最新第二十二章四边形复习课

解法2
FO AO CD = AD
FO
5
6= 8
15 FO= 4
15 FE= 2
A
F
D
O
B
E
C
例4.如图,E为菱形ABCD边BC上的一点，AB=AE，AE交BD于
F，∠DAE=2∠BAE
(1)求证：EB=FA (2)求∠ABC的度数.
D
A
(1)证明 ∵AD//BC, ∴∠1=∠BAE
∵AE=AB, ∴∠1=∠ABC ∴∠ABC=∠DAE=2∠BAE ∴∠BAE=∠DBE=∠ADB
在Rt△FEH中， EF2 = FH2 + EH2
∴EF2 =62 + （ 25 4
答：折痕的长为7.5cm
7 ）2 4
∴EF=±7.5(负根舍去）
注：①解“翻折图形”问题的关键是要认识到对折时折痕为重 合两点的对称轴，会形成轴对称图形。
②本题通过设未知数，然后根据图形的几何元素间的关系列方 程求解的方法，是数学中常用的“方程思想”。
F
1
B
EC
∴△ABE≌△DAF
∴BE=AF
(2)解： 设∠BAE为x，则∠ABE=∠AEB=2x
∴x+2x+2x=180° ∴x=36° ∴∠ABC=72°
例5.把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋 转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H（如 图）.试问线段HG与线段HB相等吗？请先观察 猜想，然后再证明你的猜想.
∠A=60°， ∠B= ∠D=90 °，求四边形ABCD的面积。
解： 延长AD，BC交于点E，
A
∵在Rt△ABE中，∠A=60°，
2
D
∴∠E=30° 又∵AB=2
∴BE=√3AB=2 √3
B
∵在Rt△CDE中，同理可得 DE=√3CD= √3
1 C
E
∴S四边形ABCD=S Rt△ABE - S Rt△CDE
A
称，则EF是AC的中垂线 ，故AF=FC，
设AC与EF交于点O，AF=FC=xcm
B 则FD=AD – AF=8 - x
∵在Rt△CDF中，FC 2= FD2 + CD2
∴ x 2 = （8 - x）2 + 62
解得x=
25 4
F
D
O
EH
C
∴AF=FC= 25 ,FD=8 – x= 74ຫໍສະໝຸດ 4作FH⊥BC于H
三、几种特殊四边形的常用判定方法：
四边形
条件
平行 四边形
1、定义：两组对边分别平行 3、一组对边平行且相等
2、两组对边分别相等 4、对角线互相平分
矩形 菱形 正方形
1、定义：有一外角是直角的平行四边形 2、三个角是直角的四边形 3、对角线相等的平行四边形
1、定义：一组邻边相等的平行四边形 2、四条边都相等的四边形 3、对角线互相垂直的平行四边形 1、定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形 2、有一组邻边相等的矩形 3、有一个角是直角的菱形
进 入 夏 天 ，少 不了一 个热字 当头， 电扇空 调陆续 登场， 每逢此 时，总 会想起 那 一 把 蒲 扇 。蒲扇 ，是记 忆中的 农村， 夏季经 常用的 一件物 品。 记 忆 中 的故 乡 ， 每 逢 进 入夏天 ，集市 上最常 见的便 是蒲扇 、凉席 ，不论 男女老 少，个 个手持 一 把 ， 忽 闪 忽闪个 不停， 嘴里叨 叨着“ 怎么这 么热” ，于是 三五成 群，聚 在大树 下 ， 或 站 着 ，或随 即坐在 石头上 ，手持 那把扇 子，边 唠嗑边 乘凉。 孩子们 却在周 围 跑 跑 跳 跳 ，热得 满头大 汗，不 时听到 “强子 ，别跑 了，快 来我给 你扇扇 ”。孩 子 们 才 不 听 这一套 ，跑个 没完， 直到累 气喘吁 吁，这 才一跑 一踮地 围过了 ，这时 母 亲总是 ，好似 生气的 样子， 边扇边 训，“ 你看热 的，跑 什么？ ”此时 这把蒲 扇， 是 那 么 凉 快 ，那么 的温馨 幸福， 有母亲 的味道 ！ 蒲 扇 是 中 国传 统工艺 品，在 我 国 已 有 三 千年多 年的历 史。取 材于棕 榈树， 制作简 单，方 便携带 ，且蒲 扇的表 面 光 滑 ， 因 而，古 人常会 在上面 作画。 古有棕 扇、葵 扇、蒲 扇、蕉 扇诸名 ，实即 今 日 的 蒲 扇 ，江浙 称之为 芭蕉扇 。六七 十年代 ，人们 最常用 的就是 这种， 似圆非 圆 ， 轻 巧 又 便宜的 蒲扇。 蒲 扇 流 传 至今， 我的记 忆中， 它跨越 了半个 世纪， 也 走 过 了 我 们的半 个人生 的轨迹 ，携带 着特有 的念想 ，一年 年，一 天天， 流向长
延长DC至F，使BE=DF，AF交BC于H，CE交AD于G.
求证：∠E=∠F
E
证明：
A
G
D
四边形ABCD 是平行四边形
AB∥= CD BE=DF
B
H
C
AE∥= CF
F
四边形AFCE是 平行四边形
∠E=∠F
注：利用平行四边形的性质来证明线段或角相等是一种常用方法。
例2：如图，在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，
长 的 时 间 隧 道，袅
第二十二章四边形复习课
知识回顾
一、四边形的分类及转化
两组对边平行 平行四边形
矩形
任意四边形
菱 形
正方形
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系
平行四边形 正
矩形 方 菱形 形
二、几种特殊四边形的性质：
项目
对边
角
四边形
对角线
对称性
平行 平行且相等 四边形
矩形 菱形
平行且相等
平行 且四边相等
平行 且四边相等 正方形
对角相等 邻角互补
四个角 都是直角 对角相等 邻角互补
四个角 都是直角
互相平分
中心对称图形
互相平分且相等
中心对称图形 轴对称图形
互相垂直平分，且每一 中心对称图形 条对角线平分一组对角 轴对称图形
互相垂直平分且相等，每 中心对称图形 一条对角线平分一组对角 轴对称图形
1
1
= AB·BE - CD·DE
2
2
= 1 ×2×2√3 -
1
×1×√3
2
2
3
= √3
2
注：四边形的问题经常转化为三角形的问题来解，转化的方法 是添加适当的辅助线，如连结对角线、延长两边等。
例3：已知，如图，矩形纸片长为8cm，宽为6cm, 把纸对折使相对两顶点A，C重合，求折痕的长。
D
解：设折痕为EF，连结AC，AE，CF， 若A，C两点重合，它们必关于EF对
四、有关定理：
四边形的内角和等于 360°，外角和等于 360°。 n边形的内角和等于（n - 2）180°，外角和等于 360° 。
其他重要定理：
(1)两条平行线之间的垂线段处处相等 (2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 (3)三角形中位线平行且等于底边的一半;
典例精析
例1：如图，四边形ABCD为平行四边形，延长BA至E，