第22章四边形综合复习教学设计

第22章四边形综合复习教学设计
上海上师初级中学蒋赢利知识与技能：掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判定方法，灵活运用
这些知识进行有关的证明和计算；培养学生阅读的技能，进一步培养和发展学
生的逻辑思维能力与推理论证能力.
过程与方法：1、在综合问题解决过程中，学会阅读综合问题的方法，获取有价值的数据的
方法；
2、经历综合问题的探索过程，学会分析问题的方法.
3、经历一题多解，多题一解，培养学生的发散思维，关注知识间的联系.
情感态度与价值观：1、在问题解决过程中培养学生的数学素养和严谨的科学态度；
2、在问题解决过程中，让学生获得成功体验.
教学重点：阅读，对基本图形的认识.
教学难点：审题，寻找解决问题的突破口.
一、知识要点回顾：
1.知识归纳：
2.在线段、角、等腰三角形、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、直角
梯形、等腰梯形、圆、正五边形、正六边形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的
是.
3.平行四边形的性质：与边有关的_________________________.与角有关____ _，
对角线________________________.
4.矩形
(1) 矩形具有平形四边形的所有性质, 还具有自己的性质:
①矩形的每个角都是; ②矩形的对角线且.
5.菱形
菱形具有平行四边形的一切性质, 还具有自己的性质:
(1) 菱形的四条边都;
(2) 菱形的对角线
6.正方形：正方形具有矩形和菱形的一切性质.
7. 三角形中位线定理.
8.梯形、等腰梯形、直角梯形的性质与判定.
注意：对角线与特殊四边形的关系
2.对角线相等的平行四边形是矩形
3.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
4.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
（一）一题多变，培养应变能力
〖例题1〗
已知：如图1，□ABCD
的对角线AC、BD交于点O，
EF过点O与AB、CD分别交于点E、F．
求证：OE=OF．
变式1．在图1中，连结哪些线段可以构成新的平行四边形？为什么？
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
变式2．在图1中，如果过点O再作GH，分别交AD、BC于G、H，你又能得到哪些新的平行四边形？为什么？
变式3．在图1中，若EF与AB、CD的延长线分别交于点E、F，这时仍有OE=OF吗？你还能构造出几个新的平行四边形？
B C
变式4．在图1中，若改为过A 作AH ⊥BC ，垂足为H ，连结HO 并延长交AD 于G ，连结
GC ，则四边形AHCG 是什么四边形？为什么？ 可由变式1可知四边形AHCG 是平行四边形，
再由一个直角可得四边形AHCG 是矩形.
变式5．在图1中，若GH ⊥BD ，GH 分别交AD 、BC 于G 、H
边形？为什么？
可由变式1可知四边形BGDH 是平行四边形，
再由对角线互相垂直可得四边形BGDH 是菱形.
变式6．在变式5中，若将“ABCD ”改为“矩形
ABCD”，
GH 分别交AD 、BC 于G 、H ，则四边形BGDH 是什么四边形？若AB=6，BC=8，你能求出GH 的长吗？（这一问题相当于将矩形ABCD 对折，使B 、D 重合，求折痕GH 的长.）
（二）一题多解，培养发散思维
例2：如图，已知ABCD 中，AE 平分BAD ∠，交DC 于E ，DF BC ⊥于F ，交AE 于G ，且DF AD =.
（1）试说明DE BC =；
（2）试问AB 与DG FC +之间有何数量关系？写出你的结论，并说明理由.
解法1：（见图1）延长GD 到H ，使得DH FC =，连结AH ，实现将DG FC +转化为线
段HG ； 解法2：（见图2）延长CB 到H ，使得FH DG =，连结DH ，实现将DG FC +转化为线
段CH ；
B
B
解法3：（见图3）延长CF 到H ，使得BH CF =，将ADG ∆绕点A 顺时针旋转90，得
到AHG '∆，实现将DG FC +转化为线段BG '；
图1 图2
图3
解法4：（见图4）如图建立平面直角坐标系，
解法5：见图5：如图建立直角坐标系，解法同解法4
图4 图5
将此题还原对比：
在AHFD 中，AG 平分DAB ∠交DF 于点G ，证明：AB DG HB =+
G
H
F
D
A B
E
G
C
F
A D
B
还原图 例题图
意图：1、解法1、2、3均强调如何构造两条线段的和，运用了平移、旋转变换构造； 2、解法4、5均强调将几何问题代数化，初步渗透高中解析几何的思想.
体会（1）建立平面直角坐标系的可能.即存在直角.或有特殊的基本图形存在，如
等腰直角三角形、正方形；
（2）坐标原点和x 轴的选择直接影响到写出点的坐标的难易程度. 3、关注题目中的重要条件，抓注基本特征，将图形有效还原.
三、动点问题 例3.如图，△ABC 中，点O 为AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的外角平分线CF 于点F ，交∠ACB 内角平分线CE 于E ． （1）试说明EO=FO ；
（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形并证明你的结论；
（3）若AC 边上存在点O ，使四边形AECF 是正方形，猜想△ABC 的形状并证明你的结论．
A B
M D
C
例4.如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90B ∠=︒， 6AD =， 8BC =，33AB =点M 是BC 的中点．点P 从点M 出发沿MB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动，到达点B 后立刻以原速度沿BM 返回；点Q 从点M 出发以每秒1个单位长的速度在射线MC 上匀速运动．在点P 、Q 的运动过程中，以PQ 为边作等边三角形EPQ ，使它与梯形ABCD 在射线BC 的同侧．点P 、Q 同时出发，当点P 返回到点M 时停止运动，点Q 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（0t >）．
（1）设PQ 的长为y ，在点P 从点M 向点B 运动的过程中，写出y 与t 之间的函数关系式（不必写t 的取值范围）；
（2）当 1BP =时，求EPQ △与梯形ABCD 重叠部分的面积；
（3）随着时间t 的变化，线段AD 会有一部分被EPQ △覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接写出t 的取值
范围；若不能，请说明理由．
四、自主小结 五、作业布置
1. 如图，AC 为正方形ABCD 的一条对角线，点E 为DA 边延长线上的一点，连接BE ，
在BE 上取一点F ，使BF BC =，过点B 作BK BE ⊥于B ，交AC 于点K ，连接CF ，交AB 于点H ，交BK 于点G ． （1）求证：BG BH =； （2）求证：AE BG BE +=
B
P Q E
M D
C
2.如图，在Rt ABC △中，9060ACB B ∠=∠=°，°，2BC =．点O 是AC 的中点，过点O 的直线l 从与AC 重合的位置开始，绕点O 作逆时针旋转，交AB 边于点D ．过点C 作CE AB ∥交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为α．（1）①当α= 度时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为 ；②当α= 度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时AD 的长为 ； （2）当90α=°时，判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由．
O E C
D
α l
O
C
（备用图）。