2020年高中数学人教A版必修4第1章 三角函数《任意角的三角函数一》 导学案(含答案解析)

1.2.1 任意角的三角函数(一)学习目标1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数.2.借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号.3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同的角的同一三角函数值相等.知识点一任意角的三角函数使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，作PM⊥x 轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r.思考1角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？思考2对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？思考3在思考1中，当取|OP|＝1时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？梳理(1)单位圆在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆.(2)定义在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：①y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y；②x叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x；③yx叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝yx(x≠0).对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的.故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数.知识点二正弦、余弦、正切函数的定义域思考对于任意角α，sin α，cos α，tan α都有意义吗？梳理三角函数的定义域知识点三思考根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？知识点四诱导公式一思考当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的终边有什么特点？它们的三角函数值呢？类型一 三角函数定义的应用命题角度1 已知角α终边上一点坐标求三角函数值 例1 已知θ终边上一点P(x ，3)(x≠0)，且cos θ＝1010x ，求sin θ，tan θ.反思与感悟(1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应地三角函数值.②在α的终边上任选一点P(x ，y)，设P 到原点的距离为r(r>0)，则sin α＝yr ，cos α＝xr.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便. (2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.跟踪训练1 已知角α的终边过点P(－3a ，4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值.命题角度2 已知角α终边所在直线求三角函数值例2 已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋3cos α的值.反思与感悟在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标的(a，b)，则对应角的三角函数值分别为sin α＝ba2＋b2，cos α＝aa2＋b2，tan α＝ba.跟踪训练2 已知角α的终边在直线y＝3x上，求sin α，cos α，tan α的值.类型二 三角函数值符号的判断例3 (1)若α是第二象限角，则点P(sin α，cos α)在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限反思与感悟角的三角函数值的符号由角的终边所在位置确定，解题的关键是准确确定角的终边所在的象限，同时牢记各三角函数值在各象限的符号，记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦. 跟踪训练3(1)已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则α是第 象限角.类型三 诱导公式一的应用 例4 求下列各式的值.(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π6＋cos 12π5·tan 4π.反思与感悟利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0到2π间的三角函数，也可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三角函数，即实现了“负化正，大化小”. 跟踪训练4 求下列各式的值.(1)cos 25π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4； (2)sin 810°＋tan 765°－cos 360°.1.已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α等于( ) A.45 B.35 C.－35 D.－452.cos(－11π6)等于( )A.12B.－12C.32D.－323.若点P(3，y)是角α终边上的一点，且满足y<0，cos α＝35，则tan α等于( )A.－34B.34C.43D.－434.当α为第二象限角时，|sin α|sin α－cos α|cos α|的值是( )A.1B.0C.2D.－25.已知角α的终边上有一点P(24k ，7k)，k≠0，求sin α，cos α，tan α的值.1.正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或比值为函数值的函数.2.角α的三角函数值的符号只与角α所在象限有关，角α所在象限确定，则三角函数值的符号一定确定，规律是“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.3.终边相同的三角函数值一定相等，但两个角的某一个函数值相等，不一定有角的终边相同，更不一定有两角相等.课时作业一、选择题1.sin(－1 380°)的值为( )A.－12B.12C.－32D.322.已知α是第二象限角，P(x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则x 的值为( ) A. 3 B.± 3 C.－ 2 D.－ 3 3.已知sin θ<0，且tan θ<0，则θ为( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角 4.已知角α的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( )A.5π6 B.2π3 C.4π3 D.11π65.已知角α的终边经过点P(3，4t)，且sin(2kπ＋α)＝－35(k∈Z )，则t 等于( )A.－916B.916C.34D.－346.某点从(1，0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1按逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，127.如果点P(sin θ＋cos θ，sin θcos θ)位于第二象限，那么角θ的终边在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 8.若角α的终边在直线y ＝－2x 上，则sin α等于( ) A.±15 B.±55 C.±255 D.±12二、填空题9.tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝ .10.使得lg(cos αtan α)有意义的角α是第 象限角.11.若角α的终边与直线y ＝3x 重合且sin α<0，又P(m ，n)是α终边上一点，且|OP|＝10，则m －n ＝ .12.函数y ＝|sin x|sin x ＋|cos x|cos x －2|sin xcos x|sin xcos x 的值域是 .三、解答题13.化简下列各式：(1)sin 72π＋cos 52π＋cos(－5π)＋tan π4；(2)a 2sin 810°－b 2cos 900°＋2abtan 1 125°.四、探究与拓展14.已知角θ的终边上有一点P(x ，－1)(x≠0)，且tan θ＝－x ， 则sin θ＋cos θ＝ .15.已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义.(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边与单位圆相交于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，m ，求m 的值及sin α的值.参考答案思考1 角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？答案sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx.思考2 对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？答案不会.因为三角函数值是比值，其大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关.思考3 在思考1中，当取|OP|＝1时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？答案sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx.知识点二正弦、余弦、正切函数的定义域思考对于任意角α，sin α，cos α，tan α都有意义吗？答案由三角函数的定义可知，对于任意角α，sin α，cos α都有意义，而当角α的终边在y轴上时，任取一点P，其横坐标x都为0，此时yx无意义，故tan α无意义.思考根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？答案由三角函数定义可知，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx.当α为第一象限角时，y>0， x>0，故sin α>0，cos α>0，tan α>0，同理可得当α在其他象限时三角函数值的符号，如图所示.梳理记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.思考当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的终边有什么特点？它们的三角函数值呢？答案它们的终边重合.由三角函数的定义知，它们的三角函数值相等.例1解由题意知r＝|OP|＝x2＋9，由三角函数定义得cos θ＝xr＝xx2＋9.又∵cos θ＝1010x，∴xx2＋9＝1010x.∵x≠0，∴x＝±1.当x＝1时，P(1，3)，此时sin θ＝312＋32＝31010，tan θ＝31＝3. 当x ＝－1时，P(－1，3)， 此时sin θ＝3(－1)2＋32＝31010，tan θ＝3－1＝－3. 跟踪训练1解 r ＝(－3a )2＋(4a )2＝5|a|.①若a>0，则r ＝5a ，角α在第二象限， sin α＝y r ＝4a 5a ＝45，cos α＝x r ＝－3a 5a ＝－35，∴2sin α＋cos α＝85－35＝1.②若a<0，则r ＝－5a ，角α在第四象限， sin α＝4a －5a ＝－45，cos α＝－3a －5a ＝35， ∴2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1.综上所述，2sin α＋cos α＝±1. 例2解 由题意知，cos α≠0.设角α的终边上任一点为P(k ，－3k)(k≠0)，则 x ＝k ，y ＝－3k ，r ＝ k 2＋(－3k )2＝10|k|. (1)当k>0时，r ＝10k ，α是第四象限角，sin α＝y r ＝－3k 10k ＝－31010，1cos α＝r x ＝10kk ＝10，∴10sin α＋3cos α＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010＋310 ＝－310＋310＝0.(2)当k<0时，r ＝－10k ，α是第二象限角， sin α＝y r ＝－3k －10k ＝31010，1cos α＝r x ＝－10k k ＝－10， ∴10sin α＋3cos α＝10×31010＋3×(－10) ＝310－310＝0.综上所述，10sin α＋3cos α＝0.跟踪训练2解 因为角α的终边在直线y ＝3x 上，所以可设P(a ，3a)(a≠0)为角α终边上任意一点，则r ＝a 2＋(3a )2＝2|a|(a≠0). 若a>0，则α为第一象限角，r ＝2a ， 所以sin α＝3a 2a ＝32，cos α＝a 2a ＝12，tan α＝3a a＝ 3. 若a<0，则α为第三象限角，r ＝－2a ， 所以sin α＝3a －2a ＝－32，cos α＝－a 2a ＝－12，tan α＝3aa＝ 3. 例3答案 D解析 ∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0， ∴点P 在第四象限，故选D. (2)确定下列各三角函数值的符号. ①sin 182°；②cos(－43°)；③tan 7π4.解 ①∵182°是第三象限角， ∴sin 182°是负的，符号是“－”. ②∵－43°是第四象限角，∴cos(－43°)是正的，符号是“＋”. ③∵7π4是第四象限角，∴tan 7π4是负的，符号是“－”.跟踪训练3 答案 二解析 由题意知tan α<0，cos α<0， ∴α是第二象限角. (2)判断下列各式的符号.①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4·tan 5. 解 ①∵145°是第二象限角，∴sin 145°＞0.∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°是第二象限角， ∴cos (－210°)＜0，∴sin 145°cos(－210°)＜0. ②∵π2＜3＜π＜4＜3π2＜5＜2π，∴sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0， ∴sin 3·cos 4·tan 5＞0. 例4解：(1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°) ＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°) ＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30° ＝22×32＋12×12＝64＋14＝1＋64. (2)原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋2π5·tan (4π＋0)＝sin π6＋cos 2π5×0＝12.跟踪训练4解：(1)原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π4＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.(2)原式＝sin(90°＋2×360°)＋tan(45°＋2×360°)－cos 360° ＝sin 90°＋tan 45°－1＝1＋1－1＝1.1.答案 D解析 由题意可知x ＝－4，y ＝3，r ＝5，所以cos α＝x r ＝－45.故选D.2.答案 C 解析 cos(－11π6)＝cos(－2π＋π6)＝cos π6＝32. 3.答案 D 解析 ∵cos α＝332＋y 2＝35，∴32＋y 2＝5，∴y 2＝16， ∵y<0，∴y＝－4，∴tan α＝－43.4.答案 C解析 ∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0. ∴|sin α|sin α－cos α|cos α|＝sin αsin α－cos α－cos α＝2.5.解：当k>0时，令x ＝24k ，y ＝7k ， 则有r ＝(24k )2＋(7k )2＝25k ，∴sin α＝y r ＝725，cos α＝x r ＝2425，tan α＝y x ＝724.当k<0时，令x ＝24k ，y ＝7k ，则有r ＝－25k ，∴sin α＝y r ＝－725，cos α＝x r ＝－2425，tan α＝y x ＝724.课时作业 1.答案 D解析 sin(－1 380°)＝sin(－360°×4＋60°)＝sin 60°＝32. 2.答案 D解析 ∵cos α＝x r ＝x x 2＋5＝24x ，∴x＝0或2(x 2＋5)＝16，∴x＝0或x 2＝3，∴x＝0(∵α是第二象限角，∴舍去)或x ＝3(舍去)或x ＝－ 3.故选D. 3.答案 D 4.答案 D 解析 ∵sin2π3＝32，cos 2π3＝－12.∴角α的终边在第四象限， 且tan α＝cos2π3sin2π3＝－33，∴角α的最小正值为2π－π6＝11π6.5.答案 A解析 sin(2kπ＋α)＝sin α＝－35＜0，则α的终边在第三或第四象限.又点P 的横坐标为正数，所以α是第四象限角，所以t ＜0. 又sin α＝4t9＋16t 2，则4t 9＋16t2＝－35，所以t ＝－916. 6.答案 A解析 由三角函数定义可得Q ⎝⎛⎭⎪⎫cos 2π3，sin 2π3，cos 2π3＝－12，sin 2π3＝32. 7.答案 C解析 由题意知sin θ＋cos θ＜0，且sin θcos θ＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＜0，cos θ＜0，∴θ为第三象限角.8.答案 C9.答案32解析：tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(720°＋30°) ＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋32＝32. 10.答案 一或二解析 要使原式有意义，需cos αtan α>0，即需cos α，tan α同号， 所以α是第一或第二象限角. 11.答案 2解析 ∵y＝3x 且sin α<0，∴点P(m ，n)位于y ＝3x 在第三象限的图象上，且m<0，n<0，n ＝3m. ∴|OP|＝m 2＋n 2＝10|m|＝－10m ＝10，∴m＝－1，n ＝－3，∴m－n ＝2. 12.答案 {－4，0，2}解析 由sin x≠0，cos x≠0知，x 的终边不能落在坐标轴上， 当x 为第一象限角时，sin x>0，cos x>0，sin xcos x>0，y ＝0； 当x 为第二象限角时，sin x>0，cos x<0，sin xcos x<0，y ＝2； 当x 为第三象限角时，sin x<0，cos x<0，sin xcos x>0，y ＝－4； 当x 为第四象限角时，sin x<0，cos x>0，sin xcos x<0，y ＝2. 故函数y ＝|sin x|sin x ＋|cos x|cos x －2|sin xcos x|sin xcos x 的值域为{－4，0，2}.13.解：(1)原式＝sin 32π＋cos π2＋cos π＋1＝－1＋0－1＋1＝－1.(2)原式＝a 2sin 90°－b 2cos 180°＋2abtan(3×360°＋45°) ＝a 2＋b 2＋2abtan 45°＝a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b)2. 14.答案 0或－ 2解析 ∵θ的终边过点P(x ，－1)(x≠0)，∴tan θ＝－1x .又tan θ＝－x ，∴x 2＝1，即x ＝±1. 当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22，因此sin θ＋cos θ＝0； 当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22， 因此sin θ＋cos θ＝－ 2.故sin θ＋cos θ的值为0或－ 2.15.解：(1)∵1|sin α|＝－1sin α，∴sin α＜0.①∵lg(cos α)有意义，∴cos α＞0. ②由①②得角α在第四象限.(2)∵点M(35，m)在单位圆上，∴(35)2＋m 2＝1，解得m ＝±45.又α是第四象限角，∴m＜0，∴m＝－45.由三角函数定义知，sin α＝－45.。