第一章不等关系与基本不等式 (6)
第1章1.2 基本不等式
第一章 不等式的基本性质和证明的基
本方法
1.2 基本不等式
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学习目标：1.理解两个正数的基本不等式.2.了解三个正数和一般 形式的基本不等式.3.会用基本不等式求一些函数的最值及实际应用 题．
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自主预习 探新知
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教材整理 基本定理(重要不等式及基本不等式) 1．定理 1
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2．下列函数中最小值为 4 的是( ) A．y＝x＋4x B．y＝sin x＋sin4 x(0＜x＜π) C．y＝3x＋4×3－x D．y＝lg x＋4logx10
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[解析] A 项，当 x＜0 时，y＝x＋4x＜0，故 A 项错误；B 项，当 0
＜x＜π 时，sin x＞0，∴y＝sin x＋sin4 x≥2
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[自主解答] (1)依题意得 m＝0 时，x＝1，代入 x＝3－m＋k 1，得 k＝2，即 x＝3－m＋2 1.
年成本为 8＋16x＝8＋163－m＋2 1(万元)， 所以 y＝(1.5－1)8＋163－m＋2 1－m ＝28－m－m1＋6 1(m≥0)．
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(2)由(1)得 y＝29－m＋1＋m1＋6 1≤ 29－2 m＋1·m1＋6 1＝21. 当且仅当 m＋1＝m1＋6 1，即 m＝3 时，厂家的年利润最大，为 21 万元．
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(2)已知 x，y∈(0，＋∞)，如果和 x＋y 是定值 S，那么当 x＝y 时，积 xy 有最大值14S2.
以上两条可简记作：和一定，相等时，积最大；积一定，相等时， 和最小．条件满足：“一正、二定、三相等”．
§1 1.2 不等关系与不等式
i > j > 0, a j = a1q j −1 , (2)对于任意的 (2)对于任意的
ai = aq = aq 1 1
,
i− 1
( j− +(i− j) 1)
= aq 1
( j− (i− j) 1)
q
= ajq
(i− j)
,
2 因 0 < q <1,由 等 的 要 质3,有q2 <1 =1 为 质3 不 式 主 性
因此, 因此,
a+m a a > , 又 ≥ 10%, b+m b b
一般地, 为正实数, 一般地,设 a,b 为正实数,且 a < b, m > 0 ,则
a+m a > . b+m b
日常生活中,还有哪些实例满足例3中的不等式? 日常生活中,还有哪些实例满足例3中的不等式? 糖水越加糖越甜
1．不等式(1)a2＋2>2a；(2)a2＋b2≤2(a－b－1)；(3)a2＋b2>ab 恒成立的个数是 B ) ．不等式 恒成立的个数是( ； － － ； A．0 ． C．2 ． B．1 ． D．3 ．
思考:如何进行作差比较呢? 思考:如何进行作差比较呢?
作差比较法其一般步骤是: 作差比较法其一般步骤是: 其一般步骤是
作差→变形→判断符号→确定大小. 作差→变形→判断符号→确定大小.
（ 的大小. 例 1 试比较 x + 1)( x + 5) 与 ( x + 3) 的大小
2
解:由于
（x + 1)( x + 5) - ( x + 3) 2
m＋ n
的大小关系是( 与 d ＋ d 的大小关系是 A )
大庆市高中数学选修4-5第一章《不等关系与基本不等式》测试题(包含答案解析)
一、选择题1．当[1,1]x ∈-时，不等式2||||1ax b x c ++≤恒成立，则||||||a b c ++的最大值为（ ）A ．18B ．17C ．16D ．152．若,b R,,a a b ∈≠且则下列式子：（1）22a 32b ab +>，（2）553223a b b a a b +>+， （3）2252(2)a b a b ++≥-，（4）2b a a b +>.其中恒成立的个数是 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．若对于任意的x ＞0，不等式231x a x x ≤++恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≥15 B ．a ＞15 C ．a ＜15 D ．a ≤154．下列命题中，正确的是（ ）A ．若a b >，c d >，则a c >B ．若ac bc >，则a b >C ．若22a b c c<，则a b < D ．若a b >，c d >，则ac bd > 5．若a 、b 、R c ∈，且a b >，则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．11a b <B ．ac bc ≥C ．20c a b >- D ．()20a b c -≥ 6．不等式ax b ＞，()0b ≠的解集不可能是（ ）A ．∅B ．RC ．,b a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．,b a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭7．设0x >，则()2142f x x x =--的最大值为（ ） A ．242- B ．42- C ．不存在 D ．528．若a b >，0ab ≠则下列不等式恒成立的是（ ）A ．22a b >B ．lg()0a b ->C ．11a b <D ．a b 22> 9．已知a b R ∈，，且a b >，则下列不等式中恒成立的是（ ）A ．22a b >B ．()lg a b 0->C ．a b 22--<D ．a 1b > 10．若，则下列结论不正确的是 A ． B ． C ． D ． 11．若a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则下列不等式一定成立的是( )A ．a ＋c >b －cB ．(a －b )c 2>0C ．a 3>b 3D ．a 2>b 212．2x ≤是11x +≤成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件二、填空题13．已知a b c R ∈、、，c 为实常数，则不等式的性质“a b a c b c >⇐+>+”可以用一个函数在R 上的单调性来解析，这个函数的解析式是()f x =_________14．已知平面向量a ，b ，c 满足1a =，||1b =，()c a b a b -+≤-，则||c 的最大值为___________．15．设函数()1f x x x a =-+-，如果x R ∀∈，()2f x ≥，则a 的取值范围是__________．16．关于x 的不等式22a x x ->-在[]0,2上恒成立，则a 的取值范围是__________. 17．已知函数，若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是_______． 18．已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______19．已知实数a b c >>，且满足：2221,3a b c a b c ++=++=，则s b c =+的取值范围是______.20．关于x 的不等式12x x m +--≥恒成立，则m 的取值范围为________三、解答题21．已知0a >，0b >，23a b +=.（1）求 22a b +的取值范围；（2）求证：3381416a b ab +≤. 22．分析法或综合法证明： （1）求证：2365>（2）已知,,a b c abc a b c ++.23．已知函数()|4||1|f x x x =-+-，x ∈R .（1）解不等式：()5f x ≤；（2）记()f x 的最小值为M ，若实数,a b 满足22a b M +=，试证明：22112213a b +≥++. 24．已知函数()3f x x x a =-++．（1）当2a =-时，求不等式()3f x ≥的解集；（2）若()5f x x ≤-的解集包含[]1,3，求实数a 的取值范围．25．已知1a ≠且a R ∈，试比较11a-与1a +的大小． 26．已知()2121x x x f =++-．（1）若()()1f x f >，求实数x 的取值范围；（2）已知113m n +≤（其中0m >，0n >），求证：43m n +≥．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】 分别令0x =、12、1，则可求得1,1,142a b c c a b c ≤++≤++≤，利用这三个不等式，可构造出a 、b ，即可求出a 、b 的范围，即可得答案.【详解】因为[1,1]x ∈-， 所以[0,1]x ∈， 当0x =时，可得1c ≤①， 当12x =时，可得142a b c ++≤②， 当1x =时，可得1a b c ++≤③，由①②③可得114()()84222ab ac a b c c =++-++-≤， 134()()84244a b b c a b c c =++-++-≤， 所以88117a b c ++≤++=，故选：B【点睛】本题考查利用不等式性质求范围，解题的关键是分别求出c 、42a b c ++、a b c ++的范围，再整体代入求出a 、b 的范围，考查整体代入，转化求解的能力，属中档题. 2．A解析：A【解析】分析：将不等式两侧的式子做差和0比即可，或者将不等式两侧的式子移到一侧，再配方即可.详解：(1) 22a 32b ab +-=22322b a b ⎛⎫+- ⎪⎝⎭,当a=1,b=-2.时不等式不成立； (2)553223 a b b a a b +>+=()()()222a b a b a ab b -+++当a=1,b=-1时，不等式不成立； (3)()22522a b a b ++--()()22=a 210b -++≥恒成立.选项正确. (4) ba a b+,2][2,)∈-∞-⋃+∞（,故不正确. 故答案为A.点睛：这个题目考查了基本不等式的应用条件，两式比较大小的方法；两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.3．A解析：A【分析】由于x ＞0，对不等式左侧分子分母同时除以x ，再求出左侧最大值即可求解.【详解】由题：对于任意的x ＞0，不等式231x a x x ≤++恒成立， 即对于任意的x ＞0，不等式113a x x ≤++恒成立，根据基本不等式：10,335x x x >++≥+=，当且仅当1x =时，取得等号， 所以113x x++的最大值为15， 所以15a ≥. 故选：A此题考查不等式恒成立求参数范围，通过转化成求解函数的最值问题，结合已学过的函数模型进行求解，平常学习中积累常见函数处理办法可以事半功倍.4．C解析：C【分析】利用不等式的基本性质进行逐项判断即可,不成立的举反例.【详解】对于选项A:若2,3,1,2a b c d =-=-==-,满足a b >,c d >,但是a c >不成立,故选项A 错误;对于选项B ：若1,3,2c a b =-=-=-,满足ac bc >,但a b >不成立,故选项B 错误; 对于选项C ：因为22a b c c<,整理化简可得20a b c -<,因为20c >,所以0a b -<,即a b <成立,故选项C 正确;对于选项D:若1, 1.1,2a b c d ==-=-=-,满足a b >,c d >,但是ac bd >不成立,故选项D 错误;【点睛】本题考查不等式与不等关系;不等式的基本性质的灵活运用是求解本题的关键;属于中档题、常考题型. 5．D解析：D【分析】利用不等式的性质证明，或者构造反例说明，即得解.【详解】由题意可知，a 、b 、R c ∈，且a b >A ．若1,2a b ==-，满足a b >，则11a b>，故本选项不正确； B ．若1,2a b =-=-，满足,1a b c >=-，则ac bc <，故本选项不正确；C . 若0c ,则20c a b=-，故本选项不成立； D ．22,0,()0a b c a b c >≥∴-≥故选：D【点睛】本题考查了利用不等式的性质，判断代数式的大小，考查了学生综合分析，转化与划归的能力，属于基础题.6．D解析：D【解析】当0a =，0b ＞时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是∅；当0a =，0b ＜时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是R ；当0a ＞时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是（,b a +∞）；当0a ＜时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是,b a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 【详解】当0a =，0b ＞时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是∅；当0a =，0b ＜时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是R ；当0a ＞时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是（,b a+∞）； 当0a ＜时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是（,b a -∞）. ∴不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集不可能是（,b a-∞-）. 故选：D【点睛】 本题主要考查了一元一次不等式的解法，属于中档题．解题时要认真审题，仔细解答． 7．D解析：D【分析】化简得到()214222x x f x x ⎛⎫=-++⎪⎝⎭，再利用均值不等式计算得到答案. 【详解】()2211544422222x x f x x x x ⎛⎫=--=-++≤-= ⎪⎝⎭ 当21222x x x==即1x =时等号成立 故选：D【点睛】本题考查了利用均值不等式求函数最值，意在考查学生对于均值不等式的灵活运用. 8．D解析：D【分析】利用不等式的性质、对数、指数函数的图像和性质，对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】对于选项A, 22a b >不一定成立，如a=1＞b=-2,但是22a b ＜，所以该选项是错误的； 对于选项B, 1111,,,lg 0,2366a b a b ==-=<所以该选项是错误的；对于选项C,11,0,b a b a a b ab --=-<ab 符号不确定，所以11a b <不一定成立，所以该选项是错误的； 对于选项D, 因为a>b,所以a b 22>，所以该选项是正确的.故选D【点睛】本题主要考查不等式的性质，考查对数、指数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9．C解析：C【分析】主要利用排除法求出结果．【详解】对于选项A ：当0a b >>时，不成立；对于选项B ：当10a b >>>时，()lg 0a b -<，所以不成立；对于选项D ：当0a b >>时，不成立；故选C ．【点睛】本题考查的知识要点：不等式的基本性质的应用，排除法的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．10．D解析：D【分析】不妨令，代入各个选项进行验证，找出符合条件的选项．【详解】由题，不妨令，可得a 2＜b 2，故A 正确； ，故B 正确；，故C 正确．故D 不正确．故选D ．【点睛】本题主要考查不等式与不等关系，利用特殊值代入法，排除不符合条件的选项，是一种简单有效的方法，属于基础题 11．C解析：C【解析】【分析】由不等式性质及举反例逐个分析各个选项可判断正误。
不等关系与不等式ppt6(说课稿) 人教课标版
例2、某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截 成500mm和600mm的两种规格。按照生产 的要求，600mm的钢管的数量不能超过 500mm钢管的3倍。怎样写出满足上述所有 不等关系的不等式呢？ 分析：假设截得500mm的钢管x根，截得 600mm的钢管y根。根据题意，应当有什么 样的不等关系呢？ (1)截得两种钢管的总长度不能超过4000mm； (3倍； (3)截得两种钢管的数量都不能为负。
思考3：如果两个实数的差是正数，那 么这两个实数的大小关系如何？反之成 立吗？如何用数学语言描述这个原理？
a －b ＞0
a ＞b
思考4：如果两个实数的差等于零，那么 这两个实数的大小关系如何？反之成立 吗？如何用数学语言描述这个原理？
a－b=0
a=b
思考5：如果两个实数的差是负数，那么 这两个实数的大小关系如何？反之成立 吗？如何用数学语言描述这个原理？ a －b ＜0
实数(或式)比较大小的依据是 a>b⇔a－b>0；a＝b⇔a－b＝0；a<b⇔a－ b<0(或a>0，b>0时， >1⇔a>b)． 方法步骤是 作差(商)——变形——判断大于或小于零(大于1 或小于1)．关键是变形，变形的目的在于便 于判断正负．常见的变形有因式分解、配方 等．
Ⅲ.小结
说课流程：
教 学 理 念
教 材 分 析
教 学 目 标
教 法 学 法
教 学 程 序
教 学 评 价
1
一、教学理念
随着数学课程改革的不断深化及新的课程标准(试行稿)的颁发， 以“人的发展为本”的教学理念越来越深人人心．《数学课程标准》 中强调：“数学课程要实现，人人学有价值的数学，人人都获得必 需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展 .
人教版高中数学必修第一册知识点及题型总结---不等关系与不等式
目录不等关系与不等式 (2)考点1 ：不等关系与不等式 (2)考点2 :等式性质与不等式性质 (7)考点1:不等关系与不等式知识点一基本事实两个实数a，b,其大小关系有三种可能，即a=b. a<b.思考 F+1与2%两式都随x的变化而变化，其大小关系并不显而易见.你能想个办法，比较W+1与2%的大小吗？答案作差：x2+l-2x=（x-l）2^0,所以x2+1^2x.知识点二重要不等式bWR,有R+夕仝2db,当且仅当a=b时，等号成立.型1 ：用不等式（组）表示不等关系例1《铁路旅行常识》规左：一、随同成人旅行，身高在1.2〜L5米的儿童享受半价客票（以下称儿童票），超过1.5米的应买全价票，每一爼成人旅客可免费带一名身高不足1.2米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票.十、旅客免费携带物品的体枳和重量是每件物品的外部长、宽、高尺寸之和不得超过160 厘米，杆状物品不得超过200厘米.重量不得超过20千克……设身高为加米），物品外部长、宽、高尺寸之和为P（厘米），请用不等式表示下表中的不等关系.解由题意可获取以下主要信息：（1）身高用力（米）表示•物体长、宽、高尺寸之和为P（厘米）;(2)题中要求用不等式表示不等关系•解答本题应先理解题中所提供的不等关系，再用不等式表示.身高在1.2〜1.5米可表示为1.20W1.5,身高超过1.5米可表示为Q1.5,身高不足1.2米可表示为*1.2,物依长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米可表示为PW160.如下表所示：变式某套试卷原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，若单价每提髙0.1元，销售量就可能相应减少2 000本.若把提价后试卷的立价设为X元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？解提价后销售的总收入为(8—讦尹X0.2》万元，那么不等关系'‘销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式(8—违尹X0.2》220(2.5Wx<6.5).题型2 :作差法比较大小例2已知e b均为正实数.试利用作差法比较”+沪与Hb+a，的大小.解•/，+，一(a2b+abr)=(a3—crb)+&—air)=a2(a—b)+b2(b—a)=(a—b)(a2—b2)=(a—b)2(a + b)・当a=b 时，a-b=Q. a3+b3=a2b+a^;当a^b时，(a-b)2>09 a+bX), a3-^b3>a2b+ab2.综上所述.变式已知;r<l,试比较W—1与R-h的大小.解 V(X3-1)-(2A2-2X)=X3-2X2+2X-1=(x3—X2)—(A2—2x+l)=x2(x—1)—(x—I)2= (x_ l)(x2-x+ l) = (x- 1｛卜-齐+ ||又V （x-|）2+|>0, x-KO,考点1 ：练习题1. 下列说法正确的是（）A. 某人月收入x 元不高于2 OOO 元可表示为“*2 000”B. 小明的身高为x,小华的身髙为），，则小明比小华矮可表示为“心，”C. 变量x 不小于a 可表示为“xMa”D. 变量y 不超过a 可表示为 答案C解析 对于A, x 应满足xW2 000,故A 错误；对于B, x, y 应满足xvy,故B 错误；C 正 确；对于D, y 与“的关系可表示为“yWa”，故D 错误.2. 在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5 cm,人跑开的速度为每秒4 m, 为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100 m 以外的安全区，导火索的长度x （cm ）应满足 的不等式为（） A ・ 4X^2100 B ・ 4X 吉W10° ° 4X 吉>100 答案cD ・4X 着100解析导火索燃烧的时间*秒，人在此时间内跑的路程为4Xyr m .由题意可得4X 点 >100.3・设M=x2, N=-x-l,则M 与N 的大小关系是（） A. M>NB ・ M=N C. M<N答案AD.与x 有关解析 TM —"=工+乂+1=卜+少+弓>0,:.M>N,4.若>*i=2x 2—2x+L V2=x 2—4x —h 则yi 与尹2的大小关系是（ ）A. yi>y^2 B ・ yi =1^2.•・仗_1林_期+詐0,：.x 3-l<2x 2-2x.D ・随x 值变化而变化5・如图，在一个而积为200 m 2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长a 大于 宽b 的4倍，则表示上述的不等关系正确的是()答案C解析由题意知a>4b,根据面积公式可以得到@+4)0+4)=200,故选C.6. 某次数学智力测验，共有20道题，答对一题得5分，答错一题得一2分，不答得零分.某 同学有一道题未答，设这个学生至少答对x 题，成绩才能不低于80分，列岀英中的不等关 系： _______ •(不用化简) 答案 5x-2(19-x)^80, xWPT解析 这个学生至少答对X 题，成绩才能不低于80分.即5x-2(19-x)^80, xGN 4.7. 某商品包装上标有重疑500±1克，若用x 表示商品的重量，则可用含绝对值的不等式表 示该商品的重量的不等式为 _________ . 答案 |x-500|Wl解析：•某商品包装上标有重量500±1克，若用X 表示商品的重量， 则一 1WX —500W1, "一 50001.8. ____________________________________ 若MR,则占与扌的大小关系为• • X 1 二厲一1一工_一&一1)2 • 1+W 2(1+F) — 2(1+F)、U9.已知a, bWR, b, y=a 2b~a.试比较x 与y 的大小.解因为 x —y =a i—b —a 1b^a =a 2(a — b)'¥a—b — (a —b)(g 2^V).所以当a>b 时，：r —y>0,所以x 刁；C ・ yi<y 2A. a>4b a>4b 9 C.\[(“+4)9+4)=200 2-2 m-仓 库-2 m-绿地2ma>4b,D|4"=200解析B ・(a+4)(b+4)=200 答案当a=b时，x—y=O,所以x=y；当a<b时，x—3<0,所以10.已知甲、乙、丙三种食物的维生素A, B含捲及成本如下表:若用甲.乙、丙三种食物各xkg.ykg’kg配成100kg的混合食物，并使混合食物内至少含有56 000单位维生素A和63 000单位维生素B.试用x,表示混合食物成本c元，并写出x, y所满足的不等关系.解依题意得c=llx+刘+4z,又x+y+z=100, •••C=400+7X+5N600x+70Qy+4（XhM56 000,由］, 及z=100—x—800.Y+400V+500z^63 000•*Q+3&160,得｛L3x-y^l30.去+3舞160,3x-v^l30.•••x, y所满足的不等关系为（,亠0<y^Q.11・已知0勺01,0勺2<1,记N=ai+d2—1，则A/与N的大小关系是（）A. M<NB. M>NC. M=N D・无法确定答案B解析 TOva产 1、0勺2<1, •: —1<^1 —1<0, —1<^2 —1<0, /.Af—N=ag2—（心+。
北京市清华大学附属中学高中数学选修4-5第一章《不等关系与基本不等式》测试(答案解析)
一、选择题1．两个正实数a ，b 满足3a ，12，b 成等差数列，则不等式2134m m a b+≥+恒成立时实数m 的取值范围是（ ）A ．[]4,3-B ．[]2,6-C ．[]6,2-D ．[]3,4- 2．下列结论中一定正确的是（ ）A ．若,0a b c <≠，则ac bc <B ．若33a b >，则a b >C ．若,0a b c >≠，则a b c c >D ．若a bc d >⎧⎨>⎩，则a c b d ->-3．若,,a b c ∈R ，且||1a ≤，||1b ≤，||1c ≤，则下列说法正确的是（ ）A ．322a ab bc ca +++≥B ．322a bab bc ca -+++≥C ．322a b cab bc ca --+++≥ D ．以上都不正确4．等差数列{a n }的前n 项和S n ，且4≤S 2≤6，15≤S 4≤21，则a 2的取值范围为（ ） A ．94788⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B ．233388⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C ．93388⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D ．234788⎡⎤⎢⎥⎣⎦，5．对任意x ∈R ,不等式22|sin ||sin |x x a a +-≥恒成立,则实数a 的取值范围是（ ）A ．01a ≤≤B ．11a -≤≤C ．12a -≤≤D ．22a -≤≤ 6．已知实数0a b >>，R c ∈，则下列不等式恒成立的是（ ）A ．ac bc <B ．11b b a a +<+C ．11b ba a +>+ D ．ac bc ≥7．如果sin 2a =，1212b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.51log 3c =，那么( )A ．a b c >>B ．c b a >>C ．a c b >>D ．c a b >> 8．已知非零实数a ，b 满足||1a b >+，则下列不等关系不一定成立的是（ ） A ．221a b >+ B ．122a b +> C ．24a b > D ．1ab b >+9．已知()23f x x x =+，若1x a -≤，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．()()33f x f a a -≤+B ．()()5f x f a a -≤+C ．()()24f x f a a -≤+D ．()()()231f x f a a -≤+10．若,,a b c 为实数，则下列命题错误的是( )A ．若22ac bc >，则a b >B ．若0a b <<，则22a b <C ．若0a b >>，则11a b <D ．若0a b <<,0c d >>，则ac bd <11．若a ＞b ，c 为实数，下列不等式成立是（） A ．ac ＞bc B ．ac ＜bc C ． 22ac bc > D ． 22ac bc 12．实数,a b 满足0a b >>，则下列不等式成立的是（ ）A ．1a b <B ．1133a b <C ．a b a b -<-D ．2a ab <二、填空题13．若0,0,0a b m n >>>>，则a b , b a , b m a m ++, a n b n++按由小到大的顺序排列为_______. 14．若关于实数x 的不等式|x ﹣5|+|x+3|＜a 无解，则实数a 的取值范围是___________． 15．已知不等式122a x y z -≥++，对满足2221x y z ++=的一切实数x y 、、z 都成立，则实数a 的取值范围为______16．如图，边长为(00)1a b a b ++>>,的正方形被剖分为9个矩形，这些矩形的面积如图所示，则3572468152S S S S S S S S S +++++的最小值是______.17．已知a b R ∈，，写出不等式a b a b a b +≤++-等号成立的所有条件_________ 18．对任意实数x ，若不等式|x ＋2|－|x －3|＞k 恒成立，则k 的取值范围是________ 19．已知()2|1|f x x =-，记1()()f x f x =，21()(())f x f f x =，…，1()(())n n f x f f x +=，…，若对于任意的*n N ∈，0|()|2n f x ≤恒成立，则实数0x 的取值范围是_______．20．已知二次函数f （x ）=ax 2+2x+c （x ∈R ）的值域为[0，+∞），则11a c c a+++的最小值为_____． 三、解答题21．已知n S 是正项数列{}n a 的前n 项和，22a =，()2*112n n n S a a n N ++=-∈. （1）证明：数列{}n a 是等差数列；（2）设()*2n n n a b n N =∈，数列{}n b 的前n 项和n T ， ①求证：2n T <； ②解关于n 的不等式：3332n n n T +>-. 22．已知函数()|4||1|f x x x =-+-，x ∈R .（1）解不等式：()5f x ≤；（2）记()f x 的最小值为M ，若实数,a b 满足22a b M +=，试证明：22112213a b +≥++. 23．设:p 实数x 满足22430x ax a -+<，:q 实数x 满足31x -<.（1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；（2）若其中0a >且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.24．已知函数()3f x x x a =-++．（1）当2a =-时，求不等式()3f x ≥的解集；（2）若()5f x x ≤-的解集包含[]1,3，求实数a 的取值范围．25．已知函数()1144f x x x =-++，M 为不等式()2f x ≤的解集． （1）求M ；（2）证明：当a ，b M ∈时，a b -．26．已知函数()21,f x x m x m R =-+-∈（1）当1m =时，解不等式()2f x ； （2）若不等式()3f x x <-对任意[0,1]x ∈恒成立，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】由题意利用等差数列的定义和性质求得13a b =+，再利用基本不等式求得112ab，根据题意，2412m m +，由此求得m 的范围．【详解】解：两个正实数a ，b 满足3a ，12，b 成等差数列， 13a b ∴=+，123ab ∴，112ab ∴，∴112ab ． ∴不等式2134m m a b ++恒成立，即234a b m m ab ++恒成立， 即214m m ab+恒成立． 2412m m ∴+，求得62m -，故选：C ．【点睛】本题主要考查等差数列的定义和性质，不等式的恒成立问题，基本不等式的应用，属于基础题．2．B解析：B【分析】通过反例可判断A 、C 、D 均错误，利用函数的单调性可证明B 正确.【详解】对于A ，取2,1,1a b c =-=-=-，则a b <，但ac bc >，故A 错误.对于C ，取2,1,1b a c =-=-=-，则a b >，但a b c c<，故C 错误. 对于B ，因为3y x =为R 上的增函数，故33a b >等价于a b >，故B 正确.对于D ，取1,2,1,100a b c d =-=-=-=-，满足a b c d>⎧⎨>⎩，但a c b d -<-，故D 错误. 故选：B.【点睛】本题考查不等式的性质，注意说明一个不等式不成立，只需要举出一个反例即可，另外证明一个不等式成立可用作差法或作商法，本题属于基础题. 3．A解析：A【分析】首先根据题意得到13ab bc ca -≤++≤，即可得到选项A 正确，再利用特值法排除选项B ，C ，即可得到答案.【详解】因为,,a b c ∈R ，且||1a ≤，||1b ≤，||1c ≤，所以当,,a b c 都为1或1-时，ab bc ca ++取得最大值3，设()()1,||1f x b c x bc x =+++≤，(1)()1(1)(1)f b c bc b c -=-+++=--，(1)()1(1)(1)f b c bc b c =+++=++，||1b ≤，||1c ≤，(1)0,(1)0f f ∴-≥≥，||1x ∴≤时，()0f x ≥，又||1a ≤，()()10f a b c a bc ∴=+++≥，1ab bc ca ++≥-即：13ab bc ca -≤++≤.对于选项A ，3122ab bc ca +++≥，122a ≤，显然不等式成立． 取1a =，1b =-，0c ，得到31(1)10022---+++≥ 显然不成立，故排除选项B. 取1a =-，0b =，1c =，得到310100(1)22---++-+≥ 显然不成立，故排除选项C.故选：A【点睛】本题主要考查根据条件判断不等式是否正确，特值法为解决本题的关键，属于简单题. 4．B解析：B【分析】首先设公差为d ，由题中的条件可得2426a d ≤-≤和21521222a d ≤+≤，利用待定系数法可得()()222112244a a d a d =-++，结合所求的范围及不等式的性质可得 2233388a ≤≤. 【详解】设公差为d ，由246S ≤≤，得1246a a ≤+≤，即2426a d ≤-≤；同理由41521S ≤≤可得21521222a d ≤+≤. 故可设()()22222a x a d y a d =-++，所以有()()2222a x y a y x d =++-，所以有221y x x y =⎧⎨+=⎩，解得14x y ==，即()()222112244a a d a d =-++， 因为 ()2131242a d ≤-≤，()2151212848a d ≤+≤. 所以()()22231133228448a d a d ≤-++≤，即2233388a ≤≤. 故选：B.本题主要考查不等式的性质及等差数列的运算，利用不等式求解范围时注意放缩的尺度，运算次数越少，范围越准确.5．B解析：B【分析】解法一:（换元法）设sin t x =,则原不等式可化为22||||t t a a +-≥.求函数()||||||f t t t t a =++-的最小值,从而不等式2||a a ≥可得11a -≤≤.解法二:（特殊值法）代入2a =, 1a =-,排除错误选项即可.【详解】解:解法一:（换元法）设sin t x =,则原不等式可化为22||||t t a a +-≥.令()||||||f t t t t a =++-,则min [()](0)||f t f a ==,从而解不等式2||a a ≥可得11a -≤≤.故选B .解法二:（特殊值法）当2a =时,因为2|sin ||sin 2|2sin 2|sin |2|sin |2x x x x x +-=-+≥+≥,当且仅当sin 0x =时,等号成立.此时2|sin ||sin 2|4x x +-≥不恒成立,所以2a =不合题意,可以排除C 、D .当1a =-时,因为2|sin ||sin 1|1sin 2|sin |1|sin |1x x x x x ++=++≥+≥,当且仅当sin 0x =时,等号成立.此时2|sin ||sin 1|1x x ++≥恒成立,所以1a =-符合题意,可以排除A.故选:B【点睛】本题考查绝对值不等式的参数问题,属于中档题,利用函数求最值的方法或者特殊值排除法都可以解题.6．C解析：C【分析】根据不等式性质和作差法判断大小依次判断每个选项得到答案.【详解】当0c ≥时，不等式不成立，A 错误；()()10111b b ab a ab b a b a a a a a a ++----==>+++，故B 错误C 正确； 当0c <时，不等式不成立，D 错误；故选：C .本题考查了不等式的性质，作差法判断大小，意在考查学生对于不等式知识的综合应用. 7．D解析：D【分析】由题意可知，3sin 2sin 4a π=>，12112b ⎛⎫==< ⎪⎝⎭，0.51log 13c =>，从而判断,,a b c 的大小关系即可.【详解】3224ππ<<∴3sin sin 2sin 42ππ<<1a << 110.523=> 0.50.511log log 132∴>=，即0.51log 13c => 121122b ⎛⎫==< ⎪⎝⎭∴b a c <<故选：D【点睛】本题考查比较大小，是比较综合的一道题，属于中档题.8．D解析：D【分析】||1a b >+两边平方，结合绝对值的性质，可判断选项A 成立；||11a b b >+>+，再由指数函数的单调性，可判断选项B 正确；由212||b b +≥，结合选项A ，判断选项C 正确； 令5,a =3b =，满足||1a b >+，1a b b>+不成立. 【详解】 ||1a b >+2222||11a b b b ⇔>++>+，A 一定成立；||11a b b >+≥+122a b +⇒>，B 一定成立；又212||b b +≥，故24||4a b b >≥，C 一定成立；令5,a =3b =，即可推得D 不一定成立.故选:D.本题考查不等式与不等关系，注意绝对值性质的应用，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于中档题.9．C解析：C【分析】先表示出()()f x f a -，利用绝对值三角不等式a b a b ±≤+即可求解.【详解】由()23f x x x =+，得()()()(3)f x f a x a x a -=-++，因为1x a -≤，所以()(3)323x a x a x a x a a -++≤++=-++，由绝对值三角不等式得232324x a a x a a a -++≤-++≤+，故()()24f x f a a -≤+一定成立. 故选C.【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式的灵活应用，在求最值时要注意等号成立的条件，考查逻辑推理能力，属基础题.10．B解析：B【分析】由题意利用不等式的性质逐一考查所给的四个选项中的结论是否正确即可.其中正确的命题可以用不等式的性质进行证明，错误的命题给出反例即可.【详解】对于A ，若22ac bc >，则0c ≠，2222ac bc c c>，即a b >，故正确； 对于B ，根据不等式的性质，若0a b <<，不妨取2,1a b =-=-， 则22a b >，故题中结论错误；对于C ，若0a b >>，则a b ab ab>，即11a b <，故正确； 对于D ，若0a b <<,0c d >>，则0a b ->->，故ac bd ->-，ac bd <，故正确. 故选B.【点睛】本题主要考查不等式的性质及其应用，属于中等题.11．D解析：D【分析】由已知条件，利用不等式的基本性质，直接求解，即可得到答案.【详解】由题意，,a b c >为实数，在A 中，当0c ≤时，ac bc >不定成立，所以不正确；在B 中，当0c ≥时，ac bc <不定成立，所以不正确；在C 中，当0c 时，22ac bc >不定成立，所以不正确；在D 中，因为2,0a b c >≥，所以22ac bc ≥成立，故选D.【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质的应用，其中解答中熟记不等式的基本性质，合理推理、运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12．C解析：C【解析】分析：根据题意，由不等式的性质依次分析选项，综合即可得答案．详解：根据题意，依次分析选项：对于A. 2,b 1a ==时，1a b>成立，故A 错误； 对于B 、2,b 1a ==时，有1133a b >成立，故B 错误；对于D 、2,b 1a ==，有2a ab >成立，故D 错误；故选：C ．点睛：本题考查不等式的性质，对于错误的结论举出反例即可．二、填空题13．【解析】解答：−==∵a>b>0m>0n>0∴<0∴−=∵a>b>0m>0n>0∴<0∴−<0∴−=∵a>b>0n>0∴−<0∴综上可知故答案为：点睛：比较大小的方法：作差法（作商法）中间量（比如0 解析：b b m a n a a a m b n b++<<<++ 【解析】解答：b a −b m a m ++==()()b a m a a m -+ ∵a >b >0，m >0，n >0，∴()() b a m a a m -+<0 ∴b b m a a m+<+b m a m ++−a n b n ++=()()()()()()b a b a b a m n a m b n +-+-+++ ∵a >b >0，m >0，n >0，∴()()()()()() b a b a b a m n a m b n +-+-+++<0 ∴b m a m ++−a n b n ++<0 ∴b m a n a m b n++<++ a n b n ++−a b =()()b a n b b n -+ ∵a >b >0，n >0， ∴a nb n ++−a b <0 ∴a n a b n b+<+ 综上可知，b b m a n a a a m b n b ++<<<++ 故答案为：b b m a n a a a m b n b++<<<++ 点睛：比较大小的方法：作差法（作商法），中间量（比如0或1），函数的单调性，数形结合等方法.14．（﹣∞8【解析】由于|x ﹣5|+|x+3|表示数轴上的x 对应点到5和﹣3对应点的距离之和其最小值为8再由关于实数x 的不等式|x ﹣5|+|x+3|＜a 无解可得a≤8故答案为（﹣∞8解析：（﹣∞，8]【解析】由于|x ﹣5|+|x+3|表示数轴上的x 对应点到5和﹣3对应点的距离之和，其最小值为8， 再由关于实数x 的不等式|x ﹣5|+|x+3|＜a 无解，可得a≤8，故答案为（﹣∞，8]．15．【解析】试题分析：不等式|a ﹣1|≥x+2y+2z 恒成立只要|a ﹣1|≥（x+2y+2z ）max 利用柯西不等式9=（12+22+22）•（x2+y2+z2）≥（1•x+2•y+2•z ）2求出x+2y解析：42a a ≥≤-或【解析】试题分析：不等式|a ﹣1|≥x+2y+2z 恒成立，只要|a ﹣1|≥（x+2y+2z ）max ，利用柯西不等式9=（12+22+22）•（x 2+y 2+z 2）≥（1•x+2•y+2•z ）2求出x+2y+2z 的最大值，再解关于a 的绝对值不等式即可．解：由柯西不等式9=（12+22+22）•（x 2+y 2+z 2）≥（1•x+2•y+2•z ）2即x+2y+2z≤3，当且仅当 即，，时，x+2y+2z 取得最大值3．∵不等式|a ﹣1|≥x+2y+2z ，对满足x 2+y 2+z 2=1的一切实数x ，y ，z 恒成立，只需|a ﹣1|≥3，解得a ﹣1≥3或a ﹣1≤﹣3，∴a≥4或∴a≤﹣2．即实数的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）．故答案为a≥4或a≤﹣2．点评：本题考查柯西不等式的应用，考查运算能力和运用所学知识解决问题的能力． 16．2【分析】根据矩形的面积公式化简的表示然后分类讨论结合基本不等式比较法放缩法进行求解即可【详解】由图示可得：当时当且仅当时取得等号；当时即有成立由可得当且仅当时取得等号综上可得的最小值是2【点睛】关 解析：2【分析】 根据矩形的面积公式化简3572468152S S S S S S S S S +++++的表示，然后分类讨论，结合基本不等式、比较法、放缩法进行求解即可.【详解】 由图示可得：222235724681522211S S S b a b a S S S S S S b a a b ab a b ab +++=++=+++++++++， 当1a b ab +<+时，2221b a a b ab ++++2222222221111b a a b ab ab ab ab ab ++++>+=≥=++++， 当且仅当1a b ==时，取得等号；当1a b ab +≥+时，即有2221b a a b ab ++++222222a b a b a b a b a b+++≥+=+++成立， 由2222222222(1)(1)20a b a b a b a b a b a b a b+++--+-+--==≥+++， 可得3572468152S S S S S S S S S +++++2≥，当且仅当1a b ==时，取得等号， 综上可得，3572468152S S S S S S S S S +++++的最小值是2. 【点睛】关键点睛：本题的关键是根据1a b ab ++，之间的大小关系，利用放缩法进行求解. 17．或【分析】根据将证等号成立条件转化为证等号成立条件求解【详解】因为所以要证的等号成立条件只需证的等号成立条件即的等号成立条件当时当时所以当且仅当即或时取等号故答案为：或【点睛】本题主要考查绝对值三角 解析：a b =或=-a b【分析】 根据0,0+≥++-≥a b a b a b ，将证a b a b a b +≤++-等号成立条件，转化为证()()22+≤++-a ba b a b 等号成立条件求解. 【详解】 因为0,0+≥++-≥a b a b a b ， 所以要证a b a b a b +≤++-的等号成立条件 ， 只需证()()22+≤++-a b a b a b 的等号成立条件 ， 即2222220++--≥a b a b ab 的等号成立条件 ，当22a b ≥时，()()()222222223230++--=--=-+≥a b a b ab a b ab a ba b ， 当22a b <时，()()()222222223230+---=--=-+≥a b a b ab b a ab b a a b ， 所以当且仅当22a b a b ⎧≥⎪⎨=⎪⎩，即a b =或=-a b 时，取等号， 故答案为：a b =或=-a b【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式等号成立的条件，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题.18．【分析】令求出即可得出k 的取值范围【详解】设当时则即故答案为：【点睛】本题主要考查了求绝对值不等式中参数的范围属于中档题解析：(),5-∞-【分析】令()|2||3|f x x x =+--，求出min ()f x ，即可得出k 的取值范围.【详解】设5,3()|2||3|21,235,2x f x x x x x x ≥⎧⎪=+--=--<<⎨⎪-≤-⎩当(2,3)x ∈-时，()(5,5)f x ∈-，则min ()5f x =-即5k <-故答案为：(),5-∞-【点睛】本题主要考查了求绝对值不等式中参数的范围，属于中档题.19．【解析】【分析】先由得再由的定义可知对于任意的时不等式均成立进而得解【详解】由对于任意的恒成立可知即解得下证即为所求当时…故答案为：【点睛】本题主要考查了解绝对值不等式及函数的表达式的应用属于中档题 解析：[0,2]【解析】【分析】先由()()1002f x f x =≤，得002x ≤≤，再由()()()1n n f x ff x +=的定义可知对于任意的*n N ∈，[]00,2x ∈时不等式均成立，进而得解.【详解】由对于任意的*n N ∈，()02n f x ≤恒成立，可知()()1002f x f x =≤，即0212x -≤，解得002x ≤≤.下证02x ≤≤即为所求.当[]00,2x ∈时，()[]100,2f x ∈， ()()()()[]201010210,2f x f f x f x ==-∈, ()()()()[]302020 210,2f x f f x f x ==-∈,…，()()()()[]01010 210,2n n n f x f f x f x --==-∈.故答案为：[]0,2.【点睛】本题主要考查了解绝对值不等式及函数的表达式的应用，属于中档题. 20．4【分析】先判断是正数且把所求的式子变形使用基本不等式求最小值【详解】由题意知则当且仅当时取等号∴的最小值为4【点睛】】本题考查函数的值域及基本不等式的应用属中档题解析：4【分析】先判断a c 、是正数，且1ac =，把所求的式子变形使用基本不等式求最小值．【详解】由题意知，044010a ac ac c =-=∴=＞，，，＞，则111111 2224a c a c a c c a c c a a c a c a +++=+++=+++≥+=+=（）（）， 当且仅当1a c ==时取等号． ∴11a c c a +++的最小值为4． 【点睛】】本题考查函数的值域及基本不等式的应用．属中档题.三、解答题21．（1）见解析；（2）①见解析；②{1，2}【分析】（1）运用数列的递推式，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求；（2）①22n n n na nb ==，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式和不等式的性质，即可得证； ②原不等式化为2112n n +>，即221n n <+，运用二项式定理和不等式的性质，可得解集．【详解】（1）证明：n S 是正项数列{}n a 的求和，22a =，2112n n n S a a ++=-，可得21122222a S a a ==-=，则11a =，当2n 时，212n n n S a a -=-，又2112n n n S a a ++=-，两式相减可得22111222n n n n n n n a S S a a a a -++=-=--+，化为11()(1)0n n n n a a a a +++--=，由正项数列{}n a ，可得11n n a a +-=，可得数列{}n a 是首项和公差均为1的等差数列；（2）①证明：22n n n n a n b ==，前n 项和1232482n nn T =+++⋯+， 11123248162n n n T +=+++⋯+， 两式相减可得1111(1)11111221224822212n n n n n n n T ++-=+++⋯+-=--， 化为222n nn T +=-， 可得2n T <； ②3332n n n T +>-即2332322n n n n ++->-， 化为2112n n +>，即221n n <+， 22(11)11n n n n C n =+=+++⋯++，可得1n =时23<；2n =时，45；3n 不成立，故原不等式的解集为{1，2}．【点睛】本题考查数列的递推式的运用，考查等差数列的定义和通项公式，等比数列的求和公式，数列的错位相减法求和，化简运算能力和推理能力，属于中档题．22．（1）{}05x x ≤≤，（2）证明见解析【分析】（1）先将()f x 化成分段函数的形式，然后根据()5f x ≤，分别解不等式即可；（2）由（1）可知()f x 的最小值为3M =，从而可得223a b +=，再利用基本不等式证明即可【详解】 （1）解：25,4()413,1425,1x x f x x x x x x ->⎧⎪=-+-=≤≤⎨⎪-+<⎩因为()5f x ≤，所以2554x x -≤⎧⎨>⎩，或14x ≤≤，或2551x x -+≤⎧⎨<⎩所以45x <≤，或14x ≤≤，或01x ≤<，所以05x ≤≤，所以不等式的解集为{}05x x ≤≤（2）证明：因为()|4||1|(4)(1)3f x x x x x =-+-≥-+-=，当且仅当14x ≤≤时取等号，所以()f x 的最小值为3M =，所以223a b +=， 所以22222211111[(2)(1)]21216a b a b a b ⎛⎫+=++++⨯ ⎪++++⎝⎭ 22221212216b a a b ⎛⎫++=++⨯ ⎪++⎝⎭12263⎛≥+⨯= ⎝， 当且仅当22221221b a a b ++=++，即21a =，22b =时取等号 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方23．（1）{}|23x x <<（2）423a ≤≤ 【分析】 （1）解一元二次不等式求得p 中x 的取值范围，解绝对值不等式求得q 中x 的取值范围，根据p q ∧为真，即,p q 都为真命题，求得x 的取值范围.（2）解一元二次不等式求得p 中x 的取值范围，根据p ⌝是q ⌝的充分不必要条件列不等式组，解不等式组求得实数a 的取值范围.【详解】对于q ：由31x -<得131x -<-<，解24x <<（1）当1a =时，对于p ：()()243310x x x x -+=--<，解得13x <<，由于p q ∧为真，所以,p q 都为真命题，所以2413x x <<⎧⎨<<⎩解得23x <<，所以实数x 的取值范围是{}|23x x <<.（2）当0a >时，对于p ：()()224303x ax a x a x a =---+<，解得3a x a <<.由于p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，所以p 是q 的必要不充分条件，所以234a a ≤⎧⎨≥⎩，解得423a ≤≤.所以实数a 的取值范围是423a ≤≤. 【点睛】 本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查根据含有逻辑连接词命题真假性求参数的取值范围，考查根据充分、必要条件求参数的取值范围，属于中档题.24．（1）{}14x x x ≤≥或（2）[]3,1a ∈--【分析】（1）利用分类讨论法，求得不等式的解集．（2）（2）原命题等价于35x x a x -++≤-在[]1,3上恒成立，即22x a x --≤≤-+在[]1,3上恒成立，由此求得a 的范围．【详解】解：（1）当2a =-时，()3f x ≥， 323x x ∴-+-≥2523x x ≤⎧∴⎨-≥⎩或2313x <<⎧⎨≥⎩或3253x x ≥⎧⎨-≥⎩1x ∴≤或x ∈∅或4x ≥， 所以不等式的解集为{1x x ≤或4}x ≥．（2）()5f x x ≤-，35x x a x ∴-++≤-由于[]1,3x ∈，所以上式2x a ⇔+≤，所以22x a x --≤≤-+在区间[]1,3上恒成立，所以[]3,1a ∈--．【点睛】本题主要考查分类讨论法解绝对值不等式，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．25．（1）[]1,1M =-；（2）证明见解析.【分析】（1）根据绝对值定义化简函数，再解三个不等式组，最后求并集得结果；（2）利用分析法证明不等式【详解】 （1）()12,,411111,,4424412,4x x f x x x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=-++=-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩()12422x f x x ⎧≤-⎪≤∴⎨⎪-≤⎩或1144122x ⎧-<<⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩或1422x x ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩ 114x ∴-≤≤-或1144x -<<或114x ≤≤ 所以不等式的解集为[]1,1M =-．（2）要证a b -，只需证a b -，即证()241ab a b -≥-，只需证22442ab a ab b --+≥，即2242a ab b ++≥， 即证()24a b ≥+，只需证2a b ≥+因为a ，b M ∈，所以2a b +≤，所以所证不等式成立．【点睛】本题考查含绝对值不等式解法、分析法证明不等式，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.26．（1）403x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；（2）02m <<. 【分析】（1）分类讨论去绝对值后分区间解不等式，再求并集；（2）转化为||3|21|x m x x -<---对任意的[0x ∈，1]恒成立，后再构造函数，利用函数的单调性列不等式可得结果．【详解】（1）当1m =时，()|1||21|f x x x =-+-， 所以123,21(),1232,1x x f x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪=⎨⎪->⎪⎪⎩， ∴23212x x -<⎧⎪⎨<⎪⎩或2112x x <⎧⎪⎨⎪⎩或3221x x -<⎧⎨>⎩， 解得403x << 所以不等式()2f x 的解集为4{|0}3x x << （2）由题意()3f x x <-对任意的[0x ∈，1]恒成立，即||3|21|x m x x -<---对任意的[0x ∈，1]恒成立， 令12,02()321143,12x x g x x x x x ⎧+<⎪⎪=---=⎨⎪-⎪⎩， ()g x 在10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递增，在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦递减， ||y x m =-在(],m -∞上递减，在[),m +∞上递增，要使||3|21|x m x x -<---对任意的[0x ∈，1]恒成立，只需0021431m m ⎧-<+⎪⎨-<-⨯⎪⎩可得02m <<【点睛】绝对值不等式的常见解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
新北师大版高中数学高中数学选修4-5第一章《不等关系与基本不等式》检测(答案解析)
一、选择题1．若a 、b 、R c ∈，且a b >，则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．11a b<B ．ac bc ≥C ．20c a b>-D ．()20a b c -≥2．若112a b <<<，01c <<，则下列不等式不成立．．．的是（ ） A ．log log a b c c < B ．log log b a a c b c < C ．c c ab ba <D ．c c a b <3．若a 、b 、c ，d ∈R ，则下面四个命题中，正确的命题是（ ）A ．若a >b ，c >b ，则a >cB ．若a >－b ，则c －a <c ＋bC ．若a >b ，则ac 2>bc 2D ．若a >b ，c >d ，则ac >bd4．已知01a <<，01c b <<<，下列不等式成立的是（ ） A ．b c b a c a>++ B ．c c a b b a+>+ C ．log log b c a a < D ．b c a a >5．已知1a >，实数,x y 满足x y a a >，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．11x y x y+>+ B ．()()22ln 1ln 1x y +>+C ．sin sin x y >D ．33x y >6．已知a b R ∈，，且a b >，则下列不等式中恒成立的是（ ） A ．22a b >B ．()lg a b 0->C ．a b 22--<D ．a 1b> 7．若a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a ＋c >b －cB ．(a －b )c 2>0C ．a 3>b 3D ．a 2>b 28．若0a b <<，则下列各式一定．．成立的是（ ） A ．a c b c +>+B ．22a b <C ．ac bc >D ．11a b> 9．若a b >，则下列不等式成立的是（ ） A ．22a b >B ．11a b< C ．a b >D ．a b e e >10．给出以下四个命题：（ ） ①若a>b ，则 11a b<； ②若ac 2>bc 2，则a>b ； ③若a>|b|，则a>b ；④若a>b ，则a 2>b 2.其中正确的是( ) A ．②④B ．②③C ．①②D ．①③11．若0a b >>，则（ ）A ．11a b>B ．22log log a b <C ．22a b <D ．1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12．如果a b >，那么下列不等式一定成立的是( ) A ．a b >B ．33a b >C ．11a b< D ．22a b <二、填空题13．设()23f x x x =-+-，若不等式121()a a f x a+--≥对任意实数0a ≠恒成立，则x 取值集合是_______.14．关于x 的不等式22a x x ->-在[]0,2上恒成立，则a 的取值范围是__________. 15．若关于x 的不等式215x a x x -+-≥-在R 上恒成立，则实数a 的取值范围为________．16．若存在实数x ，使得12-++<x x a 成立，则实数a 的取值范围为______. 17．已知不等式222xy ax y +，对任意[1,2],[4,5]x y ∈∈恒成立，则实数a 的取值范围是__________．18．若1a 2-<<，21b -<<，则-a b 的取值范围是 ．19．某学习小组，调查鲜花市场价格得知，购买2支玫瑰与1支康乃馨所需费用之和大于8元，而购买4支玫瑰与5支康乃馨所需费用之和小于22元.设购买2支玫瑰花所需费用为A 元，购买3支康乃馨所需费用为B 元，则A 、B 的大小关系是______________ 20．若存在实数a 使得44max cos 3,cos 710cos 3cos 3c c a a a a ⎧⎫++++≥⎨⎬++⎩⎭成立，则实数c 的取值范围是_____.三、解答题21．已知()211f x x x =-++.（1）画出函数()f x 的图象； （2）求不等式()()1f x f x <-的解集. 22．已知函数()f x x x m =-. （1）若3m =，解不等式()2f x >；（2）若0m >，且()f x 在[]0,2上的最大值为3，求正实数m 的值. 23．选修4-5：不等式选讲已知函数()121f x x x =--+的最大值为k . （1）求k 的值；（2）若,,a b c ∈R ， 2222a cb k ++=，求()b ac +的最大值.24．当,p q 都为正数且1p q +=时，试比较代数式2()px qy +与22+px qy 的大小. 25．已知函数()12f x x a x a=-++. （1）当1a =时，求不等式()4f x >的解集；（2）若不等式()222f x m m ≥-+对任意实数x 及a 恒成立，求实数m 的取值范围.26．已知函数()|21|||2g x x x =-+++. （1）解不等式()0g x ≤；（2）若存在实数x ，使得()||g x x a ≥--，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】利用不等式的性质证明，或者构造反例说明，即得解. 【详解】由题意可知，a 、b 、R c ∈，且a b > A ．若1,2a b ==-，满足a b >，则11a b>，故本选项不正确； B ．若1,2a b =-=-，满足,1a b c >=-，则ac bc <，故本选项不正确； C . 若0c,则20c a b=-，故本选项不成立；D ．22,0,()0a b c a b c >≥∴-≥ 故选：D 【点睛】本题考查了利用不等式的性质，判断代数式的大小，考查了学生综合分析，转化与划归的能力，属于基础题.2．B解析：B 【分析】根据幂函数和对数函数的图象和性质，结合不等式的基本性质，对各选项逐一判断即可. 【详解】 对于A ：当112a b <<<，01c <<，由对数函数的单调性知，0log log a b c c <<，故A 正确； 对于B ：当112a b <<<，01c <<，设函数log c y x =为减函数，则log log 0c c a b >>，所以log log 0b a c c >>，因112a b <<<，则log b a c 与log a b c 无法比较大小，故B 不正确； 对于C ：当112a b <<<，01c <<，则10c -<，由指数函数的单调性知，11c c b a --<，将不等式11c c b a --<两边同乘ab ，得c c ab ba <，故C 正确；对于D ：当112a b <<<，01c <<，由不等式的基本性质知，c c a b <，故D 正确. 故选: B 【点睛】本题考查了幂函数和对数函数的图象和性质，不等式的基本性质，属于基础题.3．B解析：B 【分析】对于A ，C ，D 举反例即可判断，对于B ，根据不等式的性质即可判断． 【详解】解：对于A ，例如1a =，0b =，2c =，则不满足，故A 错误， 对于B ，若a b >-，则a b -<，则c a c b -<+，成立，故B 正确， 对于C ，若0c ，则不成立，故C 错误，对于D ，例如1a =，0b =，2c =-，3D =-，则不满足，故D 错误，故选：B ． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质的简单应用，要注意不等式应用条件的判断，属于基础题.4．A解析：A 【分析】由作差法可判断出A 、B 选项中不等式的正误；由对数换底公式以及对数函数的单调性可判断出C 选项中不等式的正误；利用指数函数的单调性可判断出D 选项中不等式的正误. 【详解】对于A 选项中的不等式，()()()a b c b cb ac a a b a c --=++++，01a <<，01c b <<<， ()0a b c ∴->，0a b +>，0a c +>，b cb ac a∴>++，A 选项正确； 对于B 选项中的不等式，()()a cbc c a b b a b b a -+-=++，01a <<，01c b <<<， ()0a c b ∴-<，0a b +>，c c abb a+∴<+，B 选项错误； 对于C 选项中的不等式，01c b <<<，ln ln 0c b ∴<<，110ln ln b c∴<<， 01a <<，ln 0a ∴<，ln ln ln ln a ab c∴>，即log log b c a a >，C 选项错误； 对于D 选项中的不等式，01a <<，∴函数x y a =是递减函数，又c b <，所以c b a a >，D 选项错误.故选A. 【点睛】本题考查不等式正误的判断，常见的比较大小的方法有：（1）比较法；（2）中间值法；（3）函数单调性法；（4）不等式的性质.在比较大小时，可以结合不等式的结构选择合适的方法来比较，考查推理能力，属于中等题.5．D解析：D 【分析】根据指数函数的单调性，得到x y >，再利用不等式的性质，以及特殊值法，即可求解． 【详解】根据指数函数的单调性，由1a >且x y a a >，可得x y >，对于A 中，由111()()(1)x y x y x y x y x y xy xy-+--=--=--，此时不能确定符号，所以不正确；对于B 中，当x 1,y 2==-时，2211x y +<+，此时()()22ln 1ln 1x y +<+，所以不正确；对于C 中，例如：当2,32x y ππ==时，此时sin sin x y <，所以不正确； 对于D 中，由33222213()()()[()]024x y x y x xy y x y x y y -=-++=--+>，所以33x y >，所以是正确的．故选D ． 【点睛】本题主要考查了指数函数的单调性，以及不等式的性质的应用，其中解答中合理利用特殊值法判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．6．C解析：C 【分析】主要利用排除法求出结果． 【详解】 对于选项A ：当0a b >>时，不成立；对于选项B ：当10a b >>>时，()lg 0a b -<，所以不成立； 对于选项D ：当0a b >>时，不成立； 故选C ． 【点睛】本题考查的知识要点：不等式的基本性质的应用，排除法的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．7．C解析：C 【解析】 【分析】由不等式性质及举反例逐个分析各个选项可判断正误。
1.1-2实数大小的比较、不等式的性质
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若ab>1，则 a>b. (2)∀x∈R，x2>2x. (3)若 a>b>c 且 a＋b＋c＝0，则 a>0，c<0.
解析
() () ()
教材整理 2 不等式的性质
阅读教材 P1～P3“思考交流”以上部分，完成下列问题． 性质 1 对称性 a＞b⇔b＜a
设m＝1x＋1y，n＝x＋4 y，试比较 ＝x＋xyy－x＋4 y＝x＋xyyx2＋－y4xy＝xyx－x＋yy2，
m与n的大小．
∵x，y均为正数，
∴x＞0，y＞0，xy＞0，x＋y＞0，
(x－y)2≥0，
∴m－n≥0，即m≥n.
2.判断下列命题是否正确，并说明理由． (1)若 a＞b，则 ac2＞bc2；(2)若ca2＞cb2，则 a＞b； (3)若 a＞b，ab≠0，则1a＜1b；(4)若 a＞b，c＞d，则 ac＞bd.
实数大小的比较 【例 1】 (1)比较（3x-2）（x+1）与（2x+5）（x-1）的大小； (2)若 a＞0，b＞0 试比较 abba 与 aabb 的大小．
[精彩点拨] (1)只需考查两者差同 0 的大小关系； (2)注意到 2m＞0，可求商比较大小，但要注意到用不等式的性质．
比较大小的常用方法及步骤 1．求差法：a≥b⇔a－b≥0，a≤b⇔a－b≤0. 一般步骤是：作差→变形→判号→定论． 变形是作差法的关键，配方和因式分解是常用的变形手段．
推论 2 如果 a＞b＞0，那么 a2＞b2
推论 3 如果 a＞b＞0，那么 an_＞_bn(n 为正整数) 推论 4 如果 a＞b＞0，那么 a1n＞__b1n(n 为正整数)
不等式的基本性质PPT课件
(7)将不等式6>-3和-4<-2的两边都乘-3，不等号的 方向是否改变？两边都除以-2呢？
6×3 < (-3)×3; (-4)×3 > (-2)×3; 6÷2 < (-3)÷2; (-4)÷2 > (-2)÷2.
(8)由(7)你发现了什么结论？能用不等式表示 出来吗？
a>b；甲的年龄大，a+c>b+c
（2）在数轴上，点A与点B分别对应实数a，b， 并且点A在点B的右边，请你用不等式表示a， b之间的大小关系.如果同时将点A，B向右（或 向左）沿x轴移动c个单位长度，得到点A′，B ′ （如图）.你能用不等式表示点A′，B ′所对应 的数的大小关系吗？
a>b；a+c>b+c；a-c>b-c
判断下列式子是不是不等式：
（1）-3<0
是
（2）4x+3y>0 是
（3）x=3
不是
（4） x2+xy+y2 不是
（5）x+2>y+5 是
2 不等式的性质
等式具有那些性质？ 不等式是否具有这些类似性质？
等式基本性质1：
等式的两边都加上（或减去）同一个整 式，等式仍旧成立
如果a=b,那么a±c=b±c
（3）由（1）（2），你发现了有关不等式的什 么结论呢？你能用不等式表示表示出来吗？
如果a>b,那么a±c>b±c.
也就是说，不等式的两边都加上（或减 去）同一数或同一个整式，不等号的方 向不变。
我们把这一性质作为不等式基本性质1.
基本不等式(共43张)ppt课件
解法步骤与技巧
01
02
03
移项
将不等式两边的同类项进 行合并，并把未知数移到 不等式的一边，常数移到 另一边。
合并同类项
将移项后的不等式两边的 同类项进行合并。
系数化为1
将不等式两边的系数化为 1，得到不等式的解集。
解法步骤与技巧
注意不等号的方向
在解不等式时，要注意不等号的方向，特别是在乘以或除以一个负数时，不等 号的方向要发生变化。
基本不等式(共43张)ppt课件
目录
• 基本不等式概念及性质 • 一元一次不等式解法 • 一元二次不等式解法 • 绝对值不等式解法 • 分式不等式和无理不等式解法 • 基本不等式在几何中的应用 • 基本不等式在函数中的应用 • 总结回顾与拓展延伸
01
基本不等式概念及性质
不等式定义与分类
不等式定义
根）；
04
05
当 $Delta < 0$ 时，方程无 实根，有两个共轭复根。
04
绝对值不等式解法
绝对值概念及性质
绝对值定义
对于任意实数$x$，其绝对值$|x|$定义为：若$x geq 0$，则$|x| = x$；若$x < 0$，则$|x| = -x$。
绝对值的性质
非负性、对称性、三角不等式。
绝对值不等式解法步骤
将不等式左边进行因式分解，找出不 等式的临界点。
无理不等式解法
第一步
确定无理不等式的定义域，即根 号内的表达式必须大于等于零。
第二步
通过平方消去根号，将无理不等式 转化为有理不等式。
第三步
利用有理不等式的解法，求解转化 后的不等式，得到原无理不等式的 解集。
综合应用举例
例1
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A.a<<b
B.a<b<
C.b<a<
D.b<<a
解析 a＝sin 15°＋cos 15°＝sin 60°，
b＝sin 16°＋cos 16°＝sin 61°，∴a<b，排除C、D.又a≠b，
∵>ab＝sin 60°·sin 61°＝sin 61°>sin 61°＝b，故a<b<成立.
答案 B
6.已知a，b都是实数，那么“a2>b2”是“a>b”的( )
一、选择题
1.若a，b为不等的正数，则(abk＋akb)－(ak＋1＋bk＋1) (k∈N＋)的符号( )
A.恒正
B.恒负
C.与k的奇偶性有关
D.与a，b大小无关
解析 (abk＋akb)－ak＋1－bk＋1
＝bk(a－b)＋ak(b－a)＝(a－b)(bk－ak)
∵a>0，b>0，若a>b，则ak>bk，∴(a－b)(bk－ak)<0；
若a<b，则ak<bk，∴(a－b)(bk－ak)<( )
A.m<n
B.m>n
C.m≤n
D.m≥n
答案 B
3.设a、b、c、d、m、n∈(0，＋∞)，P＝＋，Q＝· ，则有( )
A.P≥Q
B.P≤Q
C.P>Q
D.P<Q
解析 采用先平方后作差法.
∵P2－Q2＝(ab＋cd＋2)－
＝2－ad－bc＝－≤0，
∴P2≤Q2，又∵P>0，Q>0，∴P≤Q.
答案 B
4.已知a，b，c，d都是正数，且bc>ad，则，，，中最大的是( )
A.
B.
C.
D.
解析 －＝<0，∴<，
－＝＝>0，
－＝＝>0，
所以最大的是.
答案 D
5.设a＝sin 15°＋cos 15°，b＝sin 16°＋cos 16°，则下列各式正确的是( )
答案 D
二、填空题
7.下列四个不等式：①a<0<b；②b<a<0；③b<0<a；④0<b<a，其中能使<成立
的充分条件有________.
解析 <⇔<0⇔b－a与ab异号，①②④均能使b－a与ab异号.
答案 ①②④ 8.设a>5，则－与－的大小关系是__________________.
解析 因为a>5，只需比较＋与2的大小，两数平方，即比较与a－4的大小， 再平方，只需比较a2－8a＋15与a2－8a＋16的大小. 答案 －<－ 三、解答题 9.已知a，b∈R＋，n∈N＋，求证：(a＋b)(an＋bn)≤2(an＋1＋bn＋1). 证明 2(an＋1＋bn＋1)－(a＋b)(an＋bn)＝2an＋1＋2bn＋1－an＋1－abn－ban－bn＋1＝an ＋1－abn－ban＋bn＋1＝an(a－b)－bn(a－b)＝(a－b)(an－bn).∵a＞0，b＞0，若a－ b＞0，则an－bn＞0，∴(a－b)(an－bn)＞0，若a－b＜0，则an－bn＜0，∴(a－ b)(an－bn)＞0，∴(a＋b)(an＋bn)≤2(an＋1＋bn＋1). 10.设m∈R，a>b>1，f(x)＝，比较f(a)与f(b)的大小. 解 f(a)－f(b)＝－＝.
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 当a2>b2时，a2－b2>0，即(a＋b)(a－b)>0，当a，b同为正时，有a>b；
当a、b同为负时，a<b，所以当a2>b2时，不一定有a>b成立.反之，当a>b时，
也不一定有a2>b2，例如1>－2，而12<(－2)2.
∵a>b>1，∴b－a<0，a－1>0，b－1>0， ∴<0. 当m>0时，<0，f(a)<f(b)； 当m<0时，>0，f(a)>f(b)； 当m＝0时，＝0，f(a)＝f(b). 11.设a，b是非负实数，求证：a3＋b3≥(a2＋b2). 证明 由a，b是非负实数，作差得 a3＋b3－(a2＋b2)＝a2(－)＋b2(－) ＝(－)[()5－()5]. 当a≥b时，≥，从而()5≥()5，得 (－)[()5－()5]≥0； 当a<b时，<，从而()5<()5，得 (－)[()5－()5]>0. 所以a3＋b3≥(a2＋b2).