 由圆周角定理得1152BAF BOF ∠=∠= ， 故答案为15°. 17．如图，直线x=2与反比例函数2y x=和1y x =-的图象分别交于A 、B 两点，若点P 是y 轴上任意一点，则△PAB 的面积是_____．【答案】32． 【解析】解：∵把x=1分别代入2y x =、1y x =-，得y=1、y=12-， ∴A （1，1），B （1，1x -）．∴13AB 122⎛⎫=--= ⎪⎝⎭． ∵P 为y 轴上的任意一点，∴点P 到直线BC 的距离为1．∴△PAB 的面积1133AB 222222=⨯=⨯⨯=． 故答案为：32． 18．若关于x 的一元二次方程(m-1)x 2-4x+1=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围为_____________．【答案】5m <且1m ≠【解析】试题解析: ∵一元二次方程()21410m x x --+=有两个不相等的实数根， ∴m−1≠0且△=16−4(m−1)>0，解得m<5且m≠1，∴m 的取值范围为m<5且m≠1.故答案为:m<5且m≠1.点睛:一元二次方程()200.ax bx c a ++=≠ 方程有两个不相等的实数根时:0.∆>三、解答题（本题包括8个小题）19．如图所示，已知CFE BDC 180,DEF B ︒∠+∠=∠=∠，试判断AED ∠与ACB ∠的大小关系，并说明理由.【答案】AED ACB ∠=∠.【解析】首先判断∠AED 与∠ACB 是一对同位角，然后根据已知条件推出DE ∥BC ，得出两角相等．【详解】解：∠AED=∠ACB ．理由：如图，分别标记∠1，∠2，∠3，∠1.∵∠1+∠1=180°（平角定义），∠1+∠2=180°（已知）．∴∠2=∠1．∴EF ∥AB （内错角相等，两直线平行）．∴∠3=∠ADE （两直线平行，内错角相等）．∵∠3=∠B （已知），∴∠B=∠ADE （等量代换）．∴DE ∥BC （同位角相等，两直线平行）．∴∠AED=∠ACB （两直线平行，同位角相等）．【点睛】本题重点考查平行线的性质和判定，难度适中．20．如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，AD//EC，∠AED=∠B．求证：△AED≌△EBC；当AB=6时，求CD的长．【答案】（1）证明见解析；（2）CD =3【解析】分析: （1）根据二直线平行同位角相等得出∠A=∠BEC，根据中点的定义得出AE=BE，然后由ASA 判断出△AED≌△EBC；（2）根据全等三角形对应边相等得出AD=EC，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形AECD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等得出答案.详解:（1）证明：∵AD∥EC∴∠A=∠BEC∵E是AB中点，∴AE=BE∵∠AED=∠B∴△AED≌△EBC（2）解：∵△AED≌△EBC∴AD=EC∵AD∥EC∴四边形AECD是平行四边形∴CD=AE∵AB=6∴CD= 12AB=3点睛: 本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型.21．计算：13 1|132sin60(2016)8 3π-︒︒⎛⎫+-+-- ⎪⎝⎭先化简，再求值：2344111x xxx x++⎛⎫-+÷⎪++⎝⎭，其中22x=．【答案】(1)1；（2）2【解析】（1）分别计算负指数幂、绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值、立方根；（2）先把括号内通分相减，再计算分式的除法，除以一个分式，等于乘它的分子、分母交换位置.【详解】(1)原式1﹣﹣﹣1﹣2=1．（2）原式=[31x+﹣(1)(1)1x xx+-+]•21(2)xx++=(2)(2)1x xx-+-+•21(2)xx++=22xx-+，当2时，原式-1.【点睛】本题考查负指数幂、绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值、立方根以及分式的化简求值，解题关键是熟练掌握以上性质和分式的混合运算.22（2﹣【答案】【解析】分析：先化简各二次根式，再根据混合运算顺序依次计算可得．详解：原式（3点睛：本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握混合运算的法则是解题的关键.23．某商场同时购进甲、乙两种商品共100件，其进价和售价如下表：设其中甲种商品购进x件，商场售完这100件商品的总利润为y元．写出y关于x的函数关系式；该商场计划最多投入8000元用于购买这两种商品，①至少要购进多少件甲商品？②若销售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多少元？【答案】 (Ⅰ)103000y x =-+；(Ⅱ)①至少要购进20件甲商品；②售完这些商品，则商场可获得的最大利润是2800元．【解析】(Ⅰ)根据总利润=（甲的售价-甲的进价）×甲的进货数量+（乙的售价-乙的进价）×乙的进货数量列关系式并化简即可得答案；(Ⅱ)①根据总成本最多投入8000元列不等式即可求出x 的范围，即可得答案；②根据一次函数的增减性确定其最大值即可.【详解】(Ⅰ)根据题意得：()()()604012090100103000y x x x =-+--=-+则y 与x 的函数关系式为103000y x =-+．(Ⅱ)()40901008000x x +-≤，解得20x ≥．∴至少要购进20件甲商品．103000y x =-+，∵100-<，∴y 随着x 的增大而减小∴当20x 时，y 有最大值，102030002800y =-⨯+=最大．∴若售完这些商品，则商场可获得的最大利润是2800元．【点睛】本题考查一次函数的实际应用及一元一次不等式的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题关键. 24．如图，▱ABCD 中，点E ，F 分别是BC 和AD 边上的点，AE 垂直平分BF ，交BF 于点P ，连接EF ，PD ．求证：平行四边形ABEF 是菱形；若AB ＝4，AD ＝6，∠ABC ＝60°，求tan ∠ADP 的值．【答案】（1）详见解析；（2）tan ∠ADP ＝．【解析】（1）根据线段垂直平分线的性质和平行四边形的性质即可得到结论；（2）作PH ⊥AD 于H ，根据四边形ABEF 是菱形，∠ABC ＝60°，AB ＝4，得到AB ＝AF ＝4，∠ABF ＝∠ADB ＝30°，AP ⊥BF ，从而得到PH ＝，DH ＝5，然后利用锐角三角函数的定义求解即可．【详解】（1）证明：∵AE 垂直平分BF ，∴AB ＝AF ，∴∠BAE ＝∠FAE ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠FAE＝∠AEB，∴∠AEB＝∠BAE，∴AB＝BE，∴AF＝BE．∵AF∥BC，∴四边形ABEF是平行四边形．∵AB＝BE，∴四边形ABEF是菱形；（2）解：作PH⊥AD于H，∵四边形ABEF是菱形，∠ABC＝60°，AB＝4，∴AB＝AF＝4，∠ABF＝∠AFB＝30°，AP⊥BF，∴AP＝AB＝2，∴PH＝，DH＝5，∴tan∠ADP＝＝．【点睛】本题考查了菱形的判定及平行四边形的性质，解题的关键是牢记菱形的几个判定定理，难度不大．25．列方程解应用题:某地2016年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2018年在2016年的基础上增加投入资金1600万元.从2016年到2018年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少?【答案】从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%.【解析】设年平均增长率为x，根据：2016年投入资金×（1+增长率）2=2018年投入资金，列出方程求解可得.【详解】解:设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x.根据题意得:1280(1+x)2=1280+1600.解得x1=0.5=50%，x2=-2.5(舍去)，答:从2016年到2018年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%.本题考查了一元二次方程的应用，由题意准确找出相等关系并据此列出方程是解题的关键．26．如图所示，在△ABC中，BO、CO是角平分线．∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度数，并说明理由．题（1）中，如将“∠ABC＝50°，∠ACB＝60°”改为“∠A＝70°”，求∠BOC的度数．若∠A＝n°，求∠BOC 的度数．【答案】（1）125°；（2）125°；（3）∠BOC=90°+12 n°．【解析】如图，由BO、CO是角平分线得∠ABC=2∠1，∠ACB=2∠2，再利用三角形内角和得到∠ABC+∠ACB+∠A=180°，则2∠1+2∠2+∠A=180°，接着再根据三角形内角和得到∠1+∠2+∠BOC=180°，利用等式的性质进行变换可得∠BOC=90°+12∠A，然后根据此结论分别解决（1）、（2）、（3）．【详解】如图，∵BO、CO是角平分线，∴∠ABC=2∠1，∠ACB=2∠2，∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，∴2∠1+2∠2+∠A=180°，∵∠1+∠2+∠BOC=180°，∴2∠1+2∠2+2∠BOC=360°，∴2∠BOC﹣∠A=180°，∴∠BOC=90°+12∠A，（1）∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，∴∠A=180°﹣50°﹣60°=70°，∴∠BOC=90°+12×70°=125°；（2）∠BOC=90°+12∠A=125°；（3）∠BOC=90°+12 n°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．主要用在求三角形中角的度数：①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为acm 宽为bcm ）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分周长和是（ ）A ．4acmB ．4()a b cm -C ．2()a b cm +D ．4bcm【答案】D 【解析】根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果．【详解】解：设小长方形卡片的长为x ，宽为y ，根据题意得：x+2y=a ，则图②中两块阴影部分周长和是：2a+2（b-2y ）+2（b-x ）=2a+4b-4y-2x=2a+4b-2（x+2y ）=2a+4b-2a=4b ．故选择：D.【点睛】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．如图，△ABC 中，BC ＝4，⊙P 与△ABC 的边或边的延长线相切．若⊙P 半径为2，△ABC 的面积为5，则△ABC 的周长为( )A ．8B ．10C ．13D ．14【答案】C 【解析】根据三角形的面积公式以及切线长定理即可求出答案．【详解】连接PE 、PF 、PG ，AP ，由题意可知：∠PEC ＝∠PFA ＝PGA ＝90°，∴S△PBC＝12BC•PE＝12×4×2＝4，∴由切线长定理可知：S△PFC+S△PBG＝S△PBC＝4，∴S四边形AFPG＝S△ABC+S△PFC+S△PBG+S△PBC＝5+4+4＝13，∴由切线长定理可知：S△APG＝12S四边形AFPG＝132，∴132＝12×AG•PG，∴AG＝132，由切线长定理可知：CE＝CF，BE＝BG，∴△ABC的周长为AC+AB+CE+BE＝AC+AB+CF+BG＝AF+AG＝2AG＝13，故选C．【点睛】本题考查切线长定理，解题的关键是画出辅助线，熟练运用切线长定理，本题属于中等题型．3．如图所示的几何体的主视图是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】找到从正面看所得到的图形即可．【详解】解：从正面可看到从左往右2列一个长方形和一个小正方形，故选A．【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．4．如图，已知在△ABC，AB＝AC．若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（）A．AE＝EC B．AE＝BE C．∠EBC＝∠BAC D．∠EBC＝∠ABE【答案】C【解析】解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，∴BE=BC，∴∠ACB=∠BEC，∴∠BEC=∠ABC=∠ACB，∴∠BAC=∠EBC．故选C．点睛：本题考查了等腰三角形的性质，当等腰三角形的底角对应相等时其顶角也相等，难度不大．5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D、E，F分别是CD，AD上的点，且CE＝AF.如果∠AED＝62°，那么∠DBF的度数为()A．62°B．38°C．28°D．26°【答案】C【解析】分析：主要考查：等腰三角形的三线合一，直角三角形的性质．注意：根据斜边和直角边对应相等可以证明△BDF≌△ADE．详解：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD．又∵∠BAC=90°，∴BD=AD=CD．又∵CE=AF，∴DF=DE，∴Rt△BDF≌Rt△ADE（SAS），∴∠DBF=∠DAE=90°﹣62°=28°．故选C．点睛：熟练运用等腰直角三角形三线合一性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解答本题的关键．6．如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，F是高AD和BE的交点，CD=4，则线段DF的长度为( )A．22B．4 C．32D．42【答案】B【解析】求出AD ＝BD ，根据∠FBD ＋∠C ＝90°，∠CAD ＋∠C ＝90°，推出∠FBD ＝∠CAD ，根据ASA 证△FBD ≌△CAD ，推出CD ＝DF 即可．【详解】解：∵AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，∴∠ADB=∠AEB=∠ADC=90°，∴∠EAF+∠AFE=90°，∠FBD+∠BFD=90°，∵∠AFE=∠BFD ，∴∠EAF=∠FBD ，∵∠ADB=90°，∠ABC=45°，∴∠BAD=45°=∠ABC ，∴AD=BD ，在△ADC 和△BDF 中CAD DBF AD BDFDB ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ADC ≌△BDF ，∴DF=CD=4，故选：B ．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是找出能使三角形全等的条件．7．关于反比例函数4y x=-，下列说法正确的是（ ） A ．函数图像经过点（2，2）；B ．函数图像位于第一、三象限；C ．当0x >时，函数值y 随着x 的增大而增大；D ．当1x >时，4y <-．【答案】C【解析】直接利用反比例函数的性质分别分析得出答案．【详解】A 、关于反比例函数y=-4x ，函数图象经过点（2，-2），故此选项错误； B 、关于反比例函数y=-4x，函数图象位于第二、四象限，故此选项错误； C 、关于反比例函数y=-4x，当x ＞0时，函数值y 随着x 的增大而增大，故此选项正确； D 、关于反比例函数y=-4x，当x ＞1时，y ＞-4，故此选项错误； 故选C ．【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握相关函数的性质是解题关键．8．在同一直角坐标系中，函数y=kx-k 与k y x =(k≠0)的图象大致是 （ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据k 值的正负性分别判断一次函数y=kx-k 与反比例函数k y x=(k ≠0)所经过象限，即可得出答案. 【详解】解：有两种情况， 当k>0是时，一次函数y=kx-k 的图象经过一、三、四象限，反比例函数k y x=(k≠0)的图象经过一、三象限； 当k<0时，一次函数y=kx-k 的图象经过一、二、四象限，反比例函数k y x =(k≠0)的图象经过二、四象限； 根据选项可知，D 选项满足条件.故选D.【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数的图象.正确这两种图象所经过的象限是解题的关键.9．如图，已知抛物线21y x 4x =-+和直线2y 2x =.我们约定：当x 任取一值时，x 对应的函数值分别为y 1、y 2，若y 1≠y 2，取y 1、y 2中的较小值记为M ；若y 1=y 2，记M= y 1=y 2.下列判断： ①当x ＞2时，M=y 2；②当x ＜0时，x 值越大，M 值越大；③使得M 大于4的x 值不存在；④若M=2，则x=" 1" .其中正确的有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】试题分析：∵当y 1=y 2时，即2x 4x 2x -+=时，解得：x=0或x=2，∴由函数图象可以得出当x ＞2时， y 2＞y 1；当0＜x ＜2时，y 1＞y 2；当x ＜0时， y 2＞y 1．∴①错误．∵当x ＜0时， -21y x 4x =-+直线2y 2x =的值都随x 的增大而增大，∴当x ＜0时，x 值越大，M 值越大．∴②正确．∵抛物线()221y x 4x x 24=-+=--+的最大值为4，∴M 大于4的x 值不存在．∴③正确； ∵当0＜x ＜2时，y 1＞y 2，∴当M=2时，2x=2，x=1；∵当x ＞2时，y 2＞y 1，∴当M=2时，2x 4x 2-+=，解得12x 22x 22=+=-，（舍去）． ∴使得M=2的x 值是1或22+．∴④错误．综上所述，正确的有②③2个．故选B ． 10．甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率绘出的统计图如图，则符合这一结果的实验可能是（ ）A ．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率B ．抛一枚硬币，出现正面的概率C ．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率D ．任意写一个整数，它能被2整除的概率【答案】C【解析】解：A ．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为16，故此选项错误； B ．掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为12，故此选项错误； C ．从一装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率是：11123=+≈0.33；故此选项正确； D ．任意写出一个整数，能被2整除的概率为12，故此选项错误． 故选C ．二、填空题（本题包括8个小题）11．若使代数式212x x -+有意义，则x 的取值范围是_____． 【答案】x≠﹣2 【解析】直接利用分式有意义则其分母不为零，进而得出答案．【详解】∵分式212x x -+有意义， ∴x 的取值范围是：x+2≠0，解得：x≠−2.故答案是：x≠−2.【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是熟练的掌握分式有意义的条件.12．观察下列一组数：13579,,,,,49162536⋯，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n 个数是_____． 【答案】221(1)n n -+ 【解析】试题解析：根据题意得，这一组数的第n 个数为：()221.1n n -+故答案为()221.1n n -+点睛：观察已知一组数发现：分子为从1开始的连续奇数，分母为从2开始的连续正整数的平方，写出第n 个数即可．13．对于二次函数y ＝x 2﹣4x+4，当自变量x 满足a≤x≤3时，函数值y 的取值范围为0≤y≤1，则a 的取值范围为__．【答案】1≤a≤1【解析】根据y 的取值范围可以求得相应的x 的取值范围．【详解】解：∵二次函数y ＝x 1﹣4x+4＝（x ﹣1）1，∴该函数的顶点坐标为（1，0），对称轴为：x ＝﹣4222b a -=-=， 把y ＝0代入解析式可得：x ＝1，把y ＝1代入解析式可得：x 1＝3，x 1＝1，所以函数值y 的取值范围为0≤y≤1时，自变量x 的范围为1≤x≤3，故可得：1≤a≤1，故答案为：1≤a≤1．【点睛】此题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．14．计算：=______． 【答案】13【解析】分析：先把括号内的二次根式进行化简，然后再利用乘法分配律进行计算即可得解.详解：原式=626+66⨯（）=12+1=13.点睛：考查了二次根式的混合运算，熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．15．已知两圆内切，半径分别为2厘米和5厘米，那么这两圆的圆心距等于_____厘米．【答案】1【解析】由两圆的半径分别为2和5，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系和两圆位置关系求得圆心距即可．【详解】解：∵两圆的半径分别为2和5，两圆内切，∴d＝R﹣r＝5﹣2＝1cm，故答案为1．【点睛】此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．16．如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠CAB=60°，弦AD平分∠CAB，若AD=6，则AC=_____．【答案】3【解析】首先连接BD，由AB是⊙O的直径，可得∠C=∠D=90°，然后由∠BAC=60°，弦AD平分∠BAC，求得∠BAD的度数，又由AD=6，求得AB的长，继而求得答案．【详解】解：连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠C=∠D=90°，∵∠BAC=60°，弦AD平分∠BAC，∴∠BAD=12∠BAC=30°，∴在Rt△ABD中，AB=ADcos30︒3，∴在Rt△ABC中，3123故答案为23．17．我们知道：1+3=4，1+3+5=9，1+3+5+7=16，…，观察下面的一列数：-1，2,，-3，4，-5，6…，将这些数排列成如图的形式，根据其规律猜想，第20行从左到右第3个数是．【答案】2【解析】先求出19行有多少个数，再加3就等于第20行第三个数是多少．然后根据奇偶性来决定负正．【详解】∵1行1个数，2行3个数，3行5个数，4行7个数，…19行应有2×19-1=37个数∴到第19行一共有1+3+5+7+9+…+37=19×19=1．第20行第3个数的绝对值是1+3=2．又2是偶数，故第20行第3个数是2．18．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=50°，则∠2=_____°．【答案】40【解析】如图，∵∠1=50°，∴∠3=∠1=50°，∴∠2=90°﹣50°=40°，故答案为：40.三、解答题（本题包括8个小题）19．先化简：2222421121x x x x x x x ---÷+--+，然后在不等式2x ≤的非负整数解中选择一个适当的数代入求值. 【答案】21x +；2. 【解析】先将后面的两个式子进行因式分解并约分，然后计算减法，根据题意选择x=0代入化简后的式子即可得出答案.【详解】解：原式=()()()()222121112x x x x x x x ---⋅++-- =()21211x x x x --++ =21x + 2x ≤的非负整数解有：2,1,0,其中当x 取2或1时分母等于0，不符合条件，故x 只能取0∴将x=0代入得：原式=2【点睛】本题考查的是分式的化简求值，注意选择数时一定要考虑化简前的式子是否有意义.20．计算：11|12sin 60(2016)3π-︒︒⎛⎫+-+-- ⎪⎝⎭先化简，再求值：2344111x x x x x ++⎛⎫-+÷ ⎪++⎝⎭，其中2x =．【答案】 (1)1；（2）【解析】（1）分别计算负指数幂、绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值、立方根；（2）先把括号内通分相减，再计算分式的除法，除以一个分式，等于乘它的分子、分母交换位置.【详解】(1)原式1﹣﹣﹣1﹣2=1． （2）原式=[31x +﹣(1)(1)1x x x +-+]•21(2)x x ++ =(2)(2)1x x x -+-+•21(2)x x ++ =22x x -+，当2时，原式-1. 【点睛】本题考查负指数幂、绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值、立方根以及分式的化简求值，解题关键是熟练掌握以上性质和分式的混合运算.21．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°. 操作发现如图1，固定△ABC ，使△DEC 绕点C 旋转．当点D 恰好落在BC 边上时，填空：线段DE 与AC 的位置关系是 ；②设△BDC 的面积为S 1，△AEC 的面积为S 1．则S 1与S 1的数量关系是 ．猜想论证当△DEC 绕点C 旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S 1与S 1的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC 和△AEC 中BC ，CE 边上的高，请你证明小明的猜想．拓展探究已知∠ABC=60°，点D 是其角平分线上一点，BD=CD=4，OE ∥AB 交BC 于点E （如图4），若在射线BA 上存在点F ，使S △DCF =S △BDC ,请直接写出相应的BF 的长【答案】解：（1）①DE ∥AC ．②12S S =．（1）12S S =仍然成立，证明见解析；（3）3或2．【解析】（1）①由旋转可知：AC=DC ，∵∠C=90°，∠B=∠DCE=30°，∴∠DAC=∠CDE=20°．∴△ADC 是等边三角形．∴∠DCA=20°．∴∠DCA=∠CDE=20°．∴DE ∥AC ．②过D 作DN ⊥AC 交AC 于点N ，过E 作EM ⊥AC 交AC 延长线于M ，过C 作CF ⊥AB 交AB 于点F ．由①可知：△ADC 是等边三角形, DE ∥AC ，∴DN=CF,DN=EM ．∴CF=EM ．∵∠C=90°，∠B =30°∴AB=1AC ．又∵AD=AC∴BD=AC ．∵1211S CF BD S AC EM 22=⋅=⋅，。
2024届上海市松江区初三一模数学试卷(含答案)
2024届上海市松江区初三一模数学试卷（满分 150 分，完卷时间 100 分钟）2024.01考生注意：1.本试卷含三个大题，共25题；没有特殊说明，几何题均视为在同一个平面内研究问题.2.答题时，务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效.3.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1.下列函数中，属于二次函数的是（▲）（A ）2y x =−；（B ）2y x =； （C ）221)y x x =−+（； （D ）22y x =． 2.在Rt △ABC 中，已知∠C =90°，∠A =α， BC =a ，那么AB 的长为（▲）（A ）a sin α; （B ）cos aα; （C ）a sin α; （D ）a cos α.3.关于二次函数22(1)y x 的图像，下列说法正确的是（▲）（A ）开口向上；（B ）经过原点；（C ）对称轴右侧的部分是下降的； （D ）顶点坐标是（1，0）．4.下列条件中，不能判定a ∥b 的是（▲）（A ）a ∥c ，b ∥c ，其中0c ≠；（B ）a c =−，2b c =；（C ）2a b =− ；（D ）||3||a b =. 5.如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，斜边BC 上的高AH =3，矩形DEFG 的边DE 在边BC 上，顶点G 、F 分别在边AB 、AC 上，如果GF 正好经过△ABC 的重心，那么BD ·EC 的积等于（ ▲ ） （A ）4;（B ）1;（C ）1625; （D ）925. 6.某同学对“两个相似的四边形”进行探究.四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1是相似的图形，点A 与点A 1、点B 与点B 1、点C 与点C 1、点D 与点D 1分别是对应顶点，已知k B A AB=11.(第5题图)H G F AE CB D该同学得到以下两个结论：①四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1的面积比等于2k ；②四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1的两条对角线的和之比等于k . 对于结论①和②，下列说法正确的是（ ▲ ） （A ）①正确，②错误； （B ）①错误，②正确； （C ）①和②都错误；（D ）①和②都正确.二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.若12y x = ，则y x y =+ ▲ .8.A 、B 两地的实际距离AB =250米,画在地图上的距离A ′B ′=5厘米，那么地图上的距离与实际距离的比是 ▲ .9.某印刷厂一月份印书50万册,如果第一季度从2月份起,每月印书量的增长率都为x ，三月份的印书量为y 万册,写出y 关于x 的函数解析式是 ▲.10.已知点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP ＞BP ，如果AB =5，那么AP = ▲ . 11.在直角坐标平面中，将抛物线2(1)2y x =−++，先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么平移后的抛物线表达式是 ▲ .12.如果一个二次函数图像的顶点在x 轴上，且在y 轴的右侧部分是上升的.请写出一个符合条件的函数解析式： ▲ .13.如图，一辆小车沿着坡度为1: 2.4的斜坡从A 点向上行驶了50米，到达B 点，那么此时该小车上升的高度为 ▲米.14.如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且43AB CD =，若AB m =， AD n =．请用m ，n 来表示AC = ▲ .15.如图，已知直线l 1、l 2、l 3分别交直线m 于点A 、B 、C ，交直线n 于点D 、E 、F ，且l 1∥l 2∥l 3，AB =2BC ，DF =6,那么EF = ▲ .16.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ,点E 是AD 的中点，BE 、CD 的延长线交于点F ，如果AD :BC =2:3,那么:EDF AEB S S △△=▲ .n mA DE B CF（第15题图）l 3l 2 l 1DBA(第18题图)(第14题图)CBAD （第16题图）(第13题图)水平面ABACB15° (第22题图)30°M17.在△ABC 中，AB = AC ，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，BE 与CD 相交于点O ，如果△OBC 是等边三角形，那么tan ∠ABC = ▲ .18.如图，在矩形ABCD 中，AB =2，BC =3，将边AB 绕点A 逆时针旋转，点B 落在B '处，联结BB '、CB '，若90BB C ∠'=︒，则BB '= ▲ . 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19.（本题满分10分）二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图像上部分点的横坐标x 、纵坐标y 的对应值如下表．x … 0 1 2 3 4 … y…3-1?3…（1）由表格信息，求出该二次函数解析式，并写出该二次函数图像的顶点D 的坐标；（2）如果该二次函数图像与y 轴交于点A ，点P （5，t ）是图像上一点，求△P AD 的面积.20.（本题满分10分）如图，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、AC 、BC 上，联结DE 、EF ．已知ED BC ∥，EF AB ∥，AD =3，9DB =．（1）求BFFC的值； （2）若△ABC 的面积为16，求四边形BFED 的面积． 21.（本题满分10分）已知：如图，△ABC 中，AB =15，BC =14， 4sin 5B =，AD ⊥BC 于D . （1）求AC 的长；（2）如果点E 是边AC 的中点，求cot ∠EBC 大小．22.（本题满分10分）如图，A 处有一垂直于地面的标杆AM ，热气球沿着 与AM 的夹角为15°的方向升空，到达B 处，这时 在A 处的正东方向200米的C 处测得B 的仰角为30° （AM 、B 、C 在同一平面内）.求A 、B 之间的距离．（结果精确到1米，2 1.414)≈(第20题图)(第19题图)y xO (第21题图)CA23.（本题满分12分，其中每小题各6分）已知：如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ，∠BDC =∠DEC ． 求证：（1）△ADE ∽△ACD ；（2）AC AEBCCD =22． 24.（本题满分12分，其中第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题5分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(0)y ax bx+c a =+>的图像经过原点O （0, 0）、点A （1，3a ），此抛物线的对称轴与x 轴交于点C ，顶点为B ． （1）求抛物线的对称轴；（2）如果该抛物线与x 轴负半轴的交点为D ，且∠ADC 的正切值为2，求a 的值； （3）将这条抛物线平移，平移后，原抛物线上的点A 、B 分别对应新抛物线上的点E 、P ．联结P A ，如果点P 在y 轴上，P A ∥x 轴，且∠EP A =∠CBO ，求新抛物线的表达式．25.（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题第5分、第(3)题5分）在△ABC 中，AC =BC ．点D 是射线AC 上一点（不与A 、C 重合），点F 在线段BC 上，直线DF 交直线AB 于点E ，2CD CF CB =⋅. （1）如图，如果点D 在AC 的延长线上. ①求证：DE BD =；②联结CE ,如果CE ∥BD ，CE =2，求EF 的长． （2）如果DF :DE =1:2，求：AE :EB 的值．（第23题图）AD BCE (第24题图)yxO DAB C EF（第25题图）（第25题备用图）BCA参考答案一、选择题（本大题共 6 题，每题4 分，满分24 分） 1．B 2. A 3. C 4. D 5. B 6. D二、填空题（本大题共 12 题，每题4 分，满分48 分）7.13； 8.1:5000； 9. 250(1)y x =+； 10.5552−； 11. 2(2)y x =−+； 12. 2=y x （答案不唯一）； 13. 2501314. 34+m n ； 15. 2； 16. 12；17.33 ； 18.125.三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．解：（1）∵图像过（0,3）、（4,3）∴该二次函数图像的对称轴为直线x =2, ∴顶点坐标为D （2，-1），设该二次函数的解析式为2(2)1y a x =−−， ∵当x =1时，y =0，∴0=a -1，得a =1.∴二次函数的解析式为2(2)1y x =−−，顶点D 的坐标为（2，-1）. (2)当x =5时，y =8, ∴点P （5,8）, 当当x =0时，y =3，∴A （0,3）分别过点P ,D 作y 轴的垂线，垂足分别为点B 、点C ，则16325922PBCD S =+⨯=梯形（）12442ACD S =⨯⨯=△;1255522ABP S =⨯⨯=△∴6325415.22APD S =−−=△ 20．解：（1）∵DE ∥BC ,∴=AD AEBD EC∵AD =3,BD =9,∴31.93==AE EC ∵EF ∥AB , ∴1.3AE BF EC FC ==（2）∵DE ∥BC ，∴ADE ABC△∽△∴2()ADE ABC S AD S AB=△△， ∵△ABC S =16，∴21().164ADE S =△ 1.ADE S =△ (第19题图)yxO DPAB C(第20题图)同理可得23().164EFC S =△∴9.EFC S =△∴1619 6.BFED S =−−=21．解：(1)∵AD ⊥BC, AB =15，4sin 5B =，∴AD =15sin B=12. ∴BD =9， ∵BC =14，∴CD =5 ∴AC =13(2)联结BE ,过点E 作EH ⊥BC ，垂足为H ∵ E 为AC 的中点 EH ∥AD ，∴.EH EC CH ADACCD==∴ EH =6, CH =DH =2.5，∴BH =11.5∴ cot ∠EBC =11.523.612==BH EH 22（本题满分10分）解：过点A 作AH ⊥BC ，垂足为H .∵ ∠C =30°，AC =200，∴ AH =12AC =100∵AM ⊥AC ，∠BAM =15°∴ ∠BAC =105°, ∠ABC =45° ∴AB =°1002141sin 45AH =≈米答：A 、B 之间的距离约为141米.23.证明：（1）∵∠BDC =∠DEC ∴∠ADC =∠AED ∵∠A =∠A ∴△ADE ∽△ACD (2)∵DE ∥BC ∴∠EDC =∠DCB ∵∠BDC =∠DEC ∴△BDC ∽△CED∴22=△△CDE BDC S CD S BC ∵DE ∥BC ∴=△△CDE BDC S DE S BC , =DE AE BC AC ∴ 22=CD AEBC AC24.解（1）∵抛物线2(0)y ax bx+c a =+>的图像经过原点O （0, 0）、点A （1，3a ），CB AD EH ACB15° (第22题图)30°MH（第23题图）AD BCE∴3⎧⎨++=⎩c =0a b c a∴2=⎧⎨⎩b a c =0∴抛物线的表达式22=+y ax ax ∵2122−=−=−b a a a∴抛物线的对称轴是：直线x =-1 （2）∵O （0, 0）对称轴是直线x =-1 ∴D （-2,0）过点A 作AH ⊥x 轴，垂足为H ，则AH =3a ，DH =3∴t a n ∠ADC =323==AH a DH∴ a =2（3）过点E 作EF ⊥P A ，垂足为F 当x =-1时，y =-a ，∴B （-1，-a ） ∵P A ∥x 轴 ∴P （0,3a ）点B 到P 向右平移1个单位向上平移4a 个单位， ∴ PF =2,EF =4a ∵tan ∠CBO =1=OC BC a tan ∠EP A =422==EF aaPF ∵∠EPA =∠CBO ∴12,=a a2=a∴新抛物线的表达式是222=+y x 25．（1）①∵2CD CF CB =⋅ ∴=CF CDCD CB又∵∠DCB =∠FCD ∴△DCB ∽△FCD题图))DABCEF（第25题图）∴∠DBC =∠FDC ∵AC =BC ，∴∠A =∠CBA∠DEB =∠A +∠EDA ∠DBA =∠CBA +∠DBC ∴∠DEB = ∠DBA ∴DE =BD（1）②∵CE ∥DB ∴∠BDF =∠DEC 又∵DB =DE ,∠DBF =∠EDC ∴△DBF ≌△EDC∴CE =DF =2 DE =DB =2+EF∵=CE EF BD DF ∴222=+EFEF EF1 （EF=1舍去） （2）1º当点D 在AC 延长线上时过点D 作DH ∥AB 交BC 的延长线于点H∵DH ∥AB DF :DE =1:2 ∴DH =EB ∠H =∠HBA =∠A 又∵∠DBH =∠EDA BD =DE ∴△BHD ≌△DAE ∴DH =AE =EB AE :EB =1 2º当点D 在边AC 上时过点D 作DG ∥AB 交BC 于点G同理△DCB ∽△FCD ∴∠DBC =∠FDC =∠EDA ∵∠CBA =∠CAB =∠E +∠EDA ∴∠E =∠DBA =∠GDB ∴DE =DB △BGD ≌△DAE ∴DG =AE又∵DF :DE =1:2，13==DG DF BE EF ∴AE :EB=13DABCE F（第25（2）题图）H（第25题备用图）BCADFEG。
2021-2022学年上海市松江区九年级上学期期末数学试卷(一模)(含答案解析)
2021-2022学年上海市松江区九年级上学期期末数学试卷(一模)一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.如图，△ABC与△AEF中，AB=AE，BC=EF，∠B=∠E，AB交EF于D.给出下列结论：①∠C=∠E；②△ADE∽△FDB；③∠AFE=∠AFC；④FD=FB．其中正确的结论是()A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④2.如图，在△ABC中，∠A=90°.若AB=12，AC=5，则cosC的值为()A. 513B. 1213C. 512D. 1253.把抛物线y=2x2先向左平移4个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的函数表达式为()A. y=2(x+4)2+3B. y=2(x+4)2−3C. y=2(x−4)2−3D. y=2(x−4)2+34.如图，AB//CD，EC⊥CD于C，CF交AB于B，已知∠2=29°，则∠1的度数是()A. 58°B. 59°C. 61°D. 62°5.如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比i=1：√3，则∠BAC是()A. 60°B. 55°C. 45°D. 30°6.如图所示，在Rt△ABC中，∠A=30°，点D是斜边AB的中点，点G是Rt△ABC的重心，GE⊥AC于点E，若BC=6cm，则GE=()cm．A. 2B. 3C.D.二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.已知：xy =23，那么2x−yx+y=______．8.点P为线段AB的黄金分割点(AP>BP)，若AB=4，则线段AP的长为_________ ．9.已知：锐角α满足sinα=√22，则α=．10.如图，在直角坐标系中，将矩形沿对折，使点落在处，已知，，则点的坐标是．11.一个物体重100N，物体对地面的压强P(单位：Pa)随物体与地面的接触面积S(单位：m2)变化而变化的函数关系式是______．12.若A(−3,y1)，B(−√2,y2)，C(2,y3)为二次函数y=x2+2x−5图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是______．13.如图，直线AB//CD//EF，若AC=3，CE=4，则BDBF的值是______ ．14.如图，四边形BDCE内接于以BC为直径的⊙A，已知：BC=10，cos∠BCD=3，∠BCE=30°，则线段DE的长是______．515.把边长分别为1和2的两个正方形按如图所示的方式放置，则图中阴影部分的面积是______．16.如图，直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，AD=3.将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至DE，连接AE、CE，△ADE的面积为6，则BC的长为______．17.如图，正方形OABC的顶点B在抛物线y=x2的第一象限部分，若B点的横坐标与纵坐标之和等于6，则正方形OABC的面积为______．AC，18.如图，在△ABC中，AB=AC=6√3，∠BAC=120°，点M，N分别在边AB，AC上，AN=13将△AMN沿MN翻折，点A落在A′处，则线段BA′长度的最小值为______ ．三、计算题（本大题共2小题，共20.0分）19.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，点E是边BC的中点．(1)求证：；(2)判断DE与⊙O位置关系，并说明理由．20. 如图，小河对岸有一座通讯信号塔AB，在点D处测得信号塔顶端A的仰角是48°，沿着射线BD方向走9米到达C处，在C处测得信号塔顶端A的仰角是39°，点A，B，C，D，E，F在同一平面内.若测角仪的高度为1.2米，求信号塔AB的高度(结果取整数)．参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11．四、解答题（本大题共5小题，共58.0分）21. 如图，抛物线y=a(x−1)(x+3)交x轴于A、B两点，交y轴于点C，∠BAC=45°．(1)求a的值；(2)点D为第三象限内抛物线上的一点，当△DAC的面积为3时，求D点的坐标．22. 如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B，与y轴交于(k≠0)的图象在第二象限交于点C，点A，与反比例函数y=kxCE⊥x轴，垂足为点E，sin∠ABO=√5，OB=2，OE=1．5(1)求反比例函数的解析式；(2)若点D是反比例函数图象在第四象限上的点，过点D作DF⊥y轴，垂足为点F，连接OD、BF，如果S△BAF=4S△DFO，求点D的坐标．23. 学校校园内有一块形状为直角梯形的空地ABCD，其中AB//DC，∠B=90°，AB=100m，BC=80m，CD=40m，现计划在上面建设一个面积为S的矩形综合楼PMBN，其中点P在线段AD上，且PM的长至少为36m(1)求边AD的长；(2)设PA=xm，求S关于X的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；(3)若S=2800m2，求PA的长；(4)当x的值为多少时，s的值最大，最大值为多少？(5)求tan A．224. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=mx2−3(m−1)x+2m−1(m≠0)．(1)当m=3时，求抛物线的顶点坐标；(2)已知点A(1,2).试说明抛物线总经过点A；(3)已知点B(0,2)，将点B向右平移3个单位长度，得到点C，若抛物线与线段BC只有一个公共点，求m的取值范围．25. 阅读下面材料，完成(1)−(3)题．数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，在△ABC中，BA=BC，AB=kAC.点F在AC上，点E在BF上，BE=2EF.点D在BC延长线上，连接AD、AE，∠ACD+∠DAE=180°.探究线段AD与AE的数量关系并证明．同学们经过思考后，交流了自己的想法：小明：“通过观察和度量，发现∠CAD与∠EAB相等.”小亮：“通过观察和度量，发现∠FAE与∠D也相等.”小伟：“通过边角关系构造辅助线，经过进一步推理，可以得到线段AD与AE的数量关系.”…老师：“保留原题条件，延长图1中的AE，与BC相交于点H(如图2)，若知道DH与AH的数量关系，可以求出AB的值.”CH(1)求证：∠CAD=∠EAB；(2)求ADAE的值(用含k的式子表示)；(3)如图2，若DH=32AH，则ABCH的值为______ (用含k的式子表示)．参考答案及解析1.答案：B解析：解：在△ABC与△AEF中，{AB=AE ∠B=∠E BC=EF，∴△AEF≌△ABC，∴AF=AC，∠AFE=∠C∴∠AFC=∠C，∴∠AFE=∠AFC；由∠B=∠E，∠ADE=∠FDB，可知△ADE∽△FDB；无法得到∠C=∠E；FD=FB．综上可知：②③正确．故选：B．先根据已知条件证明△AEF≌△ABC，从中找出对应角或对应边．然后根据角之间的关系找相似，即可解答．本题考查相似三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考常考题型．2.答案：A解析：解：根据勾股定理得，BC=√AC2+AB2=√52+122=13，所以，cosC=ACBC =513．故选：A．利用勾股定理列式求出BC，再根据锐角的余弦等于邻边比斜边解答．本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．3.答案：B解析：解：把抛物线y=2x2先向左平移4个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线的解析式是y= 2(x+4)2−3，故选：B．根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．本题主要考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．4.答案：C解析：解：延长DC到F，∵EC⊥CD，∴∠DCE=90°，∵∠2=29°，∴∠3=61°，∵AB//CD，∴∠1=∠3=61°，故选：C．得到∠DCE=90°，根据余角的性质得到∠3=61°，根据平行线的性质即可得到结论．本题考查了平行线的性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．5.答案：D解析：解：∵河堤横断面迎水坡AB的坡比i=1：√3，∴tan∠BAC=BCAC =1√3=√33，∴∠BAC=30°．故选：D．直接利用锐角三角函数关系得出tan∠BAC=BCAC，进而得出答案．此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握坡比的定义是解题关键．6.答案：A解析：7.答案：15解析：直接利用已知用同一未知数表示出x，y，进而代入原式求出答案．此题主要考查了比例的性质，掌握表示出x，y是解题关键．解：∵x y=23，∴设x=2a，y=3a，∴2x−yx+y =4a−3a2a+3a=15．故答案为：15．8.答案：−1解析：解析：试题分析：解：如果一点为线段的黄金分割点，那么被分割的较短的边比较大的边等于较大的边比上这一线段的长=≈0.618.∵AB=2，AP﹥BP，∴AP:AB=×2=−1．考点：黄金分割的定义。
上海松江区中考一模数学考试卷(解析版)(初三)中考模拟.doc
上海松江区中考一模数学考试卷（解析版）（初三）中考模拟姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题评卷人得分（每空xx 分，共xx分）【题文】已知在Rt△ABC中，∠C=90°，如果BC=2，∠A=α，则AC的长为（）A．2sinα B．2cosα C．2tanα D．2cotα【答案】D【解析】试题分析：根据锐角三角函数的定义得出cotA=，代入求出即可．∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴cotA=，∵BC=2，∠A=α，∴AC=2cotα，故选D．考点：锐角三角函数的定义．【题文】下列抛物线中，过原点的抛物线是（）A．y=x2﹣1 B．y=（x+1）2 C．y=x2+x D．y=x2﹣x﹣1【答案】C．【解析】试题分析：A、y=x2﹣1中，当x=0时，y=﹣1，不过原点；B、y=（x+1）2中，当x=0时，y=1，不过原点；C、y=x2+x中，当x=0时，y=0，过原点；D、y=x2﹣x﹣1中，当x=0时，y=﹣1，不过原点；故选：C．考点：二次函数图象上点的坐标特征．【题文】小明身高1.5米，在操场的影长为2米，同时测得教学大楼在操场的影长为60米，则教学大楼的高度应为（）A．45米 B．40米 C．90米 D．80米【答案】A．【解析】试题分析：∵在相同时刻，物高与影长组成的直角三角形相似，∴1.5：2=教学大楼的高度：60，解得教学大楼的高度为45米．故选A．考点：相似三角形的应用．【题文】已知非零向量，，，下列条件中，不能判定∥的是（）A．∥∥ B． C． =－2 D． =2，=【答案】B．【解析】试题分析：A、∥∥则、都与平行，三个向量都互相平行，故本选项错误；B、表示两个向量的模的数量关系，方向不一定相同，故不一定平行，故本选项正确；C、 =－2，说明两个向量方向相反，互相平行，故本选项错误；D、 =2，=则、都与平行，三个向量都互相平行，故本选项错误；故选：B．考点：平面向量．【题文】如图，在▱ABCD中，点E是边BA延长线上的一点，CE交AD于点F．下列各式中，错误的是（）A． B． C．D．【答案】C．【解析】试题分析：∵AD∥BC∴，故A正确；∵CD∥BE，AB=CD，∴△CDF∽△EBC∴，故B正确；∵AD∥BC，∴△AEF∽△EBC∴，故D正确．∴C错误．故选C．考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【题文】如图，已知在△ABC中，cosA=，BE、CF分别是AC、AB边上的高，联结EF，那么△AEF和△ABC 的周长比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9【答案】B．【解析】试题分析：∵BE、CF分别是AC、AB边上的高，∴∠AEB=∠AFC=90°，∵∠A=∠A，∴△AEB∽△AFC，∴=，∴=，∵∠A=∠A，∴△AEF∽△ABC，∴△AEF与△ABC的周长比=AE：AB，∵cosA==，∴∴△AEF与△ABC的周长比=AE：AB=1：3，故选B．考点：相似三角形的判定与性质．【题文】已知，则的值为．【答案】．【解析】试题分析：用a表示出b，然后代入比例式进行计算．∵，∴b=a，∴==．故答案为：．考点：比例的性质．【题文】计算：（﹣3）﹣（+2）=．【答案】．【解析】试题分析：根据平面向量的加法计算法则和向量数乘的结合律进行计算．本题考查了平面向量，熟记计算法则即可解题，属于基础题型．（﹣3）﹣（+2）=﹣3﹣﹣×2）=．故答案是：．考点：平面向量．【题文】已知抛物线y=（k﹣1）x2+3x的开口向下，那么k的取值范围是．【答案】k＜1．【解析】试题分析：由开口向下可得到关于k的不等式，可求得k的取值范围．∵y=（k﹣1）x2+3x的开口向下，∴k﹣1＜0，解得k＜1，故答案为：k＜1．考点：二次函数的性质．【题文】把抛物线y=x2向右平移4个单位，所得抛物线的解析式为．【答案】y=（x﹣4）2．【解析】试题分析：直接根据“左加右减”的原则进行解答即可，将y=x2向右平移4个单位，所得函数解析式为：y=（x﹣4）2．故答案为：y=（x﹣4）2．考点：二次函数图象与几何变换．【题文】已知在△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，则AB的长是．【答案】8．【解析】试题分析：利用锐角三角函数定义求出所求即可，∵在△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，∴sinA=，即=，解得：AB=8．考点：解直角三角形．【题文】如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1、l2于点A、C、E和点B、D、F，如果AC：CE=3：5，BF=9，那么DF=．【答案】．【解析】试题分析：根据平行线分线段成比例定理即可得到结论，∵AC：CE=3：5，∴AC：AE=3：8，∵AB∥CD∥EF，∴，∴BD=，∴DF=，考点：平行线分线段成比例．【题文】已知点A（2，y1）、B（5，y2）在抛物线y=﹣x2+1上，那么y1 y2．（填“＞”、“=”或“＜”）【答案】＞【解析】试题分析：分别计算自变量为2、5时的函数值，然后比较函数值的大小即可，当x=2时，y1=﹣x2+1=﹣3；当x=5时，y2=﹣x2+1=﹣24；∵﹣3＞﹣24，∴y1＞y2．考点：二次函数图象上点的坐标特征．【题文】已知抛物线y=ax2+bx+c过（﹣1，1）和（5，1）两点，那么该抛物线的对称轴是直线．【答案】x=2．【解析】试题分析：根据函数值相等的点到对称轴的距离相等可求得答案，∵抛物线y=ax2+bx+c过（﹣1，1）和（5，1）两点，∴对称轴为x==2，考点：二次函数的性质．【题文】在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，AD⊥BC，垂足为D，BE是△ABC 的中线，AD与BE相交于点G，那么AG的长为．【答案】2．【解析】试题分析：先根据等腰三角形的性质和勾股定理求出AD，再判断点G为△ABC的重心，然后根据三角形重心的性质来求AG的长，∵在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∴AD==3，∵中线BE与高AD相交于点G，∴点G为△ABC的重心，∴AG=3×=2．考点：三角形的重心；等腰三角形的性质；勾股定理．【题文】在一个距离地面5米高的平台上测得一旗杆底部的俯角为30°，旗杆顶部的仰角为45°，则该旗杆的高度为米．（结果保留根号）【答案】5+5．【解析】试题分析：作CF⊥AB于点F．根据题意可得：在△FBC中，有BF=CE=5米．在△AFC中，有AF=FC×tan30°=5米．则AB=AF+BF=5+5米考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【题文】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为．【答案】．【解析】试题分析：设CE=x，连接AE，由线段垂直平分线的性质可知AE=BE=BC+CE，在Rt△ACE中，利用勾股定理即可求出CE的长度，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AE=BE=BC+CE=3+x，∴在Rt△ACE中，AE2=AC2+CE2，即（3+x）2=42+x2，解得x=．考点：线段垂直平分线的性质．【题文】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=9，cosB=，把△ABC绕着点C旋转，使点B与AB边上的点D重合，点A落在点E，则点A、E之间的距离为．【答案】4．【解析】试题分析：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AB=9，cosB=，∴BC=AB•cosB=9×=6，AC==3．∵把△ABC绕着点C旋转，使点B与AB边上的点D重合，点A落在点E，∴△ABC≌△EDC，BC=DC=6，AC=EC=3，∠BCD=∠ACE，∴∠B=∠CAE．作CM⊥BD于M，作CN⊥AE于N，则∠BCM=∠BCD，∠ACN=∠ACE，∴∠BCM=∠ACN．∵在△ANC中，∠ANC=90°，AC=3，cos∠CAN=cosB=，∴AN=AC•cos∠CAN=3×=2，∴AE=2AN=4．考点：旋转的性质；解直角三角形．【题文】计算：．【答案】．【解析】试题分析：直接将特殊角的三角函数值代入求出答案．试题解析：原式====．【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．【题文】如图，已知点D是△ABC的边BC上一点，且BD=CD，设=， =．（1）求向量（用向量、表示）；（2）求作向量在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）【答案】略【解析】试题分析：（1）在△ABD中，利用平面向量的三角形加法则进行计算；（2）根据向量加法的平行四边形法则，过向量的起点作BC的平行线，即可得出向量向量在、方向上的分向量．试题解析：（1）∵，∴∵，∴∵，且∴；（2）解：如图，所以，向量、即为所求的分向量．【考点】*平面向量．【题文】如图，已知AC∥BD，AB和CD相交于点E，AC=6，BD=4，F是BC上一点，S△BEF：S△EFC=2：3．（1）求EF的长；（2）如果△BEF的面积为4，求△ABC的面积．【答案】（1）；（2）25．【解析】试题分析：（1）先根据S△BEF：S△EFC=2：3得出CF：BF的值，再由平行线分线段成比例定理即可得出结论；（2）先根据AC∥BD，EF∥BD得出EF∥AC，故△BEF∽△ABC，再由相似三角形的性质即可得出结论．试题解析：（1）∵AC∥BD，∴∵AC=6，BD=4，∴∵△BEF和△CEF同高，且S△BEF：S△CEF=2：3，∴，∴．∴EF∥BD，∴，∴，∴（2）∵AC∥BD，EF∥BD，∴EF∥AC，∴△BEF∽△ABC，∴．∵，∴．∵S△BEF=4，∴，∴S△ABC=25．【考点】相似三角形的判定与性质．【题文】某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯AC，截面如图所示，一楼和二楼地面平行（即AB 所在的直线与CD平行），层高AD为8米，∠ACD=20°，为使得顾客乘坐自动扶梯时不至于碰头，A、B之间必须达到一定的距离．（1）要使身高2.26米的姚明乘坐自动扶梯时不碰头，那么A、B之间的距离至少要多少米？（精确到0.1米）（2）如果自动扶梯改为由AE、EF、FC三段组成（如图中虚线所示），中间段EF为平台（即EF∥DC），AE 段和FC段的坡度i=1：2，求平台EF的长度．（精确到0.1米）（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）【答案】（1）6.3；（2）6.2【解析】试题分析：（1）连接AB，作BG⊥AB交AC于点G，在Rt△ABG中，利用已知条件求出AB的长即可；（2）设直线EF交AD于点P，作CQ⊥EF于点Q，设AP=x，则PE=2x，PD=8﹣x，在Rt△ACD中利用已知数据可求出CD的长，进而可求出台EF的长度．试题解析：（1）连接AB，作BG⊥AB交AC于点G，则∠ABG=90°∵AB∥CD，∴∠BAG=∠ACD=20°，在Rt△ABG中，，∵BG=2.26，tan20°≈0.36，∴，∴AB≈6.3，答：A、B之间的距离至少要6.3米．（2）设直线EF交AD于点P，作CQ⊥EF于点Q，∵AE和FC的坡度为1：2，∴，设AP=x，则PE=2x，PD=8﹣x，∵EF∥DC，∴CQ=PD=8﹣x，∴FQ=2（8﹣x）=16﹣2x，在Rt△ACD中，，∵AD=8，∠ACD=20°，∴CD≈22.22∵PE+EF+FQ=CD，∴2x+EF+16﹣2x=22.22，∴EF=6.22≈6.2答：平台EF的长度约为6.2米．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【题文】如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是斜边AB上的中点，E是边BC上的点，AE与CD交于点F，且AC2=CE•CB．（1）求证：AE⊥CD；（2）连接BF，如果点E是BC中点，求证：∠EBF=∠EAB．【答案】略【解析】试题分析：（1）先根据题意得出△ACB∽△ECA，再由直角三角形的性质得出CD=AD，由∠CAD+∠ABC=90°可得出∠ACD+∠EAC=90°，进而可得出∠AFC=90°；（2）根据AE⊥CD可得出∠EFC=90°，∠ACE=∠EFC，故可得出△ECF∽△EAC，再由点E是BC的中点可知CE=BE，故，根据∠BEF=∠AEB得出△BEF∽△AEB，进而可得出结论．试题解析：（1）∵AC2=CE•CB，∴．又∵∠ACB=∠ECA=90°∴△ACB∽△ECA，∴∠ABC=∠EAC．∵点D是AB的中点，∴CD=AD，∴∠ACD=∠CAD∵∠CAD+∠ABC=90°，∴∠ACD+∠EAC=90°∴∠AFC=90°，∴AE⊥CD（2）∵AE⊥CD，∴∠EFC=90°，∴∠ACE=∠EFC又∵∠AEC=∠CEF，∴△ECF∽△EAC∴∵点E是BC的中点，∴CE=BE，∴∵∠BEF=∠AEB，∴△BEF∽△AEB∴∠EBF=∠EAB．【考点】相似三角形的判定与性质．【题文】如图，抛物线y=﹣x2+bx+c过点B（3，0），C（0，3），D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）点C关于抛物线y=﹣x2+bx+c对称轴的对称点为E点，联结BC，BE，求∠CBE的正切值；（3）点M是抛物线对称轴上一点，且△DMB和△BCE相似，求点M坐标．【答案】（1）y=﹣x2+2x+3，（1，4）；（2）；（3）（1，）或（1，﹣2）．【解析】试题分析：（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式，根据二次函数的性质解答即可；（2）过点E作EH⊥BC于点H，根据轴对称的性质求出点E的坐标，根据三角形的面积公式求出EH、BH，根据正切的定义计算即可；（3）分和两种情况，计算即可．试题解析：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B（3，0）和点C（0，3）∴，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3，y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线顶点D的坐标为（1，4），（2）由（1）可知抛物线对称轴为直线x=1，∵点E与点C（0，3）关于直线x=1对称，∴点E（2，3），过点E作EH⊥BC于点H，∵OC=OB=3，∴BC=，∵，CE=2，∴，解得EH=，∵∠ECH=∠CBO=45°，∴CH=EH=，∴BH=2，∴在Rt△BEH中，；（3）当点M在点D的下方时设M（1，m），对称轴交x轴于点P，则P（1，0），∴BP=2，DP=4，∴，∵，∠CBE、∠BDP均为锐角，∴∠CBE=∠BDP，∵△DMB与△BEC相似，∴或，①，∵DM=4﹣m，，，∴，解得，，∴点M（1，）②，则，解得m=﹣2，∴点M（1，﹣2），当点M在点D的上方时，根据题意知点M不存在．综上所述，点M的坐标为（1，）或（1，﹣2）．【考点】二次函数综合题．【题文】如图，已知四边形ABCD是矩形，cot∠ADB=，AB=16．点E在射线BC上，点F在线段BD上，且∠DEF=∠ADB．（1）求线段BD的长；（2）设BE=x，△DEF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出函数定义域；（3）当△DEF为等腰三角形时，求线段BE的长．【答案】（1）20；（2），定义域为0＜x≤24；（3）20或24或．【解析】试题分析：（1）由矩形的性质和三角函数定义求出AD，由勾股定理求出BD即可；（2）证明△EDF∽△BDE，得出，求出CE=|x﹣12|，由勾股定理求出DE，即可得出结果；（3）当△DEF是等腰三角形时，△BDE也是等腰三角形，分情况讨论：①当BE=BD时；②当DE=DB时；③当EB=ED时；分别求出BE即可．试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，在Rt△BAD中，，AB=16，∴AD=12∴；（2）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵∠DEF=∠ADB，∴∠DEF=∠DBC，∵∠EDF=∠BDE，∴△EDF∽△BDE，∴，∵BC=AD=12，BE=x，∴CE=|x﹣12|，∵CD=AB=16∴在Rt△CDE中，，∵，∴，∴，定义域为0＜x≤24（3）∵△EDF∽△BDE，∴当△DEF是等腰三角形时，△BDE也是等腰三角形，①当BE=BD时∵BD=20，∴BE=20②当DE=DB时，∵DC⊥BE，∴BC=CE=12，∴BE=24；③当EB=ED时，作EH⊥BD于H，则BH=，cos∠HBE=cos∠ADB，即∴，解得：BE=；综上所述，当△DEF时等腰三角形时，线段BE的长为20或24或．【考点】四边形综合题．。
上海市松江区2020-2021学年九年级上学期期末数学试卷(中考一模)带讲解
【分析】先利用配方法把一般式化成顶点式，再利用二次函数的性质得到图像的开口方向、对称轴和顶点坐标．
【详解】解：y=3x -6x+5=3（x -2x+1）+2=3（x-1） +2，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，顶点P（1，2）．
【点睛】本题考查的是二次函数三种形式的转化、二次函数的性质，掌握配方法、二次函数的性质是解题的关键．
18.如图，已知矩形纸片ABCD，点E在边AB上，且 ，将 沿直线CE翻折，使点B落在对角线AC上的点F处，联结DF，如果点D,F,E在同一直线上，则线段AE的长为____．
【答案】
【分析】设 ，根据折叠的性质和矩形的性质得到 ，证明 ，利用对应边成比例列式求出AE的长．
【详解】解：设 ，则 ，
∵折叠，
【分析】首先表示出原边长为2厘米的正方形面积，再表示出边长增加x厘米后正方形的面积，再根据面积随之增加y平方厘米可列出方程．
【详解】解：原边长为2厘米的正方形面积为：2×2＝4（平方厘米），
边长增加x厘米后边长变为：x＋2，
则面积为：（x＋2）2平方厘米，
∴y＝（x＋2）2−4＝x2＋4x．
故答案为：y＝x2＋4x．
【详解】∵ 在边长为1个单位的方格纸中， 的顶点在小正方形顶点位置，
∴AB= = ，BC= ，AC= ，
∵（ ）2+（ ）2=（ ）2，
∴∠ACB=90°，
∴sin∠ABC= = = ，
故答案为：
【点睛】本题考查网格的特征、勾股定理及正弦的定义，在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边与斜边的比；熟练掌握三角函数的定义是解题关键．
5.如图，一艘船从A处向北偏东30°的方向行驶10千米到B处，再从B处向正西方向行驶20千米到C处，这时这艘船与A的距离（）
2021年上海市中考数学第一次模拟试卷
2021年上海市中考数学第一次模拟试卷一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）1．（4分）下列各式与2是同类二次根式的是()A．18B．3C．5D．62．（4分）用换元法解方程2231712x xx x-+=-，设21xyx=-，那么换元后，方程可化为整式方程正确的是()A．1732yy+=B．22720y y-+=C．23710y y-+=D．26720y y-+=3．（4分）体育老师对八年级（2）班学生“你最喜欢的体育项目是什么？（只写一项）”的问题进行了调查，把所得数据绘制成如图所示的折线统计图．由图可知，最喜欢篮球的学生的频率是()A．16%B．24%C．30%D．40%4．（4分）已知反比例函数的图象经过点(1,3)，则这个反比例函数的表达式为()A．3yx=-B．3yx=C．13yx=D．13yx=-5．（4分）下列命题中正确的是()A．无限小数是无理数B．无限小数不是有理数C．数轴的点与有理数一一对应D．数轴上的点与实数一一对应6．（4分）如图，将线段AB平移到线段CD的位置，则a b+的值为()A ．4B ．0C ．3D ．5-二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分） 7．（4分）计算：232ab a b = ． 8．（4分）如果1()1f x x =-，那么(2)f = ． 9．（4分）如果函数(0)y kx k =≠的图象经过第二、四象限，那么y 的值随x 的值增大而 ．（填“增大”或“减小” )10．（4分）若关于x 的一元二次方程2240ax ax m ++-=有两个相等的实数根，则3a m +-的值为 ．11．（4分）在一个不透明的袋子中只装有n 个白球和4个红球，这些球除颜色外其他均相同．如果从袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率是13，那么n 的值为 ．12．（4分）将抛物线22(3)4y x =++先向右平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为 ．13．（4分）为了了解某区七年级学生的视力情况，随机抽取了该区500名七年级学生进行调查．整理样本数据，得到下表：视力 4.7以下 4.7 4.8 4.9 4.9以上 人数102988093127根据抽样调查结果，估计该区12000名七年级学生视力低于4.8的约有 ．14．（4分）如图，利用镜子M 的反射（入射角等于反射角），来测量旗杆CD 的长度，在镜子上作一个标记，观测者AB 看着镜子来回移动，直到看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记相重合，若观测者AB 的身高为1.6m ，量得:2:11BM DM =，则旗杆的高度为 m ．15．（4分）已知平行四边形ABCD ，E 是边AB 的中点．设AB a =，BC b =，那么DE = ．（结果用a 、b 表示）． 16．（4分）A ，B 两地相距100千米，甲、乙两人骑车同时分别从A ，B 两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A 地的距离S （千米）都是骑车时间t （时)的一次函数．如图，直线1l 、2l 分别表示甲、乙骑车S 与t 之间关系的图象．结合图象提供的信息，经过 小时两人相遇．17．（4分）平行四边形ABCD 中，4AB =，3BC =，60B ∠=︒，AE 为BC 边上的高，将ABE ∆沿AE 所在直线翻折后得AFE ∆，那么AFE ∆与四边形AECD 重叠部分的面积是 ． 18．（4分）如图，矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，E 是边BC 的中点，点P 在边AD 上，设DP x =，若以点D 为圆心，DP 为半径的D 与线段AE 只有一个公共点，则所有满足条件的x 的取值范围是 ．三．解答题（共7小题，满分78分） 19．（10分）计算： （1）2101(2)()(32)2--+---（2）2232()()a a a ---20．（10分）解一元一次不等式组5532123x x x x +-⎧⎨->⎩，并写出它的整数解21．（10分）如图，四边形ABCD 中，//AD BC ，90A ∠=︒，CD CB =，过点C 作DCB ∠的平分线CE 交AB 于点E ，连接DE ，过点D 作//DF AB ，且交CE 于F 点，连接BF ． （1）求证：四边形DEBF 是菱形；（2）若5AB =，13BC =，求tan AED ∠的值．22．（10分）某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每提高1元，每天就减少售出2件，但要求销售单价不得超过65元． （1）若销售单价为每件60元，求每天的销售利润；（2）要使每天销售这种工艺品盈利1350元，那么每件工艺品售价应为多少元？23．（12分）如图，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，M 为AD 的中点，连接BM ，交AC 于E ，在CB 上取一点F ，使得CF AE =，连接AF ，交BM 于G ，连接CG ．（1）求BGF ∠的度数； （2）求AGBG的值； （3）求证：BG CG ⊥．24．（12分）如图，直线23y x c =-+与x 轴交于点(3,0)A ，与y 轴交于点B ，抛物线243y x bx c =-++经过点A ，B ．（1）求点B 的坐标和抛物线的解析式；（2）(,0)M m 为线段OA 上一个动点，过点M 垂直于x 轴的直线与直线AB 和抛物线分别交于点P、N．①试用含m的代数式表示线段PN的长；②求线段PN的最大值．25．（14分）如图，O是ABC=，延长AC到点D，使得CD CB=，∆的外接圆，AB BC连接BD交O于点E，过点E做BC的平行线交CD于点F．（1）求证：AE DE=．（2）求证：EF为O的切线；（3）若5BE=，求弦AC的长．AB=，32021年上海市中考数学第一次模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）1．（4( )A B CD【分析】根据二次根式的性质把不是最简二次根式的进行化简，根据同类二次根式的概念判断即可．【解答】解：ABC 不是同类二次根式；D 不是同类二次根式；故选：A ．【点评】本题考查的是同类二次根式的概念，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．2．（4分）用换元法解方程2231712x x x x -+=-，设21x y x =-，那么换元后，方程可化为整式方程正确的是( ) A ．1732y y += B ．22720y y -+= C ．23710y y -+= D ．26720y y -+=【分析】先根据已知进行换元，再进行变形，即可得出答案．【解答】解：2231712x x x x -+=-，设21x y x =-， 则原方程化为172y y +=，即22720y y -+=， 故选：B ．【点评】本题考查了用换元法进行分式方程，能够正确换元是解此题的关键．3．（4分）体育老师对八年级（2）班学生“你最喜欢的体育项目是什么？（只写一项）”的问题进行了调查，把所得数据绘制成如图所示的折线统计图．由图可知，最喜欢篮球的学生的频率是( )A ．16%B ．24%C ．30%D ．40%【分析】从图中可知总人数为50人，其中最喜欢篮球的有20人，根据频率的计算公式进行计算即可．【解答】解：读图可知： 共有(4126208)50++++=人， 其中最喜欢篮球的有20人，故频率最喜欢篮球的频率20500.4=÷=． 故选：D ．【点评】本题考查读频数分布折线图和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，同时考查频率、频数的关系．4．（4分）已知反比例函数的图象经过点(1,3)，则这个反比例函数的表达式为( ) A ．3y x=-B ．3y x=C ．13y x=D ．13y x=-【分析】只需把已知点的坐标代入，即可求得函数解析式． 【解答】解：设该反比例函数的解析式为：(0)ky k x=≠．把(1,3)代入，得 31k =， 解得3k =．则该函数解析式为：3y x=．故选：B．【点评】此题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键．5．（4分）下列命题中正确的是()A．无限小数是无理数B．无限小数不是有理数C．数轴的点与有理数一一对应D．数轴上的点与实数一一对应【分析】根据无理数的定义即可判定A；根据有理数的定义即可判定B；根据数轴与实数的对应关系即可判定C和D．【解答】解：A、无限不循环小数是无理数，故选项错误；B、无限不循环小数是无理数，无限循环小数是有理数，故选项错误；C、根据数轴的性质：数轴上的点与实数一一对应，故选项错误；D、数轴上的点与实数一一对应，故选项正确．故选：D．【点评】本题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，解题的关键利用有理数、无理数的定义及实数与数轴的关系．6．（4分）如图，将线段AB平移到线段CD的位置，则a b+的值为()A．4B．0C．3D．5-【分析】利用坐标平移的变化规律解决问题即可．【解答】解：由题意，线段AB向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到线段CD，∴=-=，242b=-+=，a532∴+=，a b4故选：A．【点评】本题考查平移的性质，解题的关键是熟练掌握坐标平移的变化规律，属于中考常考题型．二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分） 7．（4分）计算：232ab a b = 326a b ．【分析】原式利用单项式乘单项式法则计算即可求出值． 【解答】解：原式326a b =， 故答案为：326a b【点评】此题考查了单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8．（4分）如果1()1f x x =-，那么f =1 ．【分析】根据函数的定义，将x 代入1()1f x x =-进行计算即可． 【解答】解：1()1f x x =-，1f ∴==+；1．【点评】此题考查了函数值．（1）当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值； （2）函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个．9．（4分）如果函数(0)y kx k =≠的图象经过第二、四象限，那么y 的值随x 的值增大而 减小 ．（填“增大”或“减小” )【分析】根据正比例函数的性质进行解答即可．【解答】解：函数(0)y kx k =≠的图象经过第二、四象限，那么y 的值随x 的值增大而减小， 故答案为：减小．【点评】此题主要考查了正比例函数的性质，关键是掌握正比例函数的性质：正比例函数(0)y kx k =≠的图象是一条经过原点的直线，当0k >时，该直线经过第一、三象限，且y 的值随x 的值增大而增大；当0k <时，该直线经过第二、四象限，且y 的值随x 的值增大而减小．10．（4分）若关于x 的一元二次方程2240ax ax m ++-=有两个相等的实数根，则3a m +-的值为 1 ．【分析】利用一元二次方程根的判别式△240b ac =-=即可求解．【解答】解：关于x 的一元二次方程2240ax ax m ++-=有两个相等的实数根，∴△244(4)0b ac a a m =-=-+=，0a ≠， 40a m ∴-+=， 4a m ∴+=，3431a m ∴+-=-=．故答案为：1．【点评】此题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式(△24)b ac =-可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式 有如下关系：①当△0>时，方程有两个不相等的实数根；②当△0= 时，方程有两个相等的实数根；③当△0< 时，方程无实数根，上述结论反过来也成立．11．（4分）在一个不透明的袋子中只装有n 个白球和4个红球，这些球除颜色外其他均相同．如果从袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率是13，那么n 的值为 8 ．【分析】根据概率公式列方程计算． 【解答】解：根据题意得4143n =+， 解得8n =，经检验：48n =是分式方程的解， 故答案为：8．【点评】本题考查了概率公式：随机事件A 的概率P （A ）=事件A 可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．12．（4分）将抛物线22(3)4y x =++先向右平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为 22(2)1y x =+- ．【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．【解答】解：将抛物线22(3)4y x =++先向右平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度可得：22(31)45y x =+-+-，即22(2)1y x =+-， 故答案为22(2)1y x =+-．【点评】主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．13．（4分）为了了解某区七年级学生的视力情况，随机抽取了该区500名七年级学生进行调查．整理样本数据，得到下表：视力 4.7以下 4.7 4.8 4.9 4.9以上人数102988093127根据抽样调查结果，估计该区12000名七年级学生视力低于4.8的约有4800名．【分析】用总人数乘样本中视力低于4.8的人数占被调查人数的比例即可得．【解答】解：估计该区12000名七年级学生视力低于4.8的约有10298 120004800500+⨯=（名)，故答案为：4800名．【点评】本题主要考查用样本估计总体，从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．14．（4分）如图，利用镜子M的反射（入射角等于反射角），来测量旗杆CD的长度，在镜子上作一个标记，观测者AB看着镜子来回移动，直到看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记相重合，若观测者AB的身高为1.6m，量得:2:11BM DM=，则旗杆的高度为8.8 m．【分析】根据题意抽象出相似三角形，然后利用相似三角形的对应边的比相等列式计算即可．【解答】解：根据题意得：ABM CDM∆∆∽，::AB CD BM DM∴=，1.6AB m=，:2:11BM DM=，1.6:2:11CD∴=，解得：8.8CD m=，故答案为：8.8．【点评】本题考查了相似三角形的知识，解题的关键是根据实际问题抽象出相似三角形，难度不大．15．（4分）已知平行四边形ABCD ，E 是边AB 的中点．设AB a =，BC b =，那么DE = 12b a -+ ．（结果用a 、b 表示）． 【分析】由三角形法则可知：DE DA AE =+，只要求出DA ，AE 即可解决问题．【解答】解：如图，四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴=，//AD BC∴AD BC b ==，E 是AB 的中点，1122AE AB a ∴==， DE DA AE =+，∴12DE b a =-+， 故答案为：12b a -+． 【点评】本题考查平面向量，三角形法则，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．16．（4分）A ，B 两地相距100千米，甲、乙两人骑车同时分别从A ，B 两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A 地的距离S （千米）都是骑车时间t （时)的一次函数．如图，直线1l 、2l 分别表示甲、乙骑车S 与t 之间关系的图象．结合图象提供的信息，经过 207小时两人相遇．【分析】利用待定系数法求出直线1l 、2l 的解析式，利用两函数相等进而求出相遇的时间．【解答】解：设1l 的关系式为：1s kt =，则302k =⨯，解得：15k =，故115s t =；设2s at b =+，将(0,100)，(2,60)，则100260b a b =⎧⎨+=⎩， 解得：20100a b =-⎧⎨=⎩， 故2l 的关系式为220100s t =-+；1520100t t =-+，207t =． 即他们经过207小时两人相遇． 故答案为：207 【点评】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是利用待定系数法求一次函数的解析式，并注意利用数形结合的思想解决问题．17．（4分）平行四边形ABCD 中，4AB =，3BC =，60B ∠=︒，AE 为BC 边上的高，将ABE∆沿AE 所在直线翻折后得AFE ∆，那么AFE ∆与四边形AECD 重叠部分的面积是． 【分析】根据题意可画出草图解题，由折叠特点可知AFE ABE ∆≅∆，则60F B ∠=∠=︒，设CD 与AF 相交于点P ，根据平行四边形的性质推出CFP ∆为等边三角形，AFE ∆与四边形AECD 重叠部分的面积是AEF ∆与CFP ∆的面积之差．【解答】解：根据沿直线折叠特点，AFE ABE ∆≅∆，60F B ∴∠=∠=︒，在ABE ∆中，60B ∠=︒，4AB =，则AE =，2BE =，122AFE ABE S S ∆∆==⨯⨯ ()1CF EF EC BE BC BE =-=--=，在平行四边形ABCD 中，//CD AB ，60PCF B F ∴∠=∠=︒=∠，CFP ∴∆为等边三角形，底边()1CF EF EC BE BC BE =-=--=，高为32， 34CFP S ∆∴=， 3732344AFE CFP S S S ∆∆∴=-=-=重叠．【点评】已知折叠问题就是已知图形的全等，考查学生对全等三角形性质的应用及三角形面积的求法．18．（4分）如图，矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，E 是边BC 的中点，点P 在边AD 上，设DP x =，若以点D 为圆心，DP 为半径的D 与线段AE 只有一个公共点，则所有满足条件的x 的取值范围是 245x =或56x < ．【分析】首先计算圆D 与线段相切时，x 的值，在画出圆D 过E 时，半径r 的值，确定x 的值，半径比这时大时符合题意，根据图形确定x 的取值范围．【解答】解：如图，当D 与AE 相切时，设切点为G ，连接DG ， PD DG x ==，DAG AEB ∠=∠，90AGD B ∠=∠=︒，AGD EBA ∴∆∆∽，∴AD DG AE AB =， ∴654x =， 245x =，当D 过点E 时，如图，D 与线段有两个公共点，连接DE ，此时5PD DE ==，∴当以D 为圆心，DP 为半径的D 与线段AE 只有一个公共点时，x 满足的条件：245x =或56x <；故答案为：245x =或56x <．【点评】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质．特别注意和线段有一个公共点，不一定必须相切，也可以相交，但其中一个交点在线段外．三．解答题（共7小题，满分78分）19．（10分）计算：（1）2101(2)()(32)2--+--- （2）2232()()a a a ---【分析】（1）先计算乘方、负整数指数幂、零指数幂，再计算加减可得；（2）先计算幂的乘方，再合并同类项即可得．【解答】解：（1）原式4(2)11=+--=；（2）原式2626a a a a =--=-．【点评】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练掌握负整数指数幂、幂的乘方、同底数幂的乘法和零指数幂的法则．20．（10分）解一元一次不等式组5532123x x x x +-⎧⎨->⎩，并写出它的整数解 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，即可求出整数解．【解答】解：5532 123x xx x+-⎧⎨->⎩①②解不等式①，得72 x-；解不等式②，得15x<，∴不等式组的解集为7125x-<，则不等式组的整数解是3-，2-，1-，0．【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．（10分）如图，四边形ABCD中，//AD BC，90A∠=︒，CD CB=，过点C作DCB∠的平分线CE交AB于点E，连接DE，过点D作//DF AB，且交CE于F点，连接BF．（1）求证：四边形DEBF是菱形；（2）若5AB=，13BC=，求tan AED∠的值．【分析】（1）证明CDE CBE∆≅∆，根据全等三角形的性质得到ED EB=，DEC BEC∠=∠，根据平行线的性质、等腰三角形的判定定理得到DE DF=，根据菱形的判定定理证明；（2）根据矩形的性质得到90BGD∠=︒，5DG AB==，AD BG=，根据勾股定理求出GC，求出AD，根据勾股定理列方程求出AE，根据正切的定义计算，得到答案．【解答】（1）证明：CE平分DCB∠，DCE BCE∴∠=∠，在CDE∆和CBE∆中，CD CBDCE BCECE CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()CDE CBE SAS∴∆≅∆，ED EB∴=，DEC BEC∠=∠，//DF AB ，DFE BEC ∴∠=∠，DFE DEC ∴∠=∠，DE DF ∴=，DF BE ∴=，又//DF AB ，DE DF =，∴四边形DEBF 为菱形；（2）解：//AD BC ，//AB DF ，∴四边形ABGD 为平行四边形，90A ∠=︒，∴四边形ABGD 为矩形，90BGD ∴∠=︒，5DG AB ==，AD BG =，在Rt DGC ∆中，2212GC CD DG =-=，13121AD BG BC GC ∴==-=-=，设AE x =，则5DE BE x ==-，在Rt ADE ∆中，222DE AE AD =+，即222(5)1x x -=+，解得，125x =， 5tan 12AD AED AE ∴∠==．【点评】本题考查的是菱形的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义，掌握菱形的判定定理、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．22．（10分）某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每提高1元，每天就减少售出2件，但要求销售单价不得超过65元．（1）若销售单价为每件60元，求每天的销售利润；（2）要使每天销售这种工艺品盈利1350元，那么每件工艺品售价应为多少元？【分析】（1）根据每天的销售利润=每件的利润⨯每天的销售量，即可求出结论；（2）设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是[1002(50)]x--件，根据每天的销售利润=每件的利润⨯每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【解答】解：（1）(6040)[100(6050)2]1600-⨯--⨯=（元)．答：每天的销售利润为1600元．（2）设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是[1002(50)]x--件，依题意，得：(40)[1002(50)]1350x x---=，整理，得：214046750x x-+=，解得：155x=，285x=（不合题意，舍去）．答：每件工艺品售价应为55元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．23．（12分）如图，在菱形ABCD中，60ABC∠=︒，M为AD的中点，连接BM，交AC于E，在CB上取一点F，使得CF AE=，连接AF，交BM于G，连接CG．（1）求BGF∠的度数；（2）求AGBG的值；（3）求证：BG CG⊥．【分析】（1）证明()BAE ACF SAS∆≅∆，推出ABE CAF∠=∠可得结论．（2）证明BAG BMA∆∆∽，推出BG AGAB AM=，推出12AG AMBG AB=即可解决问题．（3）想办法证明CBG MBC∆∆∽可得结论．【解答】解：（1）四边形ABCD是菱形，AB BC CD AD∴===，60ABC ADC∠=∠=︒，ABC∴∆，ADC∆都是等边三角形，AB AC∴=，60BAE ACF∠=∠=︒，AE CF =，()BAE ACF SAS ∴∆≅∆，ABE CAF ∴∠=∠，60BGF ABE BAG CAF BAG BAC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒．（2）60BAG ABG ABG CBM ∠+∠=∠+∠=︒，BAG CBM ∴∠=∠，//AD CB ，AMB CBM ∴∠=∠，BAG BMA ∴∠=∠，ABG ABM ∠=∠，BAG BMA ∴∆∆∽， ∴BG AGAB AM =， ∴AG AMBG AB =，1122AM MD AD AB ===， ∴12AGBG =．（3）设AM DM x ==，连接CM ，ACD ∆是等边三角形，CM AD ∴⊥，CM ∴=，//AD CB ，CM BC ∴⊥，90BCM ∴∠=︒，2AD BC x ==，BM ∴=，BAG BMA ∆∆∽，∴AB BM BG AB =， ∴27x x BG =， 47BG x ∴=， ∴27BG BC CB BM ==， CBG CBM ∠=∠，CBG MBC ∴∆∆∽，90BGC BCM ∴∠=∠=︒，BG CG ∴⊥．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．24．（12分）如图，直线23y x c =-+与x 轴交于点(3,0)A ，与y 轴交于点B ，抛物线243y x bx c =-++经过点A ，B ． （1）求点B 的坐标和抛物线的解析式；（2）(,0)M m 为线段OA 上一个动点，过点M 垂直于x 轴的直线与直线AB 和抛物线分别交于点P 、N ．①试用含m 的代数式表示线段PN 的长；②求线段PN 的最大值．【分析】（1）把A 点坐标代入直线解析式可求得c ，则可求得B 点坐标，由A 、B 的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）①(,0)M m ，则2(,2)3P m m -+，2410(,2)33N m m m -++，即可求出PN 的长； ②根据二次函数的性质可得线段PN 的最大值．【解答】解：（1）23y x c =-+与x 轴交于点(3,0)A ，与y 轴交于点B ， 02c ∴=-+，解得2c =，(0,2)B ∴，抛物线243y x bx c =-++经过点A ，B ， ∴12302b c c -++=⎧⎨=⎩，解得1032b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线解析式为2410233y x x =-++； （2）①(,0)M m ，则2(,2)3P m m -+，2410(,2)33N m m m -++， 2241024(2)(2)4(03)3333PN m m m m m m ∴=-++--+=-+； ②224434()3332PN m m m =-+=--+， 32m ∴=时，线段PN 有最大值为3． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，考查了待定系数法、函数图象的交点、二次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．25．（14分）如图，O 是ABC ∆的外接圆，AB BC =，延长AC 到点D ，使得CD CB =，连接BD 交O 于点E ，过点E 做BC 的平行线交CD 于点F ．（1）求证：AE DE =．（2）求证：EF为O的切线；（3）若5BE=，求弦AC的长．AB=，3【分析】（1）欲证明AE DE∠=∠即可．=，只要证明EAD D（2）欲证明EF是O的切线，只要证明OE EF⊥即可．（3）利用相似三角形的性质求出AD即可解决问题．【解答】（1）证明：CD CB=，∴∠=∠，DBC D又DBC CAE∠=∠，∴∠=∠，D CAE∴=．AE DE（2）证明：22∠=∠+∠=∠=∠ACB DBC D DBC CAE又AB BC=，∴∠=∠BAC ACBBAC CAE∴∠=∠，2∴∠=∠CAE BAE∴点E为弧BEC的中点，连接OE，则OE BC⊥，又//EF BC，OE EF∴⊥，∴为圆O的切线．EF（3）解：在ABE∆中，∆和DBABAE D ABE DBA∠=∠∠=∠，∽，ABE DBA∴∆∆∴AB DB DA EB AB AE==，2AB BE DB∴=，∴253BD=，2516333DE BD BE=-=-=，由（1）得，163 AE DE==，AB DA EB AE=，∴809DA=，5 CD CB AB===，∴359 AC DA CD=-=．【点评】本题属于圆综合题，考查了切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．。
2021-2022学年上海市松江区九年级(上)期末数学试卷(一模)(含答案解析)
2021-2022学年上海市松江区九年级（上）期末数学试卷（一模）1.已知sinα=√32，那么锐角α的度数是( )A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 75∘2.已知在Rt△ABC中，∠C=90∘，AB=c，AC=b，那么下列结论一定成立的是( )A. b=ctanAB. b=ccotAC. b=csinAD. b=ccosA3.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，那么下列判断正确的是( )A. b>0，c>0B. b>0，c<0C. b<0，c>0D. b<0，c<0.4.已知a⃗=2b⃗ ，那么下列判断错误的是( )A. a⃗−2b⃗ =0B. b⃗ =12a⃗ C. |a⃗|=2|b⃗ | D. a⃗//b⃗5.如图，已知点G是△ABC的重心，那么S△BCG：S△ABC等于( )A. 1：2B. 1：3C. 2：3D. 2：56.下列四个命题中，真命题的个数是( )(1)底边和腰对应成比例的两个等腰三角形相似；(2)底边和底边上的高对应成比例的两个等腰三角形相似；(3)底边和一腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似；(4)腰和腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似．A. 1B. 2C. 3D. 47.已知xy =2，那么2x−yx+2y=______.8.把抛物线y=x2+1向右平移1个单位，所得新抛物线的表达式是______.9.已知两个相似三角形面积的比是4：9，那么这两个三角形周长的比是______.10.已知，AB=8，P是AB黄金分割点，PA>PB，则PA的长为______.11.在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标为(2,3)，那么直线OA与x轴夹角的正切值是______.12. 如果一个二次函数图象的对称轴是直线x =2，且沿着x 轴正方向看，图象在对称轴左侧部分是上升的，请写出一个符合条件的函数解析式______.13. 一位运动员投掷铅球，如果铅球运行时离地面的高度为y(米)关于水平距离x(米)的函数解析式为y =−112x 2+23x +53，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为______米． 14. 如图，码头A 在码头B 的正东方向，它们之间的距离为10海里．一货船由码头A 出发，沿北偏东45∘方向航行到达小岛C 处，此时测得码头B 在南偏西60∘方向，那么码头A 与小岛C 的距离是______海里(结果保留根号).15. 如图，已知在梯形ABCD 中，AB//CD ，AB =2CD ，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，那么AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 可以用a ⃗ ，b ⃗ 表示为______.16. 如图，某时刻阳光通过窗口AB 照射到室内，在地面上留下4米宽的“亮区”DE ，光线与地面所成的角(如∠BEC)的正切值是12，那么窗口的高AB 等于______米．17. 我们知道：四个角对应相等，四条边对应成比例的两个四边形是相似四边形．如图，已知梯形ABCD 中，AD//BC ，AD =1，BC =2，E 、F 分别是边AB 、CD 上的点，且EF//BC ，如果四边AEFD 与四边形EBCF 相似，那么AEEB的值是______.18. 如图，已知矩形ABCD 中，AD =3，AB =5，E 是边DC 上一点，将△ADE 绕点A 顺时针旋转得到△AD′E′，使得点D 的对应点D′落在AE 上，如果D′E′的延长线恰好经过点B ，那么DE 的长度等于______.19.已知一个二次函数图象的顶点为(1,0)，与y轴的交点为(0,1).(1)求这个二次函数的解析式；(2)在所给的平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象．20.如图，已知平行四边形ABCD中，G是AB延长线上一点，联结DG，分别交AC、BC于点E、F，且AE：EC=3：2.(1)如果AB=10，求BG的长；(2)求EF的值．FG，AP⊥AB，交BC于点P.21.如图，已知△ABC中，AB=AC=12，cosB=34(1)求CP的长；(2)求∠PAC的正弦值．22.某货站沿斜坡AB将货物传送到平台BC.一个正方体木箱沿着斜坡移动，当木箱的底部到达点B时的平面示意图如图所示．已知斜坡AB的坡度为1：2.4，点B到地面的距离BE=1.5米，正方体木箱的棱长BF=0.65米，求点F到地面的距离．23.已知：如图，梯形ABCD中，DC//AB，AC=AB，过点D作BC的平行线交AC于点E.(1)如果∠DEC=∠BEC，求证：CE2=ED⋅CB；(2)如果AD2=AE⋅AC，求证：AD=BC.24.如图，已知直线y=−23x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=−23x2+bx+c经过A、B两点．(1)求这条抛物线的表达式；(2)直线x=t与该抛物线交于点C，与线段AB交于点D(点D与点A、B不重合)，与x轴交于点E，联结AC、BC.①当DECD =AEOE时，求t的值；②当CD平分∠ACB时，求△ABC的面积．25.如图，已知△ABC中，∠ACB=90∘，AB=6，BC=4，D是边AB上一点(与点A、B不重合)，DE平分∠CDB，交边BC于点E，EF⊥CD，垂足为点F.(1)当DE⊥BC时，求DE的长；(2)当△CEF与△ABC相似时，求∠CDE的正切值；(3)如果△BDE的面积是△DEF面积的2倍，求这时AD的长．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵sin60∘=√32，∴∠A=60∘，故选：C.根据sin60∘=√32解答．本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．2.【答案】D【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90∘，AB=c，AC=b，则cosA=ACAB =bc，∴b=ccosA，故选：D.根据余弦的定义解答即可．本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦是解题的关键．3.【答案】D【解析】解：∵抛物线开口向上，∴a>0，∵抛物线对称轴在y轴右侧，∴−b2a>0，∴b<0，∵抛物线与y轴交点在x轴下方，∴c<0.故选：D.通过函数图象开口方向，对称轴位置及抛物线与y轴交点位置可确定a，b，c的符号，进而求解．本题考查二次函数的图象，解题关键是掌握二次函数的图象与系数的关系．4.【答案】A【解析】解：A、由a⃗=2b⃗ 知，a⃗−2b⃗ =0⃗，符合题意；B、由a⃗=2b⃗ 知，b⃗ =12a⃗，不符合题意；C、由a⃗=2b⃗ 知，|a⃗|=2|b⃗ |，不符合题意；D、由a⃗=2b⃗ 知，a⃗//b⃗ ，不符合题意．故选：A.根据平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案．本题考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又有方向．5.【答案】B【解析】解：连接AG延长交BC于点D，∵G是△ABC的重心，∴D是BC的中点，∴S△ABD=S△ACD，S△BCG=S△CDG，∵AG=2GD，∴2S△BCD=S△ABG，∴3S△BCD=S△ABD，∴3S△BCG=S△ABC，∴S△BCG：S△ABC=1：3，故选：B.连接AG延长交BC于点D，由G是重心可得D是BC的中点，所以S△ABD=S△ACD，S△BCG=S△CDG，又由重心定理可AG=2GD，则2S△BCD=S△ABG，进而得到3S△BCG=S△ABC，即可求解．本题考查三角形的重心，熟练掌握三角形重心定理，利用等底、等高三角形面积的特点求解是解题的关键．6.【答案】C【解析】解：(1)∵两个等腰三角形的底角不一定相等，∴底边和腰对应成比例的两个等腰三角形不一定相似，本小题说法是假命题；(2)如图，△ABC和△A′B′C′是等腰三角形，AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，则BD=12BC，B′D′=12B′C′，∵AD A′D′=BCB′C′，∴AD A′D′=BDB′D′，∵∠ADC=∠A′D′C′=90∘，∴△ADB∽△A′D′B′，∴∠B=∠B′，∴△ACB∽△A′C′B′，∴底边和底边上的高对应成比例的两个等腰三角形相似，本小题说法是真命题；(3)同理，底边和一腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似，本小题说法是真命题；(4)腰和腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似，本小题说法是真命题；故选：C.根据等腰三角形的性质、相似三角形的判定定理判断即可．本题考查的是命题的真假判断，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．7.【答案】34【解析】解：∵xy=2，∴x=2y，∴2x−y x+2y=4y−y 2y+2y=3y 4y=34，故答案为：34.根据比例的性质求出x=2y，再把x=2y代入2x−yx+2y，即可求出答案．本题考查了比例的性质，能根据比例的性质求出x=2y是解此题的关键，注意：如果ab=cd，那么ac =db，反之亦然．8.【答案】y=x2−2x+2【解析】解：∵抛物线y=x2+1的顶点坐标为(0,1)，∴抛物线向右平移1个单位后，所得新抛物线的表达式为y=(x−1)2+1，即y=x2−2x+2.故答案为：y=x2−2x+2.根据平移规律得到新抛物线顶点坐标，即可得的新抛物线的表达式．本题主要考查的是二次函数图象的平移，掌握平移规律：“左加右减，上加下减”是解决问题的关键．【解析】解：∵两个相似三角形面积的比是4：9，∴两个相似三角形相似比是2：3，∴这两个三角形周长的比是2：3，故答案为：2：3.根据相似三角形的性质求出相似比，再求出周长比．本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方．10.【答案】4√5−4【解析】解：由于P为线段AB=8的黄金分割点，且PA>PB，则PA=8×√5−12=4√5−4.故答案为：4√5−4.根据黄金分割点的定义，知PA是较长线段；则PA=√5−12AB，代入数据即可．理解黄金分割点的概念．熟记黄金比的值进行计算．11.【答案】32【解析】解：由A坐标知，直线OA与x轴夹角的正切值=y Ax A=32，故答案为：32.由A坐标知，直线OA与x轴夹角的正切值=y Ax A=32.本题主要考查三角函数的定义，根据坐标值求夹角正切值是解题的关键．12.【答案】y=−x2+4x+5，答案不唯一【解析】解：∵二次函数的图象在对称轴x=2的左侧部分是上升的，∴这个二次函数的二次项系数为负数，∴符合条件的函数有y=−x2+4x+5，答案不唯一．答案为：y=−x2+4x+5，答案不唯一．由于二次函数的图象在对称轴x=2的左侧部分是上升的，由此可以确定二次函数的二次项系数为负数，由此可以确定函数解析式不唯一．此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是会利用函数的性质确定解析式的各项系数．【解析】解：由题意可得：y=−112x2+23x+53=−112(x2−8x)+53=−112(x−4)2+3，故铅球运动过程中最高点离地面的距离为：3m.故答案为：3.直接利用配方法求出二次函数最值即可．此题主要考查了二次函数的应用，正确利用配方法求出最值是解题关键．14.【答案】(5√6+5√2)【解析】解：过C作CD⊥BA于D，如图：则∠CDB=90∘，由题意得：∠BCD=60∘，∠CAD=90∘−45∘=45∘，∴△ACD是等腰直角三角形，∴CD=AD，AC=√2CD，设CD=AD=x海里，则AC=√2x海里，在Rt△BCD中，tan∠BCD=BDCD=tan60∘=√3，∴BD=√3CD=√3x(海里)，∵BD=AD+AB，∴√3x=x+10，解得：x=5√3+5，∴√2x=√2×(5√3+5)=5√6+5√2，即AC=(5√6+5√2)海里，故答案为：(5√6+5√2).过C作CD⊥BA于D，证△ACD是等腰直角三角形，得CD=AD，AC=√2CD，设CD=AD=x海里，则AC=√2x海里，再由锐角三角函数定义得BD=√3CD=√3x(海里)，然后由BD=AD+AB 得√3x=x+10，解得：x=5√3+5，即可解决问题．本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．15.【答案】23b⃗ +13a⃗【解析】解：∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ −a ⃗ .∵AB//CD ，AB =2CD ， ∴△ECD ∽△EAB ， ∴CDAB=DE BE =12，∴BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23(b ⃗ −a ⃗ )，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +23(b ⃗ −a ⃗ )=23b ⃗ +13a ⃗ . 故答案为：23b ⃗ +13a ⃗ .由AB//CD ，即可证得△PCD ∽△PAB ，又由AB =2CD ，即可求得BE ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的关系，利用三角形法则，求得BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即可求得AE ⃗⃗⃗⃗⃗ .此题考查向量的知识与相似三角形的判定与性质．解题的关键是数形结合思想的应用，还要注意向量是有方向的．16.【答案】2【解析】解：由题意知tan∠BEC =BC CE=AC CD=12，DE =4，∴CE =2BC ，CD =2AC ， ∴CD =DE +CE =4+2BC ， ∵AD//BE ， ∴△BCE ∽△ACD ， ∴BCAC =CECD ， ∴BCBC+AB =2BC 4+2BC=BC2+BC， ∴BC +AB =2+BC ， ∴AB =2， 故答案为：2.由题意知CE =2BC ，CD =2AC ，进而得到CD =DE +CE =4+2BC ，由BE//AD 得到△BCE ∽△ACD ，根据相似三角形的性质得到BCBC+AB =2BC4+2BC =BC2+BC ，化简即可求出AB.本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．17.【答案】√22【解析】【分析】本题考查相似多边形的性质，能根据相似多边形的性质得出比例式是解此题的关键． 根据相似多边形的性质得出AD EF=EFBC，把AD =1和BC =2代入求出EF ，再根据相似多边形的性质得出AEEB =ADEF ，再求出答案即可． 【解答】解：∵四边AEFD 与四边形EBCF 相似， ∴AD EF=EF BC， ∵AD =1，BC =2， ∴1EF=EF 2， 解得：EF =√2，∵四边AEFD 与四边形EBCF 相似， ∴AEEB =ADEF =1√2=√22.18.【答案】94【解析】解：如图，连接BE 、BE′， ∵矩形ABCD 中，AD =3，AB =5， ∴∠D =90∘，由旋转知，△AD′E′≌△ADE ， ∴AD′=AD =3，∠AD′E =∠D =90∘， ∵D′E′的延长线恰好经过点B ， ∴∠AD′B =90∘，在Rt △ABD′中，BD′=√AB 2−AD′2=√52−32=4， ∵AB ⋅AD =AE ⋅BD′， ∴AE =AB⋅ADBD′=5×34=154，在Rt △ADE 中，DE =√AE 2−AD 2=√(154)2−32=94， 故答案为：94.如图，连接BE 、BE′，根据矩形的性质和旋转变换的性质可得：AD′=AD =3，∠AD′E =∠D =90∘，利用勾股定理可得BD′=4，再运用面积法可得：AB ⋅AD =AE ⋅BD′，求出AE =154，再运用勾股定理即可求得答案．本题考查了矩形的性质，旋转变换的性质，勾股定理，三角形面积等，解题关键是运用面积法求得AE.19.【答案】解：(1)设抛物线解析式为y=a(x−1)2，将(0,1)代入y=a(x−1)2得1=a，∴y=(x−1)2.(2)如图，【解析】(1)设抛物线解析式为y=a(x−1)2，将(0,1)代入解析式求解．(2)根据二次函数解析式作图．本题考查求二次函数解析式及二次函数图象的性质，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握二次函数图象与系数的关系．20.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，∴∠GAE=∠CDE，∠AGE=∠CDE，∴△AGE∽△CDE，∴AG CD =AECE=32，又∵AB=CD=10，∴AG=32CD=32×10=15，∴BG=AG−AB=15−10=5；(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，即AD//CF，∴∠ADE=∠CFE，∠DAE=∠FCE，∴△ADE∽△CFE，∴DE EF =AEEC=32，又∵△AGE∽△CDE，∴DE GE =ECAE=23，∴EF GE =EFDE×DEGE=23×23=49，∴EF FG =EFGE−EF=45.【解析】(1)由平行四边形的性质证明△AGE∽△CDE，再根据AE：EC=3：2求出BG=15，从而得出结论；(2)利用△ADE∽△CFE和△AGE∽△CDE得出DEEF =AEEC=32和DEGE=ECAE=23，从而得出结论．本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握基本知识．21.【答案】解：(1)过点A作AD⊥BC于D，在Rt△ABD中，AB=12，cosB=34，∴BD=cosB⋅AB=9，∵AB=AC，∴BD=CD=9，∠B=∠C，∵AP⊥AB，∴∠PAB=90∘，在Rt△ABP中，AB=12，cosB=34，∴BP=ABcosB=16，∴PC=BC−BP=9×2−16=2；(2)过点P作PE⊥AC于E，在Rt△PCE中，PC=2，cosC=cosB=34，∴CE=cosC⋅PC=2×34=32，∴PE=√PC2−CE2=√72，AP=√AD2+DP2=√AB2−BD2+PD2=√144−81+49=4√7，∴sin∠PAC=PEAP =18.【解析】(1)通过作底边上的高AD，在直角三角形ABD和直角三角形ABP中分别求出BD、BP，由等腰三角形的性质求出BC，进而求出PC的长；(2)作高构造直角三角形，求出AE、PE后，由锐角三角函数的定义进行计算即可．本题考查解直角三角形，等腰三角形，掌握直角三角形的边角关系以及等腰三角形的性质是正确解答的前提．22.【答案】解：过点F作FG⊥AD于G，延长CB交FG于H，则四边形HGEB为矩形，∴HG=BE=1.5米，∠HBE=90∘，∵∠EBA=90∘，∴∠BFH=∠HBA=∠A，∴BH：FH=1：2.4，由勾股定理得：BF2=BH2+FH2，即0.652=BH2+(2.4BH)2，解得：BH=0.25，∴FH=0.25×2.4=0.6(米)，∴FG=FH+HG=2.1(米)，答：点F到地面的距离为2.1米．【解析】过点F作FG⊥AD于G，延长CB交FG于H，根据坡度的概念、勾股定理求出BH，进而求出FH，计算即可．本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．23.【答案】证明：(1)∵AC=AB，∴∠ACB=∠ABC，∵DC//AB，∴∠DCE=∠CAB，∵DE//BC，∴∠DEC=∠BCE，∵∠DEC=∠BEC，∴∠DEC=∠BCE=∠BEC=∠ABC，∴∠BAC=∠CBE=∠DCE，BE=BC，∴△DEC∽△CEB，∴CE DE =BECE，∴CE2=DE⋅BE=DE⋅CB；(2)∵∠BAC=∠CBE，∠ACB=∠BCE，∴△BCE∽△ACB，∴BC AC =CEBC，∵△DEC∽△CEB，∴DE CE =CEBC，∠CDE=∠BCE=∠CED=∠BEC，∴BC AC=DECE，CD =CE ，∵AD 2=AE ⋅AC ， ∴AD AE=AC AD， 又∵∠DAE =∠DAC ， ∴△ADE ∽△ACD ， ∴AD AC =DE CD =DE CE， ∴ADAC =BCAC ， ∴AD =BC.【解析】(1)通过证明△DEC ∽△CEB ，可得CE DE=BECE，可得结论； (2)通过证明△BCE ∽△ACB ，可得BC AC =CE BC ，由相似三角形的性质可得DE CE =CE BC ，可得BC AC=DECE，通过证明△ADE ∽△ACD ，可得AD AC=DE CD=DECE，可得结论． 本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的判定是解题的关键．24.【答案】解：(1)由y =−23x +2可得：当x =0时，y =2；当y =0时，x =3， ∴A(3,0)，B(0,2)，把A 、B 的坐标代入y =−23x 2+bx +c 得： {−23×9+3b +c =0c =2， 解得：{b =43c =2，∴抛物线的解析式为：y =−23x 2+43x +2； (2)①如图1，∵DE//OB ， ∴AEOE =ADBD ， ∵AEOE =DE CD ，∴AD BD=DE CD， 又∵∠ADE =∠BDC ， ∴△ADE ∽△BDC ， ∴∠DAE =∠DBC ， ∴AE//BC ， ∴C 点的纵坐标为2， ∴2=−23x 2+43x +2， ∴x =0或x =2， ∴C(2,2)， ∴t =2；②如图2，设C(t,−23t 2+43t +2)，过点B 作BH ⊥CE 于点H ， ∵∠BCH =∠ACE ， ∴tan∠BCH =tan∠ACE ， ∴BH CH=AE CE， ∴t−23t 2+43t=3−t−23t 2+43t+2，∴t =12， ∴C(12,52)，∴S △ACB =S △ACE +S 梯形BOCE −S △ABO =12×52×52+12×(2+52)×12−12×2×3=54. 【解析】(1)先求出点A ，点B 坐标，利用待定系数法可求解析式；(2)证明△ADE ∽△BDC ，由相似三角形的性质得出∠DAE =∠DBC ，证出AE//BC ，得出C 点的纵坐标为2，则可求出答案；(3)设C(t,−23t 2+43t +2)，过点B 作BH ⊥CE 于点H ，得出tan∠BCH =tan∠ACE ，则BHCH =AECE ，解方程求出t 的值，则可求出答案．本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．25.【答案】解：(1)在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AB=6，BC=4，∴AC=√AB2−BC2=√62−42=2√5，∵DE平分∠CDB，∴∠CDE=∠BDE，∵DE⊥BC，∴∠DEC=∠DEB=90∘，在△DCE和△DBE中，{∠CDE=∠BDE DE=DE∠DEC=∠DEB，∴△DCE≌△DBE(ASA)，∴CE=BE，∵CE+BE=BC=4，∴CE=BE=2，∵DE BE =tan∠B=ACBC，∴DE2=2√54，∴DE=√5；(2)∵EF⊥CD，∴∠CFE=90∘=∠ACB，∵△CEF与△ABC相似，∴△CEF∽△ABC或△CEF∽△BAC，①当△CEF∽△ABC时，则∠ECF=∠BAC，∵∠ACB=90∘，∴∠BAC+∠ABC=90∘，∴∠ECF+∠ABC=90∘，∴∠CDB=90∘，∵DE平分∠CDB，∴∠CDE=12∠CDB=12×90∘=45∘，∴tan∠CDE=tan45∘=1；②当△CEF∽△BAC时，则∠ECF=∠ABC，∴DC=DB，∵DE平分∠CDB，∴DE⊥BC，∴∠CDE+∠ECF=90∘，∵∠BAC+∠ABC=90∘，∴∠CDE=∠BAC，∴tan∠CDE=tan∠BAC=BCAC =42√5=2√55，综上所述，∠CDE的正切值为1或2√55；(3)如图，过点E作EG⊥AB于点G，∵DE平分∠CDB，EF⊥CD，EG⊥AB，∴EF=EG，∵DE=DE，∴Rt△DEF≌Rt△DEG(HL)，∴DF=DG，∵△BDE的面积是△DEF面积的2倍，∴BD=2DF，∴DG=BG，∵EG⊥BD，∴DE=BE，设BE=x，则DE=x，CE=BC−BE=4−x，BG=BE⋅cosB=23x，∴BD=2BG=43x，DG=DF=BG=23x，∴AD=AB−BD=6−43x，∵DE平分∠CDB，∴∠CDE=∠BDE，∵DE=BE，∴∠BDE=∠B，∴∠CDE=∠B，∵∠DCE=∠BCD，∴△CDE∽CBD，∴CD CB =CECD=DEBD，即CD4=4−xCD=x43x，解得：CD=3，x=74，∴AD=6−43x=6−43×74=113，故这时AD的长为113.【解析】(1)证明△DCE≌△DBE(ASA)，可得CE=BE=2，根据DEBE =tan∠B=ACBC，即可求得答案；(2)分两种情况：①当△CEF∽△ABC时，可证得∠CDB=90∘，再根据DE平分∠CDB，可得∠CDE= 45∘，再由特殊角的三角函数值即可求得答案；②当△CEF∽△BAC时，则∠ECF=∠ABC，得出DC= DB，再由DE平分∠CDB，可得DE⊥BC，推出∠CDE=∠BAC，利用三角函数定义即可求得答案；(3)如图，过点E作EG⊥AB于点G，根据角平分线性质可得出EF=EG，推出DF=DG，再由△BDE 的面积是△DEF面积的2倍，可得出BD=2DF，进而推出DE=BE，设BE=x，则DE=x，CE=BC−BE=4−x，BG=BE⋅cosB=23x，BD=2BG=43x，DG=DF=BG=23x，AD=AB−BD=6−43x，根据△CDE∽CBD，得出CDCB=CECD=DEBD，建立方程求解即可．本题是几何综合题，考查了直角三角形性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，角平分线性质，三角形面积，三角函数等知识，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质等相关知识，运用分类讨论思想和方程思想解决问题．。
2020-2021上海华东师范大学松江实验中学九年级数学上期中第一次模拟试卷含答案
2020-2021上海华东师范大学松江实验中学九年级数学上期中第一次模拟试卷含答案一、选择题1．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上．若∠ACD=25°，则∠BOD 的度数为（ ）A ．100°B ．120°C ．130°D ．150°2．如图，将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转到矩形 AB′C′D′的位置，旋转角为α(0°＜α＜90°)．若∠1＝112°，则∠α的大小是( )A ．68°B ．20°C ．28°D ．22° 3．方程2(2)9x -=的解是（ ）A ．1251x x ==-，B ．1251x x =-=，C ．12117x x ==-， D ．12117x x =-=， 4．用配方法解方程2680x x --=时，配方结果正确的是（ ） A ．2(3)17x -=B ．2(3)14-=xC ．2(6)44x -=D ．2(3)1x -=5．用配方法解方程210x x +-=，配方后所得方程是（ ）A ．213()24x -=B ．213()24x +=C ．215()24x +=D ．215()24x -= 6．如果关于x 的方程240x x m -+=有两个不相等的实数根，那么在下列数值中，m 可以取的是（ ）A ．3B ．5C ．6D ．87．如图，已知圆心角∠AOB=110°，则圆周角∠ACB=（ ）A ．55°B ．110°C ．120°D ．125° 8．已知()222226x y y x +-=+，则22x y +的值是（ ） A ．－2 B ．3 C ．－2或3 D ．－2且39．如图，是两条互相垂直的街道，且A 到B ,C 的距离都是7 km ,现甲从B 地走向A 地，乙从A 地走向C 地，若两人同时出发且速度都是4km /h ，则两人之间的距离为5km 时，是甲出发后（ ）A ．1hB ．0.75hC ．1.2h 或0.75hD ．1h 或0.75h10．在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，:BC 2:3=AB ， 5AC =，则AB =（ ）． A ．52 B ．10 C ．5D ．15 11．如图，将⊙O 沿弦AB 折叠，圆弧恰好经过圆心O ，点P 是优弧¼AMB 上一点，则∠APB 的度数为（ ）A ．45°B ．30°C ．75°D ．60°12．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题13．已知关于x 的一元二次方程mx 2+5x+m 2﹣2m=0有一个根为0，则m=_____．14．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=5cm ，BC=12cm ，将△ABC 绕点B 顺时针旋转60°，得到△BDE ，连接DC 交AB 于点F ，则△ACF 与△BDF 的周长之和为_______cm ．15．若关于x 的方程x 2＋2x ＋m ＝0没有实数根，则m 的取值范围是_______.16．关于x 的方程ax²-（3a+1）x+2(a+1)=0有两个不相等的实数根x 1,x 2,且x 1-x 1x 2+x 2=1-a ，则a=17．如图,将边长为12的正方形ABCD 沿其对角线AC 剪开,再把△ABC 沿着AD 方向平移,得到△A′B′C′,当两个三角形重叠部分的面积为32时,它移动的距离AA′等于________.18．在一个不透明的口袋中装有3个红球，1个白球，他们除了颜色外，其余均相同，若把它们搅匀后从中任意摸一个球，则摸到白球的可能性是 _________.19．二次函数2y ax bx c =++的部分对应值如下表：利用二次函数的图象可知，当函数值y ＞0时，x 的取值范围是____________20．已知x 1，x 2是方程x 2﹣x ﹣3＝0的两根，则1211+x x ＝_____． 三、解答题21．某商场销售某种型号防护面罩，进货价为40元/个．经市场销售发现：售价为50元/个时，每周可以售出100个，若每涨价1元，就会少售出5个．供货厂家规定市场售价不得低于50元/个，且商场每周销售数量不得少于80个．（1）确定商场每周销售这种型号防护面罩所得的利润w （元）与售价x （元/个）之间的函数关系式．（2）当售价x （元/个）定为多少时，商场每周销售这种防护面罩所得的利润w （元）最大？最大利润是多少？22．已知△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ．（I ）如图①，若BC 是⊙O 的直径，BC ＝4，求BD 的长；（Ⅱ）如图②，若∠ABC 的平分线交AD 于点E ，求证：DE ＝DB ．23．如图，已知抛物线y=﹣x 2+bx +c 与x 轴交于点A （﹣1，0）和点B （3，0），与y 轴交于点C ，连接BC 交抛物线的对称轴于点E ，D 是抛物线的顶点．（1）求此抛物线的解析式；（2）求点C 和点D 的坐标；（3）若点P在第一象限内的抛物线上，且S△ABP=4S△COE，求P点坐标．24．一个不透明的布袋里装有16个只有颜色不同的球,其中红球有x个,白球有2x个,其他均为黄球,现甲从布袋中随机摸出一个球,若是红球则甲同学获胜,甲同学把摸出的球放回并搅匀,由乙同学随机摸出一个球,若为黄球,则乙同学获胜.(1)当x=3时,谁获胜的可能性大?(2)当x为何值时,游戏对双方是公平的?25．（1）解方程：x2﹣2x﹣8=0；（2）解不等式组3(2)1112x xx--<⎧⎪⎨-<⎪⎩【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】根据圆周角定理求出∠AOD即可解决问题．【详解】解：∵∠AOD=2∠ACD，∠ACD=25°，∴∠AOD=50°，∴∠BOD=180°﹣∠AOD=180°﹣50°=130°，故选：C．【点睛】本题考查圆周角定理，邻补角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，2．D解析：D【解析】试题解析：∵四边形ABCD 为矩形，∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，∵矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α，∴∠BAB′=α，∠B′AD′=∠BAD=90°，∠D′=∠D=90°，∵∠2=∠1=112°，而∠ABD=∠D′=90°，∴∠3=180°-∠2=68°，∴∠BAB′=90°-68°=22°，即∠α=22°．故选D ．3．A解析：A【解析】【分析】此方程已经配方，根据解一元二次方程的步骤解方程即可.【详解】()229x -＝，故x －2＝3或x －2＝－3，解得：x 1＝5，x 2＝－1，故答案选A.【点睛】本题主要考查了解一元二次方程的基本解法，这是很简单的解方程，难度不大.4．A解析：A【解析】【分析】利用配方法把方程2680x x --=变形即可.【详解】用配方法解方程x 2﹣6x ﹣8＝0时，配方结果为（x ﹣3）2＝17，故选A ．【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握配方法解一元二次方程的基本步骤是解本题的关键．5．C解析：C【解析】【分析】本题根据配方的基本方法进行就可以得到答案.配方首先将常数项移到方程的右边，将二次项系数化为1，然后左右两边同时加上一次项系数一半的平方.【详解】解：2x+x=12x+x+14=1+14 215()24x+=.故选C【点睛】考点：配方的方法.6．A解析：A【解析】【分析】根据根的判别式的意义得到16﹣4m＞0，然后解不等式得到m＜4，然后对各选项进行判断．【详解】根据题意得：△=16﹣4m＞0，解得：m＜4，所以m可以取3，不能取5、6、8．故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．7．D解析：D【解析】分析：根据圆周角定理进行求解．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．详解：根据圆周角定理，得∠ACB=12（360°-∠AOB）=12×250°=125°．故选D．点睛：此题考查了圆周角定理．注意：必须是一条弧所对的圆周角和圆心角之间才有一半的关系．8．B解析：B【解析】试题分析：根据题意，先移项得()2222260x y y x +---=，即()2222260x y x y （）+-+-=，然后根据“十字相乘法”可得2222(2)(3)0x y x y +++-= ，由此解得22x y +=-2（舍去）或223x y +=.故选B.点睛：此题主要考查了高次方程的解法，解题的关键是把其中的一部分看做一个整体，构造出简单的一元二次方程求解即可.9．D解析：D【解析】【分析】据题画出图形如图，设走了x 小时，则BF =AG =4x ，AF =7－4x ，根据勾股定理列出方程，解方程即得答案.【详解】解：如图，设走了x 小时，根据题意可知：BF =AG =4x ，则AF =7－4x ，根据勾股定理，得()()2274425x x -+=，即24730x x -+=.解得：11x =，234x =.故选D.【点睛】本题考查了勾股定理的应用和一元二次方程的解法，弄清题意，根据勾股定理列出方程是解题的关键.10．B解析：B【解析】【分析】依题意可设2=AB x ，3BC x ，根据勾股定理列出关于x 的方程，解方程求出x 的值，进而可得答案.【详解】解：如图，设2=AB x ，3BC x =，根据勾股定理，得：222325+=x x ，解得5x =10AB =故选B.【点睛】本题考查了勾股定理和简单的一元二次方程的解法，属于基础题型，熟练掌握勾股定理是解题的关键.11．D解析：D【解析】【分析】【详解】作半径OC⊥AB于点D，连结OA，OB，∵将O沿弦AB折叠，圆弧较好经过圆心O，∴OD=CD，OD=12OC=12OA，∴∠OAD=30°（30°所对的直角边等于斜边的一半），同理∠OBD=30°，∴∠AOB=120°，∴∠APB=12∠AOB=60°.（圆周角等于圆心角的一半）故选D.12．B解析：B【解析】分析：根据圆中的有关概念、定理进行分析判断．解答：解：①经过圆心的弦是直径，即直径是弦，弦不一定是直径，故正确；②当三点共线的时候，不能作圆，故错误；③三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，故正确；④在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，所以半径相等的两个半圆是等弧，故正确．故选B．二、填空题13．2【解析】【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义列出关于m的方程通过解关于m的方程求得m的值即可【详解】∵关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0∴m2﹣2m=解析：2【解析】【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义列出关于m的方程，通过解关于m的方程求得m的值即可．【详解】∵关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0，∴m2﹣2m=0且m≠0，解得，m=2，故答案是：2．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解的定义．解答该题时需注意二次项系数a≠0这一条件．14．【解析】【分析】【详解】∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△BDE∴△ABC≌△BDE∠CBD=60°∴BD=BC=12cm∴△BCD为等边三角形∴CD=BC=BD=12cm在Rt△ACB中AB解析：【解析】【分析】【详解】∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，∴△ABC≌△BDE，∠CBD=60°，∴BD=BC=12cm，∴△BCD为等边三角形，∴CD=BC=BD=12cm，在Rt△ACB中，=13，△ACF与△BDF的周长之和=AC+AF+CF+BF+DF+BD=AC+AB+CD+BD=5+13+12+12=42（cm），故答案为42．考点：旋转的性质．15．【解析】【分析】根据方程没有实数根得出判别式小于0列出关于m的不等式求解即可【详解】∵关于x的方程x2＋2x＋m＝0没有实数根∴解得：故填：【点睛】本题主要考查根的判别式和解一元一次不等式熟练运用根解析：1m>【解析】【分析】根据方程没有实数根得出判别式小于0，列出关于m的不等式求解即可.【详解】∵关于x 的方程x 2＋2x ＋m ＝0没有实数根∴2=240m ∆-<解得：1m >故填：1m >.【点睛】本题主要考查根的判别式和解一元一次不等式，熟练运用根的判别式进行根的情况的判断是关键.16．-1【解析】试题分析：根据根与系数的关系得出x1+x2=-bax1x2=ca 整理原式即可得出关于a 的方程求出即可试题解析：∵关于x 的方程ax2-（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x1解析：-1【解析】试题分析：根据根与系数的关系得出x 1+x 2=-，x 1x 2=，整理原式即可得出关于a 的方程求出即可．试题解析：∵关于x 的方程ax 2-（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x 1、x 2， ∴x 1+x 2=，x 1x 2=，依题意△＞0，即（3a+1）2-8a （a+1）＞0，即a 2-2a+1＞0，（a-1）2＞0，a≠1，∵关于x 的方程ax 2-（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x 1、x 2，且有x 1-x 1x 2+x 2=1-a ，∴x 1-x 1x 2+x 2=1-a ，∴x 1+x 2-x 1x 2=1-a ， ∴-=1-a ，解得：a=±1，又a≠1，∴a=-1．考点：1.根与系数的关系；2.根的判别式．17．4或8【解析】【分析】由平移的性质可知阴影部分为平行四边形设A′D=x 根据题意阴影部分的面积为(12−x)×x 即x(12−x)当x(12−x)=32时解得：x=4或x=8所以AA′=8或AA′=4【解析：4或8【解析】【分析】由平移的性质可知阴影部分为平行四边形，设A ′D=x ，根据题意阴影部分的面积为(12−x)×x ，即x(12−x)，当x(12−x)=32时，解得：x=4或x=8，所以AA ′=8或AA ′=4．【详解】设AA′=x,AC与A′B′相交于点E，∵△ACD是正方形ABCD剪开得到的，∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠A=45∘，∴△AA′E是等腰直角三角形，∴A′E=AA′=x，A′D=AD−AA′=12−x，∵两个三角形重叠部分的面积为32，∴x(12−x)=32，整理得,x2−12x+32=0，解得x1=4,x2=8，即移动的距离AA′等4或8.【点睛】本题考查正方形和图形的平移，熟练掌握计算法则是解题关键·.18．【解析】【分析】先求出袋子中球的总个数及白球的个数再根据概率公式解答即可【详解】∵在一个不透明的口袋中装有3个红球1个白球共4个球∴任意摸出1个球摸到白球的概率是【点睛】本题考查了概率公式解题的关键解析：1 4【解析】【分析】先求出袋子中球的总个数及白球的个数，再根据概率公式解答即可．【详解】∵在一个不透明的口袋中装有3个红球、1个白球，共4个球，∴任意摸出1个球，摸到白球的概率是1 4 .【点睛】本题考查了概率公式，解题的关键是熟练的掌握概率公式的知识点.19．x＜-1或x＞3【解析】【分析】根据二次函数的增减性求解即可【详解】由题意得二次函数的对称轴为故当时y随x的增大而增大当时y随x的增大而减小∵∴当函数值y＞0时x的取值范围是x＜-1或x＞3故答案为解析：x＜-1或x＞3【解析】【分析】根据二次函数的增减性求解即可．【详解】由题意得，二次函数的对称轴为1x故当1x >时，y 随x 的增大而增大，当1x <时，y 随x 的增大而减小，∵()()1,0,3,0-∴当函数值y ＞0时，x 的取值范围是x ＜-1或x ＞3故答案为：x ＜-1或x ＞3．【点睛】本题考查了二次函数的问题，掌握二次函数的增减性是解题的关键．20．-【解析】【分析】利用根与系数的关系可得出x1+x2=1x1•x2=-3将其代入=中即可得出结论【详解】∵x1x2是方程x2﹣x ﹣3＝0的两根∴x1+x2＝1x1•x2＝﹣3∴＝＝＝﹣故答案为：﹣【解析：-13【解析】【分析】 利用根与系数的关系可得出x 1+x 2=1，x 1•x 2=-3，将其代入1211+x x =1212x x x x +⋅中即可得出结论．【详解】∵x 1，x 2是方程x 2﹣x ﹣3＝0的两根，∴x 1+x 2＝1，x 1•x 2＝﹣3， ∴1211+x x ＝1212x x x x +⋅＝13-＝﹣13． 故答案为：﹣13． 【点睛】 本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于-b a ，两根之积等于c a ”是解题的关键． 三、解答题21．（1）2555014000w x x =-+-；（2）当售价定为54元时，每周获得的利润最大，最大利润为1120元．【解析】【分析】（1）根据所得利润=每件利润×销售量，可以列出w 与x 之间的函数关系式并化简为二次函数一般形式；（2）由市场售价不得低于50元/个，且商场每周销售数量不得少于80个的销售任务可以确定x 的取值范围，然后结合二次函数图像性质可以解答本题．【详解】解：（1）根据题意，得()()()()2=---=--=-+-w x x x x x x40100550403505555014000⎡⎤⎣⎦，因此，利润与售价之间的函数关系式为2555014000=-+-w x x（2）∵销售量不得少于80个，∴100-5（x-50）≥80，∴x≤54，∵x≥50，∴50≤x≤54，2=-+-555014000w x x()2511014000=---x x()222=--+--x x51105555140002=--+5(55)1125x∵a=－5＜0，开口向下，对称轴为直线x=55，∴当50≤x≤54时，w随着x的增大而增大，∴当x=54时，w最大值=()2--+，554551125=1120因此，当售价定为54元时，每周获得的利润最大，最大利润为1120元．【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，可以写出相应的函数解析式，并确定自变量的取值范围以及可以求出函数的最值．22．（I）BD＝22；（II）见解析.【解析】【分析】（I）连接OD，易证△DOB是等腰直角三角形，由勾股定理即可求出BD的长；（II）由角平分线的定义结合（1）的结论即可得出∠CBD+∠CBE＝∠BAE+∠ABE，再根据三角形外角的性质即可得出∠EBD＝∠DEB，由此即可证出BD＝DE．【详解】解：（I）连接OD，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵∠BAC的平分线交⊙O于点D，∴∠BAD＝∠CAD＝45°，∴∠BOD＝90°，∵BC＝4，∴BO＝OD＝2，∴BD==；（II）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE．∵∠BAD＝∠CBD，∴∠CBD+∠CBE＝∠BAE+∠ABE．又∵∠DEB＝BAE+∠ABE，∴∠EBD＝∠DEB，∴BD＝DE．【点睛】本题考查了三角形外接圆与外心、垂径定理、圆周角定理以及角平分线的定义，熟练掌握和圆有关的性质是解题的关键．23．（1）y=﹣x2+2x+3；（2）C（0，3），D（1，4）；（3）P（2，3）．【解析】【分析】（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数b、c的值，进而可得到抛物线的对称轴方程；（2）令x=0，可得C点坐标，将函数解析式配方即得抛物线的顶点C的坐标；（3）设P（x，y）（x＞0，y＞0），根据题意列出方程即可求得y，即得D点坐标．【详解】（1）由点A（﹣1，0）和点B（3，0）得10 930b cb c--+=⎧⎨-++=⎩，解得：23bc=⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）令x=0，则y=3，∴C（0，3）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴D（1，4）；（3）设P（x，y）（x＞0，y＞0），S△COE=12×1×3=32，S△ABP=12×4y=2y，∵S△ABP=4S△COE，∴2y=4×32，∴y=3，∴﹣x2+2x+3=3，解得：x1=0（不合题意，舍去），x2=2，∴P（2，3）．【点睛】本题考查了二次函数解析式的确定、抛物线的顶点坐标求法，图形面积的求法等知识，根据S△ABP=4S△COE列出方程是解决问题的关键．24．（1）当x=3时，B同学获胜可能性大（2）当x=4时，游戏对双方是公平的【解析】【分析】（1）比较A、B两位同学的概率解答即可.（2）根据游戏的公平性，列出方程解答即可.【详解】（1）A同学获胜可能性为，B同学获胜可能性为，因为＜，当x＝3时，B同学获胜可能性大.（2）游戏对双方公平必须有：，解得x＝4，所以当x＝4时，游戏对双方是公平的.【点睛】本题主要考查随机事件的概率的概念.25．（1）x=﹣2或x=4；（2）52＜x＜3【解析】【分析】（1）用因式分解法求解；（2）分别求不等式，再确定公共解集．【详解】解：（1）∵（x+2）（x﹣4）=0，∴x+2=0或x﹣4=0，解得：x=﹣2或x=4；（2）解不等式x﹣3（x﹣２）＜1，得：x＞52，解不等式12x＜1，得：x＜3，∴不等式组的解集为52＜x＜3．【点睛】考核知识点：解一元二次方程方程，解不等式组．掌握解不等式组和一元二次方程的基本方法是关键．。