第三章投影变换与图像校正
OpenCV图像变换二投影变换与极坐标变换实现圆形图像修正
OpenCV图像变换⼆投影变换与极坐标变换实现圆形图像修正投影变换##在放射变换中，物体是在⼆维空间中变换的。
如果物体在三维空间中发⽣了旋转，那么这种变换就成为投影变换，在投影变换中就会出现阴影或者遮挡，我们可以运⽤⼆维投影对三维投影变换进⾏模块化，来处理阴影或者遮挡。
在OpenCV中有类似于getAffineTransform函数：getPerspectiveTransform(src,dst)函数⽤来处理计算投影变换矩阵。
与getAffineTransform函数不同的是传⼊的参数是三维空间坐标系的空间坐标，也就是4*2的⼆维ndarray，其中每⼀⾏代表⼀个坐标并且传⼊的数据类型必须为float32.⽰例：import cv2import numpy as npsrc=np.array([[0,0],[100,0],[0,100],[100,100]],np.float32)dst=np.array([[100,10],[100,10],[50,70],[200,150]],np.float32)P=cv2.getPerspectiveTransform(src,dst)print(P)运⾏结果：[[-7.77156117e-16 -1.00000000e+00 1.00000000e+02][-2.77555756e-15 -1.00000000e-01 1.00000000e+01][-2.66713734e-17 -1.00000000e-02 1.00000000e+00]]由结果可以看出当前输出的类型是float64.对于仿射变换在OpenCV中提供了如下的函数cv2.warpPerspective(src,M,dsize[,dst[,flags[,borderMode[,borderValue]]]])输⼊的矩阵类型是3⾏3列的投影变换矩阵。
⽰例：import cv2import numpy as npimport matplotlibdef Perspect(path):img=cv2.imread(path,cv2.IMREAD_GRAYSCALE)if not isinstance(img, np.ndarray):print('PASS')passelse:h,w=img.shape#设置变换坐标变化src=np.array([[0,0],[w-1,0],[0,h-1],[w-1,h-1]],np.float32)dst=np.array([[100,100],[w/3,100],[100,h-1],[w-1,h-1]],np.float32)#计算投影变换矩阵P=cv2.getPerspectiveTransform(src,dst)#利⽤变化矩阵进⾏投影变换r=cv2.warpPerspective(img,P,(w,h),borderValue=126)#显⽰图像cv2.imshow('A',img )cv2.imshow('B',r)cv2.waitKey(0)cv2.destroyAllWindows()print(P)Perspect('img/aa.jpg')极坐标变换##极坐标变换主要处理校正图像中的圆形物体或者在圆形中物体\(r=\sqrt{(x-(\overline{x})^2)+(y-(\overline{y})^2)}\)\[\theta= \left\{ \begin{matrix} 2\pi +arctan2(y-\overline{y},x-\overline{x}), &y-\overline{y}\leq0\\ arctan2(y-\overline{y},x-\overline{x},&y-\overline{y}>0 \end{matrix} \right\} \]以变换中⼼为圆⼼的同⼀个圆⼼上的点，在极坐标系\(\theta\)or中显⽰为⼀条直线。
第三章 几何校正
•
• 控制点选取的原则 控制点的选择要以配准对象为依据。以地面坐标为匹配标准 的，叫做地面控制点（记作GCP）。有时也用地图作地面控 制点标准，或用遥感图像（如用航空像片）作为控制点标准。 无论用哪一种坐标系，关键在于建立待匹配的两种坐标系的 对应点关系。
• 一般来说，控制点应选取图像上易分辨且较精细的特征点，这 很容易通过目视方法辨别，如道路交叉点、河流弯曲或分叉处、 海岸线弯曲处、湖泊边缘、飞机场、城廓边缘等。 特征变化大的地区应多选些。 图像边缘部分一定要选取控制点，以避免外推。 此外，尽可能满幅均匀选取，特征实在不明显的大面积区域 （如沙漠），可用求延长线交点的办法来弥补，但应尽可能避 免这样做，以避免造成人为的误差。
精度明显提高，特别是对 亮度不连续现象或线状特 征的块状化现象有明显的 改善。 更好的图像质量，细节表 现更为清楚。
计算量增加，且对图像起 鉴于该方法的计算量和精度 到平滑作用，从而使对比 适中，只要不影响应用所需 度明显的分界线变得模糊。 的精度，作为可取的方法而 常被采用。 计算量很大。 欲以三次卷积内插获得好的 图像效果，就要求位置校正 过程更准确，即对控制点选 取的均匀性要求更高。
k=Integer(x+0.5) l=Integer(y+0.5)
f(x,y)=f(k,l)
几何位置上的精度为±0.5像元
最邻近内插法以距内插点最近的观测点的像元值为 所求的像元值。该方法最大可产生0.5个像元的位置 误差，优点是不破坏原来的像元值，处理速度快。
II 双线性内插法
取（x，y）点周围的4邻点，在y方 向（或x方向）内插二次，再在x 方向（或y方向）内插一次，得到 （x，y）点的亮度值f(x，y）， 该方法称双线性内插法。设4个邻 点分别为(i,j),(i,j+1),(i+1,j), (i+1,j+1),过(x,y)作直线与x轴 平行，与4邻点组成的边相交于点 （i,y)和(i+1,y)。先在y方向内 插,由f(i,j+1)和f(i,j)计算交点 的亮度f（i,y)；由f(i+1,j+1)和 f(i+1,j) 计 算 交 点 的 亮 度 f(i+1,y) 。 然 后 计 算 x 方 向 ， 以 f(i,y) 和 f(i+1,y) 来 内 插 f(x,y) 值。
如何进行卫星图像的几何校正
如何进行卫星图像的几何校正随着卫星遥感技术的快速发展，卫星图像已经成为获取地面信息的重要手段之一。
然而，由于卫星在拍摄图像时存在姿态变化、地球曲率等因素，卫星图像常常出现几何形变的问题。
为了准确分析和处理卫星图像，必须进行几何校正。
本文将介绍如何进行卫星图像的几何校正。
几何校正是将卫星图像的像素坐标转换为地理坐标的过程，主要包括图像配准、坐标变换和投影变换三个步骤。
首先，进行图像配准。
图像配准是指将待校正图像的像素位置与一个参考图像的像素位置进行匹配。
常用的方法包括特征点匹配和相关系数匹配。
特征点匹配是根据图像中的特征点（如角点、边缘等）来寻找相应特征点，并通过计算特征点之间的距离、角度等关系来确定图像间的变换模型。
相关系数匹配是通过计算图像间的灰度相关性来确定图像变换模型。
图像配准完成后，接下来是进行坐标变换。
坐标变换是将待校正图像的像素坐标转换为地球坐标，常见的坐标变换方法有仿射变换和多项式变换。
仿射变换是利用线性变换将图像中的像素坐标转换为地理坐标，通常采用最小二乘法估计变换参数。
多项式变换则是通过多项式函数描述像素坐标与地理坐标之间的关系，可以更精确地描述图像的几何变换关系。
最后，进行投影变换。
投影变换是将待校正图像从像素坐标系转换为地理坐标系的过程。
在进行投影变换时，需要选择合适的地图投影方法。
常见的地图投影方法有经纬度投影、UTM投影、Lambert投影等。
选择合适的地图投影方法能够保持图像的几何形状和相对位置关系，提高后续分析和处理的准确性。
除了以上三个步骤，还需要注意一些细节问题。
首先，要根据卫星的姿态参数进行几何校正。
卫星在拍摄图像时会出现姿态的变化，所以需要根据实际的姿态参数对图像进行矫正。
其次，要考虑地球曲率的影响。
由于地球并非平面，图像中的像素在地面上的位置会发生畸变，所以需要考虑地球曲率对图像的影响，进行相应的几何变换。
在进行卫星图像的几何校正时，还需要注意一些常见的问题。
计算机图形学13投影变换
将坐标原点平移到点(a,b)。
01
平行投影
02
俯投影视图 将立体向xoy面作正投影，此时Z坐标取0;
03
投影变换 平行投影
使水平投影面绕X轴旋转-90，使与正投影面处于同一平面； 最后让图形沿Z轴平移dx=tx , dy=ty; 将x轴、y轴反向以与U、V两坐标轴方向一致； 将坐标原点平移至点O
不平行于投影面的平行线的投影会汇聚到一个点，这个点称为灭点(Vanishing Point)。 坐标轴方向的平行线在投影面上形成的灭点称作主灭点。 一点透视有一个主灭点，即投影面与一个坐标轴正交，与另外两个坐标轴平行。 两点透视有两个主灭点，即投影面与两个坐标轴相交，与另一个坐标轴平行。 三点透视有三个主灭点，即投影面与三个坐标轴都相交。
湖北大学 数计学院
1
讨论(续)：
2
类似，若主灭点在 Y 轴或 X 轴上，变换矩阵可分别写为：
二点透视投影的变换矩阵
湖北大学 数计学院
在变换矩阵中，第四列的p,q,r起透视变换作用 当p、q、r中有两个不为0时的透视变换称为二点透视变换。假定p!=0, r!=0, q=0; 将空间上一点(x,y,z)进行变换，可得如下结果：
7.4 投影变换 7.4.2 平行投影 斜平行投影求法
知投影方向矢量为（xp,yp,zp）
设形体被投影到XOY平面上
形体上的一点(x,y,z)在xoy平面上投影后→(xs,ys)
∵投影方向矢量为(xp,yp,zp)
∴投影线的参数方程为：
01
03
02
04
05
7.4 投影变换 7.4.2 平行投影 斜平行投影求法 因为 所以 若令
则矩阵式为：
《图像的调整与校正》课件
和决策能力。
对未来发展的展望
技术创新
随着新技术的不断涌现，图像调整与校正技术将不断进步和完善 。
应用领域拓展
随着应用领域的不断拓展，图像调整与校正技术将发挥更大的作 用。
跨学科融合
将图像调整与校正技术与计算机视觉、机器学习等领域进行融合 ，推动技术的进一步发展。
THANKS。
提高用户体验和视觉效果。
02
图像调整技术
亮度与对比度调整
01
02
03
亮度调整
通过增加或减少图像的亮 度，使其符合视觉效果。
对比度调整
通过增强或降低图像的对 比度，使其细节更加突出 。
动态范围压缩
将高光和暗部的细节保留 ，使图像更加自然。
色彩平衡调整
色彩校正
通过调整红、绿、蓝等颜 色通道的亮度，使图像颜 色更加准确。
平衡高光和阴影，使画面整体更加协 调。
05
04
细节增强
锐化图像，突出风景中的细节，如树 叶、建筑纹理等。
产品照片的调整与校正
光照调整
确保产品光照均匀，无阴影或 反光，展现产品表面细节。
对比度与锐度调整
提高对比度和锐度，突出产品 细节和质感。
总结词
产品照片的调整与校正旨在展 现产品的质感、细节和颜色， 突出产品的特点和优势。
颜色校正
确保产品颜色准确，与实物一 致，增强产品真实感。
环境背景处理
选择合适的背景，避免分散注 意力，突出产品本身。
05
图像调整与校正的未来发展
新技术与新算法的应用
深度学习算法
利用深度学习算法对图像进行自动调整和校正， 提高图像质量。
人工智能技术
结合人工智能技术，实现图像的智能识别、分析 和处理。
第三章投影变换图像校正
x2 sinθ cosθ y2
第三章投影变换图像校正
三维时：
有：L112 + L122 + L132 =1
A
有：
A2（cos2α+ cos2β+ cos2γ）= A2 正交阵 RT = R-1
有： X = RTY
x1= L11y1+ L21y2+ L31y3 x2= L12y1+ L22y2+ L32y3 x3= L13y1+ L23y2+ L33y3
y1 WH
0 1 x2
y2
0 1WH
缩放：
| x1 y1 z1 1| m11 m22 m33 m44
第三章投影变换图像校正
=| m11x1 m22y1 m33z1 m44 |
分项比
总比例
由三维变到二维空间：
| x1 y1 z1 1| m11 m12 0 m14
m21 m22 0 m24
矩阵A
m31 m32 0 m34 m41 m42 0 m44
同样：∣x y∣ 1 0 = ∣cx+y ,y∣ c1 = ∣x* y*∣
y
bx y
p*(x,bx+y)
p(x,y) bx
x
2)直线变换－－两个点的变换
A a b = A*
B cd
B* 两条平行线变换后是否仍平行？
x1 y1 x2 y2
a b = ax1+cy1 bx1+dy1 = x1* y1*
cd
辐射量畸变： 太阳高度影响 地形变化 大气（复杂）
几何畸变：透视效应，光学系统畸变，视角，机械系统速度不均匀。
第三章投影变换图像校正
透视图像矫正方法
透视图像矫正方法图像矫正是图像处理中一项重要的技术，通过调整图像的投影变换，使其恢复到原本的几何形状。
透视图像矫正方法是其中的一种，它可以纠正由于透视投影而引起的形变，使得图像中的线条和几何形状呈正常的形态。
本文将介绍几种常见的透视图像矫正方法，包括基于几何变换的方法和基于相机校正的方法。
一、基于几何变换的透视图像矫正方法1. 小矩形区域矫正法小矩形区域矫正法是一种简单直观的透视图像矫正方法。
该方法假设图像中存在一小矩形区域，其四个边框线条呈直线且相互垂直。
通过确定这个小矩形区域的四个角点坐标，可以使用透视变换将其矫正为一个矩形。
具体操作步骤如下：(1) 在图像中选择一个小矩形区域，边框线条呈直线且相互垂直。
(2) 确定这个小矩形区域的四个角点坐标。
(3) 使用透视变换对整个图像进行矫正，使得小矩形区域成为一个矩形。
2. 单应性矩阵矫正法单应性矩阵矫正法是一种基于单应性变换的透视图像矫正方法。
该方法通过寻找两个图像平面之间的单应性变换关系，将透视图像矫正为正交投影。
具体操作步骤如下：(1) 在图像中选择4个点，构成一个矩形。
(2) 计算出这4个点在透视变换前后的坐标对应关系。
(3) 利用这些坐标对应关系，求解出一个3×3的单应性矩阵。
(4) 使用求解出的单应性矩阵对整个图像进行矫正，消除透视形变。
二、基于相机校正的透视图像矫正方法1. Pinhole相机模型Pinhole相机模型是一种简化的相机模型，它假设光线从一个小孔经过，投影到成像平面上。
这种模型下，透视投影可以通过几何关系进行推导和矫正。
具体操作步骤如下：(1) 建立透视投影和成像平面之间的几何关系。
(2) 根据透视投影的几何关系，推导出图像矫正的数学表达式。
(3) 利用推导出的数学表达式，对整个图像进行矫正，消除透视形变。
2. 摄像机标定法摄像机标定法是一种常见的基于相机校正的透视图像矫正方法。
该方法通过对摄像机进行标定，得到摄像机的内部和外部参数，并基于这些参数对图像进行校正。
投影变换(计算机图形学)资料
2009-2010-2:CG:SCUEC
10
正投影之三视图
当投影面与某个坐标轴垂直 时，得到的空间物体的投影 为正投影（三视图）
1. 三视图分为正视图、侧视图
和俯视图.
2. 对应的投影平面分别与x轴， y 轴，z轴垂直。
三视图
三视图常用于工程制图，因为在其上可以测量距离和
角度。但一个方向上的视图只反映物体的一个侧面，只有 将三个方向上的视图结合起来，才能综合出物体的空间结 构和形状。
2009-2010-2:CG:SCUEC
4
投影变换的概念
近平面
远平面 Z
X
投影平面 V′ U′
窗口 X′ Y′
Y 投影线
视点
透视投影
视点：三维空间中任意选择的一个点，亦称为投影中心 投影平面：不经过视点的任意一个平面 投影线：从视点向投影平面的引出的任意一条射线
2009-2010-2:CG:SCUEC
x
xq zc
yq
0
0 zc
xc yc
0 0
y z
xp
xq q
,
yp
yq q
q 0
0
1
zc
1
2009-2010-2:CG:SCUEC
8
平行投影
平行投影可以看成投影中心移向无穷远时的极限情况。
设给定的投影方向为（ xd , yd , zd ）。在要投影的对象附近任取一点
（xs , ys , zs），以此点为起点作一射线，其指向是投影方向的反方向，
oz 和 轴的单位方向向量为 (a11, a12 , a13 ) 、 (a21, a22 , a23 ) 和
(a31, a32 , a33 ) ，那么从坐标系oxyz到 o xyz 的变换是
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立体测量原理：
立体测量参照系统的标定：
3.2
几何变换
[研究典型的变换关系、典型线性变换、二维面上的线性变换含义表 示及特征。]
1) 点变换
比例变换：[x y] a 0
0 b 旧坐标
= ∣ax, by∣=∣x* y*∣
新坐标
原点变换：∣x y∣ a b
c d
= ∣0
0∣
翻转：
绕x轴∣x
y∣ 1 -1
0
sinγ
y3
x3
x3
y2 γ x
0 - sinγ cosγ
任意旋转：
R Ri R j Rk i, j, k 1,2,3
注意到： m11 m12 m13
只包括旋转。 m31 m32 m33 R = m21 m22 m23
进一步的（旋转、位移、透视、缩放）如何呢？ [我们]引入齐次坐标系，扩展了非线性项—透视、位移 m11 m12 m13 m14 x向
L13－－y1与x3之间的方向余弦
┋ Lij－－yi与xj之间的方向余弦
得Y 与
X
间关系：
y1= L11 X1+ L12 X2+ L13 X3 y2= L21 X1+ L22 X2+ L23 X3 y3= L31 X1+ L32 X2+ L33 X3 如： y1 Y= y2 y3 L1 L3 L11 L12 L13 L31 L32 L33 x1 X= x2 x3 R= L2 = L21 L22 L23
Z y1 y2 z p2 x2 x1 p1
得 : x2
fx1 x 1 f z 1 z f
焦点
f
| x1 y1 z
1 |
1 1 0 1/f 1 z的透视变换结果 = | x1 y1 0 1+z/f|
WH 1
z f
x1 y1 0 1
z x y1 WH 1 0 1 x2 f WH WH
=∣x, -y∣=∣x*
y*∣
绕y轴∣x y∣
-1 0
0 1 1
=∣-x, y∣=∣x*
y*∣
绕x=y轴∣x y∣ 0
=∣y, x∣=∣x*
y*∣
1 0 剪移：∣x y∣ 1 0 b 1 = 同样：∣x y∣ 1 c 0 1 = ∣x* y*∣ ∣x* y*∣
y
= ∣x, bx+y∣
y
p*(x,bx+y)
绕x3、x2、x1旋转的矩阵，转角逆时针为正： x2 绕x3轴转θ 角 y2
cosθ sinθ R3= -sinθ cosθ 0 绕x2轴转β 角 cosβ R2= 0 sinβ 绕x1轴转γ 角 0 1 0 -sinβ 0 cosβ β 0 0 0 1
y1
θ
y1
x1
x1 y3
1
R1= 0
0
cosγ
原来线的斜率：
m1
y2 y1 ' m1 x2 x1
[另一条平行线斜率 ]
A* 、 B*的斜率：
y2 y1 bx2 dy2 bx1 dy1 b dm1 m2 x2 x1 ax2 cy2 ax1 cy1 a cm1
[展开:]
WH x2 = m11x1+ m21y1+ m31z1+ m41
WH y2 = m12x1+ m22y1+ m32z1+ m42 WH = m14x1+ m24y1+ m34z1+ m44 令m44=1，消去WH得： m11x1+ m21y1+ m31z1+ m41－m14x1x2－m24y1x2－m34z1x2 = x2 m12x1+ m22y1+ m32z1+ m42－m14x1y2－m24y1y2－m34z1y2= y2 12个系数，仅有二个方程，需要6对点可解。
[只要3个对应点对，即可求得a,b,c,d,e,f系数] 分析[缺点]： 线性关系[实际中不一定是 线性]
1 1‘
*
3
旧图
*
2 3‘
新图 2‘
外插效果不好，所以 要求 对应点对足够多，能覆盖全图
b) 拟合法： 全图：x = f1(u,v) y = f2(u,v) 更复杂的，全图是一个函数 [一般用三阶函数] 。
第三章 投影变换与图像校正
3.1 投影变换 3.2 几何变换 3.3 图像校正 3.4 几何校正方法
3.1
投影变换：
X Y
任一两坐标系： X , Y ：P=[X1,X2,X3]T ：P1=[Y1,Y2,Y3]T
令两坐标系方向余弦为： L11－－y1与x1之间的方向余弦（夹角余弦） L12－－y1与x2之间的方向余弦
( c, d ) ( a , b)
B
*
3.3
图像校正：
原因：有畸变。清除畸变[一般多用于遥感图像] 变形因素：辐射量引起畸变 几何形状畸变
遥感器：光学边缘减光[中间亮两边暗]
电子系统，灵敏度偏移 辐射量畸变： 太阳高度影响
地形变化
大气（复杂）
几何畸变：透视效应，光学系统畸变，视角，机械系统速度不均匀。
模型校正： 即直接找出变换矩阵 H 由h、V、 (相机安装角)、
（ X、 Y、 Z） 卫星
模型H
[由地面点校准]
评价：参数误差[大，不好确定] 如：卫星600KM高，角误差是0.001弧 度(千分之一弧度) 地面误差：600×1000×0.001=600M
h
地面
综合校正： a) 局部插值法：任一小三角形，三对对应点对关系已知 x = a b y d e u v + c f x=au+bv+c y=du+ev+f
H=
m21 m22 m23
m24
y向
z向透视变换结果
m31 m32 m33 m34 m41 m42 m43 m44
x向位移
展开理解：
位移：|x y z 1| 1
1
1 Tx Ty Tz 1
= |x+ Tx,y+ Ty,z+ Tz , 1|
透视：
x2 x 1 , f f z
y2 y 1 f f z
有：
x1 = cosθ –sinθ y1 x2
三维时： 有：L112 + L122 + L132 =1 γ
A
α
A2（cos2α + cos2β + cos2γ ）= A2
β
正交阵 RT = R-1
有： X = RTY
x1= L11y1+ L21y2+ L31y3 x2= L12y1+ L22y2+ L32y3 x3= L13y1+ L23y2+ L33y3
则有Y = R X
x1 y1= L1 X=∣L11 L12 L13∣ x2
x3
L1 为X与y1之间的方向余弦
到二维空间来理解: x1=x cos(β +γ ) x2=x sin(β +γ ) y1= x1 cosγ + x2 cos(90°-γ ) = x cosβ y2= - x1 sinγ + x2 cosγ y2 y2 x2
bx p(x,y)
bx
= ∣cx+y ,y∣
x
2) 直线变换－－两个点的变换 A B a b = c d A* B* 两条平行线变换后是否仍平行？
x1 y1 x2 y2
a b = ax1+cy1 bx1+dy1 = x1* y1* c d ax2+cy2 bx2+dy2 x2* y2*
=
A* B*
整数
小数
[缺点：校正后的图象亮度有明显的不连续性]
双线性插值
f(0,y)=f(0,0)+y[f(0,1)-f(0,0)] f(1,y)=f(1,0)+y[f(1,1)-f(1,0)] f(x,y)=f(0,y)+x· [f(1,y)-f(0,y)] f(0,y) f(x,y) y (0,1) f(1,y)
校正两种途径： 根据畸变原因，建立数学模型（实际情况复杂不适用） 参考点校正法－－推算全图变形函数，前提是足够多的参考点。
3.4 几何校正方法
1) 模型校正和综合校正：
A B A’ B’
D
C
D’
C’
B（旧）实际采到
A（新）
可建立：A = H B
校正后 变换矩阵 待校正
A—A’对应点对，由4个对应点对，求H，一般为N对
m32 0 m34
m42 0 m44
矩阵C
矩阵B
讨论：
① 给定mij及空间点A，可求C，即由三维求二维投影结果。 ② 由B、C求A，即由两组不同的二维投影，可以算出三维空间坐 标，用于立体测距（两个相机相对关系确定，如二目测距） ③ 由A、C求B，由足够的空间点对及其二维投影可算出两坐标系 间的变换关系（mij）
即：R= cosθ -sinθ 0
sinθ cosθ 0
0 0 1
矩阵正交条件:
a
k 1
n
ik n
a jk
1 0 1 0
i j i j i j i j
或： akiakj
k 1
旋转阵R为正交矩阵:
二维时:
y1 =
y2
cosθ sinθ x1
-sinθ cosθ x2 sinθ cosθ y2
2）基本问题：
两种途径： 给定旧图坐标（x,y） 找 （u,v）u = f1(x,y)