高考数学一轮第5章数列第4节数列求和教学案理含解析新人教A版

第四节 数列求和[考纲传真] 1.掌握等差、等比数列的前n 项和公式.2.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法．1．公式法(1)等差数列的前n 项和公式：S n ＝n a 1＋a n 2＝na 1＋n n －2d ；(2)等比数列的前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q＝a 1－q n1－q ，q ≠1.2．几种数列求和的常用方法(1)分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减．(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n 项和．裂项时常用的三种变形： ①1n n ＋＝1n －1n ＋1； ②1n －n ＋＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1；③1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n 项和即可用错位相减法求解．(4)倒序相加法：如果一个数列{a n }与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解．(5)并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)nf (n )类型，可采用两项合并求解． 例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. [常用结论] 常用求和公式(1)1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n n ＋2.(2)1＋3＋5＋7＋…＋2n －1＝n 2. (3)2＋4＋6＋8＋…＋2n ＝n 2＋n .(4)12＋22＋…＋n 2＝n n ＋n ＋6.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知等差数列{a n }的公差为d ，则有1a n a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1.( )(2)当n ≥2时，1n 2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1.( )(3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n之和时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( )(4)如果数列{a n }是周期为k (k 为大于1的正整数)的周期数列，那么S km ＝mS k .( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 2．(教材改编)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1nn ＋，则S 5等于( )A ．1 B.56 C.16 D.130B [∵a n ＝1nn ＋＝1n －1n ＋1， ∴S 5＝a 1＋a 2＋…＋a 5＝1－12＋12－13＋…－16＝56.]3．数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，前n 项和为9，则n 等于( )A ．9B ．99C ．10D ．100B [∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(n ＋1－n )＋(n －n －1)＋…＋(3－2)＋(2－1)＝n ＋1－1，令n ＋1－1＝9，得n ＝99，故选B.] 4．数列{1＋2n －1}的前n 项和为( )A ．1＋2nB ．2＋2nC ．n ＋2n－1D ．n ＋2＋2nC [S n ＝(1＋1＋…＋1)＋(20＋21＋…＋2n －1)＝n ＋－2n1－2＝2n＋n －1.故选C.]5．数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1·n ，则S 17＝________.9 [S 17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9.]分组转化法求和【例1】 (2018·合肥检测)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 4＝24，S 7＝63. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2a n ＋(－1)n·a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . [解] (1)因为{a n }为等差数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧S 4＝4a 1＋4×32d ＝24S 7＝7a 1＋7×62d ＝63⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3d ＝2⇒a n ＝2n ＋1.(2)因为b n ＝2a n ＋(－1)n ·a n ＝22n ＋1＋(－1)n·(2n ＋1)＝2×4n ＋(－1)n·(2n ＋1)，所以T n ＝2×(41＋42＋ (4))＋[－3＋5－7＋9－…＋(－1)n·(2n ＋1)]＝n－3＋G n .当n ＝2k (k ∈N *)时，G n ＝2×n2＝n ， 所以T n ＝n －3＋n ；当n ＝2k －1(k ∈N *)时，G n ＝2×n －12－(2n ＋1)＝－n －2，所以T n ＝n－3－n －2， 所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧n－3＋n n ＝2k ，k ∈N *，n－3－n －n ＝2k －1，k ∈N *.n n 2311144(1)求{a n }的通项公式；(2)设c n ＝a n ＋b n ，求数列{c n }的前n 项和． [解] (1)设等比数列{b n }的公比为q ，则q ＝b 3b 2＝93＝3，所以b 1＝b 2q＝1，b 4＝b 3q ＝27，所以b n ＝3n －1(n ∈N *)．设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 1＝b 1＝1，a 14＝b 4＝27， 所以1＋13d ＝27，即d ＝2. 所以a n ＝2n －1(n ＝1,2,3，…)． (2)由(1)知a n ＝2n －1，b n ＝3n －1.因此c n ＝a n ＋b n ＝2n －1＋3n －1.从而数列{c n }的前n 项和S n ＝1＋3＋…＋(2n －1)＋1＋3＋…＋3n －1＝n＋2n －2＋1－3n 1－3＝n 2＋3n－12.裂项相消法求和【例2】 (2019·唐山五校联考)已知数列{a n }满足：1a 1＋2a 2＋…＋n a n ＝38(32n －1)，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝log 3a nn，求1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1.[解]1a 1＝38(32－1)＝3， 当n ≥2时，因为n a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋2a 2＋…＋n a n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋2a 2＋…＋n －1a n －1＝38(32n －1)－38(32n －2－1) ＝32n －1，当n ＝1时，n a n＝32n －1也成立，所以a n ＝n32n －1.(2)b n ＝log 3a n n＝－(2n －1)， 因为1b n b n ＋1＝1n －n ＋＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，所以1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1. 利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一将通项公式裂项后，有时侯需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等 (2019·银川质检n n n n (1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)令b n ＝n ＋1n ＋2a 2n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：对于任意的n ∈N *，都有T n ＜564. [解] (1)∵S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0， ∴[S n －(n 2＋n )](S n ＋1)＝0， ∴S n ＝n 2＋n 或S n ＝－1(舍去) 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ， ∴a n ＝2n (n ∈N *)． (2)b n ＝n ＋14n2n ＋2＝116⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n2－1n ＋2.∴T n ＝116⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－19＋14－116＋19－125＋…＋1n 2－1n ＋2＝1161＋14－1n ＋2－1n ＋2＝564－116⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n ＋2＋1n ＋2又n ∈N *，∴T n ＜564.错位相减法求和【例3】 已知数列{a n }的首项a 1＝3，前n 项和为S n ，a n ＋1＝2S n ＋3，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式．(2)设b n ＝log 3a n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和T n .[解] (1)由a n ＋1＝2S n ＋3， 得a n ＝2S n －1＋3(n ≥2)，两式相减得a n ＋1－a n ＝2(S n －S n －1)＝2a n ，故a n ＋1＝3a n (n ≥2)， 所以当n ≥2时，{a n }是以3为公比的等比数列． 因为a 2＝2S 1＋3＝2a 1＋3＝9，a 2a 1＝3，所以{a n }是首项为3，公比为3的等比数列，a n ＝3n. (2)a n ＝3n，故b n ＝log 3a n ＝log 33n＝n ，b n a n ＝n 3n ＝n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n，T n ＝1×13＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋…＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n，①13T n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫134＋…＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1.②①－②，得23T n ＝13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1＝13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋11－13－n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1，所以T n ＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫13n.n n n 且公比大于0，b 2＋b 3＝12，b 3＝a 4－2a 1，S 11＝11b 4. (1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)求数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和(n ∈N *)．[解] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q . 由已知b 2＋b 3＝12，得b 1(q ＋q 2)＝12， 而b 1＝2，所以q 2＋q －6＝0. 又因为q >0，解得q ＝2，所以b n ＝2n. 由b 3＝a 4－2a 1，可得3d －a 1＝8① 由S 11＝11b 4，可得a 1＋5d ＝16② 联立①②，解得a 1＝1，d ＝3， 由此可得a n ＝3n －2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2，数列{b n }的通项公式为b n ＝2n. (2)设数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和为T n ，由a 2n ＝6n －2，b 2n －1＝2×4n －1，得a 2n b 2n －1＝(3n －1)×4n ，故 T n ＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n －1)×4n ，①4T n ＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n －4)×4n ＋(3n －1)×4n ＋1，②①－②，得－3T n ＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n －(3n －1)×4n ＋1＝－4n1－4－4－(3n －1)×4n ＋1＝－(3n －2)×4n ＋1－8，得T n ＝3n －23×4n ＋1＋83.所以数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和为3n －23×4n ＋1＋83.1．(2017·全国卷Ⅱ)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，S 4＝10，则∑nk ＝1 1S k＝________.2nn ＋1[设等差数列{a n }的公差为d ，则 由⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a 1＋2d ＝3，S 4＝4a 1＋4×32d ＝10，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1.∴S n ＝n ×1＋n n －2×1＝n n ＋2，1S n ＝2nn ＋＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1. ∴∑nk ＝1 1S k ＝1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2nn ＋1.] 2．(2015·全国卷Ⅰ)S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a n ＞0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．[解] (1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3，① 可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3.②②－①，得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1， 即2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )． 由a n >0，得a n ＋1－a n ＝2.又a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)或a 1＝3.所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n ＝2n ＋1. (2)由a n ＝2n ＋1可知b n ＝1a n a n ＋1＝1n ＋n ＋＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3 ＝nn ＋.。