投影变换

二、点的换面
(1) 点的一次换面 原投影面体系V/H，用V1代替V构成新的投影面体 系V1/H，V1垂直H，并于H面相交于X1。X1为V1/H投影面 中的投影轴。
点的一次换面（用V1面替换V面，建立新投影面V1/H体系）
V
a'
A
a1'
V1
a1'aX1 ⊥x1 a aX1 ⊥ x1
a1'到X1的距与a' 到X的距离都反 映A点到H面的 距离。ax1Biblioteka X1a'a2
X V H
a1 '
a
三、直线的换面
b' a'
1、一般位置直线变为投影面平行线
应该如何绘制新投影轴呢？ X V H 实长 AB=a1'b1' b α为直线AB对投影面H 的倾角 思考：如果想 求β角，应该换 哪一个投影面 b1 '
a a1 ' α
第一节 换 2、一般位置直线变为投影面垂直线 面法 （1）一般位置直线
2、一般位置平面变为投影面平行面
一般位置平面 —— 垂直面 —— 平行面
1次变换
2次变换
例2—15 如下图，试求直线AB对H 面、V 面的倾角及实长 b1 a1 β b`
a`
b a α a`1 b`1
例2—15 如下图，试求一般位置平面△ABC对V 面的倾角β 及△ABC的实形。
β
例3：已知水平线MN和点A（如图）。过A作一等腰三 角形ABC，使一直角边BC处于MN上，另一直角为AB。
V
c' c″ A a' b'
V1
反映 △ABC平 面的实形
X
B ab
a″
b″
C c
X1
H
在换面法中，新投影面的设置必须满足以下两个条件：
（1）新投影面必须垂直于原投影体系中的一个投影面，这 样才能建立一个新的直角投影面体系，以便利用正投影法 作图。 （2）新投影面必须使直线或平面处于有利于解题的位置， 使问题求解简便。
X
aX
aX1
a H X1
被更换的旧投影 a' 点 的 一 次 换 面
新投影 X V H a1 '
a 保留的旧投影
点的一次换面(用H1替换H面，建立新投影面V/H1体系）
V
a'
aX1
X
ax
a'aX1 ⊥x1 a1 aX1 ⊥ x1
a1
A
a1到X1的距与a 到X的距离都 反映A点到V面 的距离。
a
保留的旧投影 a' 新投影 a1
点 的 一 次 换 面
X V H
被更换的旧投影 a
变换H面， 建立新投 影面V/H1 体系
A点在新、旧两个投影面体系中的投影规律： • 新投影与不变的投影之间连线垂直于新投影轴。
• 新投影到新轴的距离 等于被替换的投影到旧轴的 距离。
（2） 点的二次换面
在一次换面的基础上继续 进行： V1/H V1 /H2……
X2 b a a2 b2 B 变为投影面平行线 （2）平行线变为投 影面垂直线
b1 ′ V1
a1 A
b a
X1
b a XV H b a a2 b2
次变换 次变换 一般位置直线 1 —— 平行线 2 —— 垂直线
四、平面的换面
1、一般位置平面变为投影面垂直面
a1 a`
b1 α
c1
c` b` a b c
A a`
m` B C m b` b C C`
n`
n a
例 2-3 求C点到直线AB的距离，并画出距离的投影。
c'
b'
分析
C
A K B
a' X V H
b a c H2
c
(k) a (b)
c' k′ a' V X H k
b'
b
CK=c2′k2′
a
c k1 a1 c1 b1
a2 '( b2 ') (k2′)
第四节
一、换面法的概念
投影变换——换面法
当直线或平面对投影面处于平行位置时，其投影才反映实 长或实形。 不反映 实长
X
反映 实长 X 正平线
X
X 反映 实形
水平面
不反映 实形
一般位置直线
一般位置平面
为了求出一般位置直线的实长或平面的实形，可以 设置一个新的投影面来替换原投影面体系中的某一个 投影面，组成一个新的投影面体系，使直线或平面在 该投影面体系中处于特殊位置，达到解题简化的目的， 这种方法称为变换投影面法，简称换面法。
c2 '
例2-4 求平面P的实形
11
31
51
21 1′
41
X
X
3 5
1
2
4
V/H
二次换面的作 图原理和作图方法 与一次换面相同。
V/H1
V2 /H1……
但需注意：
1）H 面、V 面的变换必须交换进行，即第一次变换V 面，则第二 次要更换H 面，第三次又要更换V面，依次类推。 2）每一新投影体系必须以上一投影体系为基础进行变换。
ax2 V1 a' a2
a1' A
X
ax a