高中数学知识点：线性回归方程
高中数学线性回归方程线性回归方程公式详解
高中数学线性回归方程线性回归方程公式详解
线性回归方程是一种用于拟合一组数据的最常见的数学模型，它可以用来预测一个因变量（例如销售额）和一个或多个自变量（例如广告费用）之间的关系。
下面是线性回归方程的公式详解：
假设有n个数据点，每个数据点包含一个因变量y和k个自变量x1,x2,...,xk。
线性回归方程可以表示为：
y = β0 + β1*x1 + β2*x2 + ... + βk*xk + ε
其中，β0, β1, β2, ..., βk是模型的系数，ε是误差项，用来表示实际数据和模型预测之间的差异。
系数β0表示当所有自变量均为0时的截距，而β1, β2, ..., βk 则表示每个自变量对因变量的影响。
当系数为正时，自变量增加时因变量也会增加；而当系数为负时，自变量增加时因变量会减少。
通常，我们使用最小二乘法来估计模型的系数。
最小二乘法就是通过最小化所有数据点与模型预测之间的距离来找到最优的系数。
具体来说，我们可以使用以下公式来计算系数：
β = (X'X)-1 X'y
其中，X是一个n×(k+1)的矩阵，第一列全为1，其余的列为自变量x1,x2,...,xk。
y是一个n×1的向量，每一行对应一个因
变量。
X'表示X的转置，-1表示X的逆矩阵，而β则是一个(k+1)×1的向量，包含所有系数。
当拟合出线性回归方程后，我们可以使用它来预测新的数据点的因变量。
具体来说，我们可以将自变量代入方程中，计算出相应的因变量值。
如果模型的系数是可靠的，我们可以相信这些预测结果是比较准确的。
线性回归方程-高中数学知识点讲解
线性回归方程
1．线性回归方程
【概念】
线性回归是利用数理统计中的回归分析，来确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法之一，运用十分广泛．分析按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析．如果在回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析．如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析．变量的相关关系中最为简单的是线性相关关系，设随机变量与变量之间存在线性相关关系，则由试验数据得到的点将散布在某一直线周围．因此，可以认为关于的回归函数的类型为线性函数．
【实例解析】
例：对于线性回归方程푦=1.5푥+45，푥1∈{1，7，5，13，19}，则푦=
解：푥=1+7+5+13+19
5
=
9，因为回归直线必过样本中心（푥，푦），
所以푦=1.5×9+45=13.5+45=58.5．
故答案为：58.5．
方法就是根据线性回归直线必过样本中心（푥，푦），求出푥，代入即可求푦．这里面可以看出线性规划这类题解题方法比较套路化，需要熟记公式．
【考点点评】
这类题记住公式就可以了，也是高考中一个比较重要的点．
1/ 1。
高中数学：线性回归方程
高中数学：线性回归方程线性回归是利用数理统计中的回归分析来确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法，是变量间的相关关系中最重要的一部分，主要考查概率与统计知识，考察学生的阅读能力、数据处理能力及运算能力，题目难度中等，应用广泛．一线性回归方程公式二规律总结(3)回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法．主要用来解决：①确定特定量之间是否有相关关系，如果有就找出它们之间贴近的数学表达式；②根据一组观察值，预测变量的取值及判断变量取值的变化趋势；③求线性回归方程．线性回归方程的求法1四线性回归方程的应用例2例3例4例5例6推导2个样本点的线性回归方程例7 设有两个点A（x1，y1），B（x2，y2），用最小二乘法推导其线性回归方程并进行分析。
解：由最小二乘法，设，则样本点到该直线的“距离之和”为从而可知：当时，b有最小值。
将代入“距离和”计算式中，视其为关于b的二次函数，再用配方法，可知：此时直线方程为：设AB中点为M，则上述线性回归方程为可以看出，由两个样本点推导的线性回归方程即为过这两点的直线方程。
这和我们的认识是一致的：对两个样本点，最好的拟合直线就是过这两点的直线。
上面我们是用最小二乘法对有两个样本点的线性回归直线方程进行了直接推导，主要是分别对关于a和b的二次函数进行研究，由配方法求其最值及所需条件。
实际上，由线性回归系数计算公式：可得到线性回归方程为设AB中点为M，则上述线性回归方程为。
求回归直线方程例8 在硝酸钠的溶解试验中，测得在不同温度下，溶解于100份水中的硝酸钠份数的数据如下0 4 10 15 21 29 36 51 6866.7 71.0 76.3 80.6 85.7 92.9 99.4 113.6 125.1 描出散点图并求其回归直线方程.解：建立坐标系，绘出散点图如下：由散点图可以看出：两组数据呈线性相关性。
设回归直线方程为：由回归系数计算公式：可求得：b=0.87，a=67.52，从而回归直线方程为：y=0.87x+67.52。
高中数学 2.4 线性回归方程课件 苏教版必修3
的特征． 解析： 由图可知①是一次函数关系，不是相关关系；
②中的所有点在一条直线附近波动，是线性相关的； 栏
目
③中的点杂乱无章，没有什么关系，是不相关的；④
链 接
中的所有点在某条曲线附近波动，是非线性相关的，
即两个变量(biànliàng)具有相关关系的是②④.
答案： ②④
第二十页，共39页。
典例 剖析
规律总结： 散点图直观地描述了两个变量之间有没
有相关关系，由散点图判断相关关系有两种情况，若
栏
所有的点看上去都在一条直线附近波动，则两个变量
目 链
是线性相关的；若所有的点看上去都在某条曲线 接
(qūxiàn)附近波动，则两个变量是非线性相关的，这
两种情况都说明两个变量间具有相关关系．
第二十一页，共39页。
栏 目 链 接
xiǎo)，这种关系称为________． 负相关
3．线性回归方程是________________，其中b＝
_n____________，a＝_______y_^．＝bx＋a
iΣ＝1xiyi－nx y
y－bx
iΣ＝n1xi2－nx2
第六页，共39页。
自主 学习
4．线性回归方程 (jiāodiǎn)________．,
第三十一页，共39页。
典例
剖 析 题型四 用回归直线估计总体
例3高二(2)班学生(xué sheng)每周用于数学学习的
时间x(单位：h)与数学成绩y(单位：分)之间有如下数据：
栏
目
x
2 4
1 5
2 3
1 9
1 6
1 1
2 0
1 6
1 7
1 3
高中数学人教A版必修3课件：2-3-2《线性回归方程》
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
2.3 变量间的相关关系
2.3.2 线性回归方程
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
本课主要学习变量间的相关关系的相关内容，具体 包括线性回归方程的求解。 本课开始回顾了上节课所学变量间的相关关系与散 点图的相关内容，紧接着引入回归直线的定义及特征， 回归直线方程的定义及求法（最小二乘法），并且通过 例题和习题进行讲解。最后通过习题进行加深巩固。
y
500 450 400 350
水稻产量
300 10
(施化肥量)
20
30
40
50
x
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
3、最小二乘法 假设我们已经得到两个具有线性相关的变量的一组数 据（x1，y1），（x2,y2），…（xn,yn）.
n n ( xi x)( yi y ) xi yi nxy i 1 i 1 b n n 2 2 2 ( xi x) xi nx i 1 i 1 a y bx
注意：求回归直线方程的关键是如何用数学的方法来刻画“从整 体上看各点与此直线的距离最小”，即最贴近已知的数据点，最 能代表变量x与y之间的关系.
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
在7块并排、形状大小相同的试验田上进行施化肥量对水稻产 量影响的试验，得到如下表所示的一组数据（单位：kg）：
施化肥量x 水稻产量y 15 330 20 345 25 365 30 405 35 445 40 450 45 455
第四步：写出直线方程.
二倍角的正弦、余弦、 正切公式 解：1、列表
3.1.3
2、代入公式计算
高中数学知识点精讲精析 线性回归分析 (2)
1.3 线性回归分析1．客观事物是相互联系的但实际上更多存在的是一种非因果关系 某某同学的数学成绩与物理成绩，彼此是互相联系的，但不能认为数学是“因”，物理是“果”，或者反过来说 “果”，而真正的“因”是学生的理科学习能力和努力程度 函数关系存在着一种确定性关系 2．线性相关关系：像能用直线方程ˆybx a =+近似表示的相关关系叫做线性相关关系. 3．线性回归方程：一般地,设有n 个观察数据如下：当,a b 使2221122()()...()n n Q y bx a y bx a y bx a =--+--++--取得最小值时,就称ˆybx a =+为拟合这n 对数据的线性回归方程,该方程所表示的直线称为回归直线. 上述式子展开后，是一个关于,a b 的二次多项式，应用配方法，可求出使Q 为最小值时的,a b 的值．即1112211()()()n n n i i i i i i i i i i i n x y x y b n x x a y bx=====⎧-⎪⎪=⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑∑,（*） ∑==ni i x n x 11, ∑==n i i y n y 111． 下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料，请判断机动车辆数与交通事故数之间是否有线性相关关系，如果具有线性相关关系，求出线性回归方程；如果不具有线性相关关系，说明理由．【解析】在直角坐标系中画出数据的散点图，直观判断散点在一条直线附近，故具有线性相关关系．计算相应的数据之和：8888211111031,71.6,137835,9611.7ii i i i i i i i xy x x y ========∑∑∑∑，将它们代入（*）式计算得0.0774, 1.0241b a ≈=-，所以，所求线性回归方程为0.0774 1.0241y x =-．2．有10名同学高一（x ）和高二（y ）的数学成绩如下：⑴画出散点图；⑵求y 对x 的回归方程 【解析】 ⑴如图：⑵ 由已知表格的数据可得，，所以，又可查表中相应与显著性水平0.05和n －2的相关系数的临界值 因为可知,y 与x 具有相关关系. 因为y 与x 具有相关关系，设y=bx+a ，∴71,72.3x y ==101011710,723ii i i xy ====∑∑1010102211151467,50520,52541i ii i i i i x yx y ======∑∑∑10100.7802972i ix y x yr -⋅===∑0.050.632,r =0.05r r >1012110 1.22,14.3210i ii nii x y x yb a y bx xx==-⋅=≈=-≈--∑∑∴所求的回归方程为y=1.22x －14.32．3．下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（ D ） A ．角度和它的余弦值B.正方形边长和面积C ．正ｎ边形的边数和它的内角和 D.4．给出施化肥量对水稻产量影响的试验数据：(1)画出上表的散点图;(2)求出回归直线并且画出图形 【解析】(1)散点图（略）．(2)表中的数据进行具体计算，列成以下表格 故可得到 2573075.43.399,75.430770002≈⨯-=≈⨯-=a b从而得回归直线方程是^4.75257y x =+．(图形略)5．一个工厂在某年里每月产品的总成本y （万元）与该月产量x （万件）之间由如下一组数据： 1）画出散点图；2）检验相关系数r 的显著性水平；3）求月总成本y 与月产量x 之间的回归直线方程.解析：=，==2.8475，=29.808，=99.2081，=54.243 1）画出散点图：2）r==在“相关系数检验的临界值表”查出与显著性水平0.05及自由度12-2=10相应的相关数临界值r0.05=0.576<0.997891, 这说明每月产品的总成本y（万元）与该月产量x（万件）之间存在线性相关关系。
高三线性回归方程知识点
高三线性回归方程知识点线性回归是数学中的一种方法，用于建立一个自变量与因变量之间的关系。
在高三数学中，线性回归方程是一个重要的知识点。
本文将介绍高三线性回归方程的基本概念、推导过程以及应用范围。
一、基本概念1. 线性回归方程线性回归方程，也叫作线性回归模型，表示自变量x和因变量y之间的关系。
它可以用如下的一般形式表示：y = β0 + β1x + ε其中，y表示因变量，x表示自变量，β0和β1表示模型中的参数，ε表示误差项。
2. 参数估计线性回归方程中的参数β0和β1需要通过观测数据进行估计。
常用的方法是最小二乘法，即通过最小化实际观测值和预测值之间的差异，来得到最优的参数估计值。
二、推导过程1. 求解参数通过最小二乘法，可以得到线性回归方程中的参数估计值。
具体推导过程包括以下几个步骤：（1）确定目标函数：将观测值和预测值之间的差异平方和作为目标函数。
（2）对目标函数求偏导：对目标函数分别对β0和β1求偏导，并令偏导数为0。
（3）计算参数估计值：根据求得的偏导数为0的方程组，解出β0和β1的值。
2. 模型拟合度评估在得到参数估计值之后，需要评估线性回归模型的拟合度。
常用的指标包括相关系数R和残差平方和SSE等。
相关系数R可以表示自变量和因变量之间的线性相关程度，取值范围在-1到1之间，越接近1表示拟合度越好。
三、应用范围线性回归方程在实际问题中有广泛的应用，例如经济学、统计学、社会科学等领域。
它可以用来分析自变量和因变量之间的关系，并预测未来的结果。
1. 经济学应用在线性回归模型中，可以将自变量设置为经济指标，例如GDP、通货膨胀率等，将因变量设置为某一经济现象的数值。
通过构建线性回归方程，可以分析不同经济指标对经济现象的影响，为经济决策提供参考依据。
2. 统计学应用线性回归方程是统计学中的一项重要工具。
通过对观测数据的拟合，可以得到参数估计值，并进一步分析自变量和因变量之间的关系。
统计学家可以利用线性回归分析建立统计模型，为实验数据的解释提供更为准确的结论。
北师大版高中数学选择性必修第一册 第七章 §1 一元线性回归
年份-2 015
-4
-2
0
2
4
需求量-257
-21
-11
0
19
29
对处理的数据,设 T=X-2 015,Z=Y-257,容易算得=0,=3.2.
^
(-4)×(-21)+(-2)×(-11)+0×0+2×19+4×29-5×0×3.2
=
260
= =6.5,
40
2
2
3:Q=(y1-bx1-a)2+(y2-bx2-a)2+…+(yn-bxn-a)2.
请同学们分析比较三种模型的特点.
知识点拨
一、直线的拟合
1.如图是关于体重随身高的变化的规律,每个点对应的一对数据(xi,yi),称为
成对数据,这些点构成的图称为散点图.
2.从散点图上可以看出,如果变量之间存在着某种关系,这些点会有一个大
^ ^
线称作 Y 关于 X 的回归直线,a, b是这个线性回归方程的系数.
名师点析1.线性回归系数的求解公式还可以写成如下形式:
n
^
∑ (xi -x)(yi -y)
b = i=1 n
∑ (xi -x)2
^
^
, a = y − b x.
i=1
2.在回归分析中,利用线性回归方程求出的值不一定是真实值,很多时候只
(2)当X=200时,Y=0.72×200+6.24=150.24(微克/立方米).
所以可以预测此时PM2.5的浓度为150.24微克/立方米.
素养形成
方法优化——求线性回归方程的技巧
典例某地粮食需求量逐年上升,部分统计数据如下表:
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高中数学知识点：线性回归方程
线性回归方程是高中数学中的一个重要知识点。
其中，回归直线是指通过散点图中心的一条直线，表示两个变量之间的线性相关关系。
回归直线方程可以通过最小二乘法求得。
具体地，可以设与n个观测点（xi，yi）最接近的直线方程为
y=bx+a，其中a、b是待定系数。
然后，通过计算n个偏差的平方和来求出使Q为最小值时的a、b的值。
最终得到的直线方程即为回归直线方程。
需要注意的是，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义。
因此，在进行线性回归分析时，应先看其散点图是否成线性。
另外，求回归直线方程时，需要仔细谨慎地进行计算，避免因计算产生失误。
回归直线方程在现实生活与生产中有广泛的应用。
这种方程可以将非确定性问题转化为确定性问题，从而使“无序”变得“有序”，并对情况进行估测和补充。
因此，研究回归直线方程后，学生应更加重视其在解决相关实际问题中的应用。
注：原文已经没有格式错误和明显有问题的段落。