九年级数学上册第4章相似三角形全章教案浙教版
4.1比例线段(1)
教学目标：
1.理解比例的基本性质。
2.能根据比例的基本性质求比值。
3.能根据条件写出比例式或进行比例式的简单变形。 教学重点、难点：
教学重点：比例的基本性质
教学难点：例2根据条件判断一个比例式是否成立，不仅要运用比例的基本性质，还要运用等式的性质等方法是本节教学的难点。 知识要点：
1.如果两个数的比值与另两个数的比值相等，那么这四个数成比例。
2.a 、b 、c 、d 四个实数成比例，可表示成a:b ＝c:d 或a b =c
d ，其中b 、c 叫做内项，a 、
d 叫做外项。
3.基本性质：a b =c
d <=>ad ＝bc(a 、b 、c 、d 都不为零)
重要方法：
1.判断四个数a 、b 、c 、d 是否成比例，
方法1:计算a:b 和c:d 的值是否相等；
方法2:计算ad 和bc 的值是否相等，(利用ad ＝bc 推出a b =c
d )
2.“a c =b d <=>a b =c
d ”的比例式之间的变换是抓住实质ad ＝bc 。
3.记住一些常用的结论： a b =c d =>a ＋b b =c ＋d d ，a b =a ＋c
b ＋d 。 教学过程： 一、复习引入
1、举例说明生活中大量存在形状相同，但大小不同的图形。
如：照片、放电影中的底片中的图与银幕的象、不同大小的国旗、两把不同大小都含有30°角的三角尺等。
2、美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比约为0.618.一些长方形的画框，宽与长之比也设计成0.618,许多美丽的形状都与0.618这个比值有关。你知道0.618这个比值的来历吗？
说明学习本章节的重要意义。 3.如何求两个数的比值？ 二、自学新课，探究结论 阅读思考题
(1)什么是两个数的比？2与—3的比；—4与6 的比。如何表示？其比值相等吗？用小学学过的方法可说成为什么？可写成什么形式？
(2)比与比例有什么区别？
(3) 用字母a,b,c,d 表示数，上述四个数成比例可写成怎样的形式？你知道内项、外项和第四比例项的概念吗？
回答(1)2：（—3）=—23 ；—4：6=—46 =—23 ；2—3 =—46 ，2，—3，—4，6四个数成
比例。注意四个数字的书写顺序
(2)比是一个值；比例是一个等式。
(3)a:b=c:d a b =c
d ，a,d 叫做比例外项，b,c 叫做比例内项，d ，叫做a,b,c 的第四比
例项。
注意这里的字母是泛指，概念只与位置有关，第四比例项必须描述清楚是谁的第四比例项。
补充练习：
①指出x y =e
f 的比例内项、比例外项及第四比例项。
②求3，4，5的第四比例项。 P96做一做1,2
(2答案：等式a b =c d 的两边同乘以bd ，可由a b =c
d 推出ad ＝bc 。反过来等式ad ＝bc 两
边同除以bd ，即可由ad ＝bc 推出a b =c
d
)
比例的基本性质：基本性质：a b =c
d <=>ad ＝bc(a 、b 、c 、d 都不为零)
两内项之积等于两外项之积。
说明：由a b =c d =>ad ＝bc 的形式是唯一的，而由ad ＝bc=>a b =c
d 的形式不唯一，有8个
不同的比例式。可以补充，但不出现更比定理的名称。
三、模仿与应用
例1:根据下列条件，求a:b 的值。 (1)2a ＝3b ；(2) a 5 =b
4
比例的基本性质直接运用，其中第2小题两次运用了性质，初学时易差错，要求学生重视对变形结果的检验，即变形后是否仍然满足“两内项之积等于两外项之积”。
例2:已知a b =c
d ，判断下列比例式是否成立，并说明理由。
(1)a ＋b b =c ＋d d ；(2)a b =a ＋c b ＋d
分析：(1)比较条件和结论的形式得到解题思路； (2)采用设比值较为简单。
这两个小题反映了在比例式的变形中的两种常用方法：一是利用等式的基本性质；二是设比值。
课堂练习：P97课内练习、作业题、条件活动(学生板演) 补充练习：(1)已知：x ：(x+1)=(1—x)：3，求x 。 (2)若2x-3y x+y =12 ，求y x 。
(3) 若a ＋b b ＝65 ，求a b ，a －b b
(4)若x 2-3xy+2y 2
=0,求y x
(5)已知x 2 =y 3 =z 4 求2x+3y-z z+2y-3x ，x+y+z
x
(6)已知x:y:z=4:5:7,求235x y z z
++，x y y z
++
(7)a ：b ：c=1：3：5 且a+2b —c=8求a 、b 、c (8)已知x ：y=3：4，x ：z=2：3，求x ：y ：Z 的值。 (9)若25a c e b d f ===，求a c b d --，234234a c e b d f +-+-
(10)y+z x =z+x y =x+y
z
=k,求k 的值(两种情况)。
(11)已知在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，AB ＝12,AE ＝6,EC ＝4,且AD DB ＝AE EC .
求AD 的长。
(12)已知1, 2 ,2三个数，请你再添上一个数，写出一个比例式。
(13)操场上有一群学生在玩游戏，其中男生与女生的人数比例是3:2,后来又有6名女
同学参加进来，此时女生与女生人数的比为5:4,求原来各有多少男生和女生？
四、课堂小结
1.比例的概念，比例的基本性质；
2.判断四个数成比例的基本方法；
3.比例式变形的常用方法：(1)利用等式性质；(2)设比值。 五、作业：见作业本 六、教后感
4.2比例线段(2)
教学目标：
1.了解两条线段的比和比例线段的概念；
2.能根据条件写出比例线段；
3.回运用比例线段解决简单的实际问题。 教学重点、难点
教学重点：比例线段的概念。
教学难点：例3要求根据具体问题发现等量关系，找出比例式，有一定的隐蔽性，是本节教学的难点。 知识要点：
1.两条线段的长度的比叫做两条线段的比。
2.四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a b =c
d ，那么这四条
线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段。 重要提示：
1.用方程思想寻找几何图形中四条线段成比例是常用方法。
2.四条线段成比例可以解决一些实际问题，如地图上的某两地之间的距离。 教学过程 一、复习引入
1.列举四个数成比例，并写出比例式，指出比例内项、外项、第四比例项。
2.说出比例的基本性质。由ad ＝bc 可推出哪些比例式？
3.练习：(1)若3x ＝4y ，求x y 、x x －y 、x －2y
x ＋y
的值。
(2)若a ＋b a ＝53 ，求a －2b b 的值。
(3)x:y:z ＝2:3:4，求x －y ＋z
2x ＋3y －z
的值。
(4)已知a:b:c ＝3:4:5，且2a ＋3b －4c ＝－1，求2a －3b ＋4c 的值。 (5)已知线段AB ＝15cm ，CD ＝20cm 。求AB:CD 的值。
(6)完成P98网格问题。(问题建立在相似变换基础上，可复习相似变换) 二、设置问题，探究新课
如何定义两线段的比呢？什么是比例线段？
在同一长度单位下，a,b,两线段长度的比叫做这两线段的比。记为a ：b 或a
b
注意：(1)两线段是几何图形，可用它的长度比来确定；
(2)度量线段的长，单位多种，但求比值必需在同一长度单位下比值一定是正数，比值与采用的长度单位无关。
(3)表示方式与数字的比表示类同，但它也可以表示为AB:CD.
比例线段：一般地，四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 比，即a b =c
d ，
那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段。(老教材定义：如果四条线段的长度成比例，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段)
完成P99做一做 三、模仿与应用
例题：已知线段a=10mm ，b=6cm ，c=2cm ，d=3cm.问：这四条线段是否成比例？为什么? 答：这四条线段成比例 ∵a=10mm=1cm
∴a c ＝12 ，d b ＝36 ＝12
∴a c ＝d
b ，即线段a 、
c 、
d 、b 是成比例线段。 想一想:是否还可以写出其他几组成比例的线段. 反思：判断四条线段是否成比例的方法有两种：
(1)把四条线段按大小排列好，判断前两条线段的比和后两条线段的比是否相等。 (2)查看是否有两条线段的积等于其余两条线段的积。
例3如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高。请找出一组比例线段，并说明理由。 分析：(1)根据比例基本性质，要判断四条线段是否成比例，
A B
C
D
只要采取什么方法(看其中两条线段的乘积是否等于另两条线段的乘积)
(2)已知条件中有三角形的高，我们通常可以把高与什么知识联系起来？ (3)根据三角形的面积公式，你能得到一个怎样的等式？根据所得 的等式可以写出怎样的比例式。
例4如图，是我国台湾省的几个城市的位置图，问基隆市在高雄市的哪一个方向？到高雄市的实际距离是多少km ？
注意：要设实际距离为s ；求角度时要注意方位。
解：从图上量出高雄市到基隆市的距离约35mm,设实际距离为s ，则 3519000000
s =
359000000s ∴=?=315000000(mm)
即s ＝315(km) 答：
如果量得图中28α∠=?,我们还能确定基隆市在高雄市的北偏东28?的315km 处。 课堂练习：P99课内练习、P100作业题(学生板演) 补充练习：
1.已知线段a ＝30mm ，b ＝2cm ，c ＝4
5 cm ，d ＝12mm ，试判断a 、b 、c 、d 是否成比例线段。
2.已知a 、b 、c 、d 是比例线段，其中a ＝6cm ，b ＝8cm ，c ＝24cm,则线段d 的长度是多上？
3.已知三角形三条边之比为a ：b ：c=2：3：4，三角形的周长为18cm ，求各边的长。
4.已知AB 两地的实际距离是60km ，画在图上的距离A 1B 1
是6cm ，求这幅图的比例尺。 5.现在有一棵很高的古树，欲测出它的高度，但又不能爬到树尖上去直接测量，你有什么好的方法吗？
类题：相同时刻的物高与影长成比例。如果一电视塔在地面上影长为180m ，同一时刻高为2m 的竹竿的影长为3m ，那么电视塔的高是多少？
6.如图，已知AD ，CE 是△ABC 中BC 、AB 上的高线，求证：AD ：CE=AB ：BC
A B C
E
D
7.如图，在Rt △ABC 中，CD ⊥AB ，DE ⊥AC,请找出一组比例线段，并说明理由。
8.如图，已知32
AD AE DB EC ==,求,,
AB EC AB
DB AE AD 9.育美中学请张工程师设计学校的矩形花坛的平面图，这个花坛长为20m ，宽为12m 。 (1)在比例尺为1:100的平面图上，这个矩形花坛的长和宽各是多少？ (2)在平面图上，这个花坛的长和宽的比是多少？ (3)花坛长和宽实际比是多少？ (4)你发现这两个比有什么关系？ 四、课堂小结
1.两条线段的比及比例线段的概念；
2.方程思想的体现；
3.比例线段在实际问题中的应用。 五、作业：见作业本 六、教后感
4.3两个三角形相似的判定（1）
教学目标：
1．经历“有两个角对应相等的两个三角形相似”的探索过程. 2．能运用“有两个角对应相等”的条件判定两个三角形相似. 重点和难点：
1．本节教学的重点是相似三角形的判定方法：有两个角对应相等的两个三角形相似. 2．有两个角相等的三角形是相似三角形的探索过程比较复杂，是本节教学的难点. 知识要点：
1、有两个角对应相等的两个三角形相似. 如图，∵∠A ＝∠A ′,∠B ＝∠B ′
∴△ABC ∽△A ′B ′C ′
A
B
C
A ′
B ′
C ′
2、基本图形
（1）如图甲，若DE ∥BC,则△ADE ∽△ABC.
（2）如图乙，若AC ∥DB,则△AOC ∽△BOD.
3、常见图形
（1）如图1,若∠AED ＝∠B,则△ADE ∽△ACB ； （2）如图2,若∠ACD ＝∠B,则△ACD ∽△ABC ；
（3）如图3,若∠BAC ＝90°,AD ⊥BC,则△ABC ∽△DBA ∽△DAC. 重要方法：
1、有一个锐角相等的两个直角三角形相似；
2、识别三角形相似的常用思路：
（1）当条件中有平行线时，找两对对应角相等；
A
B
C
D
E 图甲
A
B
C
D
E
图乙
A B
C
D
E 图1
A B
C
D
图2
A
B
C
图3
（2）当条件中有一对相等的角（对顶角或公共角）时，可考虑再找一对相等的角； （3）两个等腰三角形，可以找顶角相等或找一对底角相等. 教学过程
一．创设情境，导入新课
1、如图，在方格图中△ABC ，DE ∥BC ，问：△ADE ∽△ABC 吗？说明理由.
2、如图2，A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 都在小方格的的顶点上，问：DE ∥BC ∥FG 吗？ △ADE ∽△ABC ∽△AFG ？ 二．合作学习，探索新知 1、合作学习：
如图4－14,在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，且DE ∥BC.则△ADE 与△ABC 相似吗？ 议一议：这两个三角形的三个内角是否相等？
量一量：这两个三角形的边长，它们是否对应成比例？
追问：若点D 、E 分别在AB 、AC 的反向延长线上，△ADE 与△ABC 是否还相似呢？ 定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或它们的反向延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似. 定理的几何语言表述： ∵DE ∥BC ∴△ADE ∽△ABC
2、结合预备定理探求三角形相似的判定定理一
判定定理一：有两个角对应相等的两个三角形相似.
A B
C
D
E
图2
A B
C
D
E 图4-14
A
B
C
D E
A
B
C
A ′
B ′
C ′
简称：两角对应相等，两三角形相似.
（由学生根据命题的题设和结论，写出已知求证）
已知：在△ABC 和△A′B′C′中, ∠A＝∠A′，∠B＝∠B′
求证：△ABC∽△A′B′C′
分析:要证两个三角形相似，
目前只有两个途径。一个是三角形相似的定义，（显然条件不具备）；另一个是上面学习的利用平行线来判定三角形相似的定理。为了使用它，就必须创造具备定理的基本图形的条件。怎样创造呢？（即怎样把小的三角形移动到大的三角形上）
证明：在△A′B′C′的边A′B′、A′C′上，分别截取A′D=AB, A′E=AC，连结DE。
∵ A′D=AB,∠A=∠A′，A′E=AC
∴ΔA′DE≌ΔABC，
∴∠A′DE=∠B，
又∵∠B′＝∠B，
∴∠A′DE=∠B′，
∴ DE// B′C′
∴ΔA′DE∽ΔA′B′C′
∴△ABC∽△A′B′C′
判定定理一的几何语言表述：在△ABC和△A′B′C′中
∵∠A＝∠A′,∠B＝∠B′
∴△ABC∽△A′B′C′
3、学以致用，体验成功
例1、已知：ΔABC和ΔDEF中，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80°，∠F=60°.
求证：ΔABC∽ΔDEF
证明：∵在ΔABC中，∠A=40°，∠B=80°，
∴∠C=180°－∠A －∠B =180°－40°－80°＝60°
∵在ΔDEF中，∠E=80°，∠F=60°A
B
C
D
E
F
60°
80°
80°
40°
∴ ∠B=∠E ，∠C=∠F
∴ ΔABC ∽ΔDEF （两角对应相等，两三角形相似）
例2、一次数学活动课上,为了测量河宽AB,张杰采用了如下方法:从A 处沿与AB 垂直的直线方向走40m 到达Ｃ处，插一根标杆，然后沿同方向继续走15m 到达Ｄ处，再右转90°到E ，
使B ，C ，E 三点恰好在一条直线上，量得DE ＝20m 就可以求出河宽AB
你算出结果（要求给出解题过程）
由学生口答过程，教师板书示范，并启发学生如何去分析问题， 解决问题.
例3、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。 已知：如图，在Rt ΔABC 中，CD 是斜边AB 上的高。 求证：ΔACD ∽ΔABC ∽ΔCBD
证明: ∵ ∠A=∠A ，∠ADC=∠ACB=90°，
∴ ΔACD ∽ΔABC （两角对应相等，两 三角形相似） 同理 ΔCBD ∽ΔABC ∴ ΔABC ∽ΔCBD ∽ΔACD
此结论可以称为“母子相似定理”,今后可以直接使用.
三．巩固应用，拓展延伸
1、如图，在ΔABC 中，AD 、BE 分别是BC 、AC 上的高，AD 、BE 相交于点F 。 （1）求证：ΔAEF ∽ΔADC ；
（2）图中还有与ΔAEF 相似的三角形吗？请一一写出 。 答:有ΔAEF ∽ΔADC ∽ΔBEC ∽ΔBDF.
2、在ΔABC 中 ，点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，连结DE ，利用所学的知识讨论：当具备怎样的条件时，ΔADE 与ΔABC 相似？ （分两种情况讨论）
A
B
C
D
A B C
D E
A
B
C
D
E F
A
B
C
D
E A
B
C
D
E
1、完成课本“课内练习”P1081、2
2．完成课本作业题P108～1091、2、3、4、5、6
五．归纳小结，反思提高
试谈谈通过本节课的学习，你有哪些收获与感想
六．布置作业作业本
4.3两个相似三角形的判定（2）
教学目标：
1、经历三角形相似的判定方法“两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似”和“三边对应成比例的两个三角形线相似”的探索过程.
2、掌握“两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似”和“三边对应成比例的两个三角形线相似”的两个三角形相似的判定方法.
3、能运用上述两个判定方法判定两个三角形相似.
重点与难点：
1、本节教学的重点是相似三角形的判定方法“两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似”和“三边对应成比例的两个三角形线相似”及其应用.
2、例3的解答首先要选择用什么判定方法，然后利用方格进行计算，根据计算结果来判断两个三角形的三边是否对应成比例，需要学生有一定的分析、判断和计算能力，是本节教学的难点.
知识要点：
三角形相似的条件：
1、有两个角对应相等的两个三角形相似.
2、两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似.
3、三边对应成比例的两个三角形线相似.
重要方法：
1、利用两对对应角相等证相似，关键是找出两对对应角.
C
2、三边对应成比例的两个三角形相似中，三边对应是有序的即：大对大，小对小，中对中.
3、两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，一定要弄清边与角的位置关系.即边是指夹角的两边，角是成比例的两边的夹角.
4、在相似三角形条件（3）中，如果对应相等的角不是两条对应边的夹角，那么这两个三角形不一定相似，如在图4-3-14△ABC 中,AB ＝AC ，∠A ＝120°,在△A ′B ′C ′中，A ′B ′＝A ′
C ′,∠A ′＝30°,可以说AB ∶A ′B ′＝AC ∶A ′C ′,∠B ＝∠A ′,但两个三角形不相似.
教学过程： 一、复习
1、我们已经学习了几种判定三角形相似的方法？
（1）平行于三角形一边直线定理 ∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC （2）判定定理1：
∵∠A=∠A ′，∠B=∠B ′，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′ （3）直角三角形中的一个重要结论
∵∠ACB=Rt ∠，CD ⊥AB ，∴△ABC ∽△ACD ∽△CDB 二、新课
1、合作学习:P109--110
下面我们来探究还可用哪些条件来判定两个三角形相似?
我们学习了三角形相似的判定定理1，类似于三角形全等的“SAS” 、“SSS”判定方法，三角形相似还有两个判定方法，即判定定理2和判定定理3。
2、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。可以简单说成“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”
A
B
C
A ′
B ′
C ′
4-3-14
已知：如图，△A ′B ′C ′和△ABC 中， ∠A ′=∠A ，A ′B ′∶AB=A ′C ′∶AC 求证：△A ′B ′C ′∽△ABC
定理的几何格式： ∵∠A =∠A ′ AB A ′B ′ ＝AC
A ′C ′ ∴△ABC ∽△A ′
B ′
C ′
3、例题讲解
例1.如图已知点D,E 分别在AB,AC 上，AD AB ＝AE AC
求证：DE ∥BC.
4、判定定理3：如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。可简单说成：三边对应成比例，两三角形相似。 几何格式 ∵
AB A ′B ′ ＝AC A ′C ′ ＝BC
B ′
C ′
∴△ABC ∽△A ′B ′C ′
5、例2.如图判断4×4方格中的两个三角形是否相似,并说明理由.
A B
C
A ′
B ′
C ′
A
B
C
D E A B
C
A ′
B ′
C ′
A
B C
D
E
F
例3. 依据下列各组条件，判定△ABC与△A′B′C′是不是相似，并说明为什么：
⑴∠A=120o，AB=7厘米，AC=14厘米，
∠A′=120o，A′B′=3厘米，A′C′=6厘米；
⑵AB=4厘米，BC=6厘米，AC=8厘米，
A′B′=12厘米，B′C′=18厘米，A′C′=24厘米
三、课堂练习
P111、课内练习1、2
P112、作业题选做
探究活动：
在有平行横线的练习薄上画一条线段AB,使线段A,B恰好在两条平行线上,线段AB就被平行线分成了相等的三小段,你能说出这一事实的数学原理吗?如果只给你圆规和直尺,你会把任意一条线段AB五等分吗?请试一试,并说明你的画法的依据.
四、小结
三角形相似的判定方法
五、作业
见作业本2
4.4相似三角形的性质及其应用（1）
教学目标：
1、经历相似三角形性质“相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比”“相似三角形的周长之比等于相似比”和“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”的探究过程.
2、掌握“相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比”“相似三角形的周长之比等于相似比”和“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”的两个性质.
3、会运用上述两个性质解决简单的几何问题.
重点与难点：
1、本节教学的重点是关于相似三角形的周长和面积的两个性质及对应线段的性质.
2、相似三角形的性质的证明，要用到相似三角形的判定及性质，过程比较复杂，是本节教学的难点.
知识要点：
三角形相似的条件：
1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例.
2、相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比.
3、相似三角形的周长比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方.
重要方法：
1、相似三角形的相似比等于面积比的算术平方根.
2、相似三角形中的相似比和面积比的关系，应注意相似三角形这个前提，否则不成立. 教学过程：
一、问题情境
某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路旁边原有一个面积为100平方米，周长为80米的三角形绿化地，由于马路拓宽绿地被削去了一个角，变成了一个梯形，原绿化地一边AB的长由原来的30米缩短成18米.现在的问题是:
长是多少？
思考：你能够将上面生活中的问题转化为数学问题吗？
二、新课
1、如图，4 ×4正方形网格
看一看：
ΔABC与ΔA′B′C′有什么关系？为什么？（相似）
算一算：
ΔABC与ΔA′B′C′的相似比是多少？（ 2 ）
ΔABC与ΔA′B′C′的周长比是多少? （ 2 ）
面积比是多少？（2）
想一想：
上面两个相似三角形的周长比与相似比有什么关系？面积比与相似比又有什么关系？结论：相似三角形的周长比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方
验一验：
是不是任何相似三角形都有此关系呢？你能加以验证吗？
已知：如图4-24,△ABC∽△A′B′C′，且相似比为k.
求证：△ABC的周长
△A′B′C′的周长＝k，
△ABC的面积
△A′B′C′的面积
＝k2
例题
已知：如图，△ABC∽△A′B′C ′的相似比是k,AD、A′D′是对应高。
求证：AD
A′D′
＝k
证明：
∵△ABC∽△A′B′C′∴∠B= ∠B′
∵AD、A′D′是对应高。
∴∠ADB=∠A′D′B′=90O∴△ABD∽△A’B’D’练一练：
A′
B′C′
D′
1、已知两个三角形相似，请完成下列表格
注：周长比等于相似比，已知相似比或周长比，求面积比要平方，而已知面积比，求相似比或周长比则要开方。
2、如图，D 、E 分别是AC ，AB 上的点，∠ADE ＝∠B ，AG ⊥BC 于点G ，AF ⊥DE 于点F.若AD ＝3，AB ＝5，求： （1）AG AF
；
（2）△ADE 与△ABC 的周长之比； （3）△ADE 与△ABC 的面积之比.
例1 如图：是某市部分街道图，比例尺为1∶10000；请估计三条道路围成的三角形地块ABC 的实际周长和面积.
问题解决：如图，已知DE//BC,AB=30m,BD=18m, ΔABC
2
的周长和面积 拓展延伸
1.过E 作EF//AB 交BC 于F,其他条件不变，则ΔEFC 的面积等于多少？BDEF 面积为多少？
A
B
C
D
E F
A
B
C
D
2.若设SΔABC=S, SΔADE=S1, SΔEFC=S
2.
请猜想：S与S1、S2之间存在怎样的关系？你能加以验证吗？
证明：
△ADE
∽△ABC
S1
S
＝（
AE
AC
）2
S1
S
＝
AE
AC
△CFE∽△CBA
S2
S
＝（
AE
AC
）2
S2
S
＝
CE
AC
S1
S
＋
S2
S
＝1
类比猜想
如图，DE//BC,FG//AB,MN//AC, 且DE、FG、MN交于点P。
若记SΔDPM= S1, SΔPEF= S2, SΔGNP= S3,SΔABC= S、S与S1、S2、S3之间是否也有
类似结论？猜想并加以验证。
练一练：书本P115课内练习1、2
练一练（分组练习）
证明：相似三角形的对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比等于相似比。
能力训练
1.若两个相似三角形的相似比是2∶3，则它们的对应高线的比是，对应中线的比是，对应角平分线的比是，周长比是，面积比是。
2.两个等边三角形的面积比是3∶4，则它们的边长比是，周长比是。
3.某城市规划图的比例尺为1∶4000，图中一个氯化区的周长为15cm，面积为12cm2，则这个氯化区的实际周长和面积分别为多少？
4、在△ABC中，DE∥BC，E、D分别在AC、AB上，EC=2AE，则S
△ADE
∶S
四边形DBCE
的比为______
5、如图，△ABC中，DE∥FG∥BC，AD＝DF＝FB，则S
△ADE
:S
四边形DFGE
:S
四边形FBCG
=______
A
B C
D E
F
G
M
N
P
S1S2
S3
A
B C
D E
F G
A
B C
D
E
F
O
6.已知:梯形ABCD 中,AD ∥BC,AD=36,BC=60cm,延长两腰BA,CD 交于点O,OF ⊥BC,交AD 于E,EF=32cm,则OF=_______.
7、ΔABC 中，AE 是角平分线，D 是AB 上的一点，CD 交AE 于G ，∠ACD=∠B ，且AC=2AD.则
ΔACD ∽Δ______.它们的相似比K =_______.
探究活动： 1、书本P115
已知△ABC,如图，如果要作与BC 平行的直线把△ABC 划分成两部分，使这两部分（三角形与四边形）的面积之比为1∶1该怎么作？如果要使划分成的两部分的面积之比为1∶2呢？如果要使划分成的两部分的面积之比为1∶n 呢？（平行线等分线段、平行线分线段成比例定理）
2．阅读下面的短文，并解答下列问题：
我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．
如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比(a ∶b)．
S 甲S 乙 ＝（a b ）2 V 甲V 乙 ＝（a b ）3
练习
(1)下列几何体中，一定属于相似体的是( )
A ．两个球体
B ．两个锥体
C ．两个圆柱体
D ．两个长方体
A
B
C
D
E
全等三角形全章教案集
C 1 B 1 C A B A 1 课题：§11．1 全等三角形 课型：新授 教学目标 (一) 知识技能: 1、了解全等形及全等三角形的概念。 2、理解掌握全等三角形的性质。 3、能够准确辩认全等三角形的对应元素。 (二) 过程与方法 ： 1、在图形变换以用操作的过程中发展空间观念，培养几何直觉。 2、在观察发现生活中的全等形和实际操作中获得全等 三角形的体验。 (三) 情感态度与价值观： 在探究和运用全等三角形性质的过程中感受到数学活动的乐趣。 教学重点: 全等三角形的性质． 教学难点：找全等三角形的对应边、对应角． 教学方法：讲授法，讨论法，情景导入法 教学准备：多媒体，三角板 预习导航:什么是全等三角形？如何找全等三角形的对应边和对应角？ 全等三角形有哪些性质？ 教学过程 (一) 提出问题，创设情境 出示投影片 ：1.问题：你能 发现这两个图形有什么美妙 的关系吗？ 这两个图形是完全重合的． 2.那同学们能举出现实生活中能够完全重合的图形的例子吗003F 生：同一张底片洗出的同大小照片是能够完全重合的。 形状与大小都完全相同的两个图形就是全等形． 3．学生自己动手（同桌两名同学配合） 取一张纸，将自己事先准备好的三角板按在纸上，画下图形，照图形裁下来，纸样与三角板形状、大小完全一样． 4．获取概念 让学生用自己的语言叙述：全等形、全等三角形、对应顶点、对应角、 对应边，以及有关的数学符号． 记作：△ABC ≌ △ A ’B ’C ’ 符号“ ≌ ”读作“全等于” D A
（注意强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上） （二）．新知探究 利用投影片演示 1.活动：将△ABC 沿直线BC 平移得△DEF ；将△ABC 沿BC 翻折180 得到△DBC ； 将△ABC 旋转180°得△AED ． 2. 议一议：各图中的两个三角形全等吗？ 启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，?但形状、大小都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形全等，这也是我们通过运动的方法寻求全等的 一种策略． 3. 观察与思考： 寻找甲图中两三角形的对应元素，它们的对应边有什么关系？对应角呢？ （引导学生从全等三角形可以完全重合出发找等量关系） 得到全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等． 全等三角形的对应角相等． （三）例题讲解 [例1]如图，△OCA ≌△OBD ，C 和B ，A 和D 是对应顶点，?说出这两个三角形中相等的边和角． 1. 分析：△OCA ≌△OBD ，说明这两个三角形可以重合，?思考通过怎样变换可以使两三角 形重合？ 将△OCA 翻折可以使△OCA 与△OBD 重合．因为C 和B 、A 和D 是对应顶点，?所以C 和B 重合，A 和D 重合． ∠C=∠B ；∠A=∠D ；∠AOC=∠DOB ．AC=DB ；OA=OD ；OC=OB ． 2. 总结：两个全等的三角形经过一定的转换可以重合．一般是平移、翻转、旋转的方法． [例2]如图，已知△ABE ≌△ACD ，∠ADE=∠AED ，∠B=∠C ，?指出其他的对应边和对应角． 1. 分析：对应边和对应角只能从两个三角形中找，所以需将△ABE 和△ACD 从复杂的图形 中分离出来． 2小结：找对应边和对应角的常用方法有： D C A B O D C A B E 乙 D C A B 丙 D C A B E
浙教版九年级数学上册教案《4.3相似三角形》
《4.3相似三角形》 《相似三角形》是浙教版九年级上册第4章第3节的内容， 在这之前学生已经学习了相似形，知道了相似形的本质特征，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。相似三角形的知识是在全等三角形的基础上的拓广和发展,相似三角形承接全等三角形,从特殊的相等到一般的成比例予以深化,学好相似三角形的知识,为今后进一步学习多边形相似、三角函数及巩固有关的比例线段等知识打下良好的基础.本课由一般到特殊引出相似三角形的概念，并应用这一概念解决一些具体问题，在本章节的学习中占重要地位。同时对后续教学内容起奠基作用，也为学生今后学习和生活更好的运用数学做准备。 【知识与能力目标】 1、使学生理解并掌握相似三角形的概念，理解相似比的概念。 2、使学生掌握预备定理，并了解它的承上启下的地位和作用。 3、通过预备定理的条件所构成的图形的三种情况，教学生对一致性问题的思想方法。 【过程与方法目标】 通过找形状相同的图形，培养学生的观察能力；同学间还要互相合作交流，锻炼了大家的合
作交流能力. 【情感态度价值观目标】 通过认识和动手画形状相同的图形，使学生掌握基本的识图、作图技能.丰富对现实空间及图形的认识，建立初步的空间观念，发展形象思维. 【教学重点】 相似三角形的概念及预备定理 【教学难点】 由相似三角形写对应边的比例式. 学生准备：课件、多媒体； 学生准备：直尺，练习本； 一、导入新课 1.相似图形的特征是什么？ （学生回顾相关知识，为相似三角形的研究做好准备。） 二、新课学习 1.在相似多边形中，最为简单的就是相似三角形（similar triangle）． 什么是相似三角形呢？前面我们学过形状相同的图形说成是相似的图形，而相似三角形的本质特征就是“具有相同的形状”，它们的大小不一定相等。 定义：对应边相等、对应角成比例的三角形是相似三角形。 （注意：定义中要求有两个条件，缺一不可） （1）表示：相似用符号“∽”来表示，读作“相似于”．如图18.3.1所示的两个三角形
浙教版数学九年级上册相似三角形加强练习.docx
相似三角形加强练习 一填空: 1.如图1,∠ADC=∠ACB=900,∠1=∠B,AC=5,AB=6,则AD=_____. 2.如图2,AD∥EF∥BC,则图的相似三角形共有_____对. 3.如图3,正方形ABCD中,E是AD的中点,BM⊥CE,AB=6,则BM=______. 4.ΔABC的三边长为,,2,ΔA'B'C'的两边为1和,若ΔABC∽ΔA'B'C',则ΔA'B'C'的笫三边长为________. 5.两个相似三角形的面积之比为1∶5,小三角形的周长为4,则另一个三角形的周长为_____. 6.如图4,RtΔABC中,∠C=900,D为AB的中点,DE⊥AB,AB=20,AC=12,则四边形ADEC的面积为 __. 7.如图5,RtΔABC中,∠ACB=900,CD⊥AB,AC=8,BC=6,则AD=____,CD=_______. 8.如图6,矩形ABCD中,AB=8,AD=6,EF垂直平分BD,则EF=_________. 9.如图7,ΔABC中,∠A=∠DBC,BC=,S ΔBCD ∶S ΔABC =2∶3,则CD=______. 10.如图8,梯形ABCD中,AD∥BC,两腰BA与CD的延长线相交于P,PF⊥BC,AD=3.6,BC=6,EF=3,则PF= . 11.如图9,ΔABC中,DE∥BC,AD∶DB=2∶3,则S ΔADE ∶S ΔABE =___________. 12.如图10,正方形ABCD内接于等腰ΔPQR,∠P=900,则PA∶AQ=__________. 13.如图11,ΔABC中,DE∥FG∥BC,AD∶DF∶FB=1∶2∶3,则S 四边形DFGE ∶S 四边形FBCG =_________. 14.如图12,ΔABC中,中线BD与CE相交于O点,S ΔADE =1,则S 四边形BCDE =________.
全等三角形全章教案(华东师大版)
19.1 命题与定理 一.教学目标： 1. 知识与技能：了解命题、定义的含义；对命题的概念有正确的理解。会区分命题的条件和结论。知道判断一个命题是假命题的方法。 2.过程与方法：结合实例让学生意识到证明的必要性，培养学生说理有据，有条理地表达自己想法的良好意识。 3、、情感、态度与价值观：初步感受公理化方法对数学发展和人类文明的价值。 二.教学要点：找出命题的条件（题设）和结论。三.教学重点：找出命题的条件（题设）和结论。 四.教学难点及突破措施：命题概念的理解。让学生多说，多讲，多练习。 五.教学时间：第九周第3节 六.教法设计：讲练结合 七.教学过程 一、复习引入教师：我们已经学过一些图形的特性，如“三角形的内角和等于180度”，“等腰三角形两底角相等”等。根据我们已学过的图形特性，试判断下列句子是否正确。1、如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；2、两直线平行，同位角相等；3、同旁内角相等，两直线平行；4、平行四边形的对角线相等；5、直角都相等。 二、探究新知 （一）命题、真命题与假命题学生回答后，教师给出答案：根据已有的知识可以判断出句子1、2、5是正确的，句子3、4水错误的。像这样可以判断出它是正确的还是错误的句子叫做命题，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题。教师：在数学中，许多命题是由题设（或已知条件）、结论两部分组成的。题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项，这样的命题常可写成“如果.......，那么.......”的形式。用“如果”开始的部分就是题设，而用“那么”开始的部分就是结论。例如，在命题1中，“两个角是对顶角”是题设，“这两个角相等”就是结论。有的命题的题设与结论不十分明显，可以将它写成“如果.........，那么...........”的形式，就可以分清它的题设和结论了。例如，命题5可写成“如果两个角是直角，那么这两个角相等。” （二）实例讲解 1、教师提出问题1（例1）：把命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”改写成“如果.......，那么.......”的形式，并分别指出命题的题设和结论。学生回答后，教师总结：这个命题可以写成“如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形”。这个命题的题设是“一个三角形的三个角都相等”，结论是“这个三角形是等边三角形”。 2、教师提出问题2：把下列命题写成“如果.....，那么......”的形式，并说出它们的条件和结论，再判断它是真命题，还是假命题。（1）对顶角相等；（2）如果a＞ b,b＞ c, 那么a=c；（3）菱形的四条边都相等；（4）全等三角形的面积相等。学生小组交流后回答，学生回答后，教师给出答案。
相似三角形全章学案
27.1 图形的相似（第1课时）总 1 课时 一、教学目标：通过对事物的图形的观察、思考与分析，认识理解相似的图形。 二、重点难点：认识图形的相似、形成图形相似的概念。 三、学情分析：在现实世界中广泛存在着图形相似的现象，探究相似图形一些重要性质的过程，使学生更好的认识、描述形状相同的物体，体会相似图形在刻画现实世界中重要作用；在解决实际问题中，发展学生数学应用意识和合作交流能力。 四、自主探究 问题一： 1、相似图形的定义？ 2、请举例说明我们生活中相似图形的实例。 问题二： 1、两个相似图形之间有什么关系？ 2、思考 （1）放大镜下的图形和原来的图形相似吗？ （2）人站在平面镜前看到的镜像及哈哈镜里看到的镜像，它们相似吗？为什么？ 问题三：全等形与相似图形之间有什么关系？ 五、尝试应用 1、下图中的哪组图形是相似图形（） 2、观察图27-1-6中图形（a）—(g)，其中哪些是与图形（1）、（2）、（3）相似的。
3、如图，在4×4的正方形网格上，有一△ABC 。现要求再画一△A’B’C’，使这两个三角形相似(非全等)。 六、补偿提高 1、（教材P37练习第2题变式题）观察下列各个图形，找出其中相似的图形。 2、如图所示，左侧上海名牌大众汽车的标志图案，与右侧A 、B 、C 、D 四个图形中相似的是（ ） 3、下列是相似图形的有( ) A. 两个三角形 B. 两个正方形 C. 两个直角三角形 D. 两个矩形 4、如图，作出与方格纸中的图形相似的图形，使点A 与A ′对应，且所画的图形是原图形的2倍。 七、小结与作业 八、教学后记： 九、学生出勤： C B A
第12章全等三角形学案
12.1 全等三角形 导学案 学习目标：1．知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素； 2．知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等； 3．能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边． 学习重点：全等三角形的性质． 学习难点：找全等三角形的对应边、对应角． 学习过程： 一．获取概念： 阅读教材P31-32页内容，完成下列问题： （1）能够完全重合的两个图形叫做全等形，则______________________ 叫做全等三角形。 （2）全等三角形的对应顶点： 、对应角： 、对应边： 。 （3）“全等”符号： 读作“全等于” （4）全等三角形的性质： （5）如下图：这两个三角形是完全重合的，则△ABC △ A 1B 1C 1.，.点A 与 点A 1是对 应顶点;点B 与 点 是对应顶点;点C 与 点 是对应顶点. 对应角： 对应边： 。 C 1 1A B A 1 二 观察与思考： 1.将△ABC 沿直线BC 平移得△DEF （图甲）；将△ABC 沿BC 翻折180°得到△DBC （图乙）； 将△ABC 旋转180°得△AED （图丙）． 甲 D C A B F E 乙 D C A B 丙 D C A B E 议一议：各图中的两个三角形全等吗？ 即 ≌△DEF ，△ABC ≌ ，△ABC ≌ ．（书写时对应顶点字母写在对应的位置上） 启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，?但 、 都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形 ，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略． 2 . 说出乙、丙图中两个全等三角形的对应元素。
三、当堂反馈 1、如图1，△OCA ≌△OBD ，C 和B ，A 和D 是对应顶点，?则这两个三角形中相等的 边 。相等的角 。 D C A B O D C A B E D C A B E O 图1 图2 图3 图4 2如图2，已知△ABE ≌△ACD ，∠ADE=∠AED ，∠B=∠C ，指出其它的对应角 对应边：AB AE BE 3.已知如图3，△ABC ≌△ADE ，试找出对应边 对应角 ． 4.如图4，,DBE ABC ???AB 与DB ，AC 与DE 是对应边，已知： 30,43=∠=∠A B ，求BED ∠。 解： ∵∠ A+ ∠B+∠BCA=1800 ( ), 30,43=∠=∠A B ( ) ∴∠BCA= ∵,DBE ABC ???( ) ∴∠BED=∠BCA= ( ) 5.完成教材P32练习1、2 四、概括总结 找两个全等三角形的对应元素常用方法有： 1.两个全等的三角形经过一定的转换可以重合．一般是平移、翻转、旋转的方法。 2.根据位置元素来找：有相等元素，它们就是对应元素，?然后再依据已知的对应元素找出其余的对应元素． 3.全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边也是对应边． 4.全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角． 五．课后反思
相似三角形全章教案
第二十七章相似 27．2．1图形的相似（一） 一、教学目标 1.会识别相似图形. 2.通过观察、测量让学生了解线段的比、成比例线段的概念. 3.会求线段的比，会判断已知线段是否成比例. 二、教学重难点 教学重点：对线段的比的理解及会判断成比例线段. 教学难点：掌握成比例线段的特点，欣赏生活中的数学美. 三、教学方法 多媒体教学——创设情境，以境激趣 探索教学法——调动学生主动参与探索知识、运用知识过程 四、教学用具 多媒体电教及教学软件 五、教学过程设计 1、创设情境，设疑激趣 （多媒体演示） 自然界中美丽的蝴蝶、一片树叶，生活中的蒙娜丽莎像、五角星图以及古希腊的雅典帕德嫩神庙、埃及的金字塔等都给人以最优美、最令人赏心悦目的视觉，为什么它们能令人有如此的感觉呢？ （欣赏完图片，学生讨论并引入课题） 两个相似的平面图形之间有什么关系呢？为什么有些图形是相似的，而有些 不是呢？相似图形有什么主要特征呢？ （通过多媒体的直观演示，设置问题情境，营造良好的课堂气氛，激发学生的学习兴趣。）2、探索研究，揭示概念 线段的比和成比例线段 （1）做一做：
下图是某个城市的大小不同的两张地图，当然，它们是相似的图形。设在大地图中有A、B、C三地，在小地图中的相应三地记为A′、B′、C′，试用刻度尺量一量两张地图中AB、BC、与A′B′、B′C′的图上距离. 思考与讨论 ①AB=__________cm，BC=____________cm； A′B′=__________cm，B′C′=_____________cm ②分别计算等于多少？ （小地图是由大地图缩小得来的，我们能感到线段A′B′、B′C′与AB、BC的长度相比都“同样程度”地缩小了．） ③显然两张地图中AB和A′B′、BC和B′C′的长度都是不相等的，那么它们之间有什么关系呢？ （通过学生的交流,培养他们的合作精神和欣赏他人的意识.） 显然，我们能发现： 结论 线段的比：如果选用同一个长度单位度量两条线段AB、CD的长度，它们的长度比就是这两条线段的比. 成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长 度的比相等，即（或a：b=c：d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. （2）议一议： ①请量一量AC= cm , A′C′= cm ,再计算你又发现什么？ ②AB、BC、AC和A′B′、B′C′、A′C′中，哪四条线段分别成比例？请分别写它们的比例式. ③如果在这两张地图中,你猜猜会出现什么情况? ④如果在测量时,AB的长度单位采用厘米而A′B′的长度单位采用分米,那么它们的比有没有变化? ⑤两条线段长度的比与所采用的长度单位有没有关系?
全等三角形全章导学案及专题练习
鸡西市第十九中学学案
一、填空题 1．_____ 的两个图形叫做全等形. 2．把两个全等的三角形重合到一起，_____叫做对应顶点；叫做对应边；_____叫做对应角．记两个三角形全等时，通常把表示_____的字母写在_____ 上． 3．全等三角形的对应边_____，对应角_____，这是全等三角形的重要性质． 4．如果ΔABC ≌ΔDEF ，则AB 的对应边是_____，AC 的对应边是_____，∠C 的对应角是_____，∠DEF 的对应角是_____． 图1－1 图1－2 图1－3 5．如图1－1所示，ΔABC ≌ΔDCB ．（1）若∠D ＝74°∠DBC ＝38°，则∠A ＝_____，∠ABC ＝_____ （2）如果AC ＝DB ，请指出其他的对应边_____； （3）如果ΔAOB ≌ΔDOC ，请指出所有的对应边_____，对应角_____． 6．如图1－2，已知△ABE ≌△DCE ，AE ＝2 cm ，BE ＝1.5 cm ，∠A ＝25°，∠B ＝48°；那么DE ＝_____cm ，EC ＝_____cm ，∠C ＝_____°；∠D ＝_____°． 7．一个图形经过平移、翻折、旋转后，_____变化了，但__________都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形 二、选择题 8．已知：如图1－3，ΔABD ≌CDB ，若AB ∥CD ，则AB 的对应边是 （ ） A ．DB B ．BC C ．CD D ．AD 9．下列命题中，真命题的个数是 （ ） ①全等三角形的周长相等 ②全等三角形的对应角相等 ③全等三角形的面积相等 ④面积相等的两个三角形全等 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 10．如图1－4，△ABC ≌△BAD ，A 和B 、C 和D 是对应顶点，如果AB ＝5，BD ＝6，AD ＝4，那么 BC 等于 （ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．无法确定 图1-4 图1-5 图1-6 11．如图1－5，△ABC ≌△AEF ，若∠ABC 和∠AEF 是对应角，则∠EAC 等于 （ ） A ．∠ACB B ．∠CAF C ．∠BAF D ．∠BAC 12．如图1－6，△ABC ≌ΔADE ，若∠B ＝80°，∠C ＝30°，∠DAC ＝35°，则∠EAC 的度数为 （ ） A ．40° B ．35° C ．30° D ．25° 三、解答题 13．已知：如图所示，以B 为中心，将Rt △EBC 绕B 点逆时针旋转90°得到△ABD ，若∠E ＝35°， 求∠ADB 的度数． 综合、运用、诊断 一、填空题 14．如图1－8，△ABE 和△ADC 是△ABC 分别沿着AB ，AC 翻折180°形成的若∠1∶∠2∶∠3＝ 28∶5∶3，则∠α的度数为______． 图1－8 15．已知：如图1－9，△ABC ≌△DEF ，∠A ＝85°，∠B ＝60°，AB ＝8，EH ＝2． （1）求∠F 的度数与DH 的长；（2）求证：AB ∥DE ． 图1－9 拓展、探究、思考 16．如图1－10，AB ⊥BC ，ΔABE ≌ΔECD ．判断AE 与DE 的关系，并证明你的结论． 图1－10
初中数学七年级下册 第27章 相似 全章教案 6相似三角形的判定(SAS)
（第6节）相似三角形的判定（3） 目标：使学生明确相似三角形的识别方法3，4并能简单应用 重点：相似三角形的识别 过程： 一、复习：相似三角形预备定理。 1、已知：DE∥BC，EF∥AB 求证：①△ADE∽△EFC ②若AD:DB=2:3，则BF:FC= 2、订正上节课作业5 作DE∥BC—→△ADE∽△ABC 作∠ADE=∠C—→△ADE∽△ACB 二、新课： 作图：书45页探究2 定理2：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两三角形相似。 （三边成比例，两三角形相似） 作用：由k A C CA C B BC B A AB = = = ' ' ' ' ' ' ?△ABC～△A’B’C’? ? ? ? ? ? ∠ = ∠ ∠ = ∠ ∠ = ∠ ' ' ' C C B B A A 定理3：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。 （两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似） 作用：由 ? ? ? ? ? ∠ = ∠ = ' ' ' ' ' A A C A AC B A AB ?△ABC～△A’B’C’? ? ? ? ? ? ? ? ∠ = ∠ ∠ = ∠ = = ' ' ' ' ' ' C C B B k B A AB C B BC 例1、依据下列条件，判定△ABC和△A’B’C’是不是相似，并说明为什么？ （1）∠A=120°，AB=7cm，AC=14cm ∠A’=120°，A’B’=3cm，A’C’=6cm （2）AB=4cm，BC=6cm，AC=8cm
A ’ B ’=12cm ，B ’ C ’=18cm ，A ’C ’=21cm 解（1）∵37''=B A AB ，3 7614''==C A AC ∴' '''C A AC B A AB = 又∠A=∠A ’=120° ∴△ABC ∽△A ’B ’C ’（ ） （2）∵31124''==B A AB ；31186''==C B BC ；21 8''=C A AC ∴' '''''C A AC C B BC B A AB ≠= ∴△ABC 与△A ’B ’C ’不相似。 问题：要使△ABC 与△A ’B ’C ’相似，不改变AC 的值，A'C'的长应该是多少？ 点评：1、先求比值，再判断是否成比例。 2、如何确定对应线段呢？三条线段中，短、中、长分别对应求比。 例2：要做两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边的长分别为4，5，6，另一个三角形框架的一边长为2，现在有几个同学完成了这项工作，但他们的答案都不一样，这是为什么？（学生分组讨论） 图1 在△ABC 中，AB=4，BC=5，AC=6。 在AB 上取AD=2，作DE ∥BC 交AC 于E 则△ADE ∽△ABC ∴2 1===AC AE BC DE AB AD ∴DE=2.5 AE=3 ①△ADE 的三边长为2.5，3，2 同图1，如果AE=2 ③如果DE=2 ②31625====DE AB AD AC AE 5 264===AE AD BC DE ∴344*3131===AB AD 5 84*5252===AB AD 355*3131===BC DE 5 126*5252===AC AE ∴△ADE 的三边长为2，3 5,34 ∴△ADE 的三边长为2，512,58
九年级上册数学相似三角形练习题
九年级上册数学相似三 角形练习题 内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）
九年级上册数学相似三角形练习题 姓名：日 期： 一、选择题。 1．DE是ABC的中位线，则ADE与ABC面积的比是（） A、 1：1 B、1：2 C、1：3 D、 1：4 BC=（） 2．如图1，已知△ADE∽△ABC，相似比为2：3，则 DE A、3：2 B、2：3 C、 2：1 D、不能确定 3．如图2，已知△ACD∽△BCA，若CD=4，CB=9，则AC等于（） A、 3 B、 4 C、 5 D、 6 4．△ADE∽△ABC，相似比为2：3，则△ADE与△ABC的面积比为（） A、 2：3 B、 3：2 C、 9：4 D、 4：9 5．若DE是△ABC的中位线，△ABC的周长为6，则△ADE的周长为（） A、4 B、3 C、2 D、1 6．如图3，△ABC中，DE∥BC，AD=1，DB=2，AE=2，那么EC=（） A、1 B、2 C、3 D、4
7．如图4，D 是△ABC 的AB 边上的一点，过点D 作DE ∥BC 交AC 于E 。已知AD ：DB=2：3．则S △ADE ：S BCED ＝（ ） A 、2：3 B 、4：9 C 、4：5 D 、4：21 8． 如图5，已知：AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高线，DE 是RtCADC 斜边AC 上的高 线，如果DC ：AD=1：2，a S CDE =?，那么ABC S ? 等于（ ） A 、 4a B 、9a C 、16a D 、25a 二、填空题： 1．两个相似三角形的面积比为4∶25，则它们的周长比为 。 2．顺次连结三角形三边中点所构成的三角形与原三角形 ，它们的面积比 为 。 3．如图6，AB ∥DC ，AC 交BD 于点O ．已知5 3 =CO AO ，BO ＝6，则DO=_____________。 4．某校绘制的校园平面图的面积为，比例尺为1：200，则该校占地面积 m 2 。 5．如图7，在△ABC 中，点D 在线段BC 上，∠BAC=∠ADC ，AC=8，BC=16，那么CD=__________。 6．如图8，AD 、BC 交于点E ，AC ∥EF ∥BD ，EF 交AB 于F ，设AC=p ，BD=q ，则EF=_________。 图6 E B C A F D 图8 图7 图9 图10 图3 图2 图 图
相似全章导学案
石桥二中导学案（2015秋） 使用教师：学科：数学教学内容：第二十七章“相似”分析时间：2015.12.6 年级：九主备教师：备课组长签名：
使用教师 学科 数学 教学内容 27.1图形的相似（1） 时间 2015年12月7日 年级 九年级 主备教师 备课组长签名＿＿＿ 三 维 目 标 1．知识与能力: 从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似,理解相似图形概念．了解成比例线段的概念，会确定线段的比． 2．过程与方法：经历探索、发现、创造、交流等丰富多彩的数学游戏活动，发展学生的数学能力和审美观. 3．情感态度与价值观: 使学生学会从数学的角度认识世界，解释生活、逐步形成“数学地思维”的习惯；以“生活中的数学”为载体，使学生体会相似图形的神奇，养成“学数学、用数学”的意识，培养学生的动手操作能力和创新精神. 重、难点： 重点：相似图形的概念与成比例线段的概念． 难点：成比例线段概念． 教法与学法指导 一、自主预习 1 、请观察下列几幅图片，你能发现些什么？你能 对观察到的图片特点进行归纳吗？ (课本图 27.1-1)( 课本图27.1-2) 2 、什么是相似图形? 3 、思考：如图27.1-3是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像，它们相似吗? 二、合作探究 1．问题：如果把老师手中的教鞭与铅笔，分别看成是两条线段AB 和CD ，那么这两条线段的比是多少？ 归纳：两条线段的比，就是两条线段长度的比． 2、成比例线段： 对于四条线段a,b,c,d ，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如d c b a =（即ad=b c ），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 【注意】 （1）两条线段的比与所采用的长度单位没有关系，在计算时要注意统一单位；（2）线段的比是一个没有单位的正数；（3）四条线段a,b,c,d 成比例，记作d c b a =或a:b=c:d ；（4）若四条线段满足d c b a =，则有ad=b c ． 三、归纳反思 ⑴这节课我学会了： ⑵易错点： ⑶这节课还存在的疑问： 四、达标测评 1.如图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗？ 2、填空题 形状 的图形叫相似形；两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形的 或 而得到的。 3．如图，请测量出右图中两个形似的长方形的长和宽， （1）（小）长是_______cm ，宽是_______cm ； （大）长是_______cm ，宽是_______cm ； （2）（小）=长宽 ；（大）=长宽 ． （3）你由上述的计算，能得到什么结论吗？ 4．在比例尺是1:8000000的“中国政区”地图上，量得福州与上海之间的距离时7.5cm ，那么福州与上海之间的实际距离是多少？ 5．AB 两地的实际距离为2500m ，在一张平面图上的距离是5cm ，那么这张平面地图的比例尺是多少？ 6.下列说法正确的是（ ） A ．小明上幼儿园时的照片和初中毕业时的照片相似. B ．商店新买来的一副三角板是相似的. C ．所有的课本都是相似的. D ．国旗的五角星都是相似的. 7. 下列说法中，错误的是（ ） A.放大镜下看到的图象与原图象的形状相同 B.哈哈镜中人像与真人的形状是相同的 C.显微镜下看到的图象与原图象的形状相同 D.放大一万倍的物体与它本身的形状是相同的 教法与学法指导 观察图片，体会相似图形 小组讨论、交流．得到相似图形的概念 观察思考，小组讨论回答 教学反思：
初中数学《全等三角形》主题单元教学设计以及思维导图
全等三角形 适用年级八年级 所需时间课内8课时，课外2课时。 主题单元学习概述 从知识的特点上来讲，关于全等三角形的相关知识注重学生通过动手实践发现规律，注重培养学生的思维能力，注重数学与现实的联系；从心理学上讲，八年级学生的认知正从具体运算阶段向形式运算阶段转化，适当的动手操作活动以及问题丰富的现实背景可以帮助他们能更好地掌握相关知识。 《全等三角形》的内容，主要包括全等三角形的概念、全等三角形的性质、全等三角形的判定、角平分线的性质。全等三角形是研究图形的重要工具，只有灵活运用它们，才能学好相关知识。本章开始，使学生理解证明的过程，学会用综合法证明的格式。这是本章的重点，也是难点。对角平线的性质与判
定中也不提出互逆定理。这样不致于一下给同学们过多的概念，而加大学生负担。本章中注重让学生经历三角形全等条件的探索过程，更注重对学生能力的培养与联系实际的能力。 我将采用以下的教法与学法：1、引导学生通过动手操作，探究规律；2、注重推理能力的培养，提高理性思维水平；3、联系生产生活实际，增加学习动力； 发展学生的思维能力，沟通知识与现实的联系。 主题单元规划思维导图 主题单元学习目标（
知识与技能： 1.掌握全等三角形的概念和性质，能够准确的辨认全等三角形中的对应元素。 2. 探索三角形全等的判定方法，并能灵活、综合运用。 3. 会作角的平分线，掌握角的平分线的性质并会利用它进行证明。 过程与方法： 1.经历三角形全等的探索过程，将两个三角形的六个要素随意组合针对每种情况做出分析与验证，得出三个定理，然后将其迁移到直角三角形的判定中来。 2．经历应用全等三角形及解角平分线的有关知识去解决简单的实际问题的全过程。 3．通过开放的设计题来发展思维，培养学生的创造力。 情感态度与价值观： 1.培养学习数学的兴趣，初步建立数学化归和建模的思想，积极参与探索，体验成功的喜悦。 2.通过体验抽象的数学来源于生活，同时又服务于生活。增强了学习数学的兴趣及对生活的热爱
九年级数学上册第4章相似三角形全章教案浙教版
4.1比例线段(1) 教学目标： 1.理解比例的基本性质。 2.能根据比例的基本性质求比值。 3.能根据条件写出比例式或进行比例式的简单变形。 教学重点、难点： 教学重点：比例的基本性质 教学难点：例2根据条件判断一个比例式是否成立，不仅要运用比例的基本性质，还要运用等式的性质等方法是本节教学的难点。 知识要点： 1.如果两个数的比值与另两个数的比值相等，那么这四个数成比例。 2.a 、b 、c 、d 四个实数成比例，可表示成a:b ＝c:d 或a b =c d ，其中b 、c 叫做内项，a 、 d 叫做外项。 3.基本性质：a b =c d <=>ad ＝bc(a 、b 、c 、d 都不为零) 重要方法： 1.判断四个数a 、b 、c 、d 是否成比例， 方法1:计算a:b 和c:d 的值是否相等； 方法2:计算ad 和bc 的值是否相等，(利用ad ＝bc 推出a b =c d ) 2.“a c =b d <=>a b =c d ”的比例式之间的变换是抓住实质ad ＝bc 。 3.记住一些常用的结论： a b =c d =>a ＋b b =c ＋d d ，a b =a ＋c b ＋d 。 教学过程： 一、复习引入 1、举例说明生活中大量存在形状相同，但大小不同的图形。 如：照片、放电影中的底片中的图与银幕的象、不同大小的国旗、两把不同大小都含有30°角的三角尺等。 2、美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比约为0.618.一些长方形的画框，宽与长之比也设计成0.618,许多美丽的形状都与0.618这个比值有关。你知道0.618这个比值的来历吗？
说明学习本章节的重要意义。 3.如何求两个数的比值？ 二、自学新课，探究结论 阅读思考题 (1)什么是两个数的比？2与—3的比；—4与6 的比。如何表示？其比值相等吗？用小学学过的方法可说成为什么？可写成什么形式？ (2)比与比例有什么区别？ (3) 用字母a,b,c,d 表示数，上述四个数成比例可写成怎样的形式？你知道内项、外项和第四比例项的概念吗？ 回答(1)2：（—3）=—23 ；—4：6=—46 =—23 ；2—3 =—46 ，2，—3，—4，6四个数成 比例。注意四个数字的书写顺序 (2)比是一个值；比例是一个等式。 (3)a:b=c:d a b =c d ，a,d 叫做比例外项，b,c 叫做比例内项，d ，叫做a,b,c 的第四比 例项。 注意这里的字母是泛指，概念只与位置有关，第四比例项必须描述清楚是谁的第四比例项。 补充练习： ①指出x y =e f 的比例内项、比例外项及第四比例项。 ②求3，4，5的第四比例项。 P96做一做1,2 (2答案：等式a b =c d 的两边同乘以bd ，可由a b =c d 推出ad ＝bc 。反过来等式ad ＝bc 两 边同除以bd ，即可由ad ＝bc 推出a b =c d ) 比例的基本性质：基本性质：a b =c d <=>ad ＝bc(a 、b 、c 、d 都不为零) 两内项之积等于两外项之积。 说明：由a b =c d =>ad ＝bc 的形式是唯一的，而由ad ＝bc=>a b =c d 的形式不唯一，有8个 不同的比例式。可以补充，但不出现更比定理的名称。
相似三角形全章教案资料
比例线段(1) 教学目标： 1.理解比例的基本性质。 2.能根据比例的基本性质求比值。 3.能根据条件写出比例式或进行比例式的简单变形。 教学重点、难点： 教学重点：比例的基本性质 教学难点：例2根据条件判断一个比例式是否成立，不仅要运用比例的基本性质，还要运用等式的性质等方法是本节教学的难点。 > 知识要点： 1.如果两个数的比值与另两个数的比值相等，那么这四个数成比例。 、b 、c 、d 四个实数成比例，可表示成a:b ＝c:d 或a b =c d ，其中b 、c 叫做内项，a 、d 叫做外项。 3.基本性质：a b =c d <=>ad ＝bc(a 、b 、c 、d 都不为零) 重要方法： 1.判断四个数a 、b 、c 、d 是否成比例， 方法1:计算a:b 和c:d 的值是否相等； 方法2:计算ad 和bc 的值是否相等，(利用ad ＝bc 推出a b =c d ) - 2.“a c =b d <=>a b =c d ”的比例式之间的变换是抓住实质ad ＝bc 。 3.记住一些常用的结论： a b =c d =>a ＋b b =c ＋d d ，a b =a ＋c b ＋d 。 教学过程： 一、复习引入 1、举例说明生活中大量存在形状相同，但大小不同的图形。 如：照片、放电影中的底片中的图与银幕的象、不同大小的国旗、两把不同大小都含有30°角的三角尺等。 2、美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比约为.一些长方形的画框，宽与长之比也设计成,许多美丽的形状都与这个比值有关。你知道这个比值的来历吗 % 说明学习本章节的重要意义。 3.如何求两个数的比值 二、自学新课，探究结论 阅读思考题 (1)什么是两个数的比2与—3的比；—4与6 的比。如何表示其比值相等吗用小学学过的方法可说成为什么可写成什么形式 (2)比与比例有什么区别 (3) 用字母a,b,c,d 表示数，上述四个数成比例可写成怎样的形式你知道内项、外项和第四比例项的概念吗
全等三角形全章学案
课题:12.1．1全等三角形 班级 姓名 时间 学习目标: 1、能说出怎样的两个图形是全等形，并会用符号语言表示两个三角形全等。 2、能在全等三角形中正确地找出对应顶点、对应边、对应角。 3、能说出全等三角形的对应边、对应角相等的性质。 学习重点:探究全等三角形的性质 。 学习难点: 掌握两个全等三角形的对应边、对应角。 学习过程： 一、课前研学(预习教材31页-32页的内容，完成下面的问题) （约3-5分钟） (一)、全等形、全等三角形的概念 1、能够完全重合的两个图形叫做 ． 全等图形的特征：全等图形的 和 都相同． 2、全等三角形． 两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 （二）、全等三角形的对应元素及表示 阅读课本P31第一个思考及下面两段内容，完成下面填空： 1、 平移 翻折 旋转 甲 D C A B F E 乙 D C A B 丙 D C A B E 启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后， 变化了，?但 、 都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形 ，这也是我们通过运动的方法寻全等的一种策略． 2、全等三角形的对应元素（说一说） （1）对应顶点（三个）——重合的 （2）对应边（三条） ——重合的 （3）对应角（三个） ——重合的 3、寻找对应元素的规律 （1）有公共边的，公共边是 ；（2）有公共角的，公共角是 ；
第（4）题图 E B A E 第（1 ）题图E C B F C 第（2）题图D A C B （4）在两个全等三角形中，最长边对应最长边，最短边对应最短边； 最大角对应最大角，最小角对应最小角． 简单记为：（1）大边对应大角，大角对应 ; (2) 公共边是对应边，公共角是 ，对顶角也是 ; 4、“全等”用“ ”表示，读作“ ” 如图甲记作：△ABC ≌△DEF 读作：△ABC 全等于△DEF 如图乙记作： 读作： 如图丙记作： 读作： 注意：两个三角形全等时，把表示对应顶点的字母写在对应的位置上． 二、课堂探究 （约15-20分钟） 知识点1：全等三角形的性质 阅读课本P32第二个思考及下面内容，完成下面填空： 活动一：观察下列各组的两个全等三角形，并回答问题： （1） 如图（1）△ABC ≌△DEF ，BC 的对应边是 ，即可记为BC= 。 ∠A 对应角是 即可记为∠A = 。。 （2） 如图（2）△ABC ≌△DEF ，△ABC 的边AC 的对应边是 ，即可记为AC= 。 （3） 如图（3）△ABC ≌△ ，∠ABC 对应角是 即可记为∠ = ∠ 。 （4） 如图（4）△ABC ≌△ ，△ABC 的∠BAC 的对应角是 即可记为∠ = ∠ 。 （5） △ABC ≌与△DEF ，AB=DE,AC=DF,BC=EF,写出所有对应角相等的式子。 小结1：规律总结： 1、全等三角形的对应边 ，对应角 。 2、两个三角形全等，与它们所在的位置 关系。(填有或无) 知识点2：全等三角形的性质例解 例1：如图1，△OCA ≌△OBD ，C 和B ，A 和D 是对应顶点，说出这两个三角形中的对应边和对应角． D C A B O D C A B E 图1 图2
九年级上册数学相似三角形练习题
九年级上册数学相似三角形练习题 姓名：日期： 一、选择题。 1． DE是?ABC的中位线，则?ADE与?ABC面积的比是（） A、 1：1 B、1：2 C、1：3 D、 1：4 2．如图1，已知△ADE∽△ABC，相似比为2：3，则 DE BC=（） A、3：2 B、2：3 C、 2：1 D、不能确定 3．如图2，已知△ACD∽△BCA，若CD=4，CB=9，则AC等于（） A、 3 B、 4 C、 5 D、 6 4．△ADE∽△ABC，相似比为2：3，则△ADE与△ABC的面积比为（） A、 2：3 B、 3：2 C、 9：4 D、 4：9 5．若DE是△ABC的中位线，△ABC的周长为6，则△ADE的周长为（） A、4 B、3 C、2 D、1 6．如图3，△ABC中，DE∥BC，AD=1，DB=2，AE=2，那么EC=（） A、1 B、2 C、3 D、4 7．如图4，D是△ABC的AB边上的一点，过点D作DE∥BC交AC于E。已知AD：DB=2：3．则S△ADE：S BCED ＝（） A、2：3 B、4：9 C、4：5 D、4：21 8．如图5，已知：AD是Rt△ABC斜边BC上的高线，DE是RtCADC斜边AC上的高线，如果DC：AD=1：2，a S CDE = ? ，那么 ABC S ? 等于（） A、4a B、9a C、16a D、25a 二、填空题： 1．两个相似三角形的面积比为4∶25，则它们的周长比为。 2．顺次连结三角形三边中点所构成的三角形与原三角形，它们的面积比为。 图3 图2 图1 图5 图4
3．如图6，AB ∥DC ，AC 交BD 于点O ．已知 5 3 =CO AO ，BO ＝6，则DO=_____________。 4．某校绘制的校园平面图的面积为2.5m 2 ，比例尺为1：200，则该校占地面积 m 2 。 5．如图7，在△ABC 中，点D 在线段BC 上，∠BAC=∠ADC ，AC=8，BC=16，那么CD=__________。 6．如图8，AD 、BC 交于点E ，AC ∥EF ∥BD ，EF 交AB 于F ，设AC=p ，BD=q ，则EF=_________。 7．如图4，已知△ABC 的周长为30cm ，D ，E ，F 分别为AB ，BC ，CA 的中点，则△DEF 的周长等于 cm 。 8．如图10.△ABC 中，D 是AB 上一点，AD ：DB=3：4，E 是BC 上一点。如果DB=DC ，∠1=∠2，那么S △ADC ：S △DEB = 。 三、解答题： 1、如图，⊿AOC ∽⊿BOD 。 （1）证明：AC ∥BD ； （2）已知,3,5,4===OB OC OA 求OD 的长。 2．如图,∠ADC=∠ACB=900 ,∠1=∠B,AC=5,AB=6,求AD 的长 图6 E B C A F D 图8 图7 图9 图10 O D B A