三边对应成比例
初中数学三角形边角关系的公式
初中数学三角形边角关系的公式初中数学三角形边角关系的公式大全数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科。
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初中数学三角形边角关系的公式1三角形边角关系(1)三角形三内角和等于180°，这个定理的证明方法有很多种(即辅助线的做法)，体现了几何中的一题多解的思维方法，这也是几何与众不同的地方。
(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。
(3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
(4)三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
(5)在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边。
(6)三角形中的四条特殊的线段：角平分线，中线，高，中位线。
(注①：等腰三角形中，顶角平分线，中线，高三线互相重叠;②：三角形的中位线是两边中点的连线，它平行于第三边且等于第三边的一半)(7)三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心，它是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等.(8)三角形的外接圆圆心，即外心，是三角形三边的垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。
(9)三角形的三条中线的交点叫三角形的重心，它到每个顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍。
(10)三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。
(11)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的1/2。
(12)三角形的一边与另一边延长线的夹角叫做三角形的外角。
注意：①三角形的内心、重心都在三角形的内部。
②钝角三角形垂心、外心在三角形外部。
(三条高的延长线交于一点，在三角形的外部)③直角三角形垂心、外心在三角形的边上。
(直角三角形的垂心为直角顶点，外心为斜边中点。
)④锐角三角形垂心、外心在三角形内部。
三角形有三条边，同时又三个内角，和三个外角，这样的说法就是正确的。
关于正方形定理公式的内容精讲知识，希望同学们很好的掌握下面的内容。
正方形定理公式正方形的特征：①正方形的四边相等；②正方形的四个角都是直角；③正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；正方形的判定：①有一个角是直角的菱形是正方形；②有一组邻边相等的矩形是正方形。
三角形相似与位似
知识点1、三角对应相等，三边对应成比例的三角形叫相似三角形。
如△ABC 与△A /B /C /相似，记作: △ABC∽△A /B /C / 。
相似三角形的比叫相似比相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是三角形相似的判定方法。
注意：（1）相似比是有顺序的。
（2）对应性，两个三角形相似时，通常把对应顶点写在对应位置，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。
（3）顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的，若△ABC∽△A /B /C /，相似比为k ，则△A /B /C /与△ABC 的相似比是1k 知识点2、相似三角形与全等三角形的关系（1）两个全等的三角形是相似比为1的相似三角形。
（2）两个等边三角形一定相似，两个等腰三角形不一定相似。
（3）二者的区别在于全等要对应边相等，而相似要求对应边成比例。
知识点3、相似三角形的性质相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应线段的比等于相似比，根据这一性质，可计算角的度数或边的长度。
平行线分线段成比例定理（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 已知l1∥l2∥l3, A D l1 B E l2 C F l3可得等.EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =====或或或或（2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. AD EB C 由DE ∥BC 可得：.此推论较原定理应AC AE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或用更加广泛,条件是平行.（3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.（4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. 知识点4、如果两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。
初中数学 相似三角形的判定方法
相似三角形的判定•相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
互为相似形的三角形叫做相似三角形。
例如图中，若B'C'//BC，那么角B=角B'，角BAC=角B'A'C'，是对顶角，那么我们就说△ABC∽△AB'C'•相似三角形的判定：1.基本判定定理(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。
)(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。
)(4)如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），那么这两个三角形相似。
2.直角三角形判定定理(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
3.一定相似：（1）.两个全等的三角形（全等三角形是特殊的相似三角形，相似比为1：1）（2）.两个等腰三角形（两个等腰三角形，如果其中的任意一个顶角或底角相等，那么这两个等腰三角形相似。
）（3）.两个等边三角形(两个等边三角形，三个内角都是60度，且边边相等，所以相似)（4）.直角三角形中由斜边的高形成的三个三角形。
•相似三角形判定方法：证两个相似三角形应该把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
如果是文字语言的“△ABC与△DEF相似”，那么就说明这两个三角形的对应顶点可能没有写在对应的位置上，而如果是符号语言的“△ABC∽△DEF”，那么就说明这两个三角形的对应顶点写在了对应的位置上。
一、（预备定理）平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。
相似的判定条件
相似的判定条件
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似；如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似。
相似的判定条件 1
(1)平行于三角形一边的直线和其他两边和两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似；
(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似；
(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.)；
(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似
(简叙为:三边对应成比例，两个三角形相似.)；
(4)如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），则有两个三角形相似
(简叙为:两角对应相等，两个三角形相似.).
相似的判定条件 2
1.相似三角形对应的角相等，对应的边成比例。
2.相似三角形所有对应线段的比值(对应高度、对应中线、对应平分线、外接圆半径、内切圆半径等。
)等于相似比。
3.相似三角形的周长之比等于相似比。
4.相似三角形面积之比等于相似比的平方。
5.相似三角形中内切圆和外接圆的直径比和周长比与相似比相同，内切圆和外接圆的面积比是相似比的平方。
相似三角形的复习
相似三角形的性质
1、相似三角形的对应角相等； 、相似三角形的对应角相等； 2、相似三角形的对应线段（边、高、中线、 、相似三角形的对应线段（ 中线、 角平分线）成比例，且等于相似比； 角平分线）成比例，且等于相似比； 3、相似三角形的周长比等于相似比； 、相似三角形的周长比等于相似比； 4、相似三角形的面积比=（相似比）2 、相似三角形的面积比 （相似比） 5、直角三角形被斜边上的高分成的两个直 、 角三角形和原三角形相似。 角三角形和原三角形相似。
AB CD EF
还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理 还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立， ；（2）请找出S 之间的关系式， 由；（ ）请找出 △ABD，S△BED和S△BDC之间的关系式，并 给出证明。 给出证明。 A A E C E C
B
F
D
B
F
D
由三角形相似证线段成比例的一般步骤： 三角形相似证线段成比例的一般步骤： 证线段成比例的一般步骤 1、先看这些线段确定哪两个可能相似的三 、 角形； 角形； 2、再找这两个三角形相似所需要的条件； 2、再找这两个三角形相似所需要的条件； 3、如这两个三角形不相似，则采用其它办 、如这两个三角形不相似， 中间比代换等 如找中间比代换等）； 法（如找中间比代换等）； （注意：当无法用三角形相似来证明线段成 注意： 比例时，可试着用引平行线的方法。） 引平行线的方法 比例时，可试着用引平行线的方法。）
F
1、如图 ABCD中，G是BC延长线上的一点， 、 延长线上的一点， 中 是 延长线上的一点 AG与BD交于点 ，与DC交于 点，则图中相似的 与 交于点E， 交于F点 交于点 交于 三角形共有（ 三角形共有（D ）对。 A
三角形相似的判定方法
三角形相似的判定方法一1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似． 特殊、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似． 注：射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高， 则AD 2=BD ·DC ，AB 2=BD ·BC ，AC 2=CD ·BC 。
二 相似三角形常见的图形三、1，下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。
（有“反A 共角型”、“反A 共角共边型”、 “蝶型”）ACD E 12AADDEE12412DBCEAD(3)BCAE (2)CB（3） 如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”）(4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，称为“旋转型”的相似三角形。
相似三角形的判定3三边成比例
【开心一刻】
1.三个金叫鑫，三个水叫淼，三个人叫众，那么三个鬼 应该叫什么? ------叫救命
2.你的爸爸的妹妹的堂弟的表哥的爸爸与你叔叔的儿子 的嫂子是什么关系? ------亲戚关系
3.用什么可以解开所有的谜? ------迷底
4.上无片瓦遮身，下无立锥之地。腰间挂个葫芦，只知 阴阳之理。猜一字。 ------卜
对应成比例，那么这两个三角形相
似）．
课堂练习
书70页练习1，2，3
补充：生活中的三角形
如图，AB是斜靠在墙上的长梯，梯脚B距墙1.6 米，梯子上一点D距离墙1.4米，BD长为0.5米，则 梯子的长为——————
A
D
E
B
C
丰收园
本节课你学到了什么?
作业
习题23.3
4． 依据下列各组条件，判断△ABC和△A′B′C′是不是相似， 如果相似，请给出证明过程． （1） ∠A＝70°，∠B＝46°，∠A′＝70°，∠C′＝64°； （2） AB＝10厘米，BC＝12厘米，AC＝15厘米，A′B′＝150 厘米，B′C′＝180厘米，A′C′＝225厘米； （3） ∠B=35°，BC=10，BC上的高AD=7，∠B′=35°， B′C′=5，B′C′上的高A′D′=3．5．
证明3010abcabc如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例那么这两个三角形相依据下列条件证明abc和abc相似ab10cmbc8cmac16cmab16cmbc256cm128cm书70页练习123图2436如图ab是斜靠在墙上的长梯梯脚b距墙16米梯子上一点d距离墙14米bd长为05米则梯子的长为依据下列各组条件判断abc和abc是不是相似如果相似请给出证明过程
三角形的三边关系
三角形的三边关系在几何学中，三角形是最基础和重要的图形之一。
三角形由三条线段组成，这些线段相交在三个点处，同时也确定了三个内角。
在三角形中，三条边之间存在着一些重要的关系，本文将探讨三角形的三边关系。
1. 三角形边长的关系在任意三角形ABC中，三边的长度满足以下关系，称为三角形的三边关系：a +b >c (1)a + c >b (2)b +c > a (3)其中a、b和c分别表示三角形的三条边的长度。
这些不等式反映了三角形中任意两边之和大于第三边的规律。
这个规律非常重要，因为它是构成一个合法三角形的必要条件。
如果在三角形中存在a + b = c，a + c = b或b + c = a的情况，则这个三角形被称为退化三角形。
此时，三条边形成一条直线，无法构成一个真正的三角形。
2. 三角形边长的大小关系除了满足不等式关系外，三角形的边长还具有一定的大小关系。
根据三边关系，我们可以判断三角形的边长大小如下：如果a > b且a > c，则角C最大，边a是最长边；如果b > a且b > c，则角A最大，边b是最长边；如果c > a且c > b，则角B最大，边c是最长边；如果a = b = c，则三角形是等边三角形，三条边相等；如果a^2 = b^2 + c^2，则角A为直角，三角形是直角三角形；如果b^2 = a^2 + c^2，则角B为直角，三角形是直角三角形；如果c^2 = a^2 + b^2，则角C为直角，三角形是直角三角形。
3. 三角形边长之间的比例关系三角形的边长也可以存在一定的比例关系。
常见的三角形边长比例关系有以下几种：等腰三角形：两边相等的三角形，即a = b或b = c或c = a；等腰直角三角形：除了两条直角边相等以外，还有一边也与它们相等；等边三角形：三边都相等的三角形，即a = b = c；相似三角形：三个内角分别相等且边长成比例的三角形。
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①4:2=5:x=6:y ②4:x=5:2=6:y ③4:x=5:y=6:2
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相似三角形的判定一
三边对应成比例----两三角形相似
类似于判定三角形全等 “SSS” 的方 法，我们还能不能通过三边来判断两个三 角形相似呢？
三边对应成
A
比例
A’
B’
C’
B
C
A' B' B' C' A' C' AB BC AC
是否有△ABC∽△A’B’C’？
已知:如图△ABC和△ ABC 中, AB AC BC
B`
AB AC BC
A
D
∴ DE BC , EA CA .
BC BC CA CA
因此 DE BC, EA CA .
∴△ADE≌△ ABC
∴△ ABC∽△ABC
B
C` E
C
要证明△ABC∽△A’B’C’，可以先作一个 与△ABC全等的三角形，证明它△A’B’C’与相 似．这里所作的三角形是证明的中介，它把 △ABC△A’B’C’联系起来．
A’B’=12cm,B’C’=18cm,A’C’=24cm.
(2)AB=10cm,BC=8cm,AC=16cm, A’B’=16cm,B’C’=12.8cm,A’C’=25.6cm.
(3)
如图已知 AB BC AC ，试说明∠BAD=∠CAE.
AD DE AE
证明Q AB BC AC AD DE AE
求证:△ABC∽△A`B`C`
AB AC BC A`பைடு நூலகம்
证明:在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A′B′,
过点D作DE∥BC交AC于点E.
∴ △ADE∽△ABC , ∴ ∵ AD AB, AD AB
AB AB
又 AB AC BC
AB AC BC
AD AE DE
A
A’
B
C
A' B' B' C' A' C' AB BC AC
B’
C’
△ABC∽△A’B’C’
如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么 这两个三角形相似.
简单地说:三边对应的比相等,两三角形相似.
例1:根据下列条件，判断△ABC与△A’B’C’ 是否相似，并说明理由．
(1)AB=4 cm,BC=6cm,AC=8cm,
A E
∴ΔABC∽ΔADE
D C
∴∠BAC=∠DAE
B
∴∠BAC━∠DAC=∠DAE━∠DAC
即∠BAD=∠CAE
如图在正方形网格上有A1B1C1和A2 B2C2， 它们相似吗？如果相似，求出相似比；如果 不相似，请说明理由。
答案是2:1
要作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形 的三边的长分别为4、5、6,另一个三角形框架的 一边长为2,怎样选料可使这两个三角形相似?