机械制图 点的投影
机械制图点的投影
第三讲点的投影（50 分钟）（一）教学内容：1．点在两投影面体系中的投影2. 点在三投影面体系中的投影3. 两点的相对位置和重影点（二）目的与要求1．掌握点在三投影面体系中的投影规律以及由点的两投影求作第三投影的要领；2．掌握根据点的投影，判断其空间位置（包括两点的相对位置）的方法。
（三）讲课提纲及其说明一、点在两投影面体系中的投影（15 分钟）1、投影面体系的建立如图1 所示，设立互相垂直的两个投影面，正立投影面（简称正面）V 和水平投影面（简称水平面）H ，构成两投影面体系。
两投影面体系将空间划分为四个分角。
本书只讲述物体在第一分角的投影。
V 面和H 面的交线称为投影轴OX。
2. 点的两面投影如图1 （a）所示，由空间点A作垂直于V面、H面的投射线Aa'、Aa，分别与V面、H面相交，交点即为A的正面投影（V面投影）a‘和水平投影（H面投影）a,即点A的两面投影。
空间点用大写字母如A、B、C、…表示，其水平投影用相应的小写字母如a、b、c、…表示，正面投影用相应的小写字母加一撇如a' b ' c'… 表示。
为使点的两面投影画在同一平面上，需将投影面展开。
展开时V面保持不动，将H面绕0X轴向下旋转90 °，与V面展成一个平面，便得到点A的两面投影图，如图1(b)所示。
投影图上的细实线aa '称为投影连线。
在实际画图时，不必画出投影面的边框和点a x,图1(c)即为点A的投影图。
3. 点的两面投影规律空间三点A、a'、a构成一个平面，由于平面Aa a分别与V面，H面垂直，所以这三个相互垂直的平面必定交于一点a x，且a x a'QX、aa x丄OX。
当H面与V面展平后，a、a x、a'三点必共线，即aa '_OX。
又因Aaa x a '是矩形，所以a x a'=Aa , a x a=Aa '。
机械制图点、线、面的投影
X
az
A
a’’
W
O
ay
a
a’
az
a’’
a’
az
a’’
X ax XA O aYW YW X ax
YA a aYH
a0
a
O aYW YW
aYH
a0
H
YH
YH
YH
点的三面投影与坐标的关系：AAaa’=’=aa’a’ax=z=aa’’aayy==aaxzOO==XZAA
Aa’=aax=a’’az=ayO=YA
水平面的交线OX称为X轴，侧面与水平面的交线OY称为Y轴，
侧面与正面的交线OZ称为Z轴，三个投影轴垂直相交于一点O，
称为原点。
精选课件
3
回本讲
二、点在三面投影体系中的投影
点在三个投影面上的投影，就是通过这三个点分别向三个投影面所
作垂线的垂足。点三投影.swf 和点三投影展开.swf
Z
V
Z
W
Z
V a’
Y
YH
精选课件
7
回本章 回本讲
二、重影点的投影
若两点的某两个空间坐标值分别相等，则这两点必处于同一条
投射线上，因此，这两点在与投射线垂直的投影面上的投影重影于
一点。 Z
e’
e’’
V e’
c’(d’)
f’
DE C
d’’
O
F
e’’
W
c’’(f’’)
c’(d’)
f’
d
X
d
f
e(c)
f
Y
e(c)
H
d’’
c’’(f’’)
点线面的投影
主讲：郝善齐
机械制图-点、直线、平面的投影
在机械制图中，特殊位置点常用于 确定物体的形状和大小，如交点、 切点等。
03 直线投影
直线在三投影面体系中的投影
正投影
直线在正投影面上的投影 与原直线平行或重合，且 长度不变。
侧投影
直线在侧投影面上的投影 与原直线垂直，且高度不 变。
水平投影
直线在水平投影面上的投 影与原直线平行，且长度 不变。
直线上的点的投影特性
点在直线上
点的投影在直线的投影上，且与 原点在同一平面内。
点在直线外
点的投影在直线的投影外，且与 原点不在同一平面内。Leabharlann 两直线的相对位置与投影特性
平行线
两直线在正投影面上的投影平行， 且高度相等。
交叉线
两直线在正投影面上的投影相交， 且高度相等。
垂直线
两直线在正投影面上的投影垂直， 且高度相等。
机械制图-点、直线、平面的投影
目 录
• 引言 • 点投影 • 直线投影 • 平面投影 • 实际应用与案例分析 • 总结与展望
01 引言
主题简介
01
机械制图是工程领域中用于表达 和交流设计思想的一种语言，而 点、直线和平面的投影是机械制 图的基础。
02
本主题将介绍点、直线和平面在 机械制图中的投影原理和方法， 帮助读者更好地理解和应用机械 制图。
投影法概述
投影法是将三维物体转换为二维图形 的方法，是机械制图中的基本技术。
投影法分为中心投影法和平行投影法 ，其中平行投影法又分为正投影法和 斜投影法。
02 点投影
点在三投影面体系中的投影
点的三面投影
一个点在三投影面体系中分别在H面、 V面和W面上投下影子，形成三个投 影点。
机械制图教材正投影基础知识ppt课件(投影法、点的投影、直线的投影、两直线的相对位置、平面的投影)
左视图
正面投影面——V面
水平投影面——H面
侧面投影面——W面
（正面投影）
（水平投影）
（侧面投影）
视图：把互相平行的投影线当作人的视线，用正投影法所得物体的投影称为视图。
2.三视图的形成及其投影规律
3. 三视图之间的对应关系
度量对应关系：
主、俯视图——长对正
主、左视图——高平齐
俯、左视图——宽相等
y
z
y
x
x
z
四、 点的坐标
a
例1 已知: 点A的正面与侧面投影，求点A的水平投影。
a
yH
a
yw
15
10
20
a
a'
a"
例2 已知: 点A的坐标为x=20mm，y=10mm，z=15mm，即A(20、10、15)，求作点A的三面投影图。
1. 一般位置点（X、Y、Z）
1) 投影面上的点：V 面上点（X、0、Z） H 面上点（X、Y、0） W 面上点（0、Y、Z）
3) 原点上的点: （0、0、0 ）
2) 投影轴上点:
X 轴上点（X、0、0） Y 轴上点（0、Y、0） Z 轴上点（0、0、Z）
注意: 点的各个投影一定要写在它所属的投影面区域内。
五、 各种位置点的投影
2. 特殊位置点
c'
c"
c
b"
b'
b
c"
c
a'
a"
O
b'
b
a'
a
a"
Aa
Bb"
Cc'
例3 已知: 点A在H面上，点B在W面上，点C在V面上，试求各点的投影。
机械制图教案点的投影
机械制图教案-点的投影教学目标：1. 理解点在空间中的位置及点的投影概念。
2. 掌握正投影和斜投影的原理及方法。
3. 学会使用投影作图，提高空间想象力。
教学重点：1. 点的正投影和斜投影。
2. 使用投影作图的方法。
教学难点：1. 点的投影作图技巧。
2. 空间想象能力的培养。
教学准备：1. 教学PPT。
2. 投影仪。
3. 教学模型或挂图。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾前一课程内容，复习基本绘图技巧。
2. 提问：什么是制图？制图的基本要素是什么？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解点的概念：点在空间中的位置及特点。
2. 讲解点的正投影：正投影的定义、特点及作图方法。
3. 讲解点的斜投影：斜投影的定义、特点及作图方法。
三、实例讲解与练习（15分钟）1. 通过实例讲解点的正投影和斜投影的作图方法。
2. 让学生跟随老师一起完成实例练习，巩固所学知识。
四、课堂互动（10分钟）1. 提问：请同学们举例说明点的正投影和斜投影在实际应用中的作用。
2. 邀请学生上台演示点的投影作图，并给予评价和指导。
五、课后作业布置（5分钟）1. 布置课后作业，要求学生独立完成点的正投影和斜投影的作图练习。
2. 提醒学生在完成作业时注意画图的准确性和规范性。
教学反思：本节课通过讲解和实例练习，使学生掌握了点的正投影和斜投影的作图方法。
在课堂互动环节，学生积极参与，提高了课堂氛围。
但部分学生在实际操作中仍存在一定的困难，需要在课后加强练习和指导。
在的课程中，将继续讲解点的投影作图技巧，并加强学生的实践操作训练。
六、投影变换教学目标：1. 理解投影变换的概念及作用。
2. 掌握投影变换的方法和技巧。
3. 学会应用投影变换解决实际问题。
教学重点：1. 投影变换的方法。
教学难点：1. 投影变换的技巧。
2. 应用投影变换解决实际问题。
教学准备：1. 教学PPT。
2. 投影仪。
3. 教学模型或挂图。
教学过程：1. 复习上节课的内容，提问：什么是点的投影？点的投影有哪些类型？2. 讲解投影变换的概念：投影变换的定义、作用及方法。
机械制图中点的两面投影
06
总结与展望
总结
投影原理
点的两面投影是指将一个点在两个相互垂直的投影面上进行投影，得到该点的两个投影。 在机械制图中，这种投影方法广泛应用于表达物体的形状和尺寸。
投影特性
点的两面投影具有“长对正、高平齐、宽相等”的特性，即点的水平投影长度等于其实 际长度，垂直投影高度等于其实际高度，而宽度则由投影面的间距决定。
机械制图中点的两面投影
• 引言 • 点在两平面上的投影 • 点在两平面上的投影特性 • 点的两面投影与空间位置关系 • 实际应用举例 • 总结与展望
01
引言
主题简介
点的两面投影
在机械制图中，一个点在两个互 相垂直的投影面上分别得到的投 影称为该点的两面投影。
投影面
通常选择两个互相垂直的平面作 为投影面，分别为正立投影面和 水平投影面。
投影方式改进
虽然点的两面投影在实际应用中存在一些局限性，如难以表达复杂的三维形状，但随着投影方式的不断改进，未来可 能会发展出更加准确、直观的投影方法，以更好地满足实际需求。
学科交叉融合
随着各学科之间的交叉融合，点的两面投影可能会与其他领域的技术相结合，如虚拟现实、增强现实等， 为投影技术的发展带来新的机遇和挑战。
点的投影特性
点在两平面上的投影具有真实性、积聚性和类似性的特性。真实性是指点的投影 是真实存在的，积聚性是指点在某一平面上的投影会积聚在该平面的边界上，类 似性是指点在两平面上的投影形状相同但大小可能不同。
点在两平面上的投影作图方法
坐标法
通过建立坐标系，利用坐标值计算点 的投影位置，适用于复杂图形中点的 定位。
辅助线法
综合法
结合坐标法和辅助线法，根据具体情 况选择合适的方法来确定点的投影位 置，适用于复杂图形中点的定位。
机械制图中点的三面投影
机械制图中点的三面投影在机械制图中，点是最基本的图形元素，通过点可以确定各种形状的位置和大小，因此在制图中点的表示和投影都是非常重要的。
点的三面投影指的是在三个不同的投影面上分别投影同一个点的投影形象，包括正投影、侧投影和俯视投影。
本篇文章将详细介绍机械制图中点的三面投影。
正投影正投影是指将物体投影在垂直于投影平面的平面上所得到的投影图形。
在机械制图中，正投影一般采用前视图表示。
当要投影点的时候，因为点没有大小，所以可以将点看作是一条不可见线段，使其垂直于投影平面进行投影。
在前视图上，点的投影形象为一个点（因为点的大小为零）。
下图是一个点在前视图中的投影示意图：＋————＋| ● |＋————＋在投影图中，点的位置由表示该点在三维坐标系中的坐标确定。
侧投影侧投影是指将物体投影在平行于一个主投影面的平面上所得到的投影图形。
在机械制图中，侧投影一般采用左视图或右视图表示。
当要投影点的时候，将其垂直于投影平面进行投影。
在左视图上，点的投影形象为一个点（因为点的大小为零）。
下图是一个点在左视图中的投影示意图：|●|在侧投影图中，点的位置同样由表示该点在三维坐标系中的坐标确定。
俯视投影俯视投影是指将物体从上方向下投影所得到的投影图形。
在机械制图中，俯视投影一般采用上视图表示。
当要投影点的时候，将其垂直于投影平面进行投影。
在上视图上，点的投影形象为一个点（因为点的大小为零）。
下图是一个点在上视图中的投影示意图：＋—● ——＋| |＋————＋在俯视投影图中，点的位置同样由表示该点在三维坐标系中的坐标确定。
小结以上就是机械制图中点的三面投影的介绍，通过正投影、侧投影和俯视投影，可以确定一个点在三维空间中的准确位置。
在实际的机械制图中，点不仅仅是简单的点，还可以是各种图形的交点、圆心等，因此在制图中充分掌握点的三面投影是十分必要的。
《机械制图》点的三面投影
MECHANICAL DRAWING
点的投影 二、点的三面投影
1
三投影面体系的建立
2
点的三面投影
3
点的三面投影规律
4 由点的两面投影求第三投影
2
点的投影
1. 三投影面体系的建立
Z
O
Y
三投影面体系是在两投影面体系的基础上，加上一个与H面、V面都垂直的侧立投影面W（简称侧面）所组成。三个投 影面互相垂直相交，它们的交线称为投影轴。V面和H面的交线称为OX轴，H面和W面的交线称为OY轴，V面和W面的交线称 为OZ轴。三个投影轴互相垂直相交于一点O，称为原点,
a
X
ax
a
6
Z a z a
O
YW
ay
ay
YH
a a z
A ax
a
a
ay
aa X轴， a a Z轴， a a z = a ay a ax =aa y a ax = a a z
点的投影
二、点的三面投影
4、由点的两面投影求第三投影
例1：已知点A的正面与侧面投
a
影，求点A的水平投影。
X
Z a
O
YW
a
YH
规定，不可见点的重合投影加一 圆括号。
点的投影Za’Fra bibliotek例.点A在水平面上的投影可见。
b’
X
O
a” b”
YW
a(b)
YH
17
谢谢观看
Thanks for looking
7
点的投影
二、点的三面投影
Z
4、由点的两面投影求第三投影
例2.已知点A的正面与水
a
a
平面投影，求点A的侧面
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第二章点的投影
教学内容：点的投影
[教学目的]
1. 掌握点在三面体系中的投影规律，以及由点的两投影求作第三投影的基本要领
2. 掌握根据点的投影判断其空间位置的方法
3. 掌握各种位置直线的投影特征
[教学内容特点分析]
直线的投影是图示与图解的基础，而直线又是由点所决定，本节主要研究点的投影，点的投影与坐标的关系及空间点的相对位置，以及直线在三面体系中所处的各种位置及其投影特性。
重点要掌握点在三面体系中的投影规律；直线对投影面所处相对位置的投影特性是线、面分析的重要依据，必须要好好掌握。
[授课提纲]
一、点的投影
1. 点在单面体系中的投影
分析后指出：在给定一个投影面条件下空间点具有唯一的投影。
反之，若已知点的一个投影，是无法确定该点的空间位置（在直观图上进行分析后，用增加投影面的方法解决）
2 .点在两面体系中的投影
①在上面直观图上增补画出二面体系
② 介绍两面体系的有关名词及点的投影表示法
③ 点在二面体系中的投影分析
④ 展开画出点在二面体系中的投影图
⑤ 根据直观图及投影图导出点在二面体系中的投影规律：
作文字说明（此略）
3. 点在三面体系中的投影
① 在二面体系中的直观图上补画出侧立面构成点在三面体系的直观图
② 作三面体系中的名词、术语介绍及点的投影表示法。
③ 展开画出点在三面体系的投影图
④ 根据直观图及投影图分析，导出点在三面体系中的投影规律，
把三面体系看成两个二面体系构成。
由得出：
a a′⊥ox
a′ax=Aa
a ax=Aa′ a a′⊥ox
由V/W得出a′a″⊥oz a′a″⊥oz 作文字说明（此略）
a′ax=Aa″ a ax=a″az
a″az=Aa′
⑤ 点在三面体系中的投影规律的应用（举例）
例一：已知A点的正面投影a′和侧面投影a″，求作其水平投影。
1. 分析
2. 作图（过程在讲课中进行）
二、点的投影与直角坐标（利用点在三面体系中的直观图讲解）
1. 引入笛卡尔坐标系（说明）
2. 空间点上标出坐标值（x、y、z）（在直观图上进行）
3. 直观图上导出：
Aa″ =aaz=aay=oax=x
Aa′=aax=a″az=oay=y 显然，点A（x、y、z）的每个投影由其两个坐标决定，
Aa= a′ax=a″ay=oaz=z
即a′由（x、z）； a由(x、y)；a″由(y、z)决定。
结论：根据点的坐标便可唯一确定点的一组投影，点的任两个投影均反映出该点的三个坐标值，故已知点的两个投影即确定了点的空间位置。
故根据点的任两个投影均可求该点的第三个投影（例一的理论依据）4. 举例
例二：试作出点A（15，10，15），B（28，15，0），C（8，0，0）的三面投影图：
①此例中的A点作图在讲解过程中进行。
②此例中的B点，C点的作图可结合直观图（徒手在黑板上画出）进行讨论，得出位于投影面和投影轴上的点的投影特点：
位于投影面上的点，有一个坐标值为0，故有一个投影与空间点本身重合，另两投影落在相应的投影轴上，位于投影轴上的点，有两个坐标值为0，故它有两个投影与空间点本身重合，另一投影落在原点上。
三、两点的相对位置
1. 画出两点相对位置的直观图及投影图
2. 阐述两点的相对位置的概念：
所谓两点的相对位置是指空间两点，哪点在上,哪点在下，哪点在左，哪点在右，哪点在前，哪点在后的位置关系。
3. 判断两点相对位置的方法：
左、右位置由两点的X坐标值确定
前、后位置由两点的Y坐标值确定结合投影图进行讲解，最后得出
上、下位置由两点的Z坐标值确定
A在B点的左、前、下方，具体距离由两点坐标差（Δx、Δy、Δz）确定。
4. 举例
例三：已知A点的三面投影，且已知B点在A点之下10，之前15，之左10，试求B点的三面投影。
① 分析：A的空间位置已定，B相对A的位置已给出，故B点的投影可求出
② 作图：作图过程在讲解中进行。
5. 重影点
画出重影点的直观图及投影图
① 根据直观图解释重影点的概念
② 空间两点处于同一投射线上，它们在该投射线所垂直的投影面上的投影重合在一起，我们称此两点为对该投影面的重影点。
③ 产生重影点的条件
空间两点：只要有两个坐标值相等（即两个坐标差值为0）必然要对某个投影面产生重影。
若两点：中
上面三种情况只举一种，另两种情况由同学自行总结
④ 重影点的可见性判断
原则：上遮下、左遮右、前遮后
在投影图上的表示：被遮住的点的投影打括号
⑤ 举例
例四：已知A、B两点对W产生重影点，A点的投影已知，B点在A点的左方10m
试求出B点的正面投影b″和水平投影b。
分析
作图在讲解的过程中进行
判别可见性
四、直线的投影
1.画出直线投影的直观图和投影图（利用两点的相对位置直观图和投影图）
2.在直观图上分析
① 两点定一线（连空间两点）
② 直线的投影（连两点的同面投影并作解释）
3. 各种位置直线的投影特性
概述：各种位置直线是指直线对投影面所处的相对位置而言，根据直线对各投影面的相对位置，将直线分为：
（应用教具讲解）
投影面倾斜线——一般位置直线（应用教具讲解）
下面分别对上述三种位置直线的投影进行分析
① 投影面平行线（模型或教具讲解）
定义：平行某一投影面而与另两投影面倾斜的直线称为投影面平行线。
分类：∥V 倾斜H、W面两投影面——正平线
∥H 倾斜V、W面两投影面——水平线
∥W 倾斜H、V面两投影面——侧平线
以正平线为例分析其投影特性。
Ⅰ画出正平线的直观图及投影图
Ⅱ 在直观图上分析正平线的投影情况
Ⅲ 根据正平线的投影情况导出投影面平行线的投影特性：
ⅰ.在与直线平行的投影面上的投影反映真长，且反映直线对另两投影面的倾角；
ⅱ.其余投影平行相应的投影轴，且小于真长
② 投影面垂直线（模型或教具讲解）
定义：垂直某一个投影面的直线称
为投影面垂直线。
分类：⊥V 必平行H、W称为正垂线
⊥H 必平行V、W称为铅垂线
⊥W 必平行V、H称为侧垂线
以铅垂线为例介绍投影面垂直线的投影特性
Ⅰ 画出铅垂线的立体图
Ⅱ 在立体图上分析其投影情况
Ⅲ 画出铅垂线的投影图（此略）
Ⅳ 根据铅垂线的投影导出投影面垂直线投影特性：
ⅰ.在与直线垂直的投影面上的投影积聚为一点，
ⅱ.其余两投影垂直（或平行）相应的投影轴，
且反映真长。
③ 一般位置直线：（模型或教具讲解）
定义：与三个投影面都倾斜的直线称为一般位置直线。
利用直线投影的直观图、投影图（此略）分析，导出一般位置直线的投影特点：
三个投影均为倾斜投影轴的直线，且小于真长,三个投影与投影轴的夹角均不反映直线对投影面的倾角。
4. 结合各种位置直线的投影特性分析体上的直线
① 画出一个物体的三视图（徒手画出三棱锥的视图）
② 分析体上的某些线条（棱边）及其在投影图（视图）上的投影，根据投影特性指出其属于什么位置直线（结合徒手画出的立体图分析）.
[巩固性提问]
1. 点的三投影之间有什么联系？
2. 如何根据点的投影判断其空间位置
3. 为什么根据点的两个投影可以求出其第三投影
4. 直线对投影面的位置如何分类，其投影有什么特点？
[作业布置]
P12～15。