相似三角形教案(一)
第二十七章 相似27.1 图形的相似（一）一、教学目标1． 理解并掌握两个图形相似的概念．2． 了解成比例线段的概念，会确定线段的比．二、重点、难点1． 重点：相似图形的概念与成比例线段的概念．2． 难点：成比例线段概念．3． 难点的突破方法（1）对于相似图形的概念，可用大量的实例引入，但要注意教材中“把形状相同的图形说成是．．．相似图形”，只是对相似图形概念的一个描述，不是定义；还要强调：①相似形一定要形状相同，与它的位置、颜色、大小无关（其大小可能一样，也有可能不一样，当形状与大小都一样时，两个图形就是全等形，所以全等形是一种特殊的相似形）；②相似形不仅仅指平面图形，也包括立体图形的情况，如飞机和飞机模型也是相似形；③两个图形相似，其中一个图形可以看作有另一个图形放大或缩小得到的，而把一个图形的部分拉长或加宽得到的图形和原图形不是相似图形．（2）对于成比例线段：①我们是在学生小学学过数的比，及比例的基本性质等知识的基础上来学习成比例线段的；②两条线段的比与所采用的长度单位没有关系，在计算时要注意统一单位；③线段的比是一个没有单位的正数；④四条线段a,b,c,d 成比例，记作d c b a =或a:b=c:d ；⑤若四条线段满足dc b a =，则有ad=bc （为利于今后的学习，可适当补充：反之，若四条线段满足ad=bc ，则有dc b a =，或其它七种表达形式）． 三、例题的意图本节课的三道例题都是补充的题目，例1是一道判断图形相似的选择题，通过讲解要使学生明确：（1）相似形一定要形状相同，与它的位置、颜色、大小无关；（2）两个图形相似，其中一个图形可以看作有另一个图形放大或缩小得到的，而把一个图形的部分拉长或加宽得到的图形和原图形不是相似图形；（3）在识别相似图形时，不要以位置为准，要“形状相同”；例2通过分别采用m 、cm 、mm 三种不同的长度单位，求得的ba 的值相等，使学生明确：两条线段的比与所采用的长度单位无关，但求比时两条线段的长度单位必须一致；例3是求线段的比的题，要使学生对比例尺有进一步的认识：比例尺=实距图距实际距离图上距离=，而求图上距离与实际距离的比就是求两条线段的比． 四、课堂引入1．（1）请同学们看黑板正上方的五星红旗，五星红旗上的大五角星与小五角星他们的形状、大小有什么关系？再如下图的两个画面，他们的形状、大小有什么关系．（还可以再举几个例子）（2）教材P36引入．（3）相似图形概念：把形状相同的图形说成是相似图形．（强调：见前面）（4）让学生再举几个相似图形的例子．（5）讲解例1．2．问题：如果把老师手中的教鞭与铅笔，分别看成是两条线段AB 和CD ，那么这两条线段的长度比是多少？归纳：两条线段的比，就是两条线段长度的比．3．成比例线段：对于四条线段a,b,c,d ，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如dc b a =（即ad=bc ），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 【注意】 （1）两条线段的比与所采用的长度单位没有关系，在计算时要注意统一单位；（2）线段的比是一个没有单位的正数；（3）四条线段a,b,c,d 成比例，记作d c b a =或a:b=c:d ；（4）若四条线段满足dc b a =，则有ad=bc ． 五、例题讲解例1（补充：选择题）如图，下面右边的四个图形中，与左边的图形相似的是（ ）分析：因为图A 是把图拉长了，而图D 是把图压扁了，因此它们与左图都不相似；图B 是正六边形，与左图的正五边形的边数不同，故图B 与左图也不相似；而图C 是将左图绕正五边形的中心旋转180º后，再按一定比例缩小得到的，因此图C 与左图相似，故此题应选C.例2（补充）一张桌面的长a=1.25m ，宽b=0.75m ，那么长与宽的比是多少？（1）如果a=125cm ，b=75cm ，那么长与宽的比是多少？（2）如果a=1250mm ，b=750mm ，那么长与宽的比是多少？解：略．（35b a =） 小结：上面分别采用m 、cm 、mm 三种不同的长度单位，求得的b a 的值是相等的，所以说，两条线段的比与所采用的长度单位无关，但求比时两条线段的长度单位必须一致．例3（补充）已知：一张地图的比例尺是1:32000000，量得北京到上海的图上距离大约为3.5cm ，求北京到上海的实际距离大约是多少km ？分析：根据比例尺=实际距离图上距离，可求出北京到上海的实际距离． 解： 略答：北京到上海的实际距离大约是1120 km ．六、课堂练习1．教材P37的观察．2．下列说法正确的是（ ）A ．小明上幼儿园时的照片和初中毕业时的照片相似.B ．商店新买来的一副三角板是相似的.C ．所有的课本都是相似的.D ．国旗的五角星都是相似的.3．如图，请测量出右图中两个形似的长方形的长和宽，（1）（小）长是_______cm ，宽是_______cm ； （大）长是_______cm ，宽是_______cm ；（2）（小）=长宽 ；（大）=长宽 ． （3）你由上述的计算，能得到什么结论吗？（答：相似的长方形的宽与长之比相等）4．在比例尺是1:8000000的“中国政区”地图上，量得福州与上海之间的距离时7.5cm，那么福州与上海之间的实际距离是多少？5．AB两地的实际距离为2500m，在一张平面图上的距离是5cm，那么这张平面地图的比例尺是多少？七、课后练习1．观察下列图形，指出哪些是相似图形：（答：相似图形分别是：(1)和(8)；(2)和(6)；(3)和(7) ）2．教材P37练习1、2．3．教材P40 练习1与习题1 ．教学反思27.1 图形的相似（二）一、教学目标1．知道相似多边形的主要特征，即：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．2．会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用其性质进行相关的计算．二、重点、难点1．重点：相似多边形的主要特征与识别．2．难点：运用相似多边形的特征进行相关的计算．3．难点的突破方法（1）判别两个多边形是否相似，要看这两个多边形的对应角是否相等，且对应边的比是否也相等，这两个条件缺一不可；可以以矩形、菱形为例说明：仅有对应角相等，或仅有对应边的比相等的两个多边形不一定相似（见例1），也可以借助电脑直观演示，增加效果，从而纠正学生的错误认识．（2）由相似多边形的特征可知，如果已知两个多边形相似，就等于知道它们的对应角相等，对应边的比相等（对应边成比例），在计算时要能灵活运用．（3）相似比是一个很重要的概念，它实质是把一个图形放大或缩小的倍数（即相似多边形的对应边的长放大或缩小的倍数）．三、例题的意图本节课安排了3个例题，例1与例3都是补充的题目，其中通过例1的学习，要让学生了解判别两个多边形是否相似，要看这两个多边形的对应角是否相等，且对应边的比是否也相等，这两个条件缺一不可；而若说明两个多边形不相似，则必须说明各角无法对应相等或各对应边的比不相等，或举出合适的反例，在解决这个问题上，依靠直觉观察是不可靠的；例2是教材P39的例题，它主要考查的是相似多边形的特征，运用相似多边形的对应角相等，对应边的比相等即可求解；例3是相似多边形特征的灵活运用（使用方程思想）的题目，在教学中还可根据自己的学生学习的程度，适当增加一些题目用以巩固相似多边形的性质．四、课堂引入1．如图的左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形．2．问题：对于图中两个相似的四边形，它们的对应角，对应边的比是否相等．3．【结论】：（1）相似多边形的特征：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．反之，如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似．（2）相似比：相似多边形对应边的比称为相似比．问题：相似比为1时，相似的两个图形有什么关系？结论：相似比为1时，相似的两个图形全等，因此全等形是一种特殊的相似形．五、例题讲解例1（补充）（选择题）下列说法正确的是（）A．所有的平行四边形都相似B．所有的矩形都相似C．所有的菱形都相似D．所有的正方形都相似分析：A中平行四边形各角不一定对应相等，因此所有的平行四边形不一定都相似，故A错；B中矩形虽然各角都相等，但是各对应边的比不一定相等，因此所有的矩形不一定都相似，故B错；C中菱形虽然各对应边的比相等，但是各角不一定对应相等，因此所有的菱形不一定都相似，故C也错；D中任两个正方形的各角都相等，且各边都对应成比例，因此所有的正方形都相似，故D说法正确，因此此题应选D．例2（教材P39例题）．分析：求相似多边形中的某些角的度数和某些线段的长，可根据相似多边形的对应角相等，对应边的比相等来解题，关键是找准对应角与对应边，从而列出正确的比例式．解：略例3（补充）已知四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，且A1B1:B1C1:C1D1:D1A1=7:8:11:14，若四边形ABCD的周长为40，求四边形ABCD的各边的长．分析：因为两个四边形相似，因此可根据相似多边形的对应边的比相等来解题．解：∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，∴AB:BC:CD:DA= A1B1:B1C1:C1D1:D1A1．∵A1B1:B1C1:C1D1:D1A1=7:8:11:14，∴AB:BC:CD:DA= 7:8:11:14．设AB=7m，则BC=8m，CD=11m，DA=14m．∵四边形ABCD的周长为40，∴7m+8m+11m+14m=40．∴m=1．∴AB=7，则BC=8，CD=11，DA=14．六、课堂练习1．教材P40练习2、3．2．教材P41习题4．3．（选择题）△ABC 与△DEF 相似，且相似比是32，则△DEF 与△ABC 与的相似比是（ ）． A ．32 B ．23 C ．52 D ．94 4．（选择题）下列所给的条件中，能确定相似的有（ ）（1）两个半径不相等的圆；（2）所有的正方形；（3）所有的等腰三角形；（4）所有的等边三角形；（5）所有的等腰梯形；（6）所有的正六边形．A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个5．已知四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1相似，四边形ABCD 的最长边和最短边的长分别是10cm 和4cm ，如果四边形A 1B 1C 1D 1的最短边的长是6cm ，那么四边形A 1B 1C 1D 1中最长的边长是多少？七、课后练习1． 教材P41习题3、5、6．2．如图，AB ∥EF ∥CD ，CD=4，AB=9，若梯形CDEF 与梯形EFAB相似，求EF 的长．※3．如图，一个矩形ABCD 的长AD= a cm ，宽AB= b cm ，E 、F分别是AD 、BC 的中点，连接E 、F ，所得新矩形ABFE 与原矩形ABCD相似，求a:b 的值． （2:1）教学反思27.2.1 相似三角形的判定（一）一、教学目标1．经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程，进一步发展学生的探究、交流能力．2．掌握两个三角形相似的判定条件（三个角对应相等，三条边的比对应相等，则两个三角形相似）——相似三角形的定义，和三角形相似的预备定理（平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）．3．会运用“两个三角形相似的判定条件”和“三角形相似的预备定理”解决简单的问题．二、重点、难点1．重点：相似三角形的定义与三角形相似的预备定理．2．难点：三角形相似的预备定理的应用．3．难点的突破方法（1）要注意强调相似三角形定义的符号表示方法（判定与性质两方面），应注意两个相似三角形中，三边对应成比例，AC CA C B BC B A AB ''=''=''每个比的前项是同一个三角形的三条边，而比的后项分别是另一个三角形的三条对应边，它们的位置不能写错；（2）要注意相似三角形与全等三角形的区别和联系，弄清两者之间的关系．全等三角形是特殊的相似三角形，其特殊之处在于全等三角形的相似比为1．两者在定义、记法、性质上稍有不同，但两者在知识学习上有很多类似之处，在今后学习中要注意两者之间的对比和类比；（3）要求在用符号表示相似三角形时，对应顶点的字母要写在对应的位置上，这样就会很快地找到相似三角形的对应角和对应边；（4）相似比是带有顺序性和对应性的（这一点也可以在上一节课中提出）：如△ABC ∽△A ′B ′C ′的相似比k A C CA C B BC B A AB =''=''=''，那么△A ′B ′C ′∽△ABC 的相似比就是k1CA A C BC C B AB B A =''=''=''，它们的关系是互为倒数．这一点在教学中科结合相似比“放大或缩小”的含义来让学生理解；（5）“平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”定理也可以简单称为“三角形相似的预备定理”．这个定理揭示了有三角形一边的平行线，必构成相似三角形，因此在三角形相似的解题中，常作平行线构造三角形与已知三角形相似．三、例题的意图本节课的两个例题均为补充的题目，其中例1是训练学生能正确去寻找相似三角形的对应边和对应角，让学生明确可类比全等三角形对应边、对应角的关系来寻找相似三角形中的对应元素：即（1）对顶角一定是对应角；（2）公共角一定是对应角；最大角或最小的角一定是对应角；（3）对应角所对的边一定是对应边；（4）对应边所对的角一定是对应角；对应边所夹的角一定是对应角．例2是让学生会运用“三角形相似的预备定理”解决简单的问题，这里要注意，此题两次用到相似三角形的对应边成比例（也可以先写出三个比例式，然后拆成两个等式进行计算），学生刚开始可能不熟练，教学中要注意引导．四、课堂引入1．复习引入（1）相似多边形的主要特征是什么？（2）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．在△ABC 与△A ′B ′C ′中，如果∠A=∠A ′, ∠B=∠B ′, ∠C=∠C ′, 且k A C CA C B BC B A AB =''=''=''． 我们就说△ABC 与△A ′B ′C ′相似，记作△ABC ∽△A ′B ′C ′，k 就是它们的相似比． 反之如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，则有∠A=∠A ′, ∠B=∠B ′, ∠C=∠C ′, 且A C CA C B BC B A AB ''=''=''． （3）问题：如果k=1，这两个三角形有怎样的关系？2．教材P42的思考，并引导学生探索与证明．3．【归纳】三角形相似的预备定理 平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．五、例题讲解例1（补充）如图△ABC ∽△DCA ，AD ∥BC ，∠B=∠DCA ．（1）写出对应边的比例式；（2）写出所有相等的角；（3）若AB=10,BC=12,CA=6．求AD 、DC 的长．分析：可类比全等三角形对应边、对应角的关系来寻找相似三角形中的对应元素．对于（3）可由相似三角形对应边的比相等求出AD 与DC 的长．解：略（AD=3，DC=5）例2（补充）如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD=EC ，DB=1cm ，AE=4cm ，BC=5cm ，求DE 的长．分析：由DE ∥BC ，可得△ADE ∽△ABC ，再由相似三角形的性质，有AC AE AB AD =，又由AD=EC 可求出AD 的长，再根据AB AD BC DE =求出DE 的长． 解：略（310DE =）． 六、课堂练习1．（选择）下列各组三角形一定相似的是（ ）A ．两个直角三角形B ．两个钝角三角形C ．两个等腰三角形D ．两个等边三角形2．（选择）如图，DE ∥BC ，EF ∥AB ，则图中相似三角形一共有（ ）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对3．如图，在□ABCD 中，EF ∥AB ，DE:EA=2:3，EF=4，求CD 的长． （CD= 10）七、课后练习1．如图，△ABC ∽△AED, 其中DE ∥BC ，写出对应边的比例式．2．如图，△ABC ∽△AED ，其中∠ADE=∠B ，写出对应边的比例式．3．如图，DE ∥BC ，（1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC 的值； （2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE 和BC 的长． 教学反思27.2.1 相似三角形的判定（二）一、教学目标1．初步掌握“三组对应边的比相等的两个三角形相似”的判定方法，以及“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”的判定方法．2．经历两个三角形相似的探索过程，体验用类比、实验操作、分析归纳得出数学结论的过程；通过画图、度量等操作，培养学生获得数学猜想的经验，激发学生探索知识的兴趣，体验数学活动充满着探索性和创造性．3．能够运用三角形相似的条件解决简单的问题． 二、重点、难点1． 重点：掌握两种判定方法，会运用两种判定方法判定两个三角形相似． 2． 难点：（1）三角形相似的条件归纳、证明；（2）会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似．3． 难点的突破方法（1）关于三角形相似的判定方法1“三组对应边的比相等的两个三角形相似”，教科书虽然给出了证明，但不要求学生自己证明，通过教师引导、讲解证明，使学生了解证明的方法，并复习前面所学过的有关知识，加深对判定方法的理解．（2）判定方法1的探究是让学生通过作图展开的，我们在教学过程中，要通过从作图方法的迁移过程，让学生进一步感受，由特殊的全等三角形到一般相似三角形，以及类比认识新事物的方法．（3）讲判定方法1时，要扣住“对应”二字，一般最短边与最短边，最长边与最长边是对应边．（4）判定方法2一定要注意区别“夹角相等” 的条件，如果对应相等的角不是两条边的夹角，这两个三角形不一定相似，课堂练习2就是通过让学生联想、类比全等三角形中SSA 条件下三角形的不确定性，来达到加深理解判定方法2的条件的目的的．（5）要让学生明确，两个判定方法说明：只要分别具备边或角的两个独立条件——“两边对应成比例，夹角相等”或“三边对应成比例”就能证明两个三角形相似．（6）要让学生学会自觉总结如何正确的选择三角形相似的判定方法：这两种方法无论哪一个，首先必需要有两边对应成比例的条件，然后又有目标的去探求另一组条件，若能找到一组角相等，而这组对应角又是两组对应边的“夹角”时，则选用判定方法2，若不是“夹角”，则不能去判定两个三角形相似；若能找到第三边也成比例，则选用判定方法1． （7）两对应边成比例中的比例式既可以写成如C A ACB A AB ''=''的形式，也可以写成C A B A AC AB ''''=的形式． （8）由比例的基本性质，“两边对应成比例”的条件也可以由等积式提供． 三、例题的意图本节课安排的两个例题，其中例1是教材P46的例1，此例题是为了巩固刚刚学习过的两种三角形相似的判定方法，（1）是复习巩固“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”的判定方法；（2）是复习巩固“三组对应边的比相等的两个三角形相似” 的判定方法．通过此例题要让学生掌握如何正确的选择三角形相似的判定方法．例2是补充的题目，它既运用了三角形相似的判定方法2，又运用了相似三角形的性质，有一点综合性，由于学生刚开始接触相似三角形的题目，而本节课的内容有较多，故此例题可以选讲． 四、课堂引入 1．复习提问：(1) 两个三角形全等有哪些判定方法？ (2) 我们学习过哪些判定三角形相似的方法？ (3) 全等三角形与相似三角形有怎样的关系？(4) 如图，如果要判定△ABC 与△A ’B ’C ’相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？2．（1）提出问题：首先，由三角形全等的SSS 判定方法，我们会想如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么能否判定这两个三角形相似呢？ （2）带领学生画图探究； （3）【归纳】三角形相似的判定方法1 如果两个三角形的三组对应边的比相等， 那么这两个三角形相似．3．（1）提出问题：怎样证明这个命题是正确的呢？ （2）教师带领学生探求证明方法．4．用上面同样的方法进一步探究三角形相似的条件：（1）提出问题：由三角形全等的SAS 判定方法，我们也会想如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，那么能否判定这两个三角形相似呢？ （2）让学生画图，自主展开探究活动． （3）【归纳】三角形相似的判定方法2 两个三角形的两组对应边的比相等，且它们的夹角相等，那么这两个三角形相似． 五、例题讲解例1（教材P46例1）分析：判定两个三角形是否相似，可以根据已知条件，看是不是符合相似三角形的定义或三角形相似的判定方法，对于（1）由于是已知一对对应角相等及四条边长，因此看是否符合三角形相似的判定方法2“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”，对于（2）给的几个条件全是边，因此看是否符合三角形相似的判定方法1“三组对应边的比相等的两个三角形相似”即可，其方法是通过计算成比例的线段得到对应边．解：略※例2 （补充）已知：如图，在四边形ABCD 中，∠B=∠ACD ，AB=6，BC=4，AC=5，CD=217，求AD 的长． 分析：由已知一对对应角相等及四条边长，猜想应用“两组对应边的比相等且它们的夹角相等”来证明．计算得出ACCDCD AB =，结合∠B=∠ACD ，证明△ABC ∽△DCA ，再利用相似三角形的定义得出关于AD 的比例式ADACAC CD =，从而求出AD 的长． 解：略（AD=425）．六、课堂练习 1．教材P47．2．2．如果在△ABC 中∠B=30°，AB=5㎝，AC=4㎝，在△A ’B ’C ’中，∠B ’=30°A ’B ’=10㎝，A ’C ’=8㎝，这两个三角形一定相似吗？试着画一画、看一看？3．如图，△ABC 中，点D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，求证：△ABC ∽△DEF ． 七、课后练习 1．教材P47．1、3．2．如图，AB •AC=AD •AE ，且∠1=∠2，求证：△ABC ∽△AED ．※3．已知：如图，P 为△ABC 中线AD 上的一点，且BD 2=PD •AD ， 求证：△ADC ∽△CDP ．教学反思27.2.1 相似三角形的判定（三）一、教学目标1．经历两个三角形相似的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力． 2．掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法． 3．能够运用三角形相似的条件解决简单的问题． 二、重点、难点1．重点：三角形相似的判定方法3——“两角对应相等，两个三角形相似” 2．难点：三角形相似的判定方法3的运用． 3．难点的突破方法（1）在两个三角形中，只要满足两个对应角相等，那么这两个三角形相似，这是三角形相似中最常用的一个判定方法．（2）公共角、对顶角、同角的余角（或补角）、同弧上的圆周角都是相等的，是判别两个三角形相似的重要依据．（3）如果两个三角形是直角三角形， 则只要再找到一对锐角相等即可说明这两个三角形相似． 三、例题的意图本节课安排了两个例题，例1是教材P48的例2，是一个圆中证相似的题目，这个题目比较简单，可以让学生来分析、让学生说出思维的方法、让学生自己写出证明过程．并让学生掌握遇到等积式，应先将其化为比例式的方法．例2是一个补充的题目，选择这个题目是希望学生通过这个题的学习，掌握利用三角形相似的知识来求线段长的方法，为下节课学习“27.2.2 相似三角形的应用举例”打基础． 四、课堂引入 1．复习提问：（1）我们已学习过哪些判定三角形相似的方法？（2）如图，△ABC 中，点D 在AB 上，如果AC 2=AD •AB ， 那么△ACD 与△ABC 相似吗？说说你的理由．（3）如（2）题图，△ABC 中，点D 在AB 上，如果∠ACD=∠B ， 那么△ACD 与△ABC 相似吗？——引出课题． （4）教材P48的探究3 ． 五、例题讲解例1（教材P48例2）．分析：要证PA •PB=PC •PD ，需要证PBPCPD PA，则需要证明这四条线段所在的两个三角形相似．由于所给的条件是圆中的两条相交弦，故需要先作辅助线构造三角形，然后利用圆的性质“同弧上的圆周角相等”得到两组角对应相等，再由三角形相似的判定方法3，可得两三角形相似．证明：略（见教材P48例2）．例2 （补充）已知：如图，矩形ABCD 中，E 为BC 上一点，DF ⊥AE 于F ，若AB=4，AD=5，AE=6，求DF 的长．分析：要求的是线段DF 的长，观察图形，我们发现AB 、AD 、AE 和DF 这四条线段分别在△ABE 和△AFD 中，因此只要证明这两个三角形相似，再由相似三角形的性质可以得到这四条线段对应成比例，从而求得DF 的长．由于这两个三角形都是直角三角形，故有一对直角相等，再找出另一对角对应相等，即可用“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法来证明这两个三角形相似．解：略（DF=310）． 六、课堂练习1．教材P49的练习1、2．2．已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE ． 3．下列说法是否正确，并说明理由．（1）有一个锐角相等的两直角三角形是相似三角形； （2）有一个角相等的两等腰三角形是相似三角形． 七、课后练习1． 已知：如图，△ABC 的高AD 、BE 交于点F ． 求证：FDEFBF AF． 2．已知：如图，BE 是△ABC 的外接圆O 的直径，CD 是△ABC 的高．（1）求证：AC •BC=BE •CD ；（2）若CD=6，AD=3，BD=8，求⊙O 的直径BE 的长．教学反思。
27.2相似三角形(教案)
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与相似三角形相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示相似三角形的基本原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
5.培养学生的创新意识：鼓励学生在解决相似三角形问题时，敢于尝试新方法，勇于突破传统思维，培养创新意识。
本节课旨在使学生在学习相似三角形的过程中，全面提升学科核心素养，为未来的学习和生活打下坚实基础。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）相似三角形的定义及判定方法：理解并掌握相似三角形的定义，以及SSS、SAS、ASA、AAS等判定方法，这是本节课的核心内容。
此外，在小组讨论环节，虽然学生们都能够积极参与，但在成果分享时，部分学生表达能力较弱，不能很好地将讨论成果展示出来。针对这个问题，我计划在接下来的课程中，多给予学生一些表达机会，培养他们的语言组织和表达能力。
还有一个值得注意的地方是，在课堂总结时，我发现部分学生对相似三角形在实际生活中的应用仍然感到困惑。为了让学生更好地理解这一点，我打算在下一节课引入更多生活中的实例，让学生们感受到数学知识在实际生活中的重要性。
在教学方法上，我认识到传统的讲授式教学并不能满足所有学生的需求。今后，我需要尝试更多元化的教学方法，如翻转课堂、小组合作学习等，以提高学生的学习兴趣和参与度。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解相似三角形的基本概念。相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。它们在几何学中具有重要地位，广泛应用于实际问题中。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析案例，展示相似三角形在实际中的应用，以及如何帮助我们解决问题。
九年级数学下册《相似三角形的性质》教案、教学设计
-学生回顾全等三角形的性质，为新课的学习打下基础。
（二）讲授新知
1.教师引导学生从相似三角形的定义入手，探讨相似三角形的性质。
-解释相似三角形的定义，强调比例关系。
-引导学生观察相似三角形的边长和角度，发现性质。
2.教师运用几何画板动态展示相似三角形的性质，帮助学生形象理解。
-学生能够运用相似三角形的性质，进行严密的几何证明，掌握证明过程中的逻辑关系。
-学生能够灵活运用相似三角形的性质，解决复合几何问题，提高解题技巧。
3.学会运用相似三角形的性质解决实际问题，增强数学应用能力。
-学生能够运用相似三角形的性质，解决生活中的实际问题，如测量高度、距离等。
-学生能够将相似三角形的性质与其他数学知识相结合，解决综合性的数学问题。
3.培养学生的创新精神和实践能力，激发学生探索未知世界的热情。
-教师鼓励学生提出问题、解决问题，培养学生的创新思维。
-学生通过解决实际问题，感受数学与现实生活的联系，激发探索未知世界的热情。
4.培养学生的严谨学生严谨对待数学问题，养成良好的学习习惯。
（二）教学难点
1.相似三角形性质的推理和证明过程。
2.学生在解决实际问题中，对相似三角形性质的应用。
3.帮助学生建立几何直观，理解相似三角形的空间变化。
教学设想：
1.采用情境导入法，引发学生兴趣
-通过展示生活中与相似三角形相关的实例，如建筑物的立面设计、摄影中的构图等，激发学生的学习兴趣，引导学生认识到相似三角形在实际中的应用。
九年级数学下册《相似三角形的性质》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解相似三角形的定义及其判定条件，掌握相似三角形的性质和比例关系。
相似三角形教案
相似三角形教案一、教学目标1、知识与技能目标理解相似三角形的定义，掌握相似三角形的性质和判定定理。
能够运用相似三角形的性质和判定定理解决简单的几何问题。
2、过程与方法目标通过观察、比较、猜想、验证等数学活动，培养学生的观察能力、逻辑思维能力和创新能力。
经历相似三角形的探索过程，体会数学中的转化思想和分类讨论思想。
3、情感态度与价值观目标让学生在探索相似三角形的过程中，体验成功的喜悦，增强学习数学的信心。
培养学生合作交流的意识和勇于探索的精神。
二、教学重难点1、教学重点相似三角形的定义、性质和判定定理。
相似三角形的应用。
2、教学难点相似三角形判定定理的证明。
灵活运用相似三角形的性质和判定定理解决实际问题。
三、教学方法讲授法、讨论法、探究法四、教学过程1、导入新课展示生活中常见的相似三角形的图片，如金字塔、埃菲尔铁塔等，引导学生观察并思考这些图形的特点。
提问：这些图形有什么共同的特征？从而引出相似三角形的概念。
2、讲解新课（1）相似三角形的定义两个三角形的对应角相等，对应边成比例，这两个三角形叫做相似三角形。
强调相似三角形的对应关系，即对应顶点、对应角、对应边。
（2）相似三角形的表示方法用“∽”表示相似，如△ABC∽△A'B'C'。
（3）相似三角形的性质相似三角形的对应角相等。
相似三角形的对应边成比例。
相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比。
相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
（4）相似三角形的判定定理两角分别相等的两个三角形相似。
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
三边成比例的两个三角形相似。
（5）相似三角形判定定理的证明以“两角分别相等的两个三角形相似”为例，引导学生通过作辅助线，构造全等三角形，证明两个三角形相似。
3、课堂练习出示一些简单的相似三角形的判断题和计算题，让学生巩固所学知识。
例如：判断△ABC 和△A'B'C'是否相似，其中∠A ＝ 60°，∠B ＝40°，∠A' ＝ 60°，∠C' ＝ 80°。
《相似三角形的判定(第1课时)》教案
相似三角形的判定第1课时相似三角形的判定〔1〕【知识与技能】会说判定两个三角形相似的方法：两个角分别相等的两个三角形相似.会用这种方法判断两个三角形是否相似.【过程与方法】培养学生动手操作能力.【情感态度】在动手推演中感受几何的趣味性.【教学重点】相似三角形的判定定理1以及推导过程，并会用判定定理1来证明和计算.【教学难点】相似三角形的判定定理1的运用.一、情境导入，初步认识1.两个矩形一定会相似吗？为什么？2.如何判断两个三角形是否相似？根据定义：对应角相等，对应边成比例.△ABC与△A′B′C′会相似吗？为什么？是否存在判定两个三角形相似的简便方法？本节就是探索识别两个三角形相似的方法.二、思考探究，获取新知同学们观察你与你的同伴用的三角尺，及老师用的三角板，如有一个角是30°的直角三角尺，它们的大小不一样.这些三角形是相似的，我们就从平常所用的三角尺入手探索.〔1〕45°角的三角尺是等腰直角三角形，它们是相似的.〔2〕30°的三角尺，那么另一个锐角为60°，有一个直角，因此它们的三个角都相等，同学们量一量它们的对应边，是否成比例呢？这样，从直观上看，一个三角形的三个角分别与另一个三角形三个角对应相等，它们好似就会“相似〞.是这样吗？请同学们动手试一试：1.画两个三角形，使它们的三个角分别相等.画△ABC与△DEF，使∠A=∠D，∠B=∠E,∠C=∠F,在实际画图过程中，同学们画几个角相等？为什么？实际画图中，只画∠A=∠D,∠B=∠E,那么第三个角∠C与∠F一定会相等，这是根据三角形内角和为180°所确定的.2.用刻度尺量一量各边长，它们的对应边是否会成比例？与同伴交流，是否有相同结果.3.发现什么现象：发现如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形相似.4.两个矩形的四个角也都分别相等，它们为什么不会相似呢？这是由于三角形具有它特殊的性质.三角形有稳定性，而四边形有不稳定性.于是我们得到判定两个三角形相似的一个较为简便的方法：如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似，简单地说，两角对应相等，两三角形相似.同学们思考，能否再简便一些，仅有一对角对应相等的两个三角形，是否一定会相似呢？例1 如图，在两个直角三角形△ABC和△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′，判断这两个三角形是否相似.解：相似，因为∠C=∠C′，∠A=∠A′，根据相似三角形的判定定理1可知△A′B′C′∽△ABC.例2 在△ABC与△A′B′C′中，∠A=∠A′=50°，∠B=70°，∠B′=60°，这两个三角形相似吗?解：由三角形的内角和定理知∠C′=180°-∠A′-∠B′=180°-50°-60°=70°，∴∠C′=∠B,又∵∠A=∠A′，∴△ABC∽△A′C′B′.【教学说明】教师注意引导学生分析∠B不一定与∠B′对应.例3 如图，△ABC中，DE∥BC,EF∥AB,试说明△ADE∽△EFC.证明：∵DE∥BC,∴∠AED=∠∵EF∥AB,∴∠CEF=∠A.∴△ADE∽△EFC三、运用新知，深化理解1.△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，找出图中所有的相似三角形.2.△ABC中，D是AB的边上一点，过点D作一直线与AC相交于E，要使△ADE与△ABC 会相似，你怎样画这条直线?说明理由.和你的同伴交流作法是否一样.【答案】1.△ACD∽△CBD∽△ABC①过D点作DE∥BC,DE交AC于点E②以AD为一边在△ABC内部作∠ADE=∠C,另一边DE交AC于点E.【教学说明】第2题注意分类讨论.四、师生互动，课堂小结这节课你学到哪些判定三角形相似的方法？还有什么疑惑？说说看.1.布置作业：从教材相应练习和“习题”中选取.“课时作业〞局部.本课时从学生所熟悉的特殊三角板入手，通过学生动手操作探究相似三角形的判定定理1，从中感受学习几何的乐趣，从而激发学生学习兴趣，培养学生的几何推理能力.。
23.3.3 相似三角形的性质 华东师大版数学九年级上册教案1
相似三角形的性质【教学目标】会说出相似三角形的性质：对应角相等，对应边成比例，对应中线、角平分线、高的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
【教学重难点】1．相似三角形中对应线段比值的推导；2．相似多边形的周长比、面积比与相似比关系的推导；3．运用相似三角形的性质解决实际问题。
4．相似三角形性质的灵活运用，相似三角形周长比、面积比与相似比关系的推导及运用。
【教学过程】一、复习1．识别两个三角形相似的简便方法有哪些？2．在△ABC与△A′B′C′中，AB＝l0cm，AC＝6cm，BC＝8cm，A′B′＝5cm，A′C′＝3cm，B′C′＝4cm，这两个三角形相似吗？说明理由。
如果相似，它们的相似比是多少？二、新课讲解1．两个三角形是相似的，它们对应边的比就是相似比，△ABC∽△A′B′C′，相似比为ACA′C′＝2。
2．相似的两个三角形，它们的对应角相等，对应边会成比例，除此之外，还会得出什么结果呢？3．一个三角形内有三条主要线段；高、中线、角平分线。
如果两个三角形相似，那么这些对应的线段有什么关系呢？我们先探索一下它们的对应高之间的关系。
4．同学画出上述的两个三角形，作对应边AB和A′B′边上的高，用刻度尺量一量CD与C′D′的长，CDC′D′等于多少呢？与它们的相似比相等吗？得出结论：5．相似三角形对应高的比等于相似比。
我们能否用说理的方法来说明这个结论呢？同学们用上面类似方法，得出：相似三角形对应中线的比等于相似比；相似三角形对应角平分线的比等于相似比。
两个相似三角形的周长比会等于相似比吗？两个相似三角形的面积之间有什么关系呢？6．假设三角形（2）的各边长分别是（1）的2倍，（3）的各边长分别是（1）的3倍，所以它们都是相似的，填空：（2）与（1）的相似比为( )，（2）与（1）的面积比为( )；（3）与（1）的相似比为( )，（3）与（1）的面积比为( )；（3）与（2）的相似比为( )，（3）与（2）的面积比为( )。
数学教案三角形相似的判定(优秀3篇)
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角形相似的判定篇一（第3课时）一、教学目标1.使学生了解直角三角形相似定理的证明方法并会应用。
2.继续渗透和培养学生对类比数学思想的认识和理解。
3.通过了解定理的证明方法，培养和提高学生利用已学知识证明新命题的能力。
4.通过学习，了解由特殊到一般的唯物辩证法的观点。
二、教学设计类比学习，探讨发现三、重点及难点1.教学重点：是直角三角形相似定理的应用。
2.教学难点：是了解直角三角形相似判定定理的证题方法与思路。
四、课时安排3课时五、教具学具准备多媒体、常用画图工具、六、教学步骤［复习提问］1.我们学习了几种判定三角形相似的方法？（5种）2.叙述预备定理、判定定理1、2、3（也可用小纸条让学生默写）. 其中判定定理1、2、3的证明思路是什么？（①作相似，证全等；②作全等，证相似）3.什么是“勾股定理”？什么是比例的合比性质？【讲解新课】类比判定直角三角形全等的“HL”方法，让学生试推出：直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
已知：如图，在∽ 中，求证：∽建议让学生自己写出“已知、求征”。
这个定理有多种证法，它同样可以采用判定定理l、2、3那样的证明思路与方法，即“作相似、证全等”或“作全等、证相似”，教材上采用了代数证法，利用代数法证明几何命题的思想方法很重要，今后我们还会遇到。
应让学生对此有所了解。
定理证明过程中的“ 都是正数，，其中都是正数”告诉学生一定不能省略，这是因为命题“若，到”是假命题（可举例说明），而命题“若，且、均为正数，则”是真命题。
例4 已知：如图，，，，当BD与、之间满足怎样的关系时∽ .解（略）教师在讲解例题时，应指出要使∽ .应有点A与C，B与D，C与B 成对应点，对应边分别是斜边和一条直角边。
27.2相似三角形1相似三角形的判定用三边比例关系判定三角形相似(教案)
在总结回顾环节，学生们对今天所学的知识有了整体的认识，但仍有个别学生表示对某些部分理解不够透彻。这提醒我，在后续的教学中，要关注学生的个体差异，尽量让每个学生都能跟上教学进度。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调三边比例关系判定相似的两个重点：三组对应边的比例相等和两组对应边的比例相等且夹角相等。对于难点部分，我会通过具体的图形和例子来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与相似三角形判定相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示如何通过测量边长和角度来判断两个三角形是否相似。
b.如果两个三角形中有两组对应边的比例相等，并且夹角相等，即a/ b = c/ d，且∠A = ∠C或∠B = ∠D，则这两个三角形相似。
二、核心素养标
本节课的核心素养目标旨在培养学生的以下能力：
1.空间观念：通过探究相似三角形的判定，使学生能够理解和运用空间图形的性质，发展空间想象力和直觉思维能力。
2.抽象概括能力：引导学生从具体实例中抽象出相似三角形的判定方法，提高他们的逻辑推理和概括能力。
3.数据分析观念：培养学生通过观察、分析三角形边长数据，运用三边比例关系解决问题的能力，增强数据分析观念。
4.数学应用意识：将相似三角形的判定应用于解决实际问题，让学生体会数学与现实生活的联系，提高数学应用意识。
-重点知识点举例：
a.如果两个三角形的三组对应边的比例相等，即a/ b = c/ d = e/ f，则这两个三角形相似。
相似三角形的性质教案
相似三角形的性质教案一、教学目标：1.知识目标：了解相似三角形的概念和相似三角形的性质。
2.能力目标：能够判断给定的两个三角形是否相似，并应用相似三角形的性质解决实际问题。
3.情感目标：培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力，并培养学生对数学知识的兴趣。
二、教学重难点：1.教学重点：相似三角形的性质。
2.教学难点：判断相似三角形和应用相似三角形的性质解决问题。
三、教学过程：1.激发兴趣：通过一个关于相似三角形的有趣例题，引导学生思考分析相似三角形的性质。
例题：如图，已知ΔABC ∼ΔDEF，且 AB = 3cm，BC = 4cm，AC = 5cm，DE = 6cm，寻找 x，使得 DF = x cm，EF = 8cm。
（图略）让学生思考一下，如何求得x的值？2.呈现知识：引入相似三角形的概念和性质。
（1）引入相似三角形的概念：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形是相似的。
记作ΔABC∼ΔDEF。
（2）相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例。
即有如下比例关系：AB/DE=BC/EF=AC/DF。
3.教学拓展：通过几个例题，帮助学生理解和应用相似三角形的性质。
例题1：如图，已知ΔABC ∼ ΔDEF，且 AB = 6cm，BC = 8cm，AC= 10cm，DE = 9cm，求 DF。
（图略）解：根据相似三角形的性质，可得AB/DE=BC/EF=AC/DF。
代入已知条件，得6/9=8/EF=10/DF。
由此可得EF = (9×8)/6 = 12cm，DF = (10×9)/6 = 15cm。
例题2：如图，已知ΔABC ∼ ΔDEF，且 AB = 4cm，AC = 8cm，DE= 10cm，以 DF 为底边，求ΔDFG 的高 GH。
（图略）解：根据相似三角形的性质，可得AB/DE=AC/DF。
代入已知条件，得 4/10 = 8/DF，解得 DF = 20/4 = 5cm。
23.3.3 相似三角形的性质(1) 华东师大版数学九年级上册教案
课题：相似三角形的性质（一）一、教学目标1、理解相似三角形的有关性质：对应角相等，对应边成比例，对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比，周长比也等于相似比。
2、会灵活运用相似三角形的性质解决有关问题。
二、教学重、难点重点：掌握相似三角形的相关性质，了解相关性质的证明方法难点：掌握命题证明方法、步骤，灵活运用性质解决问题。
三、教学方法类比、归纳教学环节教师活动学生活动设计意图提出问题引入课题(1～2分钟)提出问题：1、全等三角形和相似三角形的关系是什么？全等三角形的对应边上的高、角平分线、中线有什么关系？2、前面学过的相似三角形的基本性质有哪些？3、相似三角形的判定有哪些？4、除了这些基本性质外，还有什么性质呢？问题1由学生集体回答或个别回答。
问题4以设问方式提出设问置疑，引出课题新授一探究相似三角形对应高之比等于相似比(6～8分钟)【问题1】图24.3.9中，△ABC和△A′B′C′是两个相似三角形，相似比为k，其中AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的高，那么AD、A′D′之间有什么关系？解：∵△ABC∽△A′B′C′∴∠B=∠B′又∵AD、A′D′是高，∴∠ADB=∠A′D′B′= 900∴△ADB∽△A′D′B′∴【结论】相似三角形对应高的比等于相似比．学生思考，小组交流探究2～3分钟。
然后与老师共同完成解答过程，得出结论。
安排学生先自行思考与交流，培养学生分析概括数学材料的能力与数学语言表达能力。
证明的过程通过老师书写出来，培养学生规范书写证明过程的习惯。
思考探索归纳其它性质(3～5分钟)自主思考---类似结论【问题2】，.△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，其中AE、A′E′分别为BC、B′C′边上的中线，那么?结论：相似三角形对应中线的比等于相似比.△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，其中AE、A′E′分别为BC、B′C′边上的角平分线，那么?结论：相似三角形对应角的角平分线的比等于相似比.【思考】1、相似三角形的对应角平分线之比等于什么？2、相似三角形的对应中线之比等于什么？3、相似三角形的周长之比等于什么？(说明：详细证明过程留待学生课后通过作业形式完成)思考题学生口头回答、听教师简单分析，或个别提问学生。
九年级数学上册《相似三角形判定定理一》教案、教学设计
3.学生的个体差异，针对不同学生的需求，提供适当的学习指导和支持。
4.学生在合作学习中的参与度，鼓励他们积极发言，分享自己的想法和观点。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.教学重点：
-理解并掌握相似三角形的判定定理一。
1.判断题：给出几个相似三角形的判定题目，让学生判断其是否符合判定定理一。
2.填空题：给出几个相似三角形的图形，要求学生填写相似比。
3.计算题：运用相似三角形的判定定理一解决实际问题。
学生在完成练习题的过程中，教师巡回指导，针对学生的错误给予及时纠正和解答。
（五）总结归纳
在总结归纳环节，首先让学生回顾本节课所学的相似三角形的判定定理一，然后提问：
-尝试证明相似三角形的另一个判定定理：如果两个三角形的一个角相等，且对应边成比例，那么这两个三角形相似。
3.实践应用题：
-结合所学知识，设计一道与相似三角形判定定理一相关的实际问题，要求至少包含两个已知量和两个未知量。
-将设计的问题及解答过程写下来，与同学们分享，共同讨论。
4.研究性学习题：
-以小组为单位，选择一个研究方向，如相似三角形在实际建筑中的应用、相似三角形在艺术作品中的体现等，进行资料收集和整理。
1.请举例说明相似三角形在实际生活中的应用。
2.如何运用相似三角形的判定定理一解决以下问题：（给出几个具体问题）
3.相似三角形判定定理一的证明过程中，有哪些关键步骤？
要求学生在讨论过程中，充分发表自己的观点，互相学习，共同解决问题。教师在旁边观察学生的讨论情况，适时给予指导。
（四）课堂练习
在课堂练习环节，设计以下练习题：