一元二次方程的解法和定义

一元二次方程的解法和定义
一、一元二次方程的解法和定义
1、一元二次方程的定义
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元）。

并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

2、解一元二次方程
（1）直接开平方法
我们知道如果$x^2$=25，则$x$=≠$\sqrt{25}$，即$x$=±5，像这种利用平方根的定
义通过直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

一般地，对于方程
$x^2$=$p$，
①当$p$>0时，方程有两个不等的实数根$x_1$=$\sqrt{p}$ ，$x_2$=$-\sqrt{p}$。

②当$p$=0时，方程有两个相等的实数根$x_1$=$x_2$=0。

③当$p$<0时，因为对任意实数$x$ ，都有$x^2\geqslant$0，所以方程无实数根。

（2）配方法
通过配成完全平方的形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。

用配方法解方程是
以配方为手段，以直接开平方法为基础的一种解一元二次方程的方法。

用配方法解一元二次方程的一般步骤：
①化二次项系数为1。

②移项：使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项。

③配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，原方程变为$(x+n)^2$=$p$的形式。

④直接开平方：如果右边是非负数，就可用直接开平方法求出方程的解。

（3）公式法
①公式法的定义
解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式$ax^2$+$bx$+$c$=0（$a$≠0）。

当
$b^2-$$4ac\geqslant$0时，方程$ax^2$+$bx$+$c$=0（$a$≠0）的实数根可写为
$x$=$\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$的形式，这个式子叫做一元二次方程
$ax^2$+$bx$+$c$=0（$a$≠0）的求根公式。

利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。

由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根。

②一元二次方程根的个数与根的判别式的关系
一般地，式子$b^2-$$4ac$叫做方程$ax^2$+$bx$+$c$=0（$a$≠0）的根的判别式，通常用希腊字母$\mathit{Δ}$表示，即$\mathit{Δ}=$$b^2-$$4ac$。

当$\mathit{Δ}=$$b^2-$$4ac>0$时，一元二次方程$ax^2$+$bx$+$c$=0（$a$≠0）有两个不相等的实数根。

即$x_1$=$\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2$=$\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。

当$\mathit{Δ}$=$b^2-$$4ac=0$时，一元二次方程$ax^2$+$bx$+$c$=0（$a$≠0）有两个相等的实数根。

即$x_1$=$x_2$=$-\frac{b}{2a}$。

当$\mathit{Δ}$=$b^2-$$4ac<0$时，一元二次方程$ax^2$+$bx$+$c$=0（$a$≠0）无实数根。

③利用公式法解一元二次方程$ax^2$+$bx$+$c$=0（$a$≠0）的一般步骤：
将一元二次方程整理成一般形式。

确定公式中$a$，$b$，$c$的值。

求出$b^2-4ac$的值。

当$b^2-4ac\geqslant$0时，将$a$，$b$，$c$的值及$b^2-4ac$的值代入求根公式即可；当$b^2-4ac<0$时，方程无实数根。

④一元二次方程根的判别式的应用
一元二次方程根的判别式的应用主要有以下三种情况：
不解方程，由根的判别式的正负性及是否为0可直接判定根的情况。

根据方程根的情况，确定方程中字母系数的取值范围。

应用判别式证明方程根的情况（有实根、无实根、有两个不相等实根、有两个相等实根）。

（4）因式分解法
①因式分解法的定义
将一元二次方程先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

②用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
移项——将方程的右边化为0。

化积——将方程的左边分解为两个一次式的乘积。

转化——令每个一次式分别为零，得到两个一元一次方程。

求解——解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。

二、一元二次方程的解法的相关例题
用配方法解方程$x^2-$$2x-$$1=0$时，配方后所得的方程为___
A．$（x+1）^2$=0 B．$（x-1）^2$=0
C．$（x+1）^2$=2 D．$（x-1）^2$=2
答案：D
解析：$x^2-2x-1=0$，移项得$x^2-2x=1$。

配方得$x^2-2x+1^2=$$1+1^2$，即$(x-1)^2$=2。

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