“三边成比例”
AB＝BC＝ AC , DE EF DF
请你说明△ABC∽△DEF的理由.
假设AB＞DE,在AB上截取AM=DE,过点M作 MN∥BC,交AC于点N.
A
在△ABC和△AMN中，
∵ MN∥BC，
M
N
∴ △ ABC ∽△AMN , AB BC CA
AM MN NA
B
又∵ AB＝BC＝ AC , AM=DE,
∵ AB 4 1， DE 12 3
BC 6 1 ， EF 18 3
AC 8 1 DF 24 3
∴ AB BC AC DE EF DF
∴ △ABC∽△DEF.
例2
如图,已知
AB＝BC＝CA ． BD BE ED
那么：∠ABD与∠CBE相等吗？为什么？
A
D
B
C
E
随堂练习 正方形网格上的两个三角形 相似吗?为什么?
DE EF DF
C D
∴MN=EF,AN=DF
∴ △ AMN ≌△DEF ∴ △ ABC ∽△DEF
E
F
知识归纳
三角形相似的判定方法四:
三边对应成比例的两个三角形相似.
A
B
CE
D 在△ABC和△DEF中,
∵ AB BC AC
DE EF DF
F ∴ △ABC∽△DEF.
例题精讲
例1.根据下列条件,判断△ABC与△DEF是否相似,并说明 理由. (1) ∠A＝100°，AB＝5cm，AC＝7.5cm,
A
B
C
E
F
D
随堂练习 书61页练习第2、3题
.
C’
..
A’
B’
例3
随堂练习
4.AG,DH分别是△ABC和△DEF的角平分线，且
AB BG AG DE EH DH
说明△ABC∽△DEF
D
A
BG
CE
H
F
5. 如图所示，是用三个小正方形拼成的一个
矩形AEDF，请你猜想∠1，∠2，∠3 有什么关系，并说明你的猜想是正确的．
回味练习 ☞
1.已知:如图,点M在BC上，点N在AM上，CM=CN， AM：AN=BM：CN，则△_____∽△______.
A
N
B
M
C
复习回顾
一、判定两个三角形相似的条件有哪些？
方法1：通过定义 三个角对应相等 三边对应成比例
方法2：平行于三角形一边的直线。 方法3：通过两角对应相等。 方法4：两边对应成比例且夹角。
∠D＝100°，DE＝8cm，DF＝12cm.
解：△ABC∽△DEF.
∵ AB ，5 AC 7.5 5 ∴ AB AC， DE 8 DF 12 8 DE DF
又∵ ∠A=∠D＝100°
∴ △ABCቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ△DEF.
例题精讲
(2) AB＝4cm， BC＝6cm，AC＝8cm,
DE＝12cm，EF＝18cm，DF＝24cm. 解：△ABC∽△DEF.
问题情境
类比全等三角形的SSS判定方法， 猜想如何判定两个三角形相似？
探索研究
已知△ABC.
1.画△DEF,使得 AB＝BC＝CA＝2；
DE EF FD
B
△ABC与△DEF相似吗？为什么？
E
A
C D
F
设
AB DE
＝
BC ＝ CA EF FD
＝k,改变k值的大小,再试一试.
探索研究
如图,在△ABC和△DEF中,
书59页练习题
拓展与延伸
1.已知:如图, E是四边形ABCD的对角线 BD上一点, 且∠?11= ∠?22，, AB = AC
AE AD 试说明: ∠ABC= ∠AED
A
2
D
1
E
B
C
如图，在△ABC中，AB＝8 cm．BC＝16 cm，点 P从点A开始沿AB边向点B以2 cm／s的速度移动， 点Q从点B开始沿BC边向点C以4 cm／s的速度移 动，如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒后， △PBQ与△ABC相似？
书66页11 、12、13
勾股定理直角三角形三边比例
勾股定理直角三角形三边比例
勾股定理是数学中一个重要的定理，它指出在直角三角形中，三角形两条直角边的平方之和等于斜边的平方，也就是说，直角三角形的三边成比例。
勾股定理可以表示为（a, b, c）是直角三角形的三边，其中一条直角边的平方加上另一条直角边的平方等于斜边的平方，即a2+b2=c2。
勾股定理有非常重要的数学意义和价值，例如，有时我们可以使用勾股定理来求三角形的斜边的长度。
以直角三角形ABC为例，设角A、B、C的对边分别为a、b、c。
我们已经知道A为直角，AB就是一条直角边，AC也是一条直角边，那么，c^2=a^2+b^2，所以我们就可以求得三角形的斜边c的长度了，这就是勾股定理的实际应用。
另外，我们还可以使用勾股定理来判断一个三角形是否是直角三角形，以直角三角形ABC为例，若满足勾股定理，即c^2=a^2+b^2，则ABC是直角三角形，如果不满足勾股定理，则ABC不是直角三角形，而是锐角三角形或钝角三角形。
三角形边长比例关系公式
三角形边长比例关系公式三角形是初中数学中的一项重要内容，掌握其相关概念和公式不仅有助于学生提高自己的数学成绩，而且对于将来的数学学习和实际应用都具有重要的指导意义。
其中，边长比例关系公式是初中三角形中最基本、最常用的公式之一。
边长比例关系公式的定义很简单，即在给定三角形ABC中，有a:b:c表示三边长度的比值，那么该三角形的三个角的正弦、余弦和正切关系式如下：sinA：sinB：sinC=a:b:ccosA：cosB：cosC=b:c:atanA：tanB：tanC=a/c:a/b:b/c其中，sin、cos、tan分别表示三角形的正弦、余弦和正切函数，A、B、C表示三角形的三个角，而a、b、c则分别表示三角形的三边长度。
在实际应用中，我们常用边长比例关系公式来推导三角形中各个角度的大小，或者帮助我们求解各个角度的大小。
例如，已知三角形的边长比例为3：4：5，求三角形的三个角度。
此时，可以应用上述公式，得到：sinA：sinB：sinC=3：4：5由此可得，sinA=3/5，sinB=4/5，sinC=1。
再利用反三角函数，我们就可以求出：A=sin^-1(3/5)≈36.9°B=sin^-1(4/5)≈53.1°C=sin^-1(1)＝90°另外，边长比例关系公式还可用于解决一些实际问题。
例如，在旅行中，我们可以通过测量三角形的三边长度来确定自己当前所在的位置或者目标地点的位置，这就需要运用到三角学和边长比例关系公式。
综上所述，初中三角形中的边长比例关系公式是一项重要的数学知识，不仅直接涉及到三角形角度的大小，而且在实际应用中也具有重要的指导意义。
因此，学生在学习数学的同时，应该认真掌握边长比例关系公式，练习多项例题，以便更好地应用到实际生活中。
三边对应成比例的两个三角形相似
解：（1）相似. 设小方格边长为1，
则AB=2, BC=2 2，AC=2 5, EF=2，ED= 2 , DF= 10 .
∵ DE EF DF
AB BC AC
2 2
∴△DEF∽△ABC.
（2）求图2中x和y的值.
解：（2）∵ AC BC 1.5
EC DC
∠ACB=∠ECD ∴△ACB∽△ECD ∴∠B=∠D=98°， x 1.5
两边成比例且夹角相 等的两个三角形相似.
在△ABC中,∠B=30°，AB=5cm，AC=4cm， 在△A′B′C′中，∠B′=30°，A′B′=10cm，A′C′=8 cm，这两个三角形一定相似吗？若相似，说说 是用哪个判定方法;若不相似，请说明理由.
解：不一定. 虽然 AB AC 1
A' B' A' C ' 2
∵ AB AC
A' B' A' C '
又∠A=∠A' ∴ △ABC∽△A'B'C'
练习
1.根据下列条件，判断△ABC与△A'B'C'是 否相似，并说明理由：
（1）∠A=40°, AB=8cm, AC=15cm, ∠A'=40°, A'B'=16cm, A'C'=30cm.
相似，因为两边成比例，夹角相等. （2）AB=10cm, BC=8cm, AC=16cm,
• 学习重、难点：
重点：三角形相似的判定1和判定2.
难点：两判定定理的证明.
推进新课
知识点1 相似三角形的判定定理
探究
任意画一个三角形， 再画一个三角形，使它的各边长都是原来三 角形各边长的k倍. 度量这两个三角形的角， 他们分别相等吗？这两个三角形相似吗？与 同学交流一下，看看是否有同样的结论.
人教版数学九年级下册《 三边成比例的两个三角形相似》PPT课件
例 2 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．
C
3
3.5
4
A
B
2.4 D
E
1.8
2.1 F
解：在 △ABC 中，AB > BC > CA；
在 △DEF 中，DE > EF > FD.
∵ DE 2.4 0.6，EF 2.1 0.6，FD 1.8 0.6，
AB 4
BC 3.5
CA 3
∴
∴ BC 2 = AB 2－AC 2 = ( 2 A′B′ )2－( 2 A′C′ )2 = 4 A′B′ 2－4 A′C′ 2
= 4 ( A′B′ 2－A′C′ 2 ) = 4 B′C′ 2 = ( 2 B′C′ )2.
∴
BC=2B′C′，BB'CC
'
1 2
A'B' AB
A'C ' . AC
∴ △ A′B′C′∽△ABC.
巩固练习
如图，△ABC中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA
的中点，求证：△ABC∽△EFD．
证明：∵△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，
CA的中点，
∴
DE
1 2
AC，DF
1 2
BC，EF
=
1 2
AB，
∴
DE AC
DF BC
=
EF AB
=
1， 2
∴ △ABC∽△EFD.
探究新知
考点 3 利用三角形相似说明角相等
AB BC AC
D
E
又
AB A' B'
BC B' C'
AC A' C'
九年级数学上册 22.2.4 三边成比例的两个三角形相似教
相似三角形的判定难点：探究两个三角形相似的预备定理的过程BC相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
相似三角形与全等三角形有什么内在的联系呢？全等三角形是相似比为 1 的特殊的相似三角形。
平行于三角形一边的直线与三角形的其它两边（或两边的延长线）相交，所截得的三角形与原三角形相似。
：在△证明：在AB，AC上分别截取∵AD=A'B',∠A=∠A'，AE=A'C'∴ΔA DE≌ΔA'B'C'，∴∠ADE=∠B'，又∵∠B'=∠B，∴∠ADE=∠B，∴DE//BC，∴ΔADE∽ΔABC。
∴ΔA'B'C'∽ΔABC判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
可以简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
可简述为：两角对应相等，两个三角形相似。
用数学符号表示：∵∠A=∠A'，∠B=∠B'∴ΔABC ∽ΔA'B'C'B=80分析： 画△ABC 与 '''C B A ∆使C'A'AB B 'A'AC ==成任意一个正数k ， △ABC 与 '''C B A ∆相似吗？：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两 ∴△ABC '''C B A ∆相交与点O,OA=1，OB=1.5，OC=3，OD=2.'C'A'AB B'A'A A AC∠=∠=且是否有△ABC ∽△A’B’C’'''AC A B C = A = A'∠∠18.3.318.3.3Rt a/b=bABC课后作业专案__(1) (2) (3)3．如图3，已知），B（0，6），且∠，•则点C•的坐标为4．已知，如图中，DE∥BC，DF∥AC，则图中共有________对相似三角形．5．下列各组图形一定相似的是（）．．有一个角相等的等腰三角形 B°的等腰三角形 D，∠B=90°，则∠1+(4) (5) (6)7．如图6，若∠B，则△_______∽△______，对应边的比例式为_____________8．如图，在△ABC CD，AE是三角形的两条高，写出图中所有相似的三角形，简要说明理由．写出图中的相似12．如图，等腰直角三角形13．在ABCD中，MAMD∽△EMB；（2）求14．在△ABC中，M是画出相应的图形加以说明．。
27.2.1 第2课时 三边成比例的两个三角形相似
如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′
AB AC .
A
A'
A'B' A'C '
B
CD
E
B'
C'
归纳
由此得到三角形的判定定理：
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
典例精析
例1 在△ABC和△DEF中，∠C=∠F=70°，AC=3.5cm,
BC=2.5 cm，DF=2.1 cm，EF=1.5 cm.求证：△DEF∽△ABC.
∴∠BAC=∠DAE.
∴∠BAC - ∠DAC =∠DAE-∠DAC.
A
即 ∠BAD=∠CAE.
B
∵∠BAD=20°， ∴∠CAE=20°.
C
D E
3.如图，△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA
的中点，求证：△ABC∽△EFD． 证明：∵△ABC中，点D、E、F分 别是AB、BC、CA的中点，
证明： ∵AC=3.5cm,BC=2.5cm,DF=2.1
C F
cm,EF=1.5cm,
A
D
E
B
又∵∠C=∠F=70°， ∴ △DEF∽△ABC（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）
练一练 如图，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AD=AE， AB=AC，∠DAB=∠CAE.求证：△ABC∽△ADE. 证明：
第二十七章 相 似
27.2.1 相似三角形的判定
第2课时 三边成比例的两个三角形相似
学习数学 享受数学
合作探究
探究2
猜想
已知： AB BC AC .
A1B1 B1C1 A1C1
相似三角形的判定3三边成比例
对应成比例，那么这两个三角形相
似）．
课堂练习
书70页练习1，2，3
补充：生活中的三角形
如图，AB是斜靠在墙上的长梯，梯脚B距墙1.6 米，梯子上一点D距离墙1.4米，BD长为0.5米，则 梯子的长为——————
A
D
E
B
C
丰收园
本节课你学到了什么?
作业
习题23.3
4． 依据下列各组条件，判断△ABC和△A′B′C′是不是相似， 如果相似，请给出证明过程． （1） ∠A＝70°，∠B＝46°，∠A′＝70°，∠C′＝64°； （2） AB＝10厘米，BC＝12厘米，AC＝15厘米，A′B′＝150 厘米，B′C′＝180厘米，A′C′＝225厘米； （3） ∠B=35°，BC=10，BC上的高AD=7，∠B′=35°， B′C′=5，B′C′上的高A′D′=3．5．
相似三角形的判定3
【开心一刻】
1.三个金叫鑫，三个水叫淼，三个人叫众，那么三个鬼 应该叫什么? ------叫救命
2.你的爸爸的妹妹的堂弟的表哥的爸爸与你叔叔的儿子 的嫂子是什么关系? ------亲戚关系
3.用什么可以解开所有的谜? ------迷底
4.上无片瓦遮身，下无立锥之地。腰间挂个葫芦，只知 阴阳之理。猜一字。 ------卜
如果一个三角形的三条边和另一个三角形的 三条边对应成比例，那么这两个三角形
似．（简单的说成：三边对应成比例的两个三
角形相似)
三角形相似的判定定理3：
三边对应成比例的两个三角形相似
C' C
A
B
A'
B'
在△ ABC与△ A′B′C′中,
∵ AA′ BB ′ =AA′ CC ′ =BB′ CC ′ .
第3课时 三边成比例的两个三角形相似
·数学
【导学探究】
1. DE =
10 5
, DF =
AB
AC
10 5
, EF =
BC
10
5
.
2.根据 三边成比例 判定△ABC∽△DEF.
解:△ABC 与△DEF 相似.理由如下: 由小方格是边长为 1 的正方形,根据勾股定理易求得: DE= 2 ,DF=2,EF= 10 ,AB= 5 ,AC= 10 ,BC=5,
·数学 第3课时 三边成比例的两个三角形相似
三角形相似的判定方法三
1.三边 成比例
的两个三角形相似.
2.应用格式:如图,
因为 AB = AC = BC , DE DF EF
所以△ABC∽△DEF.
·学
探究点一:利用三边成比例判定三角形相似 【例1】 在方格纸中,每个小格的顶点叫做格点,以格点连线为边的图形叫做格 点图形.如图,网格中的小方格是边长为1的正方形,试判断格点图形△ABC与 △DEF是否相似,并说明你的理由.
【导学探究】
1.由 AB = BC = AC ,可得△ABC∽ △ADE . AD DE AE
2.由 AB =
AD AE
,∠BAD=
∠CAE ,可得△ABD∽△ACE.
AC
·数学
证明:因为 AB = BC = AC , AD DE AE
所以△ABC∽△ADE. 所以∠BAC=∠DAE, 所以∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE. 因为 AB = AC ,即 AB = AD ,
所以 DE = DF = EF = 10 ,所以△ABC∽△DEF. AB AC BC 5
·数学
网格中判定三角形相似的步骤 (1)求边长:求出三角形各边长,并按大小顺序排列. (2)求比值:分别计算它们对应边的比值. (3)判断:通过比值是否相等判断两个三角形是否相似.
三边成比例的两个三角形相似证明例题
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三边成比例的判定方法-课件
8．如图，在1×5的正方形的网格上面有四边形ABCD，求 ∠BDC的度数．
解：由图知 AB＝ 2，AD＝1，BD＝ 5，BC＝5，DC＝ 10，
∴ABDD＝ 15，ADBC＝
2＝ 10
15，BBDC＝
55＝
15，∴ABDD＝ADBC＝BBDC，
∴△ABD∽△DCB，∴∠BDC＝∠BAD＝135°
9．(易错题)如图，已知在△ABC中，AB＝6，AC＝4，点P是 AC的中点，过点P的直线交AB于点Q，若想得到以A，P，Q为 顶点的三角形与△ABC相似，则AQ的长为( B )
(1)试证明△ABC为直角三角形； (2)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由； (3)画一个三角形，它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格 点并且与△ABC相似．(要求：用尺规作图，保留痕迹，不写作法 与证明)
解：(1)由题意得AB＝2，AC＝，BC＝5，∵AB2＋AC2＝BC2， ∴△ABC为直角三角形
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14、意志坚强的人能把世界放在手中 像泥块 一样任 意揉捏 。2021年2月27日星期 六2021/2/272021/2/272021/2/27
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15、最具挑战性的挑战莫过于提升自 我。。2021年2月2021/2/272021/2/272021/2/272/27/2021
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16、业余生活要有意义，不要越轨。2021/2/272021/2/27Februar y 27, 2021
A．3
B．3 或43
C．3 或34
4 D .3
10．如图所示，在正方形网格上有6个三角形：①△ABC；② △BCD；③△BDE；④△BFG；⑤△FGH；⑥△EFK.其中②～⑥ 中与①相似的是( B )