湘教版七年级下册数学：2.2.1平方差公式 (2) (共24张PPT)
（a）
（b）
典例剖析
例1 用平方差公式计算:
(1) (2x+1)(2x-1); (2) (x-2y)(x+2y).
典例剖析
例2 用平方差公式计算:
(1) (2x 1 y)(2x 1 y);
2
2
(2)(4a b)(b 4a).
(a+b)(a-b)=a2-b项符号相同, 另一项则符号相反.
(a+b)(m+n) =am +an +bm +bn
观察以下多项式与多项式相乘，你发现什么特点？ 运算出结果后，你又发现什么规律？
计算下列多项式的积．
（1）（a＋1）（a－1）= a2－112 （2）（m＋2）（m－2）= m2－242
（3） （2a+1）（2 a−1）= 4a （2a）22 －121
湘教版七年级下册数学§2.2.1
平方差公式
想一想
老板,我要喷绘一张来宾 金秀圣堂山景区宣传图纸， 它的长为10.3米，宽为 9.7米.请您帮我快速计算 一下这张喷绘的面积是多 少？
10.3 ×9.7= ？
多项式与多项式是如何相乘的？
多项式乘法法则: 用一个多项式的每一项乘以另 一个多项式的每一项，再把所 得的积相加.
猜想：
(a＋b) (a－b) = a2－b2
请同学们计算验证
验证
(a+b)(a-b) = a2-b2
(a+b)(a-b) = a2-ab+ab-b2 = a2-b2
结论
我们把
(a+b)(a-b)= a2 -b2 .
叫做平方差公式. 即两个数的和与这两个数的差的 积等于这两个数的平方差.
说一说
将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形， 并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这 两个长方形拼成如图（b）你能用这两个图来解释平方 差公式吗？
老总，通过今天的 学习，我能帮您迅 速计算这张喷绘的 面积了！
计算： (2(-21+) 1)(22+1)(24+1)…(232+1)+1
我思
我进步
通过本节课，你有什么收获？
你还存在哪些疑问，和同伴 交流。
课堂作业：
p50A组第1题; p52A组第3题（1）（2）小题.
谢谢！
(x-1)(x+1 )(x2+1) =
返回
3分
下列各式不能用平方差公式计算的有____④_____.(只
填序号）
① (a+b)(b-a);
② (a+b+c)(a+b-c);
③ (-a+b)(-a-b);
④ (-a+b)(a-b）.
返回
亲，手气不错哦！
2分
返回
学以致用
101.30.×39×.79=.7=(10？+0.3)(10-0.3) =102-0.32=99.91
2.右边为“相同项”的平方减去“相反项”的平方.
1.计算
(1) (m+n)(-n+m);
(2) (-x-y) (x-y);
(3) (x-1)(x+1)(x2+1);
(4) 1022-982.
2.下列各式不能用平方差公式计算的有 _________.(只填序号）
① (a+b)(b-a) ; ②(a+b+c)(a+b-c);
③ (-a+b)(-a-b); ④ (-a+b)(a-b）.
123 45 6
2分
计算： (m+n)(-n+m) =
(a+b)(a-b)=a2-b2
返回
3分
计算：
(-x-y)(x-y)=
(a+b)(a-b)=a2-b2
返回
3分 (a+b)(a-b)=a2-b2
计算：1022-982
返回
4分
计算：
合集下载
湘教版七年级下册2.平方差公式课件
=＝2 0032－(2 003－1)(2 003＋1)
2 0032－(2 0032－1) ＝2 0032－2 0032＋1 ＝1.
A．(a－2)(2＋a)＝a2－2
B．(x＋2)(2x－2)＝2x2－4
C．(－a－b)(a＋b)＝a2－b2
D．(ab－3)(ab＋3)＝a2b2－9
3、计算：
(1)
2x2
3 2
a
2x2
3 2
a
＝__4_x_4－__94_a2_____；
(2)(－5a－2b)(5a－2b)＝_4_b_2_－__2_5_a_2___；
(2)(x+2y)(x-2y)
解：原式＝ (2x)2 -12 原式＝ｘ２－（２ｙ）２
＝4x2 - 1
＝x2 – ４ｙ２
1、先把要计算的式子与公式对照,
2、哪个是 a ,哪个是 b.
例2 运用平方差公式计算：
（ 解 1） - - 2 2 x x - - 1 2 1 2y y - - 2 2 x x + + 1 21 2 y y （解2）：= (((444aaa++)bb2))(-(-b-b2b++44aa)).
（3）51×49
=4 a2－9；
=(50+1)(50-1)
=502－12
（4）(－2x2－y)(－2x2+y) =(-2x2)2－y2=2500-1
=4x4－y2.
=2499
（5）(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)
=(9x2－16)－(6x2+5x -6) =3x2－5x- 10
2、下列各式运算正确的是( D ）
第二章
2 0032－(2 0032－1) ＝2 0032－2 0032＋1 ＝1.
A．(a－2)(2＋a)＝a2－2
B．(x＋2)(2x－2)＝2x2－4
C．(－a－b)(a＋b)＝a2－b2
D．(ab－3)(ab＋3)＝a2b2－9
3、计算：
(1)
2x2
3 2
a
2x2
3 2
a
＝__4_x_4－__94_a2_____；
(2)(－5a－2b)(5a－2b)＝_4_b_2_－__2_5_a_2___；
(2)(x+2y)(x-2y)
解：原式＝ (2x)2 -12 原式＝ｘ２－（２ｙ）２
＝4x2 - 1
＝x2 – ４ｙ２
1、先把要计算的式子与公式对照,
2、哪个是 a ,哪个是 b.
例2 运用平方差公式计算：
（ 解 1） - - 2 2 x x - - 1 2 1 2y y - - 2 2 x x + + 1 21 2 y y （解2）：= (((444aaa++)bb2))(-(-b-b2b++44aa)).
（3）51×49
=4 a2－9；
=(50+1)(50-1)
=502－12
（4）(－2x2－y)(－2x2+y) =(-2x2)2－y2=2500-1
=4x4－y2.
=2499
（5）(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)
=(9x2－16)－(6x2+5x -6) =3x2－5x- 10
2、下列各式运算正确的是( D ）
第二章
湘教版七年级数学下册课件：2.2.1 平方差公式
5．(2分)计算：(x＋1)(x－1)＝__x2－1__． 6．(2分)计算：(3a＋2b)(3a－2b)＝__9a2－4b2__． 7．(4分)(2015·温州)化简：(2a＋1)(2a－1)－4a(a－1)． 解：4a－1 平方差公式的应用 8．(3分)若a＋b＝4，a2－b2＝8，则a－b的值是( B ) A．1 B．2 C．4 D．8 9．(3分)若(x2＋1)(x＋1)(x－1)＝xn－1，则n等于( B ) A ．2 B．4 C．6 D．8
2．(2分)下列计算正确的是( D ) A．(x＋3)(x－3)＝x2＋9 B．(x－1)(2x＋1)＝2x2－1 C．(x－3)(x2＋9)＝x3－27 D．(x－5)(－5－x)＝－x2＋25 3．(2分)计算(－2a－b)(2a－b)的结果为( B ) A．4a2－b2 B．b2－4a2 C．4a2＋b2 D．－4a2－b2 4．(2分)(x2＋y2)－(x＋y)(x－y)的结果是( A ) A．2y2 B．0 C．2x2 D．2x2－2y2
(3)(3a＋b－2)(3a－b＋2)； 解：9a2－b2＋4b－4
(4)
解：500
【综合运用】
20．(14分)阅读下列材料： 某同学在计算3(4＋1)(42＋1)时，把3写成4－1后，发现可
以连续运用平方差公式计算：3(4＋1)(42＋1)＝(4－1) (4＋1)(42＋1)＝(42－1)(42＋1)＝162－1，很受启发．后来 在求(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)·…·(22014＋1)的值时， 又改造此法，将乘积式前面乘1，且把1写为2－1，得 (2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)·…·(22014＋1) ＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)·…·(22014＋1) ＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)·…·(22014＋1) ＝…＝(22014－1)(22014＋1)＝24028－1.
2022年数学湘教版七下《平方差公式》立体课件(公开课版)
解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x) ＝4x2－y2－ (4y2－x2) ＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.
当x＝1，y＝2时，原式＝5×12－5×22＝－15.
方法总结：利用平方差公式先化简再求值， 切忌代入数值直接计算．
例5 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给 了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这 块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续原价租 给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认 为李大妈吃亏了吗？为什么？
1、线段大小就是指线段的
。
2.任意画两条线段AB, CD.怎样比较两条线段的长短？
A
B
C
D
方法一：使用直尺
线段AB= cm，线段CD= cm，所以AB CD
方法二：使用圆规
将线段 移到线段 上进行比较，将点A与点 重合，若点 B在点C、点D之间则AB CD；若点B与点D重合则AB CD；若点B在CD延长线上则AB CD；
线段AB就是所求的线段a.
2、掌握线段的基本事实
关
注
生
A
活
B
D
C
小明和小聪各在两个学校,圣诞节快到了,他们想交换礼物。 于是他们决定利用今天中午休息时间见面,但两个学校之间 有四条路可走，你说他们该选择在哪条路上能较快见面?
甲
小明
乙
小聪
丙 丁
实践出真知
解：李大妈吃亏了．理由如下：原正方形的
面积为a2，改变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝ a2－16.∵a2＞a2－16，∴李大妈吃亏了．
1.下列式子可用平方差公式计算吗? 为什么? 如 果能够，怎样计算?
(1) (a+b)(a−b) ； (不能)
当x＝1，y＝2时，原式＝5×12－5×22＝－15.
方法总结：利用平方差公式先化简再求值， 切忌代入数值直接计算．
例5 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给 了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这 块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续原价租 给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认 为李大妈吃亏了吗？为什么？
1、线段大小就是指线段的
。
2.任意画两条线段AB, CD.怎样比较两条线段的长短？
A
B
C
D
方法一：使用直尺
线段AB= cm，线段CD= cm，所以AB CD
方法二：使用圆规
将线段 移到线段 上进行比较，将点A与点 重合，若点 B在点C、点D之间则AB CD；若点B与点D重合则AB CD；若点B在CD延长线上则AB CD；
线段AB就是所求的线段a.
2、掌握线段的基本事实
关
注
生
A
活
B
D
C
小明和小聪各在两个学校,圣诞节快到了,他们想交换礼物。 于是他们决定利用今天中午休息时间见面,但两个学校之间 有四条路可走，你说他们该选择在哪条路上能较快见面?
甲
小明
乙
小聪
丙 丁
实践出真知
解：李大妈吃亏了．理由如下：原正方形的
面积为a2，改变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝ a2－16.∵a2＞a2－16，∴李大妈吃亏了．
1.下列式子可用平方差公式计算吗? 为什么? 如 果能够，怎样计算?
(1) (a+b)(a−b) ； (不能)
湘教版七年级数学下册第二章《平方差公式》优课件
③（m＋ 6n)( m－6n)= m22 － 3(66nn)22
观察 & 发现
观察以上的
算式及运算结果有什么特点？
你能猜想：(a+b)(a−b)=？
a
a b
b
你能从 这个游 戏中得 到一个 怎样的 等式？
(a+b)(a−b)=a −b 2 2 如图：在边长为a的大正方形的一角剪去一个边
长为b的小正方形。
平方差公式
旧知回顾
多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n) =am+an +bm+bn
Zx.xk
（x ＋2)( x－3） =x2－3x ＋2X －6 =x2 －x －6
算一算，比一比，看谁算得又快又准
计算下列各题
①（x ＋ 4)( x－4）= xx22－－4126 ②（1 ＋ 2a)( 1－2a）=112－－(42a2)2
（1）图中的红色部分部分面积是__a_2___b__2__
（2）你能否将红色部分拼成一个完整的长方形图案吗？
你拼出的长方形的面积是_(_a____b__)__(a___b_)__
平方差公式：
(a+b)(a−b)= a2−b2
两数和与这两数差的积, 等于 这两数的平方差.
Z.x.x. K
结构特征： ●左边是两个二项式相乘,并且有一 项完全相同，另一项互为相反数. ●右边是这两项的平方差.
平方差公式
相同为a
(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2
相反为b
注：这里的两数可以是两个单项式也可以是两 个多项式等等．
1、找一找、填一填
(a+b)(a-b) 相同 相反 结果
222完全平方差公式(2)ppt数学七年级下册配湘教版同步教学课件
2 2
=
x2
-
x
+
1 4
山东星火国际传媒集团
例 运用完全平方公式计算：
（3）( 2 x2 y 3 xy 2 )2 34
(2 x2 y)2 2 2 x2 y 3 xy2 (3 xy2 )2
3
34 4
4 x4y2 x3y3 9 x2y4
9
16
山东星火国际传媒集团
1. 运用完全平方公式计算：
山东星火国际传媒集团
2.2.2 完全平方公式（2）
山东星火国际传媒集团
新课导入
完全平方公式的数学表达式：
我们把 (a+b)2=a2+2ab+b2，
(a-b)2=a2-2ab+b2.
都叫做完全平方公式.
两数和(或差)的平方，等于它们的平 方和，加上(或减去)它们的积的2倍.
山东星火国际传媒集团
你能利用完全平方公式快速 地计算出(2x+y)2吗？
山东星火国际传媒集团
2、计算：（1） （3x+2y)(3x-2y)-(3x-2y)2 12xy-8y2 (2) (2a+3)2+(3a-2)2 13a2+13 (3) （a-2b+3c-1)(a+2b-3c-1) a2-4b2-9c2-2a+12bc+1
山东星火国际传媒集团
例1 已知 (m-n)2=8，(m+n)2=2，则 m2+n2=（C） A．10 B．6 C．5 D． 3
可以用类似的方法直接得到(2x-y)2的结果吗？
(2x y)2 4x2 4x y2
山东星火国际传媒集团
例 运用完全平方公式计算：
湘教版七年级数学下册《平方差公式》精品课件
同学们，你们觉得王大爷吃亏了吗？
新知讲解
计算下列各式，你能发现什么规律：
(a + 1 )( a - 1) = a2- a + a - 12 = a2- 12 ， (a + 2 )( a – 2) = a2- 2a + 2a - 22= a2- 22 ， (a + 3 )( a - 3) = a2- 3a + 3a -32= a2- 32 ， (a + 4 )( a - 4 ) = a2- 4a + 4a -42= a2-42 .
新知讲解
【自主解答】 (1)(3x+1)(3x-1)=(3x)2-12 =9x2-1. (2)(a-2b)(-a-2b)=(-2b+a)(-2b-a) =(-2b)2-a2 =4b2-a2.
新知讲解
【总结提升】运用平方差公式进行计算的三步法
变
形
将算式变形为两数与两数差的积的形式
套 公
套用公式，将结果写成两数平方差的形式
新知讲解
（1）(2x+1)(2x-1) 解 (2x+1)(2x-1)
= (2x)2-12 = 4x2-1.
（2）(x+2y)(x-2y) 解 (x+2y)(x-2y)
= x2 -(2y)2 = x2 -4y2
新知讲解
【例2】 运用平方差公式计算：
（1）
-2
x
-
1
y
-2
x
+
1
y
2
2
；
新知讲解
【总结】平方差公式: a2-b2
(1)式子表示:(a+b)(a-b)=___________. (2)语言叙述:两个数的__和____与这两个数的__差___的 积等于这两个数的_平__方__差__.
湘教版数学七年级下册第三章《平方差公式法》优课件
例1 把 4 x 2 - y 2 因式分解 .
分析 可以用平方差公式吗？
解 4x2 - y2
因为= (4 2x x2可)2以- 写y2成 ( 2 x )，2 所以能 用平方差= 公(2式x分+y解)(。2x-y)
例2 把 25 x 2 - 9 y 2因式分解
4
解 25 x2 - 9 y2 4
= ( 5 x )2 - ( 3 y )2 2
x 2 - 2 能表示成两个多项式的乘积形式吗？
如果2能写成 某个数的平方 ，那就能用平 方差分解因式
了.
上学期学过，
2
2
=2
所以
x2 -2= x2 -
2
2
=(x+ 2)(x- 2)
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月5日星期二2022/4/52022/4/52022/4/5 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/52022/4/52022/4/54/5/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/52022/4/5April 5, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
= (x2+y2)(x+y)(x-y)
因式分解中必须进行到 每个因式都不能分解为 止.
动脑筋
下列多项式能否用平方差公式来分解因式？
( 1 )x2 + y2 ( 3 )x2 -(- y)2
( 2 )- x2 + y2 ( 4 )- x2 - y2
(1)(4)不能用平方 差公式分解因式， (1)是平方和的形 式，(4)是平方和 的相反数
2022年湘教版七年级数学下册第二章《 平方差公式》优质课课件
分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
2.计算下列各式：
（1） x+2x-2
（2）1+3a1-3a
x 2-4 1 -9 a 2
（3）x+5yx-5y x 2 - 2 5 y 2
（4）(y+3z)(y-3z)
y 2 -9 z 2
观察以上算式及其运算结果，你发现了什么规律？
平方差公式：
(a+b)(a-b)=a2b2 两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差.
3.计算:
(1)2.03 (1.97) (2)(a-3)(a+3)(a2 +9)
解析：(1)原式 (0.03 2)(0.03 2)
0.032 2 2 3.999 1.
(2)原式 (a2 9)(a2 9) (a2)2 92 a 4 81.
平方差公式：
(a b)(a b) a 2 b 2
【例1】利用平方差公式计算： (1)(5+6x)(5-6x). (2)(x-2y)(x+2y). (3)(-m+n)(-m-n).
【解析】（1）(5+6x)(5-6x)
52 (6x)2 2536x2.
（2）(x-2y)(x+2y)
x2 (2y)2 =x 2 -4y2.
（3）(-m+n)(-m-n)
a 4 a 3b a 3b a 2b 2 a 2b 2
a4.
解：原式 a 2 (a 2 b2 ) a 2b2
a 4 a 2b2 a 2b2
a4. 下面的这种解法简单.
1.（日照·中考）由m（a+b+c）=ma+mb+mc，可得： （a+b）·（a2-ab+b2）=a3-a2b+ab2+a2b-ab2+b3=a3+b3， 即（a+b）·（a2-ab+b2）=a3+b3 ①．我们把等式①叫做 多项式乘法的立方公式.下列应用这个立方公式进行的变 形不正确的是（ ） A.(x+4y)(x2-4xy+16y2)=x3+64y3 B.(2x+y)(4x2-2xy+y2)=8x3+y3 C.(a+1)(a2＋a+1)=a3+1 D. x3+27=(x+3)(x2-3x+9)