平方根和立方根题型汇总王英
平方根专项练习60题(有答案)
平方根专项练习60题(有答案)本文档包含了60道关于平方根的专项练题，每道题后附有答案供参考。
第一部分：基础练题1. 计算下列数的平方根：- 16- 25- 36- 49- 642. 下列数中，哪个数的平方根是8？- 64- 81- 100- 121- 1443. 判断下列等式是否正确：- √9 = 3- √16 = 4- √25 = 6- √36 = 6- √49 = 74. 计算下列数的平方根，并将结果四舍五入到最接近的整数：- 19- 37- 55- 73- 915. 计算下列平方根的值，并将结果保留两位小数：- √20- √32- √45- √58- √72第二部分：复杂练题1. 计算下列数的平方根，并将结果保留三位有效数字：- 1000----2. 判断下列等式是否成立：- (√4)^2 = 4- (√9)^2 = 9- (√16)^2 = 16- (√25)^2 = 25- (√36)^2 = 363. 解方程：√(x-7) = 54. 解方程：2√x = 105. 计算下列表达式的值：- √(64 + 36)- √(100 - 25)- √(144 - 9)- √(81 + 16)- √(121 + 25)以上为平方根的专项练题，答案请参考附后，希望对你的研究有所帮助。
答案：1.- √16 = 4- √25 = 5- √36 = 6- √49 = 7- √64 = 82. 643.- 正确- 正确- 错误（正确答案是5）- 正确- 正确4.- 19 ≈ 4- 37 ≈ 6- 55 ≈ 7- 73 ≈ 9- 91 ≈ 105.- √20 ≈ 4.47- √32 ≈ 5.66- √45 ≈ 6.71- √58 ≈ 7.62 - √72 ≈ 8.49。
七年级数学平方根立方根试题
七年级数学平方根立方根试题一、平方根相关试题。
1. 求16的平方根。
- 解析：- 一个正数有两个平方根，它们互为相反数。
- 因为(±4)^2 = 16，所以16的平方根是±4。
2. 若x^2 = 25，求x的值。
- 解析：- 因为x^2 = 25，根据平方根的定义，x是25的平方根。
- 又因为(±5)^2 = 25，所以x = ±5。
3. √(49)的值是多少？- 解析：- √(49)表示49的算术平方根。
- 因为7^2 = 49，所以√(49)=7。
4. 计算√(0.09)。
- 解析：- 因为0.3^2 = 0.09，所以√(0.09)=0.3。
5. 若√(a)=3，求a的值。
- 解析：- 因为√(a)=3，根据算术平方根的定义，a = 3^2 = 9。
6. 求√(frac{1){16}}的值。
- 解析：- 因为((1)/(4))^2=(1)/(16)，所以√(frac{1){16}}=(1)/(4)。
7. 一个正数的平方根是2a - 1和- a+2，求这个正数。
- 解析：- 一个正数的两个平方根互为相反数。
- 所以2a - 1+( - a + 2)=0。
- 化简得2a - 1 - a+2 = 0，即a+1 = 0，解得a=-1。
- 则其中一个平方根为2a - 1 = 2×(-1)-1=-3。
- 所以这个正数为( - 3)^2 = 9。
8. 已知√(x - 1)+√(1 - x)=y + 4，求x，y的值。
- 解析：- 要使√(x - 1)和√(1 - x)有意义，则x - 1≥slant0且1 - x≥slant0。
- 所以x - 1 = 0，即x = 1。
- 当x = 1时，√(x - 1)+√(1 - x)=0，则y+4 = 0，解得y=-4。
9. 比较√(3)与1.7的大小。
- 解析：- 因为(√(3))^2 = 3，1.7^2 = 2.89。
专题02 平方根与立方根四种压轴题全攻略(解析版)
专题02 平方根与立方根四种压轴题全攻略类型一、平方根的非负性例1．如果实数a 、b 满足0a -=，求a b +的平方根．【答案】±2【详解】解：∵实数a 、b 满足0a =，∴a －1=0，b －3=0，∴a =1，b =3，∴a +b =1+3=4，∴a +b 的平方根为±2．故答案为：±2．例2．（2020·互为相反数，则ab=_____．【答案】23【解析】Q 互为相反数31(12)a b \-=--整理得：32a b =则23a b =故答案为：23．【变式训练1】若（2x ﹣5）20，则2x +4y 的平方根是_____．【答案】±2【详解】解：∵（2x ﹣5）20，∴2x ﹣5＝0，4y +1＝0，∴2x ＝5，4y ＝﹣1，∴2x +4y ＝5﹣1＝4，∴2x +4y 的平方根为＝±2，故答案为：±2．【变式训练2】若实数x ，y 满足|x ﹣3|0，则（x ＋y ）2的平方根为_______．【答案】±4【详解】解：根据题意得x ﹣3＝0，y ﹣1＝0，解得：x ＝3，y ＝1，则（x +y ）2＝（3+1）2＝16，所以（x +y ）2的平方根为±4．故填：±4．【变式训练3】已知|2020|a a -=，求22020a -的值．【答案】2022【详解】解：∵20220a -³，∴2022a ³．∴20200a -<，∴原式化简为2020a a -+=，2020=，∴220222020a -=，故220202022a -=．【变式训练4】已知|27|a -与22(36)b -互为相反数，求的平方根．【答案】的平方根为±3．【详解】∵|27|a -与22(36)b -互为相反数，∴|27|a -+22(36)b -=0，∴a =27，b =36，∴=3+6=9，∴的平方根为±3．类型二、探究性规律问题例1． 4.858 1.536≈（ ）A ．﹣485.8B ．﹣48.58C ．﹣153.6D ．﹣1536【答案】A【详解】解：236000是由23.6小数点向右移动4485.8；故选：A ．例2．（2019·全国初二课时练习）(1)已知3=,30=，0.3==____；(2)已知4=,40=，0.4=，则=____；(3)从以上的结果可以看出：被开方数的小数点向左(或右)移动3位，立方根的小数点则向___移动____位；(4)a ==___=____．【答案】（1）300；（2）0.04；（3）左(或右)，1；（4）10a ，10a【解析】解：（13=30=0.3==300；（24=，40=0.4=，则=0.04；（3）从以上的结果可以看出，被开方数的小数点向左（或右）移动3位，立方根的小数点则向左（或右）移动1位；（4a ==10a =10a ，故答案为：（1）300；（2）0.04；（3）左（或右）；1；（4）10a ；10a ．【变式训练1 1.289====462.6=，则x =______；________=_________ 5.981=，则y =_______．【答案】2140000.1463±0.1289-214【详解】解：462.6= 4.626=，∴214000x =，1.463=，∴0.1463±，1.289=，0.1289=-，5.981=0.5981=，∴214y =，故答案为：214000，±0.1463，-0.1289，214．【变式训练2】根据下表回答问题：x 1616.116.216.316.416.516.616.716.82x 256259.21262.44265.69268.96272.25275.56278.89282.24（1）265.69的平方根是______；（2=______=______=______；（3a ，求4a -的立方根．【答案】（1）±16.3；（2）16.2；168，1.61；（2）-4【详解】解：（1）由表格中数据可得：265.69的平方根是：±16.3；故答案为：±16.3；（2=16.2，10=168=´16.1=1.6110=故答案为：16.2；168；1.61（3）<<，∴16＜17，∴a =16，-4a =-64，∴-4a 的立方根为-4．【变式训练3】根据如表回答下列问题x 23.123.223.323.423.523.623.723.823.9x 2533.61538.24542.89547.56552.25556.96561.69566.44571.21（1）566.44的平方根是 ；（2）≈ ；（保留一位小数）（3）满足23.6＜23.7的整数n 有 个．【答案】（1）23.8±；（2）-23.7；（3）5【详解】（1）由表中数据可得：566.44的平方根是：±23.8；故答案为：±23.8；（2）∵23.72＝561.69，≈23.7，∴≈﹣23.7，故答案为：﹣23.7；（3）∵23.62＝556.96，23.72＝561.69，556.96＜n ＜561.69，n=557，558，559，560，561，∴满足23.6＜23.7的整数n 有5个，故答案为：5．类型三、平方根与立方根的综合应用例1．（1）已知21a -的平方根是3±，31a b +-的算术平方根是4，求2+a b 的值；（2）若24a -与31a -是同一个正数的平方根，求a 的值．【答案】(1)9；(2) 1a =或3a =-.【解析】解：(1)∵2a-1的平方根是±3，∴2a-1=9，∴a=5，∵3a+b-1的算术平方根是4，∴3a+b-1=16，∴3×5+b-1=16，∴b=2，∴a+2b=5+2×2=9；(2)分类讨论：①当24a -与31a -不相等时，由一个正数的平方根有两个，它们互为相反数可知：24a -+31a -=0 解得：1a =②当24a -与31a -相等时 24a -=31a - 解得3a =-故答案为：1a =或3a =-.【变式训练1】（1） 一个正数x 的平方根分别是2a -3与5-a ，求a 的值；（2）一个正数x 的平方根是3a 与4a -，求x 的值．【答案】（1）－2；（2）9x =【解析】（1）Q 一个正数x 的平方根分别是2a -3与5-a2350a a \-+-=2a \=-；（2）Q 一个正数x 的平方根是3a 与4a -，340a a \+-=1a \=()239x a \==．【变式训练2】已知2a ﹣1的平方根为±3，3a +b ﹣1的算术平方根为4，求a +2b 的平方根．【答案】±3【解析】解：∵2a ﹣1的平方根为±3，∴2a ﹣1＝9，解得，2a ＝10，a ＝5；∵3a +b ﹣1的算术平方根为4，∴3a +b ﹣1＝16，即15+b ﹣1＝16，解得b ＝2，∴a +2b ＝5+4＝9，∴a +2b 的平方根为：±3．【变式训练3】已知一个数x 的算术平方根为3a x ，+的平方根为()215a ±-，求这个数.x 【答案】441或49【解析】∵x 的平方根是±（2a －15），算术平方根为a +3，∴2a －15= a +3或2a －15= -（a +3），解得：a =18或a =4，∴a +3=21或7，∴这个数为441或49．类型四、平方根与立方根的实际应用例．如图，琦琦想用一块面积为900cm 2的正方形纸片．沿着边的方向裁出一块面积为800cm 2的纸片，使它的长宽之比为5：4，琦琦能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请通过计算说明．【答案】不能．理由见解析【详解】不能．理由如下：30（cm ），设裁出的纸片的长为5acm ，宽为4acm ，则：5a •4a ＝800，解得：a ＝，∴5a ＝＞30，∴不能裁出符合要求的纸片．【变式训练1】如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为9和6，（1）小正方形边长的值在哪两个连续的整数之间？与哪个整数较接近？（直接写结果）（2）求图中阴影部分的面积．（3）若小正方形边长的值的整数部分为x ，小数部分为y ，求（y x 的值．【答案】（1）小正方形的边长在2和3之间；与整数2比较接近；（2）6；（3）4【详解】解：（1）∵小正方形的面积为6，∴，∵4＜6＜9，∴23，∴小正方形的边长在2和3之间；与整数2比较接近．（2）∵3）的矩形面积，∴(36=．（3）∵，∴x＝2，y2，2，＝4.∴原式＝2【变式训练2】教材中的探究：如图，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，用所得到的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此，得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法（数轴的单位长度为1）．（1）阅读理解：图1中大正方形的边长为________，图2中点A表示的数为________；（2）迁移应用：请你参照上面的方法，把5个小正方形按图3位置摆放，并将其进行裁剪，拼成一个大正方形．①请在图3中画出裁剪线，并在图3中画出所拼得的大正方形的示意图．②利用①中的成果，在图4的数轴上分别标出表示数－0.5以及3-的点，并比较它们的大小．【答案】（1（2）①见解析；②见解析，30.5-+<-【详解】解：设正方形边长为a，∵a2=2，∴a=，；（2）解：①裁剪后拼得的大正方形如图所示：②设拼成的大正方形的边长为b ， ∴b 2=5， ∴在数轴上以-3为圆心，以大正方形的边长为半径画弧交数轴的右方与一点M ，则M 表示的数为看图可知，表示-0.5的N 点在M 点的右方，∴比较大小：30.5-<-．【变式训练3】某地气象资料表明，当地雷雨持续的时间t （h ）可以用公式32900=d t 来估计，其中d （km ）是雷雨区域的直径．（1）如果雷雨区域的直径为6km ，那么这场雷雨大约能持续多长时间？（结果精确到0.1h ）（2）如果一场雷雨持续了1h ，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？（结果精确到0.01km ）【答案】（1）9.65km【详解】（1）()60.5h 30t ====»．这场雷雨大约能持续0.5h ．（2）()9.65km d ==»课后作业1．已知a ，b ，c 为三角形的三边，则a c -．【答案】2b【详解】解析：∵a 、b 、c 为三角形的三边，∴a-b-c ＜0，a-c+b ＞0∴()a c a c b 2ba b c -=-+---=2．（1）若一个数的平方根是2a +2和3a ﹣7，求这个数；（2）已知x0=，求x 2+x ﹣3的平方根．【答案】（1）16；（2）±3【详解】（1）由题意可得：2a +2+3a ﹣7＝0a ＝1∵2a +2＝43a ﹣7＝﹣4∴（±4）2＝16∴这个数是16；（2）由题意可得：=，∴x ﹣3＝2x +1，∴x ＝﹣4，∴x 2+x ﹣3＝16﹣4﹣3＝9，∴x 2+x ﹣3的平方根是±3．3()23x y -+互为相反数，求()2x y +的平方根．【答案】53±【解析】【详解】解：()23x y -+互为相反数，()23x y -+=0，∴2x+y =2，x-y =-3，解方程组223x y x y +=ìí-=-î，得1383x y ì=-ïïíï=ïî，∴221825339x y æö+=-+=ç÷èø，∴()2x y +的平方根是53±．4．若实数m 、n满足2(m n 1)0+-+=，求m n -的平方根．【答案】【详解】解：2(1)0m n+-=Q，\12m nn+=ìí=-î，解得32mn=ìí=-î，则=．5．如图甲，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，总体积为3cmV．（1）当魔方体积364cmV=时，求出这个魔方的棱长；（2）①图甲中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分正方形ABCD的边长；②把正方形ABCD放置在数轴上，如图乙所示，使得点A与数1重合，求点D在数轴上表示的数是多少．【答案】（1）魔方的棱长为4cm；（2）①阴影部分正方形ABCD的边长为；②()1=1--【详解】解：（1）当魔方体积V＝64cm3时，（1）∵43＝64，，所以这个魔方的棱长为4cm；（2）①因为魔方的棱长为4cm；所以每个小立方体的棱长为4÷2＝2（cm），所以阴影部分正方形ABCD（cm），S正方形ABCD＝(2＝8（cm2），答：阴影部分正方形ABCD的边长为；②点D到原点的距离为：1，又因为点D在原点的左侧，所以点D所表示的数为()1=1---故答案为：1-。
专题08 平方根、算术平方根和立方根(解析版)
专题08 平方根、算术平方根和立方根【基础内容与方法】±，且互为相反数，其中a称为a的算术平方根；1.非负数a的平方根为a2.如果出现开方开得尽的数，务必先化成有理数，如4要化成2；3.熟记“平方数”和“立方数”.类型一：对平方根、算术平方根和立方根概念的理解1．2±是4的()A．平方根B．算术平方根C．绝对值D．相反数【分析】根据平方根，算术平方根，绝对值，相反数的定义，依次分析各个选项，选出正确的选项即可．【解答】解：.4A的平方根是2±，即A项正确，B的算术平方根是2，即B项错误，.4C的绝对值是4，即C项错误，.4.4D的相反数是4-，即D项错误，故选：A．【点评】本题考查了实数的性质，相反数，绝对值，平方根，算术平方根，正确掌握相反数，绝对值，平方根，算术平方根的定义是解题的关键．2．9的平方根是3±，用下列式子表示正确的是()A．3=±D3=B3=±C．3=【分析】直接利用平方根的定义计算即可．【解答】解：3±的平方是9，∴的平方根是39±．故选：C．【点评】此题主要考查了平方根的定义，要注意：一个非负数的平方根有两个，互为相反数，正值为算术平方根．3．实数的平方根（）A．3B．﹣3C．±3D．±【分析】先将原数化简，然后根据平方根的性质即可求出答案．【解答】解：∵＝3，∴3的平方根是，故选：D．【点评】本题考查平方根的概念，解题的关键是将原数进行化简，本题属于基础题型．4．的算术平方根是（）A．2B．4C．±2D．±4【分析】利用算术平方根定义计算即可得到结果．【解答】解：＝4，4的算术平方根是2，故选：A．【点评】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．5()A8的算术平方根B．23<<C=±D【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：A8的算术平方根，故A正确；B、23，故B正确；C、=C错误；D D正确；故选：C．【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001⋯，等有这样规律的数．6．下列说法错误的是（）A．﹣3是9的平方根B．的平方等于5C．﹣1的平方根是±1D．9的算术平方根是3【分析】根据平方根与算术平方根的定义即可作出判断．【解答】解：A、B、D正确；C、﹣1没有平方根，故选项错误．故选：C．【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．7．下列说法中正确的是（）A．的算术平方根是±4B．12是144的平方根C．的平方根是±5D．a2的算术平方根是a【分析】直接利用算术平方根以及平方根的定义分别分析得出答案．【解答】解：A、＝4，4的算术平方根是2，故此选项错误；B、12是144的平方根，正确；C、＝5，5的平方根是±，故此选项错误；D、a2的算术平方根是|a|，故此选项错误．故选：B．【点评】此题主要考查了算术平方根以及平方根的定义，正确把握相关定义是解题关键．8．下列说法不正确的是（）A．的平方根是±B．﹣9是81的平方根C．0.4的算术平方根是0.2D．＝﹣3【分析】根据立方根与平方根的定义即可求出答案．【解答】解：0.4的算术平方根为，故C错误，故选：C．【点评】本题考查平方根与立方根，解题的关键是正确理解概念，本题属于基础题型．9．下列各式中正确的是（）A．＝±4B．＝﹣9C．＝﹣3D．＝【分析】利用算术平方根和立方根的性质进行计算．【解答】解：A、，即16的算术平方根是4，A错；B、＝﹣3，即﹣27的立方根为﹣3，B错；C、＝3，C错；D、＝，D对．故选：D．【点评】本题考查了算术平方根和立方根的意义，熟练掌握这些定义是关键．10．若2m﹣4与3m﹣1是同一个数的两个不等的平方根，则这个数是（）A．2B．﹣2C．4D．1【分析】根据平方根的性质即可求出答案．【解答】解：由题意可知：2m﹣4+3m﹣1＝0，解得：m＝1，∴2m﹣4＝﹣2所以这个数是4，故选：C．【点评】本题考查平方根，解题的关键是正确理解平方根的定义，本题属于基础题型．11．一个正数x的两个平方根为23a-，则x=．a-和9【分析】根据平方根的性质即可求出答案．【解答】解：由题意可知：2a﹣3+a﹣9＝0，解得：a＝4，∴2a﹣3＝5所以x是25，故填：25．【点评】本题考查平方根，解题的关键是正确理解平方根的定义，本题属于基础题型．12．已知和互为相反数，求的值．【分析】由相反数的定义可得，+＝0，由立方根的性质可得，3y﹣1+1﹣2x＝0，整理式子即可得＝．【解答】解：由题意可得，3y﹣1+1﹣2x＝0，则3y＝2x，所以＝．【点评】此题主要考查了实数的运算，解题关键是由题意得3y﹣1+1﹣2x＝0，然后即可解决问题．类型二：平方根、立方根与被开方数的数量关系1．已知＝1.147，＝2.472，＝0.5325，则的值是（）A．24.72B．53.25C．11.47D．114.7【分析】根据被开方数小数点移动3位，立方根的小数点移动1位解答．【解答】解：＝＝1.147×10＝11.47．故选：C．【点评】本题考查了立方根的应用，要注意被开方数与立方根的小数点的移动变化规律．2．已知＝0.1738，＝1.738，则a的值为（）A．0.528B．0.0528C．0.00528D．0.000528【分析】利用立方根定义计算即可求出值．【解答】解：∵＝0.1738，＝1.738，∴a＝0.00528，故选：C．【点评】此题考查了立方根，熟练掌握立方根定义是解本题的关键．3．如果≈1.333，≈2.872，那么约等于（）A．28.72B．0.2872C．13.33D．0.1333【分析】根据立方根，即可解答．【解答】解：∵≈1.333，∴＝≈1.333×10＝13.33．故选：C．【点评】本题考查了立方根，解决本题的关键是熟记立方根的定义．4．已知≈44.91，≈14.20，则≈（不用计算器）．【分析】直接利用二次根式的性质将原式变形得出答案．【解答】解：∵≈44.91，∴＝＝44.91×0.1＝4.491．故答案为：4.491．【点评】此题主要考查了算术平方根，正确理解题意是解题关键．5．已知＝2.28，＝7.22，则＝．【分析】根据算术平方根，即可解答．【解答】解：＝2.28×0.1＝0.228．故答案为：0.228．【点评】本题考查的是立方根及算术平方根，根据题意把所求式子分解为已知条件的形式是解答此题的关键．。
平方根和立方根专题(比较难)
平方根和立方根专题(比较难) 平方根和立方根知识归纳】1.平方根：1）若$x=a$（$a>0$），那么$a$叫做$x$的算术平方根，记为$\sqrt{x}$。
规定，$\sqrt{1}=1$。
2）一个正数的平方根有2个，它们互为相反数；只有1个平方根，它是本身；负数没有实数平方根。
3）两个公式：a）$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$；b）$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。
2.立方根：1）若$x=a$（$a>0$），那么$a$叫做$x$的算术立方根，记为$\sqrt[3]{x}$。
2）一个正数的立方根有1个，负数有1个立方根。
3）立方根的性质：a）$\sqrt[3]{a^2}=a^{\frac{2}{3}}$；b）$a^3=(\sqrt[3]{a})^3$。
4.已知某数有两个平方根分别是$a+3$与$2a-15$，求这个数。
设这个数为$x$，则有$(a+3)^2=x$，$2a-15$也是$x$的平方根，因此$(2a-15)^2=x$。
解得$a=7$，$x=64$。
5.已知：$2m+2$的平方根是$\pm4$，$3m+n+1$的平方根是$\pm5$，求$m+2n$的值。
由题意可列出方程组：begin{cases}sqrt{2m+2}=4\\sqrt{3m+n+1}=5end{cases}$解得$m=6$，$n=13$，因此$m+2n=32$。
6.已知$a<0$，$b<0$，求$4a^2+12ab+9b^2$的算术平方根。
4a^2+12ab+9b^2=(2a+3b)^2$，因此算术平方根为$|2a+3b|$。
7.甲乙二人计算$a+1-2a+a^2$的值，当$a=3$的时候，得到下面不同的答案：甲的解答：$a+1-2a+a^2=a+(1-a)^2=a+1-a=1$。
乙的解答：$a+1-2a+a^2=a+(a-1)^2=a+a-1=2a-1=5$。
哪一个解答是正确的？错误的解答错在哪里？为什么？乙的解答是正确的。
平方根立方根知识点总结归纳及常见题型
平方根立方根知识点总结归纳及常见题型“平方根”与“立方根”知识点小结一、知识要点1、平方根:⑴、定义:如果x 2=a ,则x 叫做a 的平方根,记作“a ±”(a 称为被开方数)。
⑵、性质:正数的平方根有两个,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根。
⑶、算术平方根:正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根,记作“a ”。
2、立方根:⑴、定义:如果x 3=a ,则x 叫做a 的立方根,记作“3a ”(a 称为被开方数)。
⑵、性质:正数有一个正的立方根;0的立方根是0;负数有一个负的立方根。
3、开平方(开立方):求一个数的平方根(立方根)的运算叫开平方(开立方)。
二、规律总结:1、平方根是其本身的数是0;算术平方根是其本身的数是0和1;立方根是其本身的数是0和±1。
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根,其正的那个是算术平方根;任何一个数都有唯一一个立方根,这个立方根的符号与原数相同。
3、a 本身为非负数,即a ≥0;a 有意义的条件是a ≥0。
4、公式:⑴(a )2=a (a ≥0);⑵3a -=3a -(a 取任何数)。
5、非负数的重要性质:若几个非负数之和等于0,则每一个非负数都为0例1 求下列各数的平方根和算术平方根(1)64;(2)2)3(-; (3)49151; ⑷ 21(3)- 例2 求下列各式的值(1)81±; (2)16-; (3)259; (4)2)4(-.(5)44.1,(6)36-,(7)4925±(8)2)25(-例3、求下列各数的立方根:⑴ 343; ⑵10227-; ⑶ 0.729二、巧用被开方数的非负性求值.当a ≥0时,a 的平方根是±a ,即a 是非负数. 例4、若,622=----y x x 求y x 的立方根.练习:已知,21221+-+-=x x y 求y x 的值.三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.当a ≥0时,a 的平方根是±a ,而.0)()(=-++a a例5、已知:一个正数的平方根是2a-1与2-a ,求a 的平方的相反数的立方根.练习:若32+a 和12-a 是数m 的平方根,求m 的值.四、巧解方程例6、解方程(1)(x+1)2=36 (2)27(x+1)3=64五、巧用算术平方根的最小值求值.0≥a ,即a=0时其值最小,换句话说a 的最小值是零.例4、已知:y=)1(32++-b a ,当 a 、b 取不同的值时,y 也有不同的值.当y 最小时,求b a 的非算术平方根.练习①已知233(2)0x y z -+-++=,求xyz 的值。
专题03 平方根与立方根章节6种题型梳理
专题03 平方根与立方根6种题型梳理基础知识点知识点1-1 算术平方根的概念1）算术平方根概念：一个正数的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 叫作a 的算术平方根。
其中，a 叫作被开方数，规定0的算术平方根为0。
记作√a =x 。
注：①“”表示的是算术平方根（与后面的平方根注意区分）②a ≥0，x ≥0。
负数没有算术平方根（因为x 2≥0） 2）常见算术平方根表：知识点1-2 平方根1）平方根的概念：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫作a 的平方根或者二次方根。
求一个数a 的平方根的运算，叫作开平方。
注：①“”表示算数平方根的意思，平方根表示为“±”②正数的平方根有两个，它们互为相反数。
且正数根即为算术平方根； ③0的平方根和算术平方根都为0；④负数没有平方根和算术平方根。
重难点题型题型1 运用平方根和算术平方根的概念解题 解题技巧：平方根与算术平方根的区别于联系：A3 B ．12-是14的平方根 C ．带根号的数不一定是无理数 D ．a 2的算术平方根是a 【答案】D【解析】±3，故A 正确；211()24-=，则12-是14的平方根，故B 正确；2=是有理数，则带根号的数不一定是无理数，故C 正确；∵a 2的算术平方根是|a|，∴当a≥0，算术平方根为a ，当a ＜0时，算术平方是﹣a ， 故a 2的算术平方根是a 不正确．故D 不一定正确；故选：D ．2．（2019·河南洛宁初二期中）算术平方根和立方根都等于本身的数有_________．【解析】1的算术平方根是1，立方根是1，0的算术平方根和立方根都是0，所以算术平方根和立方根都等于本身的数有0和1.3．（2019·全国初二课时练习）填空：(1)1的平方根为____，立方根为_____，算术平方根为_____；(2) 27的立方根是____；(3)___；(4)____．【解析】解：（1）1的平方根为1=±1=，算术平方根为1=，故答案为：±1，1，1；（2）273=，故答案为：3；（3）8=-2=-，故答案为：2-；（44==的平方根为2=±，故答案为：±2． 4．（2019·全国初二课时练习）下列说法中，正确的个数是( )①512的立方根是8，记做8=；②49的平方根是－7；③8是16的算术平方根；④ ±2；⑤如果一个数有立方根，那么它一定有平方根． A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】解：①512的立方根是8，记做35128=，正确；②不正确，49的平方根是±7；③不正确，16的算术平方根是4±2，正确；⑤不正确，如－8的立方根，是－2，但－8没有平方根．综上所述，正确的有①④．故选：B ．A ±6B ±2C ．|﹣8|的立方根是﹣2D 4【解析】解：A 6=，6的平方根是，故该选项错误；B 4=，4的平方根是±2，故该选项正确；C 、|−8|＝8，8的立方根2，故该选项错误；D 4=，4的算术平方根是2，故该选项错误，故选：B ．6．（2020·河南省初二期中）按如图所示的程序计算：若开始输入的值为64，输出的值是_______．【解析】82，2．题型2利用平方根和立方根解方程解题技巧：（1）先将方程化简为（x +a ）2=ℎ的形式，移项将系数化为1；然后直接开方即可。
平方根和立方根知识点总结及练习汇编
【基础知识巩固】一、平方根、算数平方根和立方根1、平方根（1）平方根的定义：如果一个数x 的平方等于a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根．即：如果a x =2，那么x 叫做a 的平方根．（2）开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。
（3）平方与开平方互为逆运算：±3的平方等于9，9的平方根是±3（4）一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果；一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算（5）符号：正数a 的正的平方根可用a 表示，a 也是a 的算术平方根；正数a 的负的平方根可用-a 表示．（6）a x =2 <—> a x ±=a 是x 的平方 x 的平方是ax 是a 的平方根 a 的平方根是x2、算术平方根（1）算术平方根的定义： 一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根．a 的算术平方根记为a ，读作“根号a”，a 叫做被开方数．规定：0的算术平方根是0.也就是，在等式a x =2 (x≥0)中，规定a x =。
（2）a 的结果有两种情况：当a 是完全平方数时，a 是一个有限数；当a 不是一个完全平方数时，a 是一个无限不循环小数。
（3）当被开方数扩大时，它的算术平方根也扩大；当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。
一般来说，被开放数扩大（或缩小）a 倍，算术平方根扩大（或缩小）a 倍，例如=5，=50。
（4）夹值法及估计一个（无理）数的大小（5）a x =2 (x≥0) <—> a x =a 是x 的平方 x 的平方是ax 是a 的算术平方根 a 的算术平方根是x（6）正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
a （a ≥0） 0≥a==a a 2 ；注意a 的双重非负性：-a （a <0） a ≥0（7）平方根和算术平方根两者既有区别又有联系：区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。
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平方根与立方根题型补充练习
王 英
【知识归纳】
（1）若x 2=a （a ＞0），那么a 叫做x 的 ， 我们把 称为 算术平方根,记为 .
（2）一个 的平方根有2个，它们互为 ； 只有1个平方根，它是0本身; 没有平方根.
（3）每一个实数都 且只有 个立方根，且它们的符号 .
（4）公式：（a ）2＝ （ ）； =2a ； =33a ； =33)(a . 若033=+b a ，则 ； 若0=+b a ，则 .
练习 1.16的算术平方根是_______，平方根是_______.
2.若x 2＝16，则5－x 的算术平方根是 .
3.3664-的平方根是 ，算术平方根是 .
4.若4a ＋1的平方根是±5，则a 2的算术平方根是 .
5.已知一个表面积为12平方厘米的正方体，则这个正方体的棱长为___________.
6.设2-a 是一个数的算术平方根，则a 的取值范围是___________________.
7.若,80.423≈17.15230≈，则0023.0的值约为________________.
8.若712.153≈，643.3503≈，835.75003≈，则≈305.0 ，≈35000 .
9.若__________
)0(的平方根是的一个平方根，则是b b b a >. 10.若=2a 4，则a = .若x 的平方根是4，则x = .
11.57在两个连续的整数之间，这两个整数是 .
12.7的整数部分是 ，小数部分是 ，138-的整数部分是 ，小数部分是 .
13. 如果22a a b +=--，且3b a m =+，则m 是 的算术平方根 .
14.一个正整数的算术平方根是a ，则和这个正整数相邻的上一个整数的平方根是 .
15.如果a a -=-5)5(2，则a 的取值范围是 .
16.若3--x 有意义，则x 的取值范围是 .能使2)3(--x 有意义的实数x 的值有 个.
17.若125+b 和31-a 都是5的立方根，则a =_________，b =_________.
18.如果x 为正整数，则x -47为整数，则x -47的最大值为___ ___，此时x 的值为___ ___.
19.实数323，11，2的大小关系是___ ___.
20.使a 88为整数的最小正整数的a 的值是___ ___.
21.计算 (1) 327412
36++-； (2) 332027.027351)32(---+- .
22.求下列各式中的x 的值.
(1) 04)2(22=--x (2) 64)12(273=-x
23.已知x 、y 为实数，且499+---=
x x y ．求y x +的值．
24.已知实数,,a b c 满足
2112()022
a b b c c -+++-=，求()a b c +的值
25.已知,,a b c 实数在数轴上的对应点如图所示，化简22()a a b c a b c --+-+-
26.若x x x -=-+-99999100，求2899+x 的值.
27.已知某数有两个平方根分别是a +3与2a －15，求这个数.
28.已知3a -22和2a -3都是m 的平方根，试求m 的值.
29.已知x 是10 的整数部分，y 是10 的小数部分，求 110x y --（）的平方根.
30.已知120a ab -+-=， 求
)
1998)(1998(1)2)(2(1)1)(1(11++++++++++b a b a b a ab 的值.
a b c
31.用长3cm 、宽2．5cm 的邮票30枚不重不漏地拼成一个正方形，这个正方形的边长是多少？
32.如图，某计算装置有一数据输入口A 和一运算结果的输出口B ，下表是小明输入的一些数据和这些数据经该装置计算后输出的相应结果：按照这个计算装置的计算规律，若输出的数是101，则输入的数是 .
33.细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题.
()2112=+ 2
11=S ()322= 2
22=S ()432
= 233=S …… ……
（1）请用含有n （n 是正整数）的等式表示上述变化规律． （2）推算出10OA 的长．
（3）求出210
232221S S S S ++++ 的值．
34.学习了有关平方根的知识后，我们知道负数没有平方根.但如果我们假设存在一个数i ，使 2
1i =-，那么22()1i i -==-，因此-1就有两个平方根i 和-i,进一步猜想：222(2)(2)4i i ±=±=-，所以-4的平方根是2i ±；因为222(3)(3)9i i ±=±=-，所以-9的平方根是3i ±，根据以上信息解答下列问题：
（1）求16-，25-的平方根； （2）求345678,,,,,i i i i i i
…的值，你发现有什么规律？请用式子表示.
A
1 2 3 4 5
B 2 5 10 17 26。