5.2.1 三角函数的概念 教案—2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

《5.2.1 三角函数的概念》教学设计
教材内容：
现实生活中有着大量的周期运动，而三角函数就是描述周期运动的重要的数学模型，体现了数学与现实生活中的紧密联系。

三角函数的概念是研究三角函数性质、图像的前提条件，在教材中有着承上启下的重要作用。

同时，三角函数也是研究解析几何 的重要工具，在物理、天文学中也有着广泛的应用。

教学目标：
1.借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，会求给定角的三角函数值.
2.掌握三角函数的定义域及三角函数在各象限的符号.
3.掌握三角函数公式一及其应用.
教学重点与难点：
1、教学重点：三角函数的定义；
2、教学难点：求给定角的三角函数值。

教学过程：
1、新课导入
在弧度制下，我们已经将角的范围扩展到全体实数.接下来这节课我们就来学习一下三角函数的相关知识.
2、探索新知
知识点1 三角函数的定义
设α是一个任意角，α∈R ，它的终边OP 与单位圆交于点()P x y ，
. （1）把点P 的纵坐标y 叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin y α=；
（2）把点P 的横坐标x 叫做α的余弦函数，记作cos α，即cos x α=；
（3）把点P 的纵坐标与横坐标的比值y x
叫做α的正切，记作tan α，即tan (0)y x x α=≠.tan (0)y x x
α=≠也是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数.
知识点2 三角函数及其定义域
将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常记为：
正弦函数sin y x =，x ∈R ；
余弦函数cos y x =，x ∈R ；
正切函数tan y x =，π{|π2()}x x x k k ∈≠
+∈Z .
例题点拨
例1 求5π3
的正弦、余弦和正切值. 解：在直角坐标系中，作5π3AOB ∠=
（如图）.
易知AOB ∠的终边与单位圆的交点坐标为13,22⎛- ⎝⎭
. 所以5π3sin
3=，5π1cos 32=，5πtan 33=- 例2 如图，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P （不与原点O 重合）的坐标为(),x y ，点P 与原点的距离为r .求证：sin y r α=，cos x r α=，tan y x
α=.
分析：观察图，由00OMP OM P ∽△△，根据三角函数的定义可以得到证明. 证明：如图，设角α的终边与单位圆交于点000(,)P x y .
分别过点P ，0P ，作x 轴的垂线PM ，0P M ，垂足分别为M ，0M ，
则000P M y =，||||PM y =，00OM x =，||||OM x =，
00OMP OM P ∽△△. 于是00||1P M PM r
=，即0||y y r =. 因为0y 与y 同号，所以0y y r =，即sin y r α=. 同理可得cos x r α=，tan y x
α=. 知识点3 各个象限角的三角函数值的符号
上述符号规律可简记为：一全正，二正弦，三正切，四余弦.
知识点4 诱导公式一
sin(2π)sin k αα+⋅=，cos(2π)cos k αα+⋅=，tan(2π)tan k αα+⋅=，其中k ∈Z ，即终边相同的角的同一三角函数值相等.
例3 确定下列三角函数值的符号：
（1）cos250︒；（2）πsin 4⎛⎫- ⎪⎝⎭
；（3）tan(672)-︒；（4）tan3π. 解：（1）因为250︒是第三象限角，所以cos2500︒<；
（2）因为π4-是第四象限角，所以πsin 04⎛⎫-< ⎪⎝⎭
； （3）因为tan 672tan 482360tan 4(8)()︒︒︒-=-⨯=︒，而48︒是第一象限角， 所以tan(672)0-︒>；
（4）因为tan3πtan(π2π)tan π=+=，而π的终边在x 轴上，.
所以tan π0=，即tan3π0=.
例4 求下列三角函数值：
（1）sin148010︒'（精确到0.001）；
（2）9πcos 4
； （3）11πtan 6⎛⎫- ⎪⎝⎭
. 解：（1）(sin148010sin 4014360)0''=+⨯︒︒︒sin 40100.645'=≈︒；
（2）π9π2cos cos 2πc 4442πos ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭
； （3）11π3tan tan 2πtan 66ππ63⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 3、课堂练习
1.已知角α的终边经过点(3,4)P -，则cos α的值为( ) A.34- B.35 C.45- D.34
答案：B
解析：角α的终边经过点(3,4)P -，则223(4)5r =+-=，由余弦函数的定义可得3cos 5
x r α==.故选B. 2.当α为第二象限角时，
|sin |cos sin |cos |αααα-的值是( ) A.1 B.0 C.2 D.-2
答案：C
解析：α为第二象限角，sin 0α∴>，cos 0α<，
|sin |cos sin cos 2sin |cos |sin cos αααααααα
∴-=+=.故选C. 3.（多选）下列函数值符号为负的是( )
A.sin 1()000-︒
B.πcos 4⎛⎫- ⎪⎝⎭
C.tan 2
D.cos4 答案：CD
解析：因为1000336080-=-⨯+︒︒︒，所以1000-︒是第一象限角，则
sin 10()000-︒>；因为π4-是第四象限角，所以πcos 04⎛⎫-> ⎪⎝⎭
；因为2rad 2571811436'≈︒︒'⨯=是第二象限角，所以tan 20<；因为3ππ42<<
，所以4弧度角是第三象限角，所以cos40<.故选CD.
4.求值：13π5πcos
tan 63⎛⎫+-= ⎪⎝⎭____________. 答案：
332 解析：原式π5πππ333cos 2πtan 2πcos tan 3636322⎛⎫⎛⎫=++-=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭. 4、小结作业
小结：本节课学习了三角函数的概念和诱导公式一及其应用.
作业：完成本节课课后习题.
四、板书设计
5.2.1 三角函数的概念
1.三角函数的定义：设α是一个任意角，α∈R ，它的终边OP 与单位圆交于点()P x y ，.
（1）把点P 的纵坐标y 叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin y α=； （2）把点P 的横坐标x 叫做α的余弦函数，记作cos α，即cos x α=； （3）把点P 的纵坐标与横坐标的比值y x
叫做α的正切，记作tan α，即
tan (0)y x x α=≠.tan (0)y x x
α=≠也是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数.
2.三角函数及其定义域：将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常记为：正弦函数sin y x =，x ∈R ；余弦函数cos y x =，x ∈R ；正切函数tan y x =，π{|π2
()}x x x k k ∈≠+∈Z . 3.各个象限角的三角函数值的符号：
上述符号规律可简记为：一全正，二正弦，三正切，四余弦.
4.诱导公式一：sin(2π)sin k αα+⋅=，cos(2π)cos k αα+⋅=，
tan(2π)tan k αα+⋅=，其中k ∈Z ，即终边相同的角的同一三角函数值相等.。