人教版高数必修二第2讲：空间几何体的三视图与直观图(教师版)——方庄李仲

空间几何体的三视图与直观图__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________了解中心投影与平行投影；能画出简单几何体的三视图；能识别三视图所表示的空间几何体．一、投影的相关定义1.投影光线（投射线）通过物体，向选定的面（投影面）投射，并在该面上得到图形的方法．2.中心投影投射线交于一点的投影称为中心投影．注意：(1)中心投影也称透视投影；(2)其优点是形成的直观图能非常逼真地反映原来的物体；(3)其缺点是投影中心、投影面、和物体相对位置发生改变时，直观图的大小和形状亦将改变(4)用途：主要用于绘画领域．3.平行投影投射线相互平行的投影称为平行投影．注意：按照投射方向是否正对着投影面，可分为斜投影和正投影两种．二、三视图1.视图——是指将物体按正投影向投影面投射所得到的图形．（1）光线自物体的前面向后投影所得的投影称为主视图或正视图；（2）光线自物体的上部向下部投影所得的投影称为俯视图；（3）光线自物体的左面向右投影所得的投影称为左视图；以上三种视图刻画空间物体的结构，称为三视图．2.三视图的画法规则（1）“高平齐”：指主视图和左视图的高要保持平齐； （2）“宽相等”：指左视图的宽和俯视图的宽度相等； （3）“长对正”：指主视图和俯视图的长应对正； （4）看不到的棱应该用虚线． 三、直观图 1.定义按平行投影法，把空间图形在纸上或黑板上画得既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系，我把这种投影图叫直观图． 2.优点（1）直观性强；（2）各主要部分的位置关系和度量关系明确；（3）画法较容易． 四、斜二测画法1.在空间图形中取互相垂直的x 轴和y 轴，两轴交于O ，在取z 轴，使90,90xOy yOz ∠=∠=；2.画直观图时把它们画成对应的'x 轴、'y 轴和'z 轴，它们相交与'O ，并使'''45x O y ∠=（或135），'''90x O y ∠=，'x 轴和'y 轴所确定的平面表示水平平面．3. 已知图中平行于x 轴、y 轴或z 的线段，在直观图中分别画成平行于'x 轴、'y 轴或'z 轴的线段．4. 已知图形中平行于x 轴和z 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y 轴的线段，长度为原来的一半．类型一 投影例1：下列说法正确的是________．①直线或线段的平行投影仍为直线或线段；②与投射面平行的平面图形，它的平行投影与这个图形一定全等； ③平行四边形的平行投影可能为矩形； ④两平行直线的平行投影一定平行；⑤如果一条长为10的线段的平行投影为5，则长为20的线段的平行投影为10.解析：根据平行投影的性质可知，直线或线段与投影线平行时，其平行投影为点，故①错误；②正确；当投影线和投射面成适当的角度，或改变图形相对于投射面的位置时，平行四边形的平行投影可能为矩形，故③正确；两平行直线的平行投影除平行外，还可能为两点或重合，故④错误；当两直线平行时，两线段与其投影对应成比例，而题中两线段不一定平行，故⑤错误． 答案：②③练习1：一条直线在平面上的投影是（ ）A ．直线B ．点C ．线段D ．直线或点 答案：D练习2：已知△ABC 是一个直角三角形，则经过平行投影后所得三角形是（ ）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．以上都有可能 答案：D.练习3：下列命题中正确的是( )A ．矩形的平行投影一定是矩形B ．梯形的平行投影一定是梯形C ．两条相交直线的投影可能平行D ．一条线段中点的平行投影仍是这条线段投影的中点答案：D.类型二三视图例2：(2014·山东文登高一期末测试)一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体可能是一个()A．三棱锥B．底面不规则的四棱锥C．三棱柱D．底面为正方形的四棱锥解析：根据三视图可知，该几何体是一个倒放的三棱柱．答案：C练习1：下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()A．①②B．①③C．①④D．②④答案：D练习2：在一个几何体的三视图中，主视图和俯视图如图所示，则相应的左视图可以为()答案：D.练习3：用若干块相同的小正方体搭成一个几何体（中间不能空），该几何体的三视图如下图所示，则搭成该几何体最少需要的小正方体的块数是（）.A．8 B．7 C．6 D．5答案：B.类型三直观图与斜二测画法例3：(2014·山东潍坊高一检测)如图，△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC中最长的边为________．解析：忽视了图形中的平行关系，从而得不到原图中边与坐标轴的平行关系，判断不出直角三角形而导致错误．答案：AC由图知B′C′∥y′轴，A′B′∥x′轴，则原图中BC∥y轴，则∠ABC＝90°，AC为Rt△ABC的斜边，故AC是△ABC中最长的边．练习1：如图，△A′B′C′是△ABC的直观图，B′O′＝O′C′＝C′A′，则原△ABC是()A．等边三角形B．等腰非直角三角形C ．直角非等腰三角形D ．等腰直角三角形答案：建立平面直角坐标系，在x 轴上截取BO ＝CO ＝B ′O ′，过C 作y 轴平行线并在上面截取AC ＝2OC ，连接AB ，则得△A ′B ′C ′的原△ABC ，如图所示，由于AC ⊥BC ，且AC ＝BC ，所以△ABC 是等腰直角三角形练习2：水平放置的矩形ABCD 长AB ＝4，宽BC ＝2，以AB 、AD 为轴作出斜二测直观图A ′B ′C ′D ′，则四边形A ′B ′C ′D ′的面积为( )A ．4 2B ．2 2C ．4D ．2 答案：B. 平行线在斜二测直观图中仍为平行线， ∴四边形A′B′C′D′为平行四边形， ∠D′A′B′＝45°，A′B′＝4， A′D′＝12×2＝1，∴D′E ＝1×sin45°＝22， ∴S 四边形A ′B ′C ′D ′＝A ′B ′·D ′E ＝4×22＝2 2. 练习3：水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知A ′C ′＝3，B ′C ′＝2，则AB 边上的中线的实际长度为________．答案：原图中AC ＝3，BC ＝4，且△ABC 为直角三角形，故斜边上的中线长为1232＋42＝52.1. 已知△ABC 是一个直角三角形，则经过平行投影后所得三角形是（ ）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．以上都有可能答案：D 2．有下列说法：①从投影的角度看，三视图和斜二测画法画出的直观图都是在平行投影下画出来的空间图形；②平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；③空间图形经过中心投影后，直线还是直线，但平行线可能变成了相交的直线；④空间几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案：D3．如图所示的是一个简单几何体的三视图，它的上部是一个________，下部是一个________．答案：圆锥 圆柱4．(2014·甘肃庆阳市西峰育才中学高一期末测试)有一个几何体的三视图如下（依次为正视图、侧视图、俯视图），这个几何体应是一个（ ）A ．棱台B ．棱锥C ．棱柱D ．都不对 答案：A 5．如图在平面直角坐标系中有一个边长为a 的正方形，利用斜二测画法得到正方形的直观图，则这个直观图的面积为（ ）A ．22aB ．422aC ．222aD ．22a答案：B 6. (2014·山东枣庄第三中学高一期末测试)一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是( ) A ．球 B ．三棱锥 C ．正方体 D ．圆柱 答案：D7.如图所示的等腰直角三角形表示一个水平放置的平面图形的直观图， 则这个平面图形的面积是______ 答案：228.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是BB 1、BC 的中点，则图中阴影部分在平面ADD 1A 1上的射影为( )x ′ y′O ′－45答案：据正投影的特点可知，M点、N点在平面ADD1A1内的射影分别为AA1、AD的中点，对照选项可知是A.__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1.下列图形中采用中心投影画法的是()答案：A2.当图形中的直线或线段不平行于投射线时，关于平行投影的性质，下列说法不正确的是()A．直线或线段的平行投影仍是直线或线段B．平行直线的平行投影仍是平行的直线C．与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等D．在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比答案：B3. 由小正方体木块搭成的几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体木块有（）A、6块B、7块C、8块D、9块正视图侧视图俯视图答案：B4.有一正方体，六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，有三个人从不同的角度观察的结果如图所示.如果记3的对面的数字为m，4的对面的数字为n，那么m n的值为（）A．3 B．7 C．8 D．11答案：C5. 若一个几何体的三视图都是等腰三角形，则这个几何体可能是（）A．圆锥B．正四棱锥C．正三棱锥D．正三棱台答案：C6.如图所示的是水平放置的三角形ABC在直角坐标系中的直观图，其中D′是A′C′的中点，且∠A′C′B′≠30°，则原图形中与线段BD的长相等的线段有________条．答案：27．如图所示为一个水平放置的正方形ABCO，在直角坐示系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．答案：2 28．画出如图所示几何体的三视图．答案：已知几何体为正六棱柱，其三视图如图所示．能力提升9. 正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为()答案：B10.一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为()答案：C11.一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长．宽．高分别为20m,5m,10m，四棱锥的高为8m，若按1500的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长．宽．高和四棱锥的高应分别为()A．4cm,1cm,2cm,1.6cmB．4cm,0.5cm,2cm,0.8cmC．4cm,0.5cm,2cm,1.6cmD．2cm,0.5cm,1cm,0.8cm答案：C12.太阳光线与地面成60°的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是103，则皮球的直径是()A ．53B ．15C ．10D ．83答案：B13. 桌子上放着一个长方体和圆柱(如图所示)，则下列三幅图分别是什么图(主视图．俯视图．左视图)①________．②________．③________.答案：俯视图 主视图 左视图14. 如图所示，梯形A ′B ′C ′D ′是平面图形ABCD 的直观图，若A ′D ′∥O ′y ′，A ′B ′∥C ′D ′，A ′B ′＝23C ′D ′＝2，A ′D ′＝1，则四边形ABCD 的面积是____________．答案：原图形ABCD 为直角梯形，AD 为垂直于底边的腰，AD ＝2，AB ＝2，CD ＝3，∴S 四边形ABCD ＝5.15. 如图所示的平行四边形A ′B ′C ′D ′是一个平面图形的直观图，且∠D ′A ′B ′＝45°，请画出它的实际图形．答案：①在直观图A′B′C′中建立坐标系x′A′y′，再建立一个直角坐标系xOy ，如图所示．②在x 轴上截取线段AB ＝A′B′，在y 轴上截取线段AD ，使AD ＝2A′D′.③过B作BC∥AD，过D作DC∥AB，使BC与DC交于点C，则四边形ABCD为四边形A′B′C′D′的实际图形．课程顾问签字： 教学主管签字：。