用函数极值与导数

1.3.2 函数的极值与导数
问题： 问题：如图表示高台跳水运动员的高度 h 随时间 t 变化的函数 h(t ) = −4.9t 2 + 6.5t + 10 的图象
h' ( a ) = 0
h
单调递减
h′(t ) > 0
o
单调递增
h′(t ) < 0
a
t
归纳: 函数 h(t ) 在点a 处h′(a) = 0,在t = a 的附近, 归纳 在 的附近 函数h(t)单调递增， ′(t ) > 0 ; 单调递增， 当 t < a时,函数 函数 单调递增 h 当t
f ( x)
+
−2 0
28 3
( −2, 2 )
−
2 0
−
( 2, +∞ )
+
4 单调递减 单调递增 3 28 f ( −2) = x=f(x)的极大值为 ∴当x=-2时, f(x)的极大值为 3 4 当x=2时, f(x)的极小值为 f ( 2 ) = − 时 的极小值为 3
单调递增
求函数y=f(x)极值的方法是 极值的方法是: 归纳：求函数 极值的方法是 (1)确定函数的定义域 确定函数的 (2)求方程f ′( x) = 0 的全部解 (3)用 f ′( x) = 0 的全部根顺次将函数 y = f ( x) 的定义 用 域分成若干开区间,并 域分成若干开区间 并列成表格. (4)检查 的根左,右两边值的符号, (4)检查 f ′( x ) 在 f ′( x) = 0 的根左,右两边值的符号, 如果左正右负(或左负右正),那么f(x)在这个根取得 如果左正右负(或左负右正),那么f(x)在这个根取得 ),那么f(x)在这个根 极大值(或极小值) 极大值(或极小值)
12a − 4b − 2 = 0 即 3a + 2b − 2 = 0
∴
1 1 a = ,b = 3 2
f ( x) =
1 3 1 2 x + x − 2x 3 2
3 已知函数 f ( x) = 4x − 3x cosθ + cosθ , 其中 16
3 2
x ∈ R , θ 为 参 数 ， 且 0 ≤ θ < 2π
无确定的大小关系。 （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个 ）极大值与极小值之间无确定的大小关系 函数的极大值未必大于极小值。 函数的极大值未必大于极小值。 一定出现在区间的内部， （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端 ）函数的极值点一定出现在区间的内部 点不可能成为极值点。 点不可能成为极值点。
f ′(b) = 0
y
f ′(x) <0
极小值 f(a)
极大值f(b) 极大值
f ′(x) > 0
f ′(x) <0

a o
f ′(a) = 0
b
y = f ( x)
x
(图一 图一) 图一
叫做函数y=f(x)的极小值 点a叫做函数y=f(x)的极小值点 a)叫做函数 叫做函数 的极小值点,f(a 叫做函数 的极小值. 叫做函数y=f(x)的极大值 点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数 叫做函数 的极大值点， b 叫做函数 的极大值. 极小值点、极大值点统称极值点，极大值和极小值统称为极值 极小值点、极大值点统称极值点，极大值和极小值统称为极值. 统称极值点 统称为极值
' 的图象? （2）如果把函数图象改为导函数 y = f ( x ) 的图象? ）
y
x3
yy= ff' ( x ) = ( x)
a x1 o x2
x4 x5
x6
b
x
答： 1、x1,x3,x5,x6是函数 是函数y=f(x)的极值点，其中 1,x5是函 的极值点， 、 的极值点 其中x 的极大值点， 函数y=f(x)的极小值点。 的极小值点。 数y=f(x)的极大值点，x3,x6函数 的极大值点 的极小值点 2、x2,x4是函数 、 是函数y=f(x)的极值点 其中 2是函数 的极值点,其中 的极值点 其中x 是函数y=f(x) 的极大值点， 是函数y=f(x)的极小值点。 的极小值点。 的极大值点，x4是函数 的极小值点
课后练习1. 课后练习1.如图是函数 y = f
( x )的图象,试找出函数 的图象,
y = f ( x的 )
极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点？ 极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点？
y
y = f ( x)
x3
a x1 o x2
x4 x5
x6
b
x
答： x1,x3,x5,x6是函数 是函数y=f(x)的极值点，其中 1,x5是函 的极值点， 的极值点 其中x 的极大值点， 函数y=f(x)的极小值点。 的极小值点。 数y=f(x)的极大值点，x3,x6函数 的极大值点 的极小值点
3
f ' ( x ) = 3 − 3x 2 ∴
( −∞, −1) f ' ( x) −
x
−1 0
( −1,1)
+
1 0
(1, +∞ ) −
f ( x)
单调递减 −2 单调递增 2 单调递减
− 有极小值， ∴当 x = −1时,f (x) 有极小值，并且极小值为 2. 有极大值， 当 x = 1 时, f (x) 有极大值，并且极大值为 2.
'
1 3 的极值. 例4：求函数 f ( x ) = x − 4 x + 4 的极值 求函数 3
2
−2
（2）当 f ( x ) < 0 ，即-2 ＜ x＜2时。 ） ＜ 时 f 变化时， 的变化情况如下表： 当x变化时， ' ( x ) , f ( x ) 的变化情况如下表：
x
f ' ( x)
( −∞, −2 )
一般地，当函数f(x)在 处连续时，判别f(x 一般地，当函数f(x)在x0处连续时，判别f(x0)是 f(x) 极大（ 极大（小）值的方法是： 值的方法是： （1）如果在x0附近的左侧 ）如果在x 附近的左侧f΄(x) ﹥0 ， 右侧f΄(x) ﹤0 ，那么， f(x0)是极大值； 那么， 是极大值； 右侧 （2）如果在x0附近的左侧 ）如果在x 附近的左侧f΄(x) ﹤0 ， 右侧f΄(x) ﹥0 ，那么， f(x0)是极小值。 那么， 是极小值。 右侧
定义
一般地, 一般地 设函数
y
f ′(a) = 0
f ′(a − ∆x) > 0
∆x > 0
f ′(a + ∆x) < 0
f (x) 在点x0附近有
定义, 定义 如果对x0附近 的所有的点, 的所有的点 都有
f ′(b − ∆x) < 0
-2 -1 1 2 3
f ′(b + ∆x) > 0 f ′(b) = 0
4
f ( x) < f ( x0 )
我们就说 f (x0)是 f (x) 是
x
5
O
a
b
的一个极大值 的一个极大值, 点x0叫做函数 y = f (x)的极大值点 极大值 的极大值点. 反之, 的一个极 反之 若 f ( x) > f ( x0 ) , 则称 f (x0) 是 f (x) 的一个极 小值, 小值 点x0叫做函数 y = f (x)的极小值点 的极小值点. 极小值点、极大值点统称为极值点 极值点, 极小值点、极大值点统称为极值点, 极大值和极小值 统称为极值. 统称为极值. 极值
> a 时,函数 单调递减 h′(t ) < 0。 函数h(t)单调递减 单调递减, 函数
f ′(b) = 0
y
f ′(x) <0
f ′(x) > 0
f ′(x) <0
a o
f ′(a) = 0
问题： 问题：
b
y = f ( x)
x
(图一 图一) 图一
（1）函数 y = f ( x )在点 a , b 的函数值与这些点附近的 ） 函数值有什么关系? 函数值有什么关系 的导数值是多少? （2）函数 y = f ( x ) 在点 a , b 的导数值是多少? 附近, 的导数的符号有什么规律? （3）在点 a , b 附近,y = f ( x ) 的导数的符号有什么规律?
无确定的大小关系。 （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个 ）极大值与极小值之间无确定的大小关系 函数的极大值未必大于极小值。 函数的极大值未必大于极小值。 一定出现在区间的内部， （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端 ）函数的极值点一定出现在区间的内部 点不可能成为极值点。 点不可能成为极值点。 （5） f ′(a) = 0 是 x = a 为可导函数 y = f ( x)的极值点的 ）
巩固练习：
1、求函数 f ( x ) = 3x − x3 的极值 、 解:∵ f ( x ) = 3 x − x 令 f ' ( x ) = 3 − 3x 2 = 0 ，得 x = 1 ，或 x = −1. 下面分两种情况讨论： 下面分两种情况讨论： f ' ( x ) > 0 ，即 − 1 < x < 1 时； （1）当 ） （2）当 f ' ( x ) < 0 ，即 x > 1 ，或 x < −1 时。 ） 变化时， 的变化情况如下表： 当 x 变化时，f ' ( x ) , f ( x ) 的变化情况如下表：
导数值为0的点一定是函数的极值点吗? 导数值为0的点一定是函数的极值点吗?
导数值为0的点一定是函数的极值点吗? 导数值为0的点一定是函数的极值点吗?
f ′(a) = 0 是 x = a 为可导函数 y = f ( x)的极值点的