金卷：河北省石家庄市2017届高三第一次模拟考试(A)文数(解析版)

河北省石家庄市2017届高三第一次模拟考试（A ）文数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}|05A x x =≤≤,{}*|12B x N x =∈-≤,则A B = ( ) A ．{}|13x x ≤≤ B ．{}|03x x ≤≤C ．{}1,2,3D ． {}0,1,2,3【答案】C 【解析】试题分析：因为{*|3}{1,2,3}B x N x =∈≤=，所以{1,2,3}A B = ，故选C ． 考点：集合的交集运算． 2.设1sin()3πθ-=,则cos 2θ=( )A ．B ．79C ．D ．79-【答案】B 【解析】试题分析：因为{*|3}{1,2,3}B x N x =∈≤=，所以{1,2,3}A B = ，故选C ． 考点：1、诱导公式；2、倍角公式 3. 若z 是复数,121iz i-=+,则z z ⋅=( )A B C ．52D ．1【答案】C考点：复数的运算．【方法点睛】复数代数形式运算问题的解题策略：(1)复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可；(2)复数的除法运算关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式．4.下列说法错误的是( )A ．回归直线过样本点的中心(,)x yB ．两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于1C ．在回归直线方程 0.20.8y x =+中,当解释变量x 每增加1个单位时,预报变量 y 平均增加0.2个单位D ．对分类变量X 与Y ,随机变量2K 的观测值k 越大,则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越小 【答案】D 【解析】试题分析：根据相关定义分析知A 、B 、C 正确；C 中对分类变量X 与Y 的随机变量2K 的观测值k 来说，k 越大，“X 与Y 有关系”的招把握程度越大，故C 不正确，故选D ． 考点：命题真假的判断．5.若定义在R 上的函数()f x 当且仅当存在有限个非零自变量x ，使得()()f x f x -=，则称()f x 为类偶函数，则下列函数中为类偶函数的是（ ） A ．()cos f x x = B ．()sin f x x = C ．2()2f x x x =- D ．3()2f x x x =-【答案】D考点：1、新定义；2、方程的解6.已知三个向量a ，b ，c 共面，且均为单位向量，0a b ⋅= ，则||a b c +-的取值范围是（ ）A ．1⎤-⎦B ．⎡⎣C ．1,1⎤-⎦D ．【答案】A 【解析】试题分析：因为0a b ⋅= ，所以222||22a b a a b b +=+⋅+= ，所以||a b += 2||a b c +- ＝22222()a b c a b a b c +++⋅-+⋅ ＝32()a b c -+⋅ ，则当c 与()a b + 同向时()a b c +⋅ 最大，2||a b c +- 最小，此时()||||cos 0a b c a b c +⋅=+︒= 2||3a b c +-=- min ||a b c +- 1-；当c 与()a b + 反向时()a b c +⋅ 最小，2||a b c +- 最大，此时()a b c +⋅ ＝||||cos a b c +π=，2||3a b c +-=+ max ||1a b c +-=+ ，所以||a b c +-的取值范围为1]-，故选A ．考点：1、向量数量积的性质及其运算；2、向量的模．7.某几何体的三视图如图所示（在如图的网格线中，每个小正方形的边长为1），则该几何体的表面积为（ ）A ．48B ．54C ．60D ．64【答案】C 【解析】试题分析：根据三视图还原直观图，如图所示，则该几何体的表面积163642S =⨯+⨯⨯＋11235656022⨯⨯⨯+⨯⨯=，故选C ．考点：空间几何体的三视图及表面积．8.已知函数()f x 的图象关于1x =-对称，且()f x 在(1,)-+∞上单调，若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且5051()()f a f a =，则{}n a 的前100项的和为（ ） A ．200- B ．100-C ．50-D ．0【答案】B 【解析】试题分析：因为函数(2)y f x =-的图象关于1x =对称，则函数()f x 的图象关于1x =-对称，又函数()f x 在(1,)-+∞上单调，数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且5051()()f a f a =，所以50512a a +=-，所以11001005051100()50()1002a a S a a +==+=-，故选B ．考点：1、函数的图象；2、等差数列的性质及前n 项和公式．9.已知抛物线22(0)y px p =>过点1(2A ，其准线与x 轴交于点B ，直线AB 与抛物线的另一个交点为M ，若MB AB λ=，则实数λ为（ ）A ．13B ．12C ．2D ．3【答案】C考点：1、直线与抛物线的位置关系；2、向量的坐标运算．【举一反三】求解与向量交汇的圆锥曲线问题，通常利用点的坐标对已知的或所求的向量式进行转化，然后再利用解析几何的知识求解．10.已知x ，y 满足约束条件20,220,220,x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩且2b x y =--，当b 取得最大值时，直线20x y b ++=被圆22(1)(2)25x y -+-=截得的弦长为（ ）A ．10 B．C．D．【答案】B 【解析】试题分析：作出不等式组表示的平面区域如图所示，由图知，当目标函数2b x y =--经过点(22)A --时取得最大值，即max 2(2)(2)6b =-⨯---=，所以6b ≥．因为圆心(1,2)到直线20x y b ++=的距离d ==L ==，所以当6b =时，L取得最大值B ．考点：1、简单的线性规划问题；2、直线与圆的位置关系．11.祖暅是南北朝时代的伟大科学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等．现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖出一个圆锥所得的几何体；图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为（ ）A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④【答案】C 【解析】试题分析：设截面与底面的距离为h ，则①中截面内圆半径为h ，则截面圆环的面积为22()R h π-；②中截面圆的半径为R h -，则截面圆的面积为2()R h π-；③中截面圆的半径为2hR -，则截面圆的面积为2()2hR π-；，则截面圆的面积为22()R h π-，所以①④中截面的面积相等，故选C ．考点：1、数学文化；2、空间几何体的体积．【举一反三】处理球的截面问题，主要利用截面圆的半径r ，球的半径R ，球心到截面距离为d 三者之间的勾股关系，即222d R r =-．12.已知函数()xe f x kx x=-（e 为自然对数的底数）有且只有一个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(0,2)B ．2(0,)4eC ．(0,)eD ．(0,)+∞【答案】B考点：1、函数的零点；2、函数图象的应用；3、利用导数研究函数的单调性．【技巧点拨】函数图象的应用常与函数零点、方程有关，一般为讨论函数()f x 零点（方程()0f x =的根）的个数或由零点(根)的个数求参数取值（范围），，此时题中涉及的函数()f x 的图象一般不易直接画出，但可将其转化为与()f x 有一定关系的函数()F x 和()G x 的图象问题，且()F x 与()G x 的图象易得．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知命题p ：n N ∀∈，22n n <，则p ⌝为 ． 【答案】0n N ∃∈，0202nn ≥ 【解析】试题分析：由全称命题的否定为特称命题，得p ⌝为0200,2nn N n ∃∈≥．考点：全称命题的否定．【注意事项】求解特称命题或全称命题的否定，千万别忽视了改变量词；另外，要注意一些量词的否定的书写方法，如：“都是”的否定为“不都是”，别弄成“都不是．14.程序框图如图所示，若输入1S =，1k =，则输出的S 为 ．【答案】57 【解析】试题分析：第一次循环，得2,4k S ==；第二次循环，得3,11k S ==；第三次循环，得4,26k S ==；第四次循环，得5,57k S ==，不满足循环条件，退出循环，输出57S =． 考点：程序框图．15.已知1F 、2F 分别为双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，点P 为双曲线右支上一点，M为12PF F ∆的内心，满足1212MPF MPF MF F S S S λ∆∆∆=+，若该双曲线的离心率为3，则λ= （注：1MPF S ∆、2MPF S ∆、12MF F S ∆分别为1MPF ∆、2MPF ∆、12MF F ∆的面积）． 【答案】13试题分析：设12PF F ∆内切圆的半径为r ，则由题意，有1211||||22PF r PF r ⨯⨯=⨯⨯＋121||2F F r λ⨯⨯⨯，即1212||||||2PF PF F F c λλ-==⋅，又由双曲线的定义知12||||2PF PF a -=，所以22a c λ=⋅，即113a c e λ===． 考点：双曲线的定义及几何性质．【易错点睛】不能根据三角形的内心特点，把各面积之间的关系转化为大三角形边长之间的关系，从而利用双曲线的定义建立起双曲线参数,,a b c 的等量关系，进而根据离心率求解参数．16.已知等比数列{}n b 满足1132n n n a a -++=⋅，*n N ∈.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若不等式2n n S ka >-对一切*n N ∈恒成立，则实数k 的取值范围为 ．【答案】(,2]-∞考点：1、等比数列的通项公式及前n 和公式；2、不等式恒成立问题．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin sin sin C a bA B a c+=--. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）点D 满足2BD BC =，且线段3AD =，求2a c +的最大值.【答案】（Ⅰ）3B π=；（Ⅱ）6．【解析】试题分析：（Ⅰ）首先利用正弦定理将已知等式中的角化为边，由此得到,,a b c 间的关系，然后由余弦定理求得cos B ，从而求角B 的大小；（Ⅱ）首先利用余弦定理得到,a c 间的关系，然后利用基本不等式即可求得最大值． 试题解析：（Ⅰ）∵sin sin sin C a b A B a c +=--，由正弦定理得c a ba b a c+=--， ∴()()()c a c a b a b -=+-， 即222a c b ac +-=，又∵2222cos a c b ac B +-=， ∴1cos 2B =， ∵(0,)B π∈，∴3B π=．（Ⅱ）在ABC ∆中由余弦定理知：222(2)22cos 603c a a c +-⋅⋅⋅︒=， ∴2(2)932a c ac +-=⋅，∵ 222()2a c ac +≤， ∴223(2)9(2)4a c a c +-≤+，即2(2)36a c +≤，当且仅当2a c =，即32a =，3c =时取等号，所以2a c +的最大值为6．考点：1、正弦定理与余弦定理；2、基本不等式．18.在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DBA ∠=︒，30SAD ∠=︒，AD SD ==，4BA BS ==.（Ⅰ）证明：BD ⊥平面SAD ； （Ⅱ）求点C 到平面SAB 的距离．【答案】（Ⅰ）见解析；． 【解析】试题分析：（Ⅰ）首先利用正弦定理求得sin ADB ∠，由此可推出AD BD ⊥，然后利用勾股定理推出SD BD ⊥，从而使问题得证；（Ⅱ）利用等积法将问题转化为B SAD D SAB V V --=求解即可．试题解析：（Ⅰ）证明：在ABD ∆中，sin sin AB ADADB DBA=∠∠，由已知60DBA ∠=︒，AD =4BA =， 解得sin 1ADB ∠=，所以90ADB ∠=︒，即AD BD ⊥，可求得2BD =． 在SBD ∆中，∵SD =4BS =,2BD =, ∴222DB SD BS +=,∴SD BD ⊥,∵BD ⊄平面SAD ,SD AD D = ,∴BD ⊥平面SAD ．（Ⅱ）由题意可知，//CD 平面SAB ，则C 到面SAB 的距离等于D 到面SAB 的距离， 在SAD ∆中，易求6SA =，1sin1202SAD S ∆=⨯︒=，且162SAB S ∆=⨯=BD ⊥面SAD ，则B SAD D SAB V V --=，即11233h ⨯=⨯，则h =，即点C 到平面ABF 的距离为h =考点：1、面垂直的判定定理；2、点到平面的距离；3、棱锥的体积．【思路点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型，（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．19.某港口有一个泊位，现统计了某月100艘轮船在该泊位停靠的时间（单位：小时），如果停靠时间不足半小时按半小时计时，超过半小时不足1小时按1小时计时，以此类推，统计结果如表：（Ⅱ）假定某天只有甲、乙两艘轮船需要在该泊位停靠a 小时，且在一昼夜的时间段中随机到达，求这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率． 【答案】（Ⅰ）4；（Ⅱ）1136． 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据平均值的定义求解即可；（Ⅱ）设甲船到达的时间为x ，乙船到达的时间为y ，然后根据题意列出,x y 满足的条件不等式组，从而根据几何概型概率问题求解． 试题解析：（Ⅰ） 2.512312 3.517420 4.515513 5.58634100a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==．（Ⅱ）设甲船到达的时间为x ，乙船到达的时间为y ，则024,024,x y <<⎧⎨<<⎩若这两艘轮船在停靠该泊位时至少有一艘船需要等待，则||4y x -<， 所以必须等待的概率为22201112436P =-=． 答：这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率为1136．考点：1、平均值；2、几何概型．20.已知椭圆C ：2212x y +=的左顶点为A ，右焦点为F ，O 为原点，M ，N 是y 轴上的两个动点，且MF NF ⊥，直线AM 和AN 分别与椭圆C 交于E ，D 两点．（Ⅰ）求MFN ∆的面积的最小值；（Ⅱ）证明：E ，O ，D 三点共线.【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）设(0,)M m ，(0,)N n ，然后根据MF NF ⊥求得mn 的值，从而得到AMFN S 的表达式，从而利用基本不等式求出最小值，；（Ⅱ）首先设出直线AM 的方程，然后联立椭圆方程，利用韦达定理得到点,E D 坐标间的关系，从而使问题得证．试题解析：（Ⅰ）设(0,)M m ，(0,)N n ，∵MF NF ⊥，可得1mn =-，11||||||22AMFN S AF MN MN ==， ∵222||||||2||||MN MF NF MF NF =+≥⋅，当且仅当||||MF NF =时等号成立．∴min ||2MN =， ∴min 1()||12MFN S MN ==， ∴四边形AMFN 的面积的最小值为1．（Ⅱ）∵(A ，(0,)M m ，∴直线AM的方程为y x m =+，由22,22,y x m x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩得2222(1)2(1)0m x x m +++-=，由222(1)1E m x m -=+，得E x =同理可得D x =， ∵1m n ⋅=-，∵D x ==② 故由①②可知：E D x x =-，代入椭圆方程可得22E D y y =∵MF NF ⊥，故M ，N 分别在x 轴两侧，E D y y =-， ∴E D E Dy y x x =，∴E ，O ，D 三点共线．考点：1、直线与椭圆的位置关系；2、基本不等式．【方法点睛】解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法．21.已知函数21()ln 2f x x x a x =-+，a R ∈. （Ⅰ）若函数()f x 为定义域上的单调函数，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）当209a <<时，函数()f x 的两个极值点为1x ，2x ，且12x x <.证明：12()51ln 3123f x x >--. 【答案】（Ⅰ）14a ≥；（Ⅱ）见解析． 【解析】试题分析：（Ⅰ）首先求得函数的定义域与导函数，然后结合判别式判断导函数的符号，得到函数的单调性，从而求得a 的取值范围；（Ⅱ）首先将问题转化为20x x a -+=有两个不等的实根1x ，2x ，由此得到a 的范围，从而得到1x 的范围，然后根据1221()()f x f x x x -的表达式构造新函数，由此通过求导研究新函数的单调性使问题得证．试题解析：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞． 由题意'()1a f x x x=-+2x x a x -+=，0x >，14a ∆=-. ①若140a ∆=-≤，即14a ≥，则20x x a -+≥恒成立，则()f x 在(0,)+∞上为单调减函数； ②若140a ∆=->，即14a <，方程20x x a -+=的两个根为1x =，2x =，当21(,)2x x ∈时，'()0f x <，所以函数()f x 单调递减，当2(,)x x ∈+∞时，'()0f x >，所以函数()f x 单调递增，不符合题意．综上，若函数()f x 为定义域上的单调函数，则实数a 的取值范围为14a ≥. （Ⅱ）因为函数()f x 有两个极值点，所以'()0f x =在0x >上有两个不等的实根，即20x x a -+=有两个不等的实根1x ，2x ，可得14a <，且12121,x x x x a+=⎧⎨⋅=⎩， 因为2(0,)9a ∈，则1120(1)9x x <-<，可得11(0,)3x ∈. 2211111121122211ln ln ()22x x a x x x x x x f x x x x -+-+==21111112ln 1x x x x x -=+-，11(0,)3x ∈. 令212()ln 1x x g x x x x -=+-，212()1x x h x x-=-，()ln m x x x =， ∵211'()02(1)2h x x =--<-， 又'()1ln m x x =+，1(0,)x e ∈时，'()0m x <， 而113e <，故'()0m x <在1(0,)3x ∈上恒成立， 所以'()()()0g x h x m x =+<在1(0,)3x ∈上恒成立， 即212()ln 1x x g x x x x -=+-在1(0,)3x ∈上单调递减， 所以151()()ln 33123g x g >=--，得证． 考点：1、导数研究函数的单调性；2、函数极值与导数的关系请从下面所给的22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系，将曲线1C 上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的12，得到曲线2C ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，1C 的极坐标方程为2ρ=．（Ⅰ）求曲线2C 的参数方程；（Ⅱ）过原点O 且关于y 轴对称的两条直线1l 与2l 分别交曲线2C 于A 、C 和B 、D ，且点A 在第一象限，当四边形ABCD 的周长最大时，求直线1l 的普通方程．【答案】（Ⅰ）2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩；（Ⅱ）14y x =． 【解析】试题分析：（Ⅰ）首先求得2C 的普通方程，由此可求得2C 的参数方程；（Ⅱ）设四边形ABCD 的周长为l ，点(2cos ,sin )A θθ，然后得到l 与θ的关系式，从而利用辅助角公式求得点的直角坐标点，从而求得1l 的普通方程．考点：1、极坐标方程与参数方程间的互化；2、辅助角的应用．【易错点睛】将曲线的参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数，此时要注意其中的,x y (它们都是参数的函数)的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|24|||f x x x a =++-．（Ⅰ）当2a <-时，()f x 的最小值为1，求实数a 的值；（Ⅱ）当()|4|f x x a =++时，求x 的取值范围．【答案】（Ⅰ）3a =-；（Ⅱ）当2a <-时， {}|2x a x ≤≤-；当2a =-时，{}2-；当2a >-时， {}|2x x a -≤≤．【解析】试题分析：（Ⅰ）首先利用零点分段法将函数()f x 的解析式写在分段函数，然后求得()f x 的最小值，从而求得实数a 的值；（Ⅱ）首先利用绝对值三角不等式的性质求得函数()f x 的最小值，然后分2a <-、2a =-、2a >-求得x 的取值范围．试题解析：（Ⅰ）当2a <-时，函数34,,()|24|||4,2,34, 2.x a x a f x x x a x a a x x a x -+-<⎧⎪=++-=---≤≤-⎨⎪-+>-⎩可知，当2x =-时，()f x 的最小值为(2)21f a -=--=，解得3a =-．（Ⅱ）因为()|24||||(24)()||4|f x x x a x x a x a =++-≥+--=++，当且仅当(24)()0x x a +-≤时，()|4|f x x a =++成立，所以，当2a <-时，x 的取值范围是{}|2x a x ≤≤-；当2a =-时，x 的取值范围是{}2-；当2a >-时，x 的取值范围是{}|2x x a -≤≤．考点：1、函数的最值；2、绝对值三角不等式的性质．。