袁聪--三边对应成比例
三角形三边比例与其角关系
三角形三边比例与其角关系
三角形的三边比例与其角关系是由三角形的三边长度之间的比
例关系以及三角形内角之间的关系决定的。
在三角形中，三条边的
长度分别为a、b和c，对应的三个内角分别为A、B和C。
首先，我们来看三角形的三边比例与角关系。
根据三角形的性质，任意两边之和大于第三边，即 a + b > c，a + c > b，b + c > a。
这就是三角形的三边关系，它们之间存在一定的比例关系。
其次，根据三角形的正弦定理和余弦定理，我们可以得到三角
形的三边比例与角关系。
正弦定理指出，a/sinA = b/sinB =
c/sinC，即三角形的每条边与其对应角的正弦值成比例。
余弦定理
指出，a² = b² + c² 2bccosA，b² = a² + c² 2accosB，c²
= a² + b² 2abcosC，即三角形的每条边的平方与其他两条边的平
方和减去它们的乘积与对应角的余弦值成比例。
此外，三角形的三边比例也与三角形的形状有关。
当三角形的
三边长度比例固定时，三角形的形状也随之确定。
比如，当三边比
例为1:1:1时，即三边相等，这样的三角形为等边三角形；当三边
比例为3:4:5时，这样的三角形为直角三角形等等。
总的来说，三角形的三边比例与其角关系是一个复杂而丰富的数学问题，涉及到三角函数、三角形的性质和形状等多个方面的知识。
通过深入学习和理解这些知识，我们可以更好地理解和应用三角形的性质和定理。
相似三角形全章教案
相似三角形全章教案18.1比例线段(1)教学目标：1.理解比例的基本性质。
2.能根据比例的基本性质求比值。
3.能根据条件写出比例式或进行比例式的简单变形。
教学重点、难点：教学重点：比例的基本性质教学难点：例2根据条件判断一个比例式是否成立，不仅要运用比例的基本性质，还要运用等式的性质等方法是本节教学的难点。
知识要点：1.如果两个数的比值与另两个数的比值相等，那么这四个数成比例。
2.a 、b 、c 、d 四个实数成比例，可表示成a:b ＝c:d 或a b =cd ，其中b 、c 叫做内项，a 、d叫做外项。
3.基本性质：a b =cd <=>ad ＝bc(a 、b 、c 、d 都不为零)重要方法：1.判断四个数a 、b 、c 、d 是否成比例，方法1:计算a:b 和c:d 的值是否相等；方法2:计算ad 和bc 的值是否相等，(利用ad ＝bc 推出a b =cd )2.“a c =b d <=>a b =cd ”的比例式之间的变换是抓住实质ad ＝bc 。
3.记住一些常用的结论： a b =c d =>a ＋b b =c ＋d d ，a b =a ＋cb ＋d。
教学过程：一、复习引入1、举例说明生活中大量存在形状相同，但大小不同的图形。
如：照片、放电影中的底片中的图与银幕的象、不同大小的国旗、两把不同大小都含有30°角的三角尺等。
2、美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比约为0.618.一些长方形的画框，宽与长之比也设计成0.618,许多美丽的形状都与0.618这个比值有关。
你知道0.618这个比值的来历吗？说明学习本章节的重要意义。
3.如何求两个数的比值？二、自学新课，探究结论阅读思考题(1)什么是两个数的比？2与—3的比；—4与6 的比。
如何表示？其比值相等吗？用小学学过的方法可说成为什么？可写成什么形式？(2)比与比例有什么区别？(3) 用字母a,b,c,d 表示数，上述四个数成比例可写成怎样的形式？你知道内项、外项和第四比例项的概念吗？回答(1)2：（—3）=—23 ；—4：6=—46 =—23 ；2—3 =—46 ，2，—3，—4，6四个数成比例。
对应线段成比例的三种形式
对应线段成比例的三种情形
要说对应线段成比例，咱们四川人讲起来也是头头是道，不
外乎就是那么几种情况嘛。
第一种嘛，就是平行线截割定理。
你想象一下，有两条平行线，中间被几条横七竖八的线给截了，那这些被截的线段，只要
它们在同一条直线上头，对头对的，那就是成比例的。
就好比说
你吃串串，两根签子串的肉大小一样，那就是成比例的噻。
第二种情况呢，就是相似三角形的对应边成比例。
你看嘛，
两个三角形要是长得像，那它们的对应边肯定就是成比例的。
就
像你跟你爸或者你妈长得像，那你们的一些特征，比如说眼睛大小、鼻子高低，那肯定就是成比例的。
最后一种，就是圆里面的弦的比例关系。
你画一个圆，然后
在圆里面画几条弦，只要这些弦满足一定的条件，那它们的长度
也是成比例的。
这个就跟咱们打麻将一样，有时候摸到的牌，要
是组合得好，那也是能打出好胡子的，这就叫“比例搭配得好”。
所以说嘛，对应线段成比例，其实就是要看它们是不是满足
上面这三种情况。
只要满足了，那它们就是成比例的。
这就像咱
们四川人吃火锅，只要火候、食材、调料都搭配得好，那吃起来
肯定就是美滋滋的。
所以说，数学也是跟生活息息相关的，只要
你用心去发现，就能找到其中的乐趣。
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A．3
B．3 或43
C．3 或34
4 D .3
10．如图所示，在正方形网格上有6个三角形：①△ABC；② △BCDቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ③△BDE；④△BFG；⑤△FGH；⑥△EFK.其中②～⑥ 中与①相似的是( B )
A．②③④ B．③④⑤ C．④⑤⑥ D．②③⑥
11．在△ABC中，AB＝3，AC＝4，在△A′B′C′中，A′B′＝8，
6．△ABC 的三边长分别为 2， 6，2，△A1B1C1 的两边长为 1， 3，要使△ABC∽△A1B1C1，那么△A1B1C1 的第三边长为 __2__．
7．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是CA，AB，BC的中点， 求证：△ABC∽△FDE.
解：证明：∵点 D，E，F 分别是 CA，AB， BC 的中点， ∴BDCE＝AECF ＝ADBF ＝12， ∴△ABC∽△FDE
(1)试证明△ABC为直角三角形； (2)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由； (3)画一个三角形，它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格 点并且与△ABC相似．(要求：用尺规作图，保留痕迹，不写作法 与证明)
相似三角形的证明：两边对应成比例,一个对应角相等(不是夹角)这两个三角形不相似的反例证明
相似三角形的证明：两边对应成比例,一个对应角相等（不是夹角）
这两个三角形不相似的反例证明。
海口市龙泉中学周利武
参加海口市2013---2017年的骨干老师考试中，有一道题让我们这些多年工作在一线的老师颇为头痛，题目是：两边对应成比例,一个对应角相等（不是夹角）这两个三角形不相似。
请举出两个反例。
反例1：
当我拿到这道题时，觉出得那是水到渠成的事，很快第一个图我就画好了。
如图：在三角形ABC中，AB=2，AC=4，BD=1。
BD:AB=AB:AC, ﹤B=﹤B=300。
显然，这两个三角形不相似：两边对应成比例,一个对应角相等（不是夹角）这两个三角形不相似。
就在我满心欢喜的时候，第二个图就难住了我，尝试了好几次遍还是不行，最后由于时间的关系胡乱画了一个，感觉有一点不对劲，但也没有时间去论证。
回来后对这道题念念不忘，也跟一些老师交换过意见，但没有一个令人满意的答
案。
这件事就一直被搁置了好长时间，心中一直留有个解不开的结，今天我在做题中，突然被一图提醒，很快就画出了这个让我诸多日夜不能安心入寝的图形。
反例2：
如图：三角形ABC是等腰三角形，AB=AC ，﹤A=300，三角形ACD 也是等腰三角形，﹤ACD=300。
由此可知：AD:CD=AB:AC, ﹤A=﹤ACD=300,但是两三角形并不相似。
做完此题，心中不免有一种愉悦的感觉。
相信大家还会有更好的不同
的做法与大伙一起分享。
6月13日。
相似三角形找对应边关系的诀窍
相似三角形找对应边关系的诀窍主要有以下三种：
1.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这
两个三角形相似。
这种方法下，顶点之间的对应关系比较好找，只需将两个角的顶点写在对应的位置上，第三个顶点就自然确定了。
2.如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这
两个三角形相似。
此时可以用三点定型法：确定三角形和夹角的思路。
先根据两边所在的三角形和两边夹角来确定一个顶点，然后结合数据将短边对应短边写在相应位置，长边对长边写在相应位置即可确定另外两个顶点。
3.如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似。
这种
情况下，可以随意找三个顶点作为起始点，然后按照边的比例关系找到另外三个顶点。
直角三角形两边对应成比例相似证明
直角三角形两边对应成比例相似证明哎呀，这道题目真是让人头疼啊！不过，既然我们要证明直角三角形两边对应成比例相似，那我们就得好好想想怎么证明。
我们得明确什么是直角三角形，什么是两边对应成比例相似。
直角三角形就是有一个角是90度的三角形，而两边对应成比例相似呢，就是说这个三角形的两条边分别和另一个三角形的两条边成比例，而且这两个三角形还不能是全等的哦！那么，我们现在就要开始证明这个结论了。
我们可以设这个直角三角形的两条直角边分别为a和b,另外两个角分别为A、B、C。
而我们要证明的结论就是：根据三角函数的定义，我们可以得到sin(A/2) =a/c,cos(B/2) = b/c。
这里，c就是斜边长。
接下来，我们就要用到三角函数的性质了。
我们知道，sin(A/2) = ±sqrt(1-cos(A))/2,cos(B/2) = ±sqrt(1+sin(B))/2。
而根据正弦定理和余弦定理，我们可以得到：sin(A/2) = a/c ≈ sqrt(1-cos(A))/2cos(B/2) = b/c ≈ sqrt(1+sin(B))/2现在我们就可以利用平方关系来消去根号了。
具体来说，我们有：sin^2(A/2) + cos^2(B/2) = 1代入上面的式子，我们可以得到：(sqrt(1-cos(A))/2)^2 + (sqrt(1+sin(B))/2)^2 = 1化简一下，我们就得到了：sin(A/2) = a/c ≈ sqrt(1-cos(A))/2cos(B/2) = b/c ≈ sqrt(1+sin(B))/2这样一来，我们就证明了直角三角形两边对应成比例相似这个结论啦！当然啦，这个过程还是比较复杂的，但是只要我们用心去理解，一定能够掌握其中的奥妙。
所以说，学习数学并不是一件可怕的事情，只要我们肯下功夫，就一定能够取得好成绩！。
《三边成比例的两个三角形相似》教案 (公开课)2022年人教版数学
27.2.1 相似三角形的判定第2课时 三边成比例的两个三角形相似1．理解“三边成比例的两个三角形相似〞的判定方法；(重点)2．会运用“三边成比例的两个三角形相似〞的判定方法解决简单问题．一、情境导入我们现在判定两个三角形是否相似，必须要知道它们的对应角是否相等，对应边是否成比例．那么是否存在判定两个三角形相似的简便方法呢？在如下列图的方格上任画一个三角形，再画第二个三角形，使它的三边长都是原来三角形的三边长的相同倍数．画完之后，用量角器比较两个三角形的对应角，你发现了什么结论？大家的结论都一样吗？二、合作探究探究点：三边对应成比例的两个三角形相似 【类型一】 直接利用定理判定两个三角形相似 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，BC ＝6，在Rt △EDF 中，∠F ＝90°，DF ＝3，EF ＝4，那么△ABC 和△EDF 相似吗？为什么？解析：△ABC 和△EDF 都是直角三角形，且两条边长，所以可利用勾股定理分别求出第三边的长，看对应边是否对应成比例．解：△ABC ∽△EDF .在Rt △ABC 中，AB ＝10，BC ＝6，∠C ＝90°，由勾股定理得AC ＝AB 2－BC 2＝102－62Rt △DEF 中，DF ＝3，EF ＝4，∠F ＝90°，由勾股定理得ED ＝DF 2＋EF 2＝32＋42△ABC 和△EDF 中，BC DF ＝63＝2，AC EF ＝84＝2，AB ED ＝105＝2，所以BC DF＝AC EF ＝AB ED，所以△ABC ∽△EDF . 方法总结：利用三边对应成比例判定两个三角形相似时，应说明三角形的三边对应成比例，而不是两边对应成比例． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练〞 第2题【类型二】 网格中的相似三角形如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在格点上，判断△ABC 和△DEF 是否相似，并说明理由．解析：首先由勾股定理，求得△ABC和△DEF的各边的长，即可得ABDE＝ACDF＝BC EF，然后由三组对应边的比相等的两个三角形相似，即可判定△ABC和△DEF相似．解：△ABC和△DEF相似．由勾股定理，得AB＝25，AC＝5，BC＝5，DE＝4，DF＝2，EF＝25，∵ABDE＝ACDF＝BCEF＝254＝52，∴△ABC∽△DEF.方法总结：在网格中计算线段的长，运用勾股定理是常用的方法．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练〞第8题【类型三】利用相似三角形证明角相等如图，ABAD＝BCDE＝ACAE，找出图中相等的角，并说明你的理由．解析：由ABAD＝BCDE＝ACAE，证明△ABC∽△ADE，再利用相似三角形对应角相等求解．解：在△ABC和△ADE中，∵ABAD＝BCDE＝ACAE，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠D，∠C＝∠E.方法总结：在证明角相等时，可通过证明三角形相似得到．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后稳固提升〞第6题【类型四】利用相似三角形的判定证明线段的平行关系如图，某地四个乡镇A，B，C，D之间建有公路，AB＝14千米，AD＝28千米，BD＝21千米，BC＝42千米，DC，公路AB与CD平行吗？说出你的理由．解析：由图中线段的长度，可求两个三角形的对应线段的比，证明三角形相似，得出角相等，通过角相等证明线段的平行关系．解：公路AB与CD平行．∵ABBD＝1421＝23，ADBC＝2842＝23，BDDC＝2131.5＝23，∴△ABD∽△BDC，∴∠ABD＝∠BDC，∴AB∥DC.方法总结：如果在条件中边的数量关系较多时，可考虑使用“三边对应成比例，两三角形相似〞的判定方法．【类型五】利用相似三角形的判定解决探究性问题要制作两个形状相同的三角形教具，其中一个三角形教具的三边长分别为50cm，60cm，80cm，另一个三角形教具的一边长为20cm，请问怎样选料可使这两个三角形教具相似？想想看，有几种解决方案．解析：要使两个三角形相似，一个三角形的三边和另一个三角形的一边，那么我们可以采用三边分别对应成比例的两个三角形相似来判定．解：①当长为20cm的边长的对应边为50cm时，∵50∶20＝5∶2，且第一个三角形教具的三边长分别是50cm，60cm，80cm，∴另一个三角形对应的三边分别为：20cm，24cm，32cm；②当长为20cm的边长的对应边为60cm时，∵60∶20＝3∶1，且第一个三角形教具的三边长分别是50cm，60cm，80cm，∴另一个三角形对应的三边分别为：503cm，20cm，803cm；③当长为20cm的边长的对应边为80cm时，∵80∶20＝4∶1，且第一个三角形教具的三边长分别是50cm，60cm，80cm，∴另一个三角形对应的三边分别为：12.5cm，15cm，20cm.∴有三种解决方案．方法总结：解答此题的关键在于分类讨论，当对应比不确定时，采用分类讨论的方法可防止漏解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后稳固提升〞第7题三、板书设计1．三角形相似的判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似；2．利用相似三角形的判定解决问题．因为本课时教学过程中主要是让学生采用类比的方法先猜想出命题，然后证明猜想的命题是否正确．课堂上教师主要还是以提问的形式，逐步引导学生去证明命题．从课后作业情况看出学生对这节课的知识总体掌握得较好.第2课伟大的历史转折1教学分析【教学目标】知识与能力知道中共十一届三中全会召开时间；了解它的背景，理解其重大意义；了解拨乱反正加强了民主与法制建设，推动了社会主义现代化建设；学会在历史开展的进程中认识历史人物、历史事件的地位和作用过程与方法学会运用原因与结果、联系与综合等概念，理解中共十一届三中全会的召开背景与历史意义情感态度与价值观认同中国共产党完全有能力领导中国人民取得社会主义建设事业的成功；认识改革开放是我国的强国之路【重点难点】教学重点：中共十一届三中全会教学难点：中共十一届三中全会在政治上、思想上、组织上的转变以及历史意义2教学过程一、导入新课“文化大革命〞时期，我国教育遭到了很大破坏，高考中断了十年。
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仿照课本定理1与定理2的证明方法，你能证明定理3吗？
已知:如图△ABC和△A`B`C`中A`B`:AB=A`C`:AC=B`C`:BC.
求证:△ABC∽△A`B`C`
【归纳】
定理3如果一个三角形的三边与另一个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形相似（可简单说成：三边成比例的两个三角形相似）
（注意：大对大，小对小，中对中）
2．课本82页练习2，3，4
[活动6]归纳小结
1.如果一个三角形的三边与另一个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形相似（可简单说成：三边成比例的两个三角形相似）。
2.在利用定理解题时要注意边与边之间的对应。
（注意：大对大，小对小，中对中）
布置作业
课本P85习题22.2 3，7
亳州市黉学英才中学
九年级主备人：袁聪使用人：
课题：三角形相似的判定（sss形相似的判定方法“三边对应成比例的两个三角形线相似”的探索过程.
2、掌握“三边对应成比例的两个三角形线相似”的两个三角形相似的判定方法.
3、能运用上述判定方法判定两个三角形相似.
教学重点
“三边对应成比例的两个三角形线相似”的两个三角形相似的判定方法.
教学难点
能运用上述判定方法判定两个三角形相似.
教学过程设计
教学过程
修改意见
[活动1]知识回顾
1、相似三角形的判定定理（定义，平行相似，AA型，SAS型）
2、回顾全等三角形的判定定理
[活动2]新知探究
提出问题：由三角形全等的SSS判定方法，我们会想：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么能否判定这两个三角形相似呢？
教学反思
[活动4]例题讲解
课本P80例1 P81例3
[活动5]当堂检测
1.已知△ABC和△DEF,根据下列条件判断它们是否相似.
(1) AB=3，BC=4，AC＝6
DE＝6，EF＝8，DF＝9
(2) AB=4，BC=8，AC＝10
DE＝20，EF＝16，DF＝8
(3) AB=12，BC=15，AC＝24
DE＝16，EF＝20，DF＝30