第二十二章 四边形复习

第二十二章四边形
【教学目标】
1、通过对几种平行四边形的回顾与思考，使学生梳理所学的知识，系统地复习平行四边形与各种特殊平行四边形的定义、性质、判定方法；
2、正确理解平行四边形与各种特殊平行四边形的联系与区别，在反思和交流过程中，逐渐建立知识体系；
3、引导学生独立思考，通过归纳、概括、实践等系统数学活动，感受获得成功的体验，形成科学的学习习惯。

【教学重点】
1、平行四边形与各种特殊平行四边形的区别。

2、梳理平行四边形、矩形、菱形、正方形的知识体系及应用方法。

【教学难点】
平行四边形与各种特殊平行四边形的定义、性质、判定的综合运用。

【教学模式】
以题代纲，梳理知识-----变式训练，查漏补缺 -----综合训练，总结规律-----测试练习，提高效率
【教具准备】三角板、实物投影仪、电脑、自制课件。

【教学过程】
一、以题代纲，梳理知识
（一）开门见山，直奔主题
同学们，今天我们一起来复习《平行四边形》的相关知识，先请同学们迅速地完成下面几道练习题，请看大屏幕。

（二）诊断练习
1、根据条件判定它是什么图形，并在括号内填出，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O：
(1) AB＝CD,AD＝BC （平行四边形）
(2)∠A＝∠B＝∠C＝90°（矩形）
(3)AB＝BC，四边形ABCD是平行四边形（菱形）
(4)OA＝OC＝OB＝OD ，AC⊥BD （正方形）
(5) AB＝CD, ∠A＝∠C ( ？ )
2、菱形的两条对角线长分别是6厘米和8厘米，则菱形的边长为5厘米。

3、顺次连结矩形ABCD各边中点所成的四边形是菱形。

4、若正方形ABCD的对角线长10厘米，那么它的面积是50平方厘米。

5、平行四边形、矩形、菱形、正方形中，轴对称图形有：矩形、菱形、正方形，中心对称图形的有：平行四边形、矩形、菱形、正方形，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是：矩形、菱形、正方形。

（二）归纳整理，形成体系
1、性质判定，列表归纳
2、基础练习：
（1）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（C）
A．对角线相等（距、正） B. 对角线平分一组对角（菱、正） C．对角线互相平分 D. 对角线互相垂直（菱、正）（2）、正方形具有，矩形也具有的性质是（A）
A．对角线相等且互相平分 B. 对角线相等且互相垂直
C. 对角线互相垂直且互相平分
D. 对角线互相垂直平分且相等（3）、如果一个四边形是中心对称图形，那么这个四边形一定（D）
A ．正方形
B ．菱形
C ．矩形
D ．平行四边形 都是中心对称图形，A 、B 、C 都是平行四边形 （4）、矩形具有，而菱形不一定具有的性质是（ B ）
A. 对角线互相平分
B. 对角线相等
C. 对边平行且相等
D. 内角和为360
问：菱形的对角线一定不相等吗？错，因为正方形也是菱形。

（5）、正方形具有而矩形不具有的特征是（ D ）
A. 内角为3600
B. 四个角都是直角
C. 两组对边分别相等
D. 对角线平分对角
问：那么正方形具有而菱形不具有的特征是什么？对角线相等
2、集合表示，突出关系
二、查漏补缺，讲练结合 （一）一题多变，培养应变能力 〖例题1〗
已知：如图1，□ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ， EF 过点O 与AB 、CD 分别交于点E 、F ． 求证：OE=OF ． 证明: ∵
变式1．在图1中，连结哪些线段可以构成新的平行四边形？为什么？
B
C
对角线互相平分的四边形是平行四边形。

变式2．在图1中，如果过点O 再作GH ，分别交AD 、BC 于G 、H ，你又能得到哪些新的平行四边形？为什么？
对角线互相平分的四边形是平行四边形。

变式3．在图1中，若EF 与AB 、CD 的延长线分别交于点E 、F ，这时仍有OE=OF 吗？你还能构造出几个新的平行四边形？
对角线互相平分的四边形是平行四边形。

变式4．在图1中，若改为过A 作AH ⊥BC ，垂足为H ，连结HO 并延长交AD 于G ，连结GC ，则四边形AHCG 是什么四边形？为什么？
可由变式1可知四边形AHCG 是平行四边形， 再由一个直角可得四边形AHCG 是矩形。

变式5．在图1中，若GH ⊥BD ，GH 分别交AD 、BC 于G 、H ，则四边形BGDH 是什么四边形？为什么？
可由变式1可知四边形BGDH 是平行四边形， 再由对角线互相垂直可得四边形BGDH 是菱形。

B
B
变式6．在变式5中，若将“□ABCD ”改为“矩形ABCD ”，GH 分别交AD 、BC 于G 、H ，则四边形BGDH 是什么四边形？若AB=6，BC=8，你能求出GH 的长吗？（这一问题相当于将矩形ABCD 对折，使B 、D 重合，求折痕GH 的长。

） 略解：∵AB=6，BC=8 ∴BD=AC=10。

设OG = x ，则BG = GD=252+x ． 在Rt △ABG 中，则勾股定理得： AB 2 + AG 2 = BG 2 ，
即(
)(
)
2
2
2
2
2
252586+=+-+x x ，
解得 4
15
=x ．
∴GH = 2 x = 7.5．
（二）一题多解，培养发散思维 〖例题2〗
已知：如图，在正方形ABCD ，E 是BC 边上一点， F 是CD 的中点，且AE = DC + CE ．
求证：AF 平分∠DAE ．
证法一：（延长法）延长EF ，交AD 的延长线于G （如图2-1）。

∵四边形ABCD
是正方形，
∴AD=CD ，∠C=∠ADC=90°（正方形四边相等，四个角都是直角） ∴∠GDF=90°， ∴∠C =∠GDF
在△EFC 和△GFD 中 ⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠∠=∠DF CF GDF C 2
1 ∴△EFC ≌△GFD （ASA ）
∴CE=DG ，EF=GF ∵
AE = DC + CE ， ∴AE = AD + DG = AG ， ∴AF 平分∠DAE ．
F
E B
C
A G
证法二：（延长法）延长BC ，交AF 的延长线于G （如图2-2） ∵四边形ABCD 是正方形，
∴AD // BC ，DA=DC ，∠FCG=∠D=90°
（正方形对边平行，四边相等，四个角都是直角） ∴∠3=∠G ，∠FCG=90°， ∴∠FCG =∠D
在△FCG 和△FDA 中 ⎪⎩
⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠DF CF D FCG 2
1 ∴△△FCG 和△FDA （ASA ）
∴CG=DA ∵AE = DC + CE ，
∴AE = CG + CE = GE ， ∴∠4 =∠G ，
∴∠3 =∠4， ∴AF 平分∠DAE ．
思考：如果用“截取法”，即在AE 上取点G ，
使AG=AD ，再连结GF 、EF （如图2-3），这样能证明吗？
三、综合训练，总结规律 （一）综合练习，提高解题能力
1． 在例2中，若将条件“AE = DC + CE ”和结论 “AF 平分∠DAE ”对换，
所得命题正确吗？为什么？你有几种证法？
2．已知：如图，在□ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于F ，
B
G
G、H分别是BC、AD的中点．
求证：四边形EGFH是平行四边形．（用两种方法）
（二）课堂小结，领悟思想方法
1．一题多变，举一反三。

经常在解题之后进行反思——改变命题的条件，或将命题的结论延伸，或将条件和结论互换，往往会有意想不到的收获。

也只有这样，才能做到举一反三，提高应变能力。

2．一题多解，触类旁通。

在平时的作业或练习中，通过一题多解，你不仅可以从中对比选出最优方法，提高自己在应考中的解题效率，而且还能开阔你的思维，达到触类旁通的目的。

3．善于总结，领悟方法。

数学题目本身蕴含着许多数学思想方法，只要你善于总结，就能真正掌握、提炼出其中的数学方法，才能不断提高自己分析问题、解决问题的能力。

四、课后反思。