最优化理论与方法
最优化理论与方法
最优化理论与方法
最优化理论与方法是一门涉及在给定约束条件下寻求最佳解的学科。
其应用广泛，可用于解决诸如生产计划、资源分配、网络设计、机器学习等领域中的问题。
最优化问题通常涉及目标函数的最大化或最小化，以及一些约束条件。
最优化理论与方法旨在寻找能够满足约束条件下使目标函数达到极值的解。
最优化问题的解可能是一个点、一条线、一个曲线，甚至可以是一个函数。
最优化方法可以分为两大类：无约束优化方法和有约束优化方法。
无约束优化方法中，最常用的是求解无约束问题的导数为零的点，即寻找目标函数的极值点。
常用的算法包括梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法等。
有约束优化问题相对复杂，求解方法依赖于约束条件的类型。
常见的算法有拉格朗日乘子法、KKT条件、线性规划等。
最优化理论与方法在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在生产计划中，可以使用最优化方法来确定最佳的生产量，以最大化利润或最小化成本。
在资源分配问题中，可以使用最优化方法来确定资源的最佳分配方案，以满足不同的需求。
在机器学习中，最优化方法常用于确定模型的最优参数，以提高模型的准确性和性能。
总之，最优化理论与方法为解决各种实际问题提供了一种有效的数学工具。
通过寻找目标函数的最佳解，可以提高效率、优化资源利用以及加强决策的科学性。
在未来的发展中，最优化
理论与方法将继续发挥重要作用，并在更多领域中得到广泛应用。
数学中的优化理论与最优化方法
数学中的优化理论与最优化方法数学中的优化理论与最优化方法是研究如何找到一个函数的最优解的数学分支。
它在各个领域中都有广泛的应用，如经济学、管理学、工程学等。
本文将介绍优化理论的基本概念和最优化方法的主要类型。
一、优化理论的基本概念1.1 目标函数目标函数是优化问题中的核心概念，它描述了需要优化的量。
例如，在生产计划中，我们可以用目标函数表示利润的最大化或成本的最小化。
数学上，目标函数通常是一个多元函数，输入是决策变量，输出是一个标量。
1.2 约束条件约束条件是对决策变量的附加限制。
在实际问题中，常常存在一些限制条件，如资源的有限性、技术限制等。
这些约束条件用一些等式或不等式来表示，并对决策变量产生限制。
1.3 最优解优化问题的最优解是指能够使目标函数达到最大或最小值的决策变量取值。
根据问题的特点，最优解可能存在于一些离散点或连续域中。
为了找到最优解，我们需要建立数学模型，并应用相应的最优化方法进行求解。
二、最优化方法的主要类型2.1 无约束优化方法无约束优化方法是指在没有任何约束条件下，仅需优化目标函数的最大或最小值。
其中，最简单的方法是使用微积分中的极值判断法，通过求目标函数导数为零的点来得到最优解。
当目标函数是凸函数时，最优解可通过求解一阶导数为零的方程组得到。
2.2 约束优化方法约束优化方法是用于求解带有约束条件的优化问题的方法。
其中，最常用的方法是拉格朗日乘子法。
该方法将约束条件引入到目标函数中，构建一个拉格朗日函数，并通过求解拉格朗日函数的极值来得到最优解。
此外，还有内点法、外点法等方法可以有效处理约束优化问题。
2.3 数值优化方法数值优化方法是使用计算机进行优化求解的方法。
在实际问题中，往往需要处理大规模的优化问题，无法通过解析方法求解。
数值优化方法通过迭代的方式，逐步逼近最优解。
常用的数值优化方法有梯度下降法、拟牛顿法等。
2.4 离散优化方法离散优化方法是用于求解离散变量的优化问题的方法。
最优化理论与方法概述
分类：线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划等
特点：多目标、多约束、多变量、非线性等
应用领域：经济、金融、工程、科学计算等
最优化问题的分类
线性规划问题
整数规划问题
动态规划问题
非线性规划问题
组合优化问题
03
最优化理论的基本概念
函数的方向导数和梯度
牛顿法的基本原理
迭代过程收敛于函数的极小值点或鞍点
牛顿法适用于非线性、非凸函数的最优化问题
牛顿法是一种基于牛顿第二定律的数值优化方法
通过选择一个初始点，并迭代地沿着函数的负梯度方向进行搜索
拟牛顿法的基本原理
拟牛顿法的基本思想
拟牛顿法的迭代过程
拟牛顿法的收敛性分析
拟牛顿法的优缺点比较
05
最优化方法的收敛性和收敛速度
未来发展趋势与展望
最优化方法在深度学习中的应用
最优化方法在深度学习中的未来发展
最优化方法在深度学习中的优势与挑战
最优化方法在深度学习中的应用案例
深度学习中的优化问题
最优化方法在金融工程中的应用
投资组合优化：利用最优化方法确定最优投资组合，降低风险并提高收益
风险管理：通过最优化方法对金融风险进行识别、评估和控制，降低损失
极值点：函数在某点的函数值比其邻域内其他点的函数值都小或都大
最优值点：函数在某点的函数值比其定义域内其他点的函数值都小
最优化理论的基本概念：寻找函数的极值点和最优值点，使函数达到最小或最大值
函数的凸性和凹性
凸函数：对于函数图像上的任意两点，连接它们的线段都在函数图像的下方
凹函数：对于函数图像上的任意两点，连接它们的线段都在函数图像的上方
最优化基础理论与方法分析
最优化基础理论与方法分析在当今的科技与工程领域，最优化问题无处不在。
从资源分配到生产流程优化，从物流路径规划到金融投资策略制定，我们都在追求某种意义上的“最优解”。
那么，什么是最优化？简单来说，就是在一定的约束条件下，找到使目标函数达到最大值或最小值的变量取值。
为了实现这一目标，人们发展出了一系列的最优化基础理论与方法。
最优化问题可以大致分为两类：无约束优化问题和约束优化问题。
无约束优化问题相对简单，只需要在整个变量空间中寻找目标函数的极值点。
而约束优化问题则要复杂得多，因为我们不仅要考虑目标函数的值，还要满足给定的约束条件。
让我们先来看看一些常见的最优化基础理论。
首先是梯度下降法，这是一种求解无约束优化问题的经典方法。
它的基本思想是沿着目标函数的负梯度方向不断迭代，逐步逼近最小值点。
想象一下你在一个山坡上，想要走到山底，你会选择朝着最陡峭的下坡方向前进，这就是梯度下降法的直观理解。
与梯度下降法相对应的是牛顿法。
牛顿法利用了目标函数的二阶导数信息，能够更快地收敛到极值点。
但它的计算复杂度较高，对初始点的选择也比较敏感。
在约束优化问题中，拉格朗日乘子法是一个重要的理论工具。
通过引入拉格朗日乘子，将约束条件融入到目标函数中，从而将约束优化问题转化为无约束优化问题。
除了这些理论，还有一些常见的最优化方法。
比如，线性规划是一种特殊的约束优化问题，其目标函数和约束条件都是线性的。
单纯形法是求解线性规划问题的有效方法，通过不断调整可行解的顶点，找到最优解。
而对于非线性规划问题，常用的方法有惩罚函数法和序列二次规划法等。
惩罚函数法通过对违反约束条件的解施加惩罚，将约束问题转化为一系列无约束问题来求解。
序列二次规划法则是将非线性规划问题在当前点进行线性近似，然后通过求解一系列二次规划子问题来逐步逼近最优解。
在实际应用中，选择合适的最优化方法至关重要。
这需要考虑问题的规模、性质、计算资源等多方面因素。
比如，对于大规模的优化问题，可能需要采用分布式计算或者近似算法来提高计算效率。
最优化理论与方法
最优化理论与方法什么是最优化？最优化是一种以最佳结果为目标的技术。
它的主要任务是寻找最佳的解决方案，以最小的代价来实现目标。
本文将从定义、方法、应用等几个方面来探讨最优化理论与方法。
一、简介最优化是一种研究变量空间中满足限制条件下实现最大和最小化的解决问题的科学。
它是一种数学理论，用于求解多变量最优化问题的数学模型，包括线性规划、非线性规划、动态规划等。
它的思想是：希望能够将一个复杂的解决问题分解成若干简单的子问题，以便更好地求解。
最优化理论是一种科学，它涉及到多重条件下的变量求值，以实现最大化或最小化某个系统的特定性能或目标。
最优化理论可以应用于各种工程领域，如机械、航空、船舶、结构、动力、电力能源、汽车等。
二、原理最优化方法基于一组影响结果的变量，以及它们的限制条件。
主要的最优化方法可以分为精确法和近似法。
精确法求解非线性规划问题，其最终结果非常精确，但求解它的计算代价更高。
而近似法的最终结果仅大致最优，但求解计算代价较低，广泛用于工程优化设计。
最优化方法解决的问题可以分为有约束和无约束两大类。
有约束优化问题指系统内各变量受到某些限制条件的制约。
而无约束优化问题不需要考虑任何限制条件，只要达到优化目标即可。
三、应用最优化方法在工程和科学领域中有着广泛的应用，并且日益增多。
在机械设计领域，可以采用最优化方法优化设计结构的参数和性能，以更好地满足设计要求；在空间控制领域，可以采用最优化方法优化机械系统的控制参数；在机器人规划领域，可以采用最优化方法解决运动规划问题；在多异构系统优化设计领域，可以采用最优化方法综合优化系统的性能等。
最优化的应用不仅仅限于以上领域，还广泛应用于其他领域，如计算机图形学、信号处理、投资组合管理、生物学、医学、金融、科学计算等。
四、结论最优化理论与方法是一种研究变量空间中满足限制条件下实现最大和最小化的解决问题的科学，它的主要目标是寻找最佳的解决方案，以最小的代价来实现目标。
最优化理论与方法
最优化理论与方法最优化理论与方法是数学领域中的一个重要分支，它研究如何找到一个函数的最大值或最小值。
在实际应用中，最优化理论与方法被广泛应用于工程、经济、管理等领域，对于提高效率、降低成本、优化资源分配具有重要意义。
最优化问题的数学模型可以用数学函数来描述，通常包括目标函数和约束条件。
目标函数是需要优化的目标，而约束条件则是限制优化过程的条件。
最优化理论与方法的研究旨在寻找使目标函数取得最优值的变量取值，同时满足约束条件。
最优化问题可以分为线性规划、非线性规划、整数规划等不同类型。
线性规划是寻找线性目标函数在线性约束条件下的最优解，而非线性规划则是针对非线性目标函数和约束条件的最优化问题。
整数规划则是在变量取值受整数限制的条件下进行优化。
在最优化理论与方法中，常用的解法包括梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法、单纯形法等。
这些方法各有特点，适用于不同类型的最优化问题。
梯度下降法是一种迭代算法，通过沿着目标函数梯度的反方向逐步更新变量的取值，以达到最优解。
牛顿法则利用目标函数的二阶导数信息进行迭代，收敛速度较快，但计算代价较高。
拟牛顿法是一种近似牛顿法，通过估计目标函数的Hessian矩阵来进行迭代。
单纯形法则是用于线性规划问题的一种解法，通过不断调整顶点的位置来逼近最优解。
除了上述经典的最优化方法外，近年来，元启发式算法如遗传算法、粒子群算法、模拟退火算法等也得到了广泛应用。
这些算法通过模拟自然界的进化、群体行为等机制来寻找最优解，适用于复杂的非线性、非凸优化问题。
最优化理论与方法的研究不仅在理论上有重要意义，也在实际应用中发挥着重要作用。
在工程领域，最优化方法被应用于设计优化、控制优化、资源分配等问题的求解。
在经济学中，最优化方法被用来优化生产计划、投资组合、市场营销策略等方面。
在管理学中，最优化方法被应用于生产调度、供应链优化、运输路径规划等方面。
总之，最优化理论与方法是一个具有重要理论意义和广泛应用价值的学科领域。
最优化理论与方法
最优化理论与方法最优化是一门跨学科的数学领域，它有助于解决许多与决策有关的问题，它有着广泛的应用，主要用于满足个人和组织的目标。
最优化理论包括最优化模型，最优算法和最优化方法。
最优化模型是一种数学模型，它可以表示一种决策问题。
这些模型通常包含相关变量、目标函数、约束条件和其他等价约束条件。
最优化模型有助于求解某些有效决策，可以用来实现各种目标，例如最小化成本、最大化收益、最小化时间等。
最优化算法是一种算法，可以用来解决最优化问题。
常见的最优化算法包括梯度下降法、迭代尺度法、贪心法、遗传算法和模拟退火算法等。
这些算法通常被用于寻找最佳解决方案，并可以用来优化模型的性能。
最优化方法是最优化中的一种综合应用技术，它主要包括数值法、不确定规划、多目标规划和程序优化等。
该方法旨在优化系统性能，实现最优化目标，并解决复杂的决策问题。
数值法是一种常见的最优化方法，它通过试验得出最优值，以满足目标函数和约束条件。
不确定规划是通过探索不确定性情况下的最优决策，以实现最优目标。
多目标规划通过同时考虑多个优化目标的权衡，实现最优化。
程序优化是根据某种程序的特点，通过改进程序结构和增加有效的计算，实现系统性能的提高。
最优化理论与方法也有助于解决其他复杂的数学问题，例如多元函数求根、函数近似、非线性规划等。
这些理论和方法可以用于确定近似最优解，求解非线性方程组，求解最优化问题和实现系统性能优化等。
总之，最优化理论与方法是一门重要的跨学科学科，对解决决策问题、复杂的数学问题和实现系统优化都有重要的作用。
通过最优化理论与方法，可以优化决策过程，满足个人和组织的目标，从而提高绩效和效率。
最优化理论与方法
最优化理论与方法最优化（Optimization）是经济学、工程学和数学的重要研究课题，也是一门系统性研究和分析决策问题的学科。
它将现实世界中的一般问题转化为一个函数最大化或最小化的数学模型，然后寻找解决问题的最优解。
最优化理论是最优化领域的主要理论基础，它是研究最优的解的学习、分析和解决方案的基础。
最优化理论的主要内容包括最优化模型、解的性质、计算方法等。
最优化理论可以用来分析和解决线性规划、非线性规划等广泛的最优化问题。
最优化方法是将一般最优化问题转换为数学形式，并对其进行求解的方法。
基于给定的最优化模型，最优化方法可以求得最优解，解决决策问题，或者有效地构建更多的结论。
最优化方法的主要内容包括简单随机搜索、梯度方法、随机模拟退火法、免疫优化算法、遗传算法等。
在实际的应用中，最优化理论和方法有着重要的实际意义。
如果没有最优化理论和方法，就不可能在现实世界中做出合理的、有效的决策。
最优化理论和方法是现代信息技术应用的基础，在现代社会中已经成为一门独立的学科，广泛应用于工业制造、决策管理、金融投资领域中，为各类技术问题的求解提供了重要的支持和帮助。
一般来说，最优化理论和方法的基本步骤包括：（1）定义最优化问题的目标函数；（2）给出相应的约束条件；（3）构建最优化模型；（4）使用最优化方法求解模型，获得最优解；（5）评估最优解；（6）根据评估结果检验解的可靠性；（7）根据最优解给出解决方案，满足实际需求。
当前，最优化理论的研究水平越来越高，并且广泛应用于工业制造、决策管理、金融投资等领域，为各类技术问题的求解和解决提供了重要的支持和帮助。
其中，组合优化、离散优化、决策树、支持向量机等新兴技术在最优化理论和方法中发挥着重要作用。
随着计算机技术的发展，算法求解和模型优化技术也有了新的进展，为最优化理论和方法的发展提供了更多的可能性。
总之，最优化理论和方法是现代信息技术应用的基础，是实现最优决策的基石，也是现代社会中重要的、有效的解决问题的方法和工具。
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课程报告题目最优化理论与方法学生姓名学号院系专业二Ｏ一二年十一月十日最优化理论与方法综述最优化方法是近几十年形成的，它主要运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据。
最优化方法的主要研究对象是各种管理问题及其生产经营活动。
最优化方法的目的在于针对所研究的系统，求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案，发挥和提高系统的效能及效益，最终达到系统的最优目标。
实践表明，随着科学技术的日益进步和生产经营的日益发展，最优化方法已成为管理科学的重要理论基础和不可缺少的方法，被人们广泛地应用到公共管理、经济管理、工程建设、国防等各个领域，发挥着越来越重要的作用。
这就是我理解的整个课程的流程。
在这整个学习的过程当中，当然也会遇到很多的问题，不论是从理论上的还是从实际将算法编写出程序来解决一些问题。
下面给出学习该课程的必要性及结合老师讲解以及在作业过程中遇到的问题来阐述自己对该课程的理解。
20世纪40年代以来，由于生产和科学研究突飞猛进地发展，特别是电子计算机日益广泛应用，使最优化问题的研究不仅成为一种迫切需要，而且有了求解的有力工具。
因此最优化理论和算法迅速发展起来，形成一个新的学科。
至今已出现线性规划、整数规划、非线性规划、几何规划、动态规划、随机规划、网络流等许多分文。
最优化理论与算法包括线性规划单纯形方法、对偶理论、灵敏度分析、运输问题、内点算法、非线性规划K-T条件、无约束最优化方法、约束最优化方法、参数线性规划、运输问题、线性规划路径跟踪法、信赖域方法、二次规划路径跟踪法、整数规划和动态规划等内容。
最优化理论所研究的问题是讨论在众多的方案中什么样的方案最优以及怎样找出最优方案。
这类问题普遍存在。
例如，工程设计中怎样选择设计参数，使得设计方案满足设计要求，又能降低成本；资源分配中，怎样分配有限资源，使得分配方案既能满足各方面的基本要求，又能获得好的经济效益；生产评价安排中，选择怎样的计划方案才能提高产值和利润；原料配比问题中，怎样确定各种成分的比例，才能提高质量，降低成本；城建规划中，怎样安排基本单位的合理布局，才能方便群众，有利于城市各行各业的发展；农田规划中，怎样安排各种农作物的合理布局，才能保持高产稳产，发挥地区优势；军事指挥中，怎样确定最佳作战方案，才能有效地消灭敌人，保存自己，有利于战争的全局；在人类活动的各个领域中，诸如此类，不胜枚举。
最优化这一数学分支，正是为这些问题的解决，提供理论基础和求解方法，它是一门应用广泛、实用性强的学科。
一、最优化学习的必要性最优化，在热工控制系统中应用非常广泛。
为了达到最优化目的所提出的各种求解方法。
从数学意义上说，最优化方法是一种求极值的方法，即在一组约束为等式或不等式的条件下，使系统的目标函数达到极值，即最大值或最小值。
从经济意义上说，是在一定的人力、物力和财力资源条件下，使经济效果达到最大，或者在完成规定的生产或经济任务下，使投入的人力、物力和财力等资源为最少。
通过老师的讲解，我们了解不同类型的最优化问题可以有不同的最优化方法，即使同一类型的问题也可有多种最优化方法。
反之,某些最优化方法可适用于不同类型的模型。
最优化问题的求解方法一般可以分成解析法、直接法。
1、直接法当目标函数较为复杂或者不能用变量显函数描述时，无法用解析法求必要条件。
此时可采用直接搜索的方法经过若干次迭代搜索到最优点。
这种方法常常根据经验或通过试验得到所需结果。
对于一维搜索(单变量极值问题)，一维搜索介绍了黄金分割法即为0.618法（前提是存在单峰区间（所以在此时要提出使用进退法来得到该单峰区间））、二分法（效率最高，但是必须求取函数的导数不好求）、抛物线法（不推荐）；对于多维搜索问题(多变量极值问题)。
①黄金分割法是一维搜索方法，只针对一元函数来求解。
黄金分割法的局限性在于要求是单峰函数，所以要先用进退法找到一个函数的其中一个单峰。
步骤就是在区间[a,b]中取点x1=a+0.382(b-a)，x2=a+0.618(b-a)，如果f(x1)>f(x2),说明选取的步长太小，要扩大，令a=x1，x1=x2，再求新的x2;如果f(x1)<=f(x2)，步长选取过大，缩小步长，令b=x2，x2=x1，再求新的x1，循环。
这样做每次可将搜索区间缩小0.382倍或0.618倍，直至缩为最小点。
该算法为收敛速度很快的一维搜索方法。
前提是要先利用进退法选择一个下降的单峰区间（即黄金分割法的单峰搜索区间）。
②进退法用进退法来确定下单峰区间，即黄金分割法的搜索区间。
2、线性规划问题单纯形法对于一般形式的线性规划问题，引入松弛变量或者剩余变量来化为标准型，可以将引入的变量作为初始基变量，该基变量对应的单位阵可以作为一个初始基可行解，然后进行单纯形法求解过程。
如果线性规划是非退化的,则按照进基,离基迭代一次后,目标函数值有所下降.经过有限次迭代之后,一定可以得到一个基可行解,使得其所有判别数非负(得到最优解),或者其有一个判别数是负的,但对应列向量的所有分量非正(线性规划无最优解)。
而对于一般标准型的线性规划问题，约束方程组的系数矩阵中不包含单位阵，从而需要引入人工变量，构造一个单位矩阵，得到初始基可行解的方法。
而利用单纯形法求解问题最关键的环节是初始基可行解的求解，因为单纯形法的迭代过程是在已有一个初始基可行解的前提下进行的，而常用的方法有两种，一是大M法，二是两阶段法。
①大M单纯形法，其中M定义为一个比较大的数，通常比系数矩阵中的系数大一个数量级，与引入的人工变量结合构造辅助线性规划问题，从而也在系数矩阵中构造出了单位阵，对应的变量值作为一组初始基可行解进行单纯形法的迭代运算。
在取得的最优解中人工变量全为零，即M的引入不影响目标函数的最优解。
②对偶单纯形法，单纯形法与对偶单纯形法是对偶的可以互相转换可以简化求解过程，而对偶之间只有最优解是相等的。
单纯形法保证解可行，而对偶单纯形法保证对偶规划解可行。
不同点在于对偶单纯形法的最优性判别是已知线性规划问题的基矩阵B及它所对应的基解的所有的判别数非负（即XB=B-1b>=0）时有最优解。
对偶单纯形法并不是解对偶线性规划问题的单纯形法，而是根据对偶原理求解原线性规划问题的另一种单纯形法。
3、无约束最优化问题解析法只适用于目标函数有明显的解析表达式的情况。
求解方法是：先求出最优的必要条件，得到一组方程或不等式，再求解这组方程或不等式，一般是用求导数的方法求出必要条件，通过必要条件将问题简化，因此也称间接法。
这种方法针对的是无约束最优化，主要考虑下降算法包括最速下降法、newton法、共轭梯度法、拟newton法等。
最速下降法是求梯度的方法中效率最低的方法，它所提供的下降方向只是眼前下降最快的方向，用图形表示是一种锯齿形的路线，收敛速度慢，但是迭代计算量小、算法简单。
它的原理就是沿着负梯度方向就是下降速度最快的方向，主要步骤就是取初值以及允许误差，求取函数的负梯度，若梯度范数小于允许误差，此时得到最优解。
反之，得到此时的xk再用一维搜索求取合适的步长满足最小函数值方程，计算下一个xk+1值，求出梯度，循环计算最小函数值找到最优解。
最速下降法基本思想：最速下降法是应用目标函数的负梯度方向作为每一步迭代的搜索方向，因为每一步都取负梯度方向的最优步长。
使用条件：目标函数在迭代点处必须可微，且导数不为0。
特点：沿负梯度方向寻优的最优梯度法，其搜索路径实际上是成直角的锯齿形前进的，它是在某一点附近的最速下降方向，是一局部性质，开始时步长较大，收敛速度较快，但越接近极小点，步长越小，收敛速度越慢。
Newton 法有很快的收敛速度，但它只是局部收敛的。
所以提出共轭梯度法。
如果在共轭方向法中初始的共轭向量恰好取为初始点X0处的负梯度-g0，而以下各共轭方向Pk 由第k 迭代点Xk 处的负梯度-gk 与已经得到的共轭向量Pk-1的线性组合来确定，那么就构成了一种具体的共轭方向法。
因为每一个共轭向量都是依赖于迭代点处的负梯度而构造出来的，所以称为共轭梯度法。
产生的N 个共轭方向⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==-=+-=-=+++.2,,1,0,,2,,1,0,,2211100n k g g n k p g p g p k k k k k k k ββNewton 法，算法流程如下：(1) 取初始点()1x ，置精度要求ε，置1k =(2) 如果()k f ε∇≤x ，则停止计算（()k x 作为无约束问题的解）；否则求解线性方程组()()2()()k k f f ∇=-∇x d x ，得到()kd (3) 置()()()1k k k +=+xx d ，1k k =+，转(2) 牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一。
约束最优化方法包括：Kuhn-Tucker 条件，既约梯度法及凸单纯行法，罚函数法及乘子法。
罚函数法包括简单罚函数法、内点罚函数法和乘子法。
约束最优化方法：问题 min ()f x..s t ()0g x ≤()0h x =约束集 {}()0,()0S x g x h x =I ≤=共轭梯度法的效果介于最速下降法和newton 法之间，既能克服最速下降法的慢收敛性，又避免了newton 法的计算量大和具有局部收敛性的缺点，因而是比较有效的算法。
而且共轭方向法中的共轭梯度法，由于其存贮量小，可用来求解大规模（n 较大）无约束优化问题。
基本思想：共轭梯度法是对最速下降法进行了修正的一种寻优方法，它是使搜索方向为共轭方向（将负梯度方向旋转一个角度），即每步的搜索方向都要对该步的负梯度方向做一个修正。
算法特点：共轭梯度法利用了各步搜索方向关于互为共轭的性质，它是利用梯度信息寻找共轭方向的；共轭梯度法具有二次终结的性质，这一点与共轭方向法相同，且其存储量小，不需存储矩阵，只需存储向量，在大规模问题中具有明显优势；但在实践中由于初始点选择不当或计算机的舍入误差等原因，会出现二次终结时精度不高的情况。
此时，可继续迭代或重新开始新一轮共轭梯度法搜索或改用其他数值算法以满足高精度的要求。
无约束最优化的直接法；单纯形调优法（与线性规划中的不同，是针对非线性的问题的求解方法）。
单纯形法求解控制系统参数优化。
具体过程是给定寻优参数初值，然后利用matlab优化工具箱来构造误差目标函数（给定控制对象参数），再进行以下四步操作：反射，延伸，扩张和收缩。
在此过程中有很多问题，开始不熟悉优化工具箱，所以无法建立误差目标函数；而且利用优化工具箱无法加入延迟环节；确定各个计算公式的系数（反射、扩大、收缩、压缩）的值是个大问题，对最坏值的判断很关键，什么条件下被取代的一系列的问题，最后得出最优解（但是得到的参数PI都非常大），则在simulink搭建该仿真系统（不知道应该如何建立被控对象的延迟环节的函数），将优化后的参数带入，观察分析所得曲线却能很好的满足系统性能优化。