应用泛函分析教案1

第二章 度量空间§2.1 度量空间的进一步例子 教学内容(或课题)：目的要求： 在复习第二章度量空间基本概念前提下，要求进一步掌握离散度量空间、序列空间、有界函数空间、可测函数空间等. 教学过程：一 复习度量空间的概念设X 是个集合，若对于∈∀y x ,X ，都有唯一确定的实数()y x d ,与之对应，且满足01 ()y x d ,0≥，()y x d ,=0y x =⇔;02 ()y x d ,≤()z x d ,+()z y d ,对∈∀z y x ,,X 都成立， 则称(X ，d )为度量空间或距离空间，X 中的元素称为点，条件02称为三点不等式. 欧氏空间n R 对n R 中任意两点()n x x x x ,,,21 =和()n y y y y ,,,21 =，规定距离为 ()y x d ,=()2112⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑=ni i i y x .[]b a C ,空间 []b a C ,表闭区间[]b a ,上实值(或复值)连续函数的全体.对[]b a C ,中任意两点y x ,，定义()y x d ,=()()t y t x bt a -≤≤max .pl （)1+∞<≤p 空间 记pl ={}⎭⎬⎫⎩⎨⎧∞<=∑∞=∞=11k p kk k xx x .设{}∞==1k k x x ，{}∞==1k k y y ∈p l ，定义 ()y x d ,=pi pii y x 11⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑∞=. 二 度量空间的进一步例子例1 设X 是任意非空集合，对于∈∀y x ,X ，令()y x d ,=⎩⎨⎧=≠y x y x 当，当，0;1容易验证 01 ()y x d ,0≥，()y x d ,=0y x =⇔; 02()y x d ,≤()z x d ,+()z y d ,对∈∀z y x ,,X 都成立. 称(X ，d )为离散的度量空间. 由此可见，在任何非空的集合上总可以定义距离，使它成为度量空间.例2 序列空间S 令S 表示实数列(或复数列)的全体，对{}∞==∀1k k x x ，{}∞==1k k y y ，令 ()y x d ,=∑∞=121k kkk k k y x y x -+-1. 显然右边的级数总是收敛的. 易知()y x d ,0≥，且()y x d ,=0y x =⇔. 即()y x d ,满足条件01. 对C b a ∈∀,，先证≤+++ba b a 1aa +1+bb +1.实因令 ()t t t f +=1 (+∞<≤t 0)，则因为()2)1(1t t f +='0>，所以函数 ()ttt f +=1 在[)+∞,0上单调递增. 又因为 b a b a +≤+，所以有≤+++ba b a 1ba b a +++1=ba a ++1+ba b ++1≤aa +1+bb +1.再令 {}∞==1k k z z ，k k z x a -=，k k y z b -=，则 k k y x b a -=+. 由上述已证的不等式，得kk k k y x y x -+-1≤kk k k z x z x -+-1+kk k k y z y z -+-1.由此推得 02 ()y x d ,≤()z x d ,+()z y d ,对∈∀z y x ,,S 都成立. 故S 按()y x d ,成一度量空间.例3 有界函数空间()A B设A 是一个给定的集合，令()A B 表示A 上有界实值(或复值)函数的全体. ∈∀y x ,()A B ，定义 ()y x d ,=()()t y t x At -∈sup .显然()y x d ,0≥，且()y x d ,=0⇔A t ∈∀成立()()t y t x =，即()y x d ,满足条件01.又A t ∈∀，有 ()()t y t x -≤()()t z t x -+()()t y t z -≤()()t z t x At -∈sup +()()t y t z At -∈sup所以 ()()t y t x At -∈sup ≤()()t z t x At -∈sup +()()t y t z At -∈sup . 即()y x d ,满足条件02. 特别当[]b a A ,=时，()A B =[]b a B ,.例4可测函数空间()X M设()X M 为X 上实值(或复值)的Lebesgue 可测函数的全体，m 为Lebesgue 测度，若()X m ∞<，对任意两个可测函数()t f 及()t g ，由于()()()()11<-+-t g t f t g t f ，故不等式左边为X 上可积函数. 令()g f d ,=()()()()⎰-+-Xdm t g y f t g t f 1.若把()X M 中两个几乎处处相等的函数视为()X M 中同一个元素，则()g f d ,≥0且()g f d ,=0 ⇔ g f =，即()g f d ,满足条件01. 其次(参考例2)()g f d ,=()()()()⎰-+-X dm t g y f t g t f 1≤⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-+-+-X dm g h gh h f h f 11=⎰-+-Xdm hf h f 1+⎰-+-Xdm gh g h 1=()h f d ,+()g h d ,，对∈∀h g f ,,()X M 都成立. 即 ()g f d , 满足条件02. 故()X M 按上述距离()g f d ,成为度量空间.作业 P 205. 2. 4.作业提示 2. 与例2处理方法类似.4.利用xx+1 当0≥x 时的递增性.§2.2(1) 度量空间中的极限教学内容(或课题)：目的要求： 掌握一般的度量空间中的邻域、内点、外点、界点、导集、闭包、开集、闭集、收敛点列等概念，认识具体空间中点列收敛的具体意义. 教学过程：设()d X ,为度量空间，d 是距离，定义 ()ε,0x B =(){}ε<∈0,x x d X x 为0x 的以ε为半径的开球，亦称为0x 的ε邻域.例1 设()d X ,是离散的度量空间，d 是距离，则()ε,0x B ={}⎩⎨⎧>≤<1,;10,0εε当当X x仿§2.2-§2.3，设E 是度量空间()d X ,中的一个子集，0x 是X 中一点若存在0x 的某一邻域()0x U ，s.t. ()0x U ⊂E ，则称0x 为E 的内点. 若0x 是CE 的内点，则称0x 为E 的外点. 若∀()0x U 内既有E 的点又有非E 的点，则称0x 为E 的边界点. 若∀()0x U 内都含有无穷多个属于E 的点，则称0x 为E 的聚点. E 的全体聚点所成集合称为E 的导集，记为E '. E E '称为E 的闭包，记为E . 若E 的每一点都是E 的内点，则称E 为开集. 若E '⊂E ，则称E 为闭集.例2在欧氏空间1R 中，记A 为全体有理数点的集合，B 为全体无理数点的集合.则集合A 及B 均无内点，均无外点; ∈∀x 1R 既是A 又是B 的界点，既是A 又是B 的聚点; 1R 既是A 又是B 的导集，既是A 又是B 的闭包; A 、B 既非开集又非闭集. 若如同例1，将集合1R 离散化，则∈∀x A 都是A 的内点，∈∀y B 都是B 的内点，因此A 、B 在离散空间中均为开集; A 、B 均无界点; A 之外点集合为B ，B 之外点集合为A ; A 、B 均无聚点，因此Φ='A ，Φ='B ，A A '⊃，B B '⊃，故A 、B 均为闭集.设{}∞=1n n x 是()d X ,中点列，若X x ∈∃，s.t.()0,lim =∞→x x d n n (*)则称{}∞=1n n x 是收敛点列，x 是点列{}∞=1n n x 的极限.收敛点列的极限是唯一的. 实因若设n x 既牧敛于x 又收敛y ，则因为()()()0,,,0→+≤≤n n x y d x x d y x d ()∞→n ，而有 ()y x d ,=0. 所以x =y .附注 (*)式换个表达方式：()x x d n n ,lim ∞→=()x x d n n ,lim ∞→. 即当点列极限存在时，距离运算与极限运算可以换序. 更一般地有 距离()y x d ,是x 和y 的连续函数.证明 ()y x d ,≤()0,x x d +()00,y x d +()y y d ,0 ⇒()y x d ,-()00,y x d ≤()0,x x d +()y y d ,0;()00,y x d ≤()x x d ,0+()y x d ,+()0,y y d ⇒()00,y x d -()y x d ,≤()0,x x d +()y y d ,0. 所以|()y x d ,-()00,y x d |≤()0,x x d +()y y d ,0 例3 设()d X ,为一度量空间，令()ε,0x B =(){}ε<∈0,,x x d X x x ， ()ε,0x S =(){}ε≤∈0,,x x d X x x . 问()ε,0x B =()ε,0x S ?答 在n R 空间中，必有()ε,0x B =()ε,0x S . 在离散度量空间()d X ,中，当1=ε时，()ε,0x B ={}0x ，()ε,0x S =X ，此时()ε,0x B ≠()ε,0x S . 毕.设M 是度量空间()d X ,中的点集，定义. ()M δ=()y x d My x ,sup ,∈为点集M 的直径. 若()M δ=()y x d My x ,sup ,∈∞<，则称M 为()d X ,中的有界集(等价于固定0x ，M x ∈∀，()B x x d ≤0,，B 为某正数，则为有界集).()d X ,中的收敛点列{}∞=1n n x 是有界集. 实因，设=∞→n n x lim0x ，则数列(){}0,x x d n 收敛于0,故00>∃M ，s.t.N ∈∀n 有()00,M x x d n ≤. 所以m n ,∀∈N ，有 ()≤m n x x d ,()0,x x d + ()m x x d ,002M ≤.()d X ,中的闭集可以用点列极限来定义： M 为闭集 ⇔ M 中任何收敛点列的极限都在M 中，即若∈n x M ， ,2,1=n ，x x n →，则∈x M .具体空间中点列收敛的具体意义：1. 欧氏空间n R m x =()()()()m nm m x x x ,,,21 ， ,2,1=m ，为n R 中的点列，x =()n x x x ,,,21 ∈n R ，()x x d m ,=()()()()()()2222211nm n m m x x x x x x -++-+- . x x m →()∞→m ⇔ 对每个n i ≤≤1，有 ()i m i x x → ()∞→m .2. []b a C , 设{}⊂∞=1n n x []b a C ,，∈x []b a C ,，则()x x d n ,=()()0max →-≤≤t x t x n bt a ()∞→n ⇔ {}∞=1n n x 在[]b a ,一致收敛于()t x .3. 序列空间S 设m x =()()()(),,,,21m n m m ξξξ， ,2,1=m ，及x =() ,,,,21n ξξξ分别是S 中的点列及点，则()()()∑∞=→-+-=10121,k k m kkm k k m x x d ξξξξ ()∞→m ⇔ m x 依坐标收敛于x .实因，若对每个k 有()k m kξξ→()∞→m ，则因∑∞=121k k 收敛，所以N ∈∃m ，s.t. 221ε<∑∞=m k k. 因为对每个1,,2,1-=m k ，存在N ∈k N ，s.t.当k N n >时()k n k ξξ-2ε<. 令{}121,,,max -=m N N N N ，当N n >时，成立∑-=1121m k k ()()k n k k n k ξξξξ-+-1<∑-=1121m k k 212εε+<2ε. 所以当N n >时，成立()x x d n ,=∑-=1121m k k ()()k n k k n k ξξξξ-+-1+∑∞=m k k 21()()k n k kn k ξξξξ-+-1<2ε+2ε=ε.所以x x n →()∞→n反之，若x x n →()∞→n ，即()x x d n ,=∑∞=121k k()()kn k kn k ξξξξ-+-10→()∞→n .又因为N ∈∀k ，有()()kn k kn k ξξξξ-+-1k 2≤()x x d n ,，所以当∞→n 时，()()kn k kn k ξξξξ-+-1→0所以 0>∀ε，N ∈∃N ，s.t. 当N n >时，成立()()kn k kn k ξξξξ-+-1<εε+1. 所以()k n k ξξ-ε<. 所以N ∈∀k ，有()k n k ξξ→()∞→n .4. 可测函数空间()X M 设{}∞=1n n f ⊂()X M ，f ⊂()X M ，则因()f f d n ,=()()()()⎰-+-Xn n dm t f t f t f t f 1，有 f f n → ⇔ f f n ⇒.实因，若f f n ⇒，则0>∀σ，有[]()σ≥-f f X m n 0→ ()∞→n . 0>∀ε(不妨设()X m 2<ε)，取()220εεσ-<<X m ，则()21εσσ<+X m . 今对这样取定的ε及σ，因f f n ⇒，故N ∈∃N ，s.t. 当N n >时，成立[]()σ≥-f f X m n 2ε<. 所以()f f d n ,=()()()()[]⎰≥--+-σf f X n n n dm t f t f t f t f 1+()()()()[]⎰<--+-σf f X n n n dm t f t f t f t f 1≤[]()σ≥-f f X m n 1⋅+()21εσσ<+X m +2ε=ε. 所以()f f d n ,0→()∞→n . 所以f f n →()∞→n .反之，若f f n →()∞→n ，即()f f d n ,0→()∞→n . 对0>∀σ，由于[]()≤≥-+σσσf f X m n 1()()()()[]⎰≥--+-σf f X n n n dm t f t f t f t f 1≤()f f d n ,. 所以[]()0lim =≥-∞→σf f X m n n ，即f f n ⇒.以上各种极限概念不完全一致(依坐标收敛，一致收敛，依测度收敛)，引进距离概念之后，都可以统一在度量空间的极限概念之中. 作业 P 205. 5.作业提示 均匀收敛即一致收敛. 证明大意如同“序列空间S ”，并利用 ()()()()()()()()t f t f t f t f r r nr r n bt a -+-≤≤1max=()()()()()()()()t ft f t f t f nax r r n bt a r r n bt a -+-≤≤≤≤max 1.§2.2(2) 度量空间中的稠密集 可分空间 教学内容(或课题)：目的要求： 掌握度量空间中的稠密集和可分空间的概念，能正确使用这两个概念.教学过程：Th 设B 是度量空间X 的一个子集，则集合(){}ε<∈∈=y x d B y X x x O ,,,是个开集，且B ⊂O .证明 设∀0x ∈O ，则∃0y ∈B ，s.t. ()00,y x d <ε. 所以0x ∈()ε,0y U ⊂O . ()δ,0x U x ∈∀，其中εδ<<0-()00,y x d ，则()0,y x d <(ε-()00,y x d )+()00,y x d =ε. 所以()δ,0x U ⊂()ε,0y U ⊂O . 所以∀0x 是O 之内点. 所以O 是开集.又证 以B 中每一点为心作半径ε的邻域，所有这些邻域的并集就是集合O .每个邻域都是开集，任意个开集之并仍为开集，故O 为开集. 至于B ⊂O 是很显然的. 证毕.附注 当0→ε时，得到是B 之闭包未必是B . 例如B =⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1⊂1R .O = ∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛11,1n k n U ⊃⎪⎭⎫ ⎝⎛+k k U 1,11=()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-112,11k k k k k ⊃{}0，但∉0B . P 205.6. 设B ⊂[]b a ,，证明度量空间C []b a ,中的集(){}0,=∈t f B t f 时当为C []b a ,中的闭集，而集(){}()0,><∈=a at f B t f A 时当为开集 ⇔ B 为闭集.证明 设(){}∞=1n n t f ⊂(){}0,=∈t f B t f 时当且在[]b a C ,中()()t f t f n →.则当B t ∈时，对N ∈∀n ，有()t f n =0. 令∞→n ，得B t ∈时，()0=t f . 所以()∈t f (){}0,=∈t f B t f 时当. 所以(){}0,=∈t f B t f 时当是闭集.“⇐” 设B 为闭集，()t f 0∈A ，则 ()a t f <0(当B t ∈). 因()t f 0在B 连续，所以()t f 0≤Bt ∈max ()t f 0a <(当B t ∈). 取ε：0<ε<a -Bt ∈max ()t f 0，则对()t f ∀∈()ε,0f U ，有()()t f t f 0-≤[]b a t ,max ∈()()t f t f 0-<ε. 所以()t f <()t f 0+ε. 所以当B t ∈()t f ≤()t f 0+ε<Bt ∈max ()t f 0+(a -Bt ∈max ()t f 0)=a所以()ε,0f U ⊂A . 所以A 为开集.“⇒” 设A 为开集. 设{}∞=1n n t ⊂B ，0t t n →且0t B ∉.取点()t f ：()t f ∈A =(){}a t f B t f <∈时，当，则()n t f <a ，令∞→n 得，()a t f ≤0.因为0t B ∉，故只有()a t f =0. 不妨设()0t f =a (()0t f =-a 时同法可证之). 因为A 为开集，所以00>∃ε，s.t.()0,εf U ⊂A =(){}a t f B t f <∈时，当. ：ε∀00εε<<，因为()()()0εεε<=+t f t f d ，，所以点因为()n n t f ∞→lim =()0t f ，所以对上述0>ε且0εε<，存在N t ∈B ，s.t.()()ε<-0t f t f N ， 所以()0t f -ε<()N t f . 所以()N t f +ε>()0t f =a .但由方框，应有()ε+N x f <a ，与()N t f +ε>()0t f =a 相互矛盾. 这就证明了B B '⊃. 故B 为闭集. 证毕.Def 1 设X 是度量空间，N 和M 是X 的两个子集，令M 表示M的闭包，若N ⊂M ，则称集M 在集N 中稠密，当N =X 时，称M 为X 的一个稠密子集. 若X 有一个可列的稠密子集，则称X 是可分空间.例1 n 维欧氏空间n R 是可分空间. 事实上，座标为有理数的点的全体是n R 的可列稠密子集.设M 是闭区间[]b a ,全体有理数集合，N 是[]b a ,全体无理数集合. 在1R 中，因为M ⊂N ，N ⊂M ，所以N 在M 中稠，M 在N 中稠. 因为[]b a ,⊂M ，[]b a ,⊂N ，所以M 和N 都在[]b a ,中稠密. 若X =[]b a ,视为1R 的子空间，则X 是可分空间.例2 离散距离空间X 可分 ⇔ X 是可列集.实因在X 中没有稠密的真子集(因X 中任何一个真子集的闭集还是这个真子集本身)，所以X 中唯一的稠密子集只有X 本身，因此X 可分的充要条件为X 是可列集.例3 令∞l 表示有界实(或复)数列全体. 对∞l 中() ,,21ξξ=∀x ，y =() ,,21ηη，定义()y x d ,=k k kηξ-sup .显然()y x d ,≥0 且()y x d ,=0 ⇔ k k kηξ-sup =0 ⇔ 对N ∈∀k ，都有k k ηξ-=0 ⇔ 对N ∈∀k ，都有k k ηξ= ⇔ y x =. 其次设z ∀=() ,,21ςς∈∞l . 因为N ∈∀k ，都有k k ηξ-≤k k ςξ-+kk ςη-≤k k kςξ-sup +k k kςη-sup . 所以k k kηξ-sup ≤k k kςξ-sup +k k kςη-sup .即()y x d ,≤()z x d ,+()z y d ,. 所以∞l 按()y x d ,成为度量空间.往证∞l 是不可分空间.令M 表示∞l 中坐标k ξ取值为0或1的点() ,,21ξξ=x 的全体，则M 与二进位小数一一对应，所以M 有连续统的基数，对M 中任意的两个不同点y x ,，有()y x d ,=1. 若∞l 可分，则∞l 中存在可列稠密子集，设为{}∞=1k k z . 对M 中每一点x ，作球⎪⎭⎫ ⎝⎛31,x B ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎭⎫ ⎝⎛M x x B 31,是一族的两两不相交的球，总数有不可列个. 但由于{}∞=1k k z 在∞l 中稠密，所以每个⎪⎭⎫ ⎝⎛31,x B 中至少含有{}∞=1k k z 中的一点，这与{}∞=1k k z 是可列集矛盾. 证毕.作业： P 205. 3.7.8.9.作业解答： 3. 令n O =()⎭⎬⎫⎩⎨⎧<∈∈n y x d B y X x x 1,,,,则n O 是开集且n O B ⊃. 因为n O ↓，所以n n O ∞→lim = ∞=1n n O . 因B 是闭集，所以n n O ∞→lim =B ，即 ∞=1n n O =B .7. 取ε：0<ε<()F E d ,31. 作开集 O =(){}ε<∈a x d E a x ,, 和G =(){}ε<∈b y d F b y ,,，则O ⊃E ，G ⊃F . 又∀a ∈E ，∀b ∈F ，∀x ∈O ，∀y ∈G ，有 ()b a d ,≤()x a d ,+()y x d ,+()b y d ,. 所以()y x d ,≥()b a d ,-()x a d ,-()b y d ,≥()F E d ,-()F E d ,31-()F E d ,31=()F E d ,31>0. 所以x ≠y . 所以O 与G 必不相交. 又证不相交 若c ∈O G ，则存在()ε,a U 和()ε,b U ，a ∈E ，b ∈F ,s.t.c ∈()ε,a U ()ε,b U . 于是0<()F E d ,≤()b a d ,≤()c a d ,+()b c d ,<ε+ε<32()F E d ,. 矛盾. 所以 O G =Φ.8. ∀x ∈[]b a ,，令()t f x =[]{}⎩⎨⎧-∈=x b a t xt ,,0,1 则集合M =()[]{}b a x t f x ,∈含有不可数个元素()t f x ，M ⊂B []b a ,，∀()t f x 、()t f y ∈M 且x ≠y 时，()y x f f d ,=1. 若[]b a B ,可分，则[]b a B ,中存在可列的稠密子集，记为(){}t f n . 对M 中每一点()t f x ，作球()⎪⎭⎫ ⎝⎛31,t f B x ，则()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎭⎫⎝⎛M t f t f B x x 31,是一族两两不相交的球，总数有不可列个.但由于(){}t f n 在[]b a B ,中稠密，所以每个()⎪⎭⎫ ⎝⎛31,t f B x 中至少含有(){}t f n 中的点，这与(){}t f n 是可列集矛盾. 故[]b a B ,不可分.9. 因为X 可分，所以存在稠密子集B ={} ,,21x x . 对于每个O x ∈.存在()r x U ,⊂O . 因为B 在X 中稠密，所以可在⎪⎭⎫⎝⎛4,r x U 中取出B 中一点k x . 取有理数r '：24rr r <'<，所以x ∈()r x U k ',⊂()r x U ,⊂O ，且所有()r x U k ',至多可列个，包含它的开集O 至多可选出可列个. 证毕.§2.3 连续映照教学内容(或课题)：目的要求： 掌握连续映照概念，掌握连续映照的充要条件，学会使用连续映照概念和连续映照充要条件处理与连续映照的实际问题.教学过程：Def 1 设X =()d X ,，Y =()d Y ~,是两个度量空间，T 是X 到Y 中的映照：X =()d X ,T → Y =()d Y ~,. 0x ∈X ，若∀ε>0，∃δ>0，s.t.∀x ∈X 且()0,x x d <δ，都有()0,~Tx Tx d <ε，则称T 在0x 连续：用邻域来描述T 在0x 连续：对0Tx 的每一个ε-邻域N ，必存在0x 的某个δ-邻域0N ，s.t. 0TN ⊂N (0TN 表0N 在T 作用之下的像集). 也可以用极限来定义映照的连续性，基于Th 1 设T 是度量空间()d X ,到度量空间()d Y ~,中的映照：()d X ,T→()d Y ~,， 则T 在0x 连续 ⇔ 当n x →0x 时，必有n Tx →0Tx .证明 “⇒” 设T 在0x 连续，则∀ε>0，∃δ>0，s.t. ∀x ∈X 且()0,x x d <δ，都有()0,~Tx Tx d <ε. 因为n x →0x ，所以∃N ∈N ，s.t.当n >N 时，有()0,x x d n <δ. 所以()0,Tx Tx d n <ε. 所以n Tx →0Tx . “⇐” 反证法. 若T 在0x 不连续，则∃0ε>0，s.t. ∀δ>0，∃x ≠0x ，虽然()0,x x d <δ，但是()0,~Tx Tx d ≥0ε. 特别取δ=n1，则有n x ，s.t.当()0,x x d <n1时，有()0,~Tx Tx d n ≥0ε. 即n x →0x 时，有n Tx 不→0Tx . 与假设矛盾.证毕.若映照T 在X 的每一点都连续，则称T 是X 上的连续映照. 称集合{}M Tx X x x ∈∈,(M ⊂Y )为集合M 在映照T 下的原像.简记为M T 1-.用开集刻划连续映照，就是Th 2 度量空间X 到Y 中的映照T 是X 上的连续映照 ⇔ 任意开集M ⊂Y ，M T 1-是X 中的开集.证明 “⇒” 设T 是连续映照，M ⊂Y 是Y 中开集. 若M T 1-=Φ，则M T 1-是X 中开集. 若M T 1-≠Φ，则0x ∀∈M T 1-，令0y =0Tx ，则0y ∈M . 由于M 是开集，所以存在邻域()ε,0y N⊂M . 由T 的连续性，存在邻域()δ.0x N ，s.t. T ()δ.0x N ⊂ ()ε,0y N ⊂M . 从而 ()δ.0x N ⊂1-T ()ε,0y N ⊂M T 1-. 所以0x 是M T 1-的内点. 因为0x ∈M 是任意的，所以M T 1-是X 中的开集.“⇐” 设Y 中每个开集的原像是开集. 0x ∀∈X ，则()ε,01Tx N T -是X 中的开集. 又0x ∈()ε,01Tx N T -，所以0x 是()ε,01Tx N T -的内点，所以存在邻域()δ.0x N ⊂()ε,01Tx N T -. 所以T ()δ.0x N ⊂()ε,0Tx N ，所以T 在0x 连续. 又0x ∈X 是任意的，所以T 是X 上的连续映照. 证毕.利用()CM T 1-=()M T C 1-，又有Th 2' 度量空间X 到Y 中的映照T 是X 上的连续映照 ⇔ 任意闭集M ⊂Y ，M T 1-是X 中的闭集.证明 “⇒” 设T 是X 上的连续映照，又设M ⊂Y ，M 是闭集，则CM 是开集. 由Th2, ()CM T 1-是开集. 但()CM T 1-=()M T C 1-，故M T 1-是X 中的闭集.“⇐” M ∀⊂Y 且M 是闭集，则CM 是开集. 由()CM T 1-=()M T C 1-，及Y 中任何闭集M 的M T 1-总是X 中的闭集，得Y 中任何开集CM 的原像()CM T 1-总是开集，由Th2, T 是X 上的连续映照. 证毕.P 206.10. 设X 为距离空间，A 为X 中的子集. 令()x f =()y x d Ay ,inf ∈, x ∈X . 证明()x f 是X 上的连续函数.证明 0x ∀∈X ，n x ∀∈X ， ,2,1=n ，s.t.n x →0x .y ∀∈A ⊂X ，因为 ()y x d n ,≤()0,x x d n +()y x d ,0，所以 ()y x d n Ay ,inf ∈≤()0,x x d n +()y x d ,0， 所以 ()y x d n Ay ,inf ∈-()0,x x d n≤()y x d ,0, 所以()y x d n Ay ,inf ∈-()0,x x d n ≤()y x d Ay ,inf 0∈，所以()y x d n Ay ,inf ∈-()y x d Ay ,inf 0∈≤()0,x x d n . 同理()y x d Ay ,inf 0∈-()y x d n Ay ,inf ∈≤()n x x d ,0.所以|()()0x f x f n -|=|()y x d n Ay ,inf ∈-()y x d Ay ,inf 0∈|≤()0,x x d n →0(∞→n ).所以()x f 是X 上的连续映照(Th 1).作业： P 206. 11. 12. 13.作业解答： 11. 先证 ()y x d F y F x ,inf 21∈∈>0. 否则>∀ε0，x ∃∈1F ，y ∈2F ，s.t. ()y x d ,<ε. 令ε=m1，则∃m x ∈1F ，m y ∈2F ，s.t. ()m m y x d ,<m1,令∞→m ，由于()y x d ,是二元连续函数，故得()00,y x d =0(0x ∈1F 是m x 的聚点，0y ∈2F 是m y 的聚点，聚点存在). 因此0x =0y 与1F 2F =Φ相矛盾，故()21,F F d =()y x d F y F x ,inf 21∈∈>0.取ε：0<ε<21()21,F F d ，再令1G =() 1,F x x U ∈ε，2G =() 2,F y y U ∈ε，则1G 与2G 均为开集. 下证∀()ε,x U 与∀()ε,y U 都不相交. 若不然设∃z ∈()ε,x U ()ε,y U ，则()y x d ,≤()z x d ,+()y z d ,<ε+ε<()21,F F d . 与()y x d ,≥()21,F F d 相矛盾. 故任意二邻域不相交，从而1G 2G =Φ.12. ∀取开集G ⊂Z . 因为g 是Y 到Z 中的连续映照, 所以G g 1-⊂Y 是开集.因为f 是X 到Y 中的连续映照，所以()G g f 11--⊂X 是开集. 即()G gf 1-⊂X 是开集. 所以 gf 是X 到Z 中的连续映照.13. 由Th 2'或由()M T C 1-=()CM T 1-和Th2推得.附注 区间(]c ，∞-及[)∞+，c 均为闭集.§2.4 压缩映象原理及其应用本节作为完备度量空间何重要特征，我们介绍Banach压缩映象原理，它在许多关于存在唯一性的定理证明中是一个有力的工具。