高中数学-放缩法(详解)
高中数学放缩法技巧全总结
高中数学放缩法技巧全总结在高中数学学习中，放缩法是一种常用的解题技巧，尤其在不等式证明和极限计算中应用广泛。
掌握好放缩法的技巧，可以帮助我们更好地解决数学问题，提高解题效率。
下面，我将对高中数学放缩法的技巧进行全面总结，希望能够帮助大家更好地掌握这一技巧。
首先，放缩法的基本思想是通过构造一个比原来更容易处理的不等式或者关系式，从而简化原问题的解决过程。
在实际运用中，我们可以通过加减变形、乘除变形、配方等方式进行放缩，下面我们来看一些常用的放缩法技巧。
一、加减变形。
在不等式证明中，我们常常会遇到需要证明一个不等式成立的情况。
这时，我们可以通过在两边同时加上或者减去一个特定的数，来改变原不等式的形式，使得原不等式更容易证明。
例如，在证明数学归纳法中的不等式时，我们常常会通过加减变形来简化证明过程，这是一种常见的放缩法技巧。
二、乘除变形。
在极限计算中，我们常常需要通过放缩法来证明一个极限存在或者不存在。
这时，我们可以通过乘除变形，将原极限问题转化为一个更容易处理的形式。
例如，当我们需要证明一个函数的极限不存在时，可以通过乘除变形将原函数转化为一个更容易处理的形式，从而简化证明过程。
三、配方。
在解决数学问题中，有时我们需要通过配方来进行放缩。
例如，在证明三角函数不等式时，我们可以通过对不等式进行配方，将原不等式转化为一个更容易处理的形式。
这种放缩法技巧在解决三角函数不等式问题中应用广泛，可以帮助我们更好地解决这类问题。
总结起来，放缩法是高中数学学习中常用的解题技巧，通过加减变形、乘除变形、配方等方式进行放缩，可以帮助我们更好地解决数学问题，提高解题效率。
希望以上总结的放缩法技巧对大家有所帮助，能够在高中数学学习中更好地运用这一技巧，提高数学成绩。
高中数学数列放缩专题用放缩法处理数列和不等问题含答案
高中数学数列放缩专题用放缩法处理数列和不等问题含答案TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】用放缩法处理数列和不等问题（教师版）一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理） 例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求：（1）数列{}n a 的通项公式； （2）设11+=n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：21<n B解：（1）由已知得2)1(4+=n n a S ，2≥n 时，211)1(4+=--n n a S ，作差得：1212224----+=n n n n n a a a a a ，所以0)2)((11=--+--n n n n a a a a ，又因为{}n a 为正数数列，所以21=--n n a a ，即{}n a 是公差为2的等差数列，由1211+=a S ，得11=a ，所以12-=n a n （2）)121121(21)12)(12(111+--=+-==+n n n n a a b n n n ，所以 真题演练1：(06全国1卷理科22题)设数列{}n a 的前n 项的和,14122333n n n S a +=-⨯+，1,2,3,n =（Ⅰ）求首项1a 与通项n a ；（Ⅱ）设2nn nT S =，1,2,3,n =，证明：132ni i T =<∑.解:(Ⅰ)由S n =a n －×2n+1+,n=1,2,3，…,①得a 1=S 1=a 1－×4+所以a 1=2再由①有S n －1=a n －1－×2n+,n=2,3，4,…将①和②相减得:a n =S n －S n －1=(a n －a n －1)－×(2n+1－2n),n=2,3,…整理得:a n +2n=4(a n －1+2n －1),n=2,3,…,因而数列{a n +2n}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即:a n +2n=4×4n －1=4n ,n=1,2,3,…,因而a n =4n －2n,n=1,2,3,…,(Ⅱ)将a n =4n－2n代入①得S n =×(4n－2n)－×2n+1+=×(2n+1－1)(2n+1－2) =×(2n+1－1)(2n －1) T n ==×=×(－) 所以,1n i i T =∑=1(ni =∑－)=×(－1121n +-)<二．先放缩再求和1．放缩后成等比数列，再求和例2．等比数列{}n a 中，112a=-，前n 项的和为n S ，且798,,S S S 成等差数列．设nn n a a b -=12，数列{}n b 前n 项的和为n T ，证明：13n T <．解：∵9789A A a a -=+，899A A a -=-，899a a a +=-，∴公比9812a q a ==-． ∴n na )21(-=．nn n nn n b 231)2(41)21(141⋅≤--=--=． （利用等比数列前n 项和的模拟公式nn S Aq A =-猜想）∴n n b b b B ++=2131)211(31211)211(213123123123122<-=--⋅=⋅++⋅+⋅≤n n ． 真题演练2：(06福建卷理科22题)已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）若数列{}n b 满足12111*444(1)()n n b b b b n a n N ---=+∈，证明：数列{}n b 是等差数列； （Ⅲ）证明：*122311...()232n n a a a n n n N a a a +-<+++<∈.（I ）解：*121(),n n a a n N +=+∈112(1),n n a a +∴+=+{}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列12.n n a ∴+=即 2*21().n a n N =-∈（II ）证法一：1211144...4(1).n n k k k k n a ---=+122[(...)],n n b b b n nb ∴+++-= ①12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+ ② ②－①，得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+-即1(1)20,n n n b nb +--+=21(1)20.n n nb n b ++-++= ③－④，得 2120,n n n nb nb nb ++-+=即 2120,n n n b b b ++-+=*211(),n n n n b b b b n N +++∴-=-∈{}n b ∴是等差数列（III）证明：1121211,1,2,...,,12122(2)2k k k k k k a k n a ++--==<=-- 2．放缩后为“差比”数列，再求和 例3．已知数列{}n a 满足：11=a ，)3,2,1()21(1 =+=+n a n a n n n ．求证：11213-++-≥>n n n n a a 证明：因为n nn a na )21(1+=+，所以1+n a 与n a 同号，又因为011>=a ，所以0>n a ， 即021>=-+n n n n a na a ，即n n a a >+1．所以数列{}n a 为递增数列，所以11=≥a a n ， 即n n n n n n a n a a 221≥=-+，累加得：121212221--+++≥-n n n a a ．令12212221--+++=n n n S ，所以n n n S 2122212132-+++= ，两式相减得：n n n n S 212121212121132--++++=- ，所以1212-+-=n n n S ，所以1213-+-≥n n n a ， 故得11213-++-≥>n n n n a a ．3．放缩后成等差数列，再求和例4．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n n n a a S +=.(1)求证：2214n n n a a S ++<；(2)<⋅⋅⋅解：（1）在条件中，令1=n ，得1112122a S a a ==+，1011=∴>a a ，又由条件n n n S a a 22=+有11212+++=+n n n S a a ，上述两式相减，注意到n n n S S a -=++11得0)1)((11=--+++n n n n a a a a 001>+∴>+n n n a a a ∴11n n a a +-=所以，n n a n =-⨯+=)1(11，(1)2n n n S +=所以42)1(212)1(21222++=++•<+=n n n a a n n n n S （2）因为1)1(+<+<n n n n ，所以212)1(2+<+<n n n n ，所以 2122312-=+=+n S n n ；222)1(2222121n n S n n n S S S =+=+++>++练习：1.（08南京一模22题）设函数213()44f x x bx =+-，已知不论,αβ为何实数，恒有(cos )0f α≤且(2sin )0f β-≥.对于正数列{}n a ，其前n 项和()n n S f a =，*()n N ∈.(Ⅰ)求实数b 的值；（II ）求数列{}n a 的通项公式；1,1n n N a +=∈+，且数列{}n c 的前n 项和为n T ，试比较n T 和16的大小并证明之. 解：(Ⅰ)12b =（利用函数值域夹逼性）；（II ）21n a n =+； （Ⅲ）∵21111(22)22123n c n n n ⎛⎫=<- ⎪+++⎝⎭，∴1231111+23236n n T c c c c n ⎛⎫=+++⋅⋅⋅<-< ⎪+⎝⎭…2.（04全国）已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足：nn n a S )1(2-+=，1≥n（1）写出数列}{n a 的前三项1a ，2a ，3a ；（2）求数列}{n a 的通项公式； （3）证明：对任意的整数4>m ，有8711154<+++m a a a 分析：⑴由递推公式易求：a 1=1,a 2=0,a 3=2；⑵由已知得：1112(1)2(1)nn n n n n n a S S a a ---=-=+----（n>1）化简得：1122(1)n n n a a --=+-2)1(2)1(11---=---n n n n a a ,]32)1([232)1(11+--=+---n n n n a a 故数列{32)1(+-n n a }是以321+-a 为首项,公比为2-的等比数列. 故1)2)(31(32)1(---=+-n nn a ∴22[2(1)]3n n n a -=-- ∴数列{n a }的通项公式为：22[2(1)]3n n n a -=--.⑶观察要证的不等式，左边很复杂，先要设法对左边的项进行适当的放缩，使之能够求和。
(完整版)高考导数解答题中常见的放缩大法
(高手必备）高考导数大题中最常用的放缩大法相信不少读者在做高考导数解答题时都有这样的感悟，将复杂的函数求导，再对导函数求导，再求导，然后就没有然后了......如果懂得了最常见的放缩，如：人教版课本中常用的结论⑴，变形即为sin1xx<，其几何意义为sin,(0,)y x xπ=∈上的的点sin,(0,)x x xπ<∈与原点连线斜率小于1.⑵1xe x>+⑶ln(1)x x>+⑷ln,0xx x e x<<>.将这些不等式简单变形如下：那么很多问题将迎刃而解。
exxexexexxxxx1ln,,1,1ln11-≥≥+≥-≤≤-例析：（2018年广州一模）恒成立，xexxfxxaxxf2)(,0,1ln)(⋅≤>++=若对任意的设求a的取值范围。
放缩法：由可得：1+≥xe x2)1(ln1ln2)1(ln)1(ln1ln ln22=+-++≥+-=+-=+-+xxxxxxexxxexxexxxx高考中最常见的放缩法可总结如下，供大家参考。
第一组：对数放缩（放缩成一次函数），，ln1x x≤-ln x x<()ln1x x+≤（放缩成双撇函数），，()11ln12x x xx⎛⎫<->⎪⎝⎭()11ln012x x xx⎛⎫>-<<⎪⎝⎭，，)ln1x x<>)ln01x x><<（放缩成二次函数），，2ln x x x≤-()()21ln1102x x x x+≤--<<()()21ln102x x x x+≥->（放缩成类反比例函数），，1ln1xx≥-()()21ln11xx xx->>+，()()21ln011xx xx-<<<+，，()ln 11x x x +≥+()()2ln 101x x x x +>>+()()2ln 101x x x x +<<+第二组：指数放缩（放缩成一次函数），，，1x e x ≥+x e x >x e ex ≥（放缩成类反比例函数），，()101x e x x ≤≤-()10x e x x <-<（放缩成二次函数），，()21102x e x x x ≥++>2311126x e x x x ≥+++第三组：指对放缩()()ln 112x e x x x -≥+--=第四组：三角函数放缩，，. ()sin tan 0x x x x <<>21sin 2x x x ≥-22111cos 1sin 22x x x -≤≤-第五组：以直线为切线的函数1y x =-，，，，.ln y x =11x y e -=-2y x x =-11y x =-ln y x x =拓展阅读：为何高考中总是考因为高考命题专家是大学老师，这些超越函数呢？和x e xln 他们站在高观点下看高中数学，一览无遗。
高中数学-放缩法(详解)
放缩技巧放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的的方法，叫放缩法。
放缩法的方法有：⑴添加或舍去一些项，如：a a >+12；n n n >+)1( ⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶利用基本不等式，如：4lg 16lg 15lg )25lg 3lg (5lg 3log 2=<=+<⋅； 2)1()1(++<+n n n n⑷利用常用结论： Ⅰ、kkk k k 21111<++=-+； Ⅱ、k k k k k 111)1(112--=-< ； 111)1(112+-=+>k k k k k （程度大） Ⅲ、)1111(21)1)(1(111122+--=+-=-<k k k k k k ； （程度小） 1.若a , b , c , d ∈R +，求证：21<+++++++++++<ca d db dc c a c b bd b a a【巧证】：记m =ca d db dc c a c b bd b a a +++++++++++∵a , b , c , d ∈R+∴1=+++++++++++++++>cb a d db a dc c a c b a bd c b a a m2=+++++++<cd dd c c b a b b a a m ∴1 < m < 2 即原式成立2.当 n > 2 时，求证：1)1(log )1(log <+-n n n n 【巧证】：∵n > 2 ∴0)1(log ,0)1(log >+>-n n n n∴2222)1(log 2)1(log )1(log )1(log )1(log ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-<+-n n n n n n n n n n 12log 22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡<n n ∴n > 2时, 1)1(log )1(log <+-n n n n3.求证：213121112222<++++n【巧证】：nn n n n 111)1(112--=-< ∴2121113121211113121112222<-=+-++-+-+<++++n n n n巧练一：设x > 0, y > 0,y x y x a +++=1, yyx x b +++=11，求证：a < b 巧练一：【巧证】：yyx x y x y y x x y x y x +++<+++++=+++11111 巧练二：求证：lg9•lg11 < 1巧练二：【巧证】：122299lg 211lg 9lg 11lg 9lg 222=⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⋅巧练三：1)1(log )1(log <+-n n n n巧练三：【巧证】： 222)1(log )1(log )1(log ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-≤+-n n n n n n 12log 22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡<n n 巧练四：若a > b > c , 则0411≥-+-+-ac c b b a 巧练四： 【巧证】： c a c b b a c b b a c b b a -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-≥--≥-+-4)()(22))((12112巧练五：)2,(11211112≥∈>+++++++n R n nn n n巧练五：【巧证】：左边11111122222=-+=++++>n nn n n n n n 巧练六：121211121<+++++≤nn n 巧练六：【巧证】： 11121<⋅+≤≤⋅n n n n 中式 巧练七：已知a , b , c > 0, 且a 2+ b 2= c 2，求证：a n + b n < c n (n ≥3, n ∈R *)巧练七：【巧证】： ∵122=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c a ，又a , b , c > 0,∴22,⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c b c a c a n n ∴1=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛nn c b c a证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查知识的潜能与后继能力，因而成为压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
高中数学导数放缩法
高中数学导数放缩法导数作为数学中重要的概念，是微积分中的一个基础知识。
在高中数学中，导数是一个重要的内容，学生需要掌握导数的定义、性质和计算方法。
其中，导数的放缩法是导数的一种重要应用，能够帮助我们简化复杂的导数计算，提高计算的效率。
一、导数的定义及性质回顾在学习导数的放缩法之前，我们先来回顾一下导数的定义及性质。
在数学中，函数y = f(x)在点x处的导数定义为：f'(x) = lim(h->0)[f(x+h)-f(x)]/h这个极限表示当自变量在点x处偏离x时，函数值的变化情况。
导数有一些重要的性质，比如：1.常数函数的导数为0：即对于常数k，f(x) = k的导数为f'(x) = 02.和函数的导数：(u + v)' = u' + v'3.差函数的导数：(u - v)' = u' - v'4.常数倍函数的导数：(ku)' = ku'5.积函数的导数：(uv)' = u'v + uv'6.商函数的导数：(u/v)' = (u'v - uv')/v^2这些性质在导数的计算中起着非常重要的作用，能够帮助我们简化计算过程。
接下来，我们将介绍导数的放缩法，以及如何运用这一方法简化导数的计算。
二、导数的放缩法原理导数的放缩法是指根据导数的定义及性质，通过放缩函数的表达式，将复杂的导数计算化简为简单的计算。
具体来说，导数的放缩法主要有以下几种形式：1.基本放缩法：指利用导数的性质，将一个复杂函数拆分成几个简单函数的和、差、积或商，然后利用导数的性质求导，最后将得到的导数组合起来得到原函数的导数。
2.递推放缩法：指通过递推的方式，将一个复杂函数的导数化简为一个或多个简单函数的导数，然后根据导数的性质组合起来得到原函数的导数。
3.反函数放缩法：指利用反函数的性质，将一个函数的导数与其反函数的导数之间建立联系，通过求导得到原函数的导数。
数学-高中数学常用放缩式
常用放缩不等式必备篇，进阶篇，拓展篇一：.必备篇(解析)①指数“0”线1.e x ≥x +1，(x ∈R )证明：f (x )=e x -x -1，令f (x )=e x -1=0，∴x 0=0∴f (x )≥f (0)=0∴e x ≥x +1,x ∈R 常见变式：Ⅰ.x n e x =e x +nlnx ≥x +nlnx +1，（x 0+nlnx 0=0)Ⅱ.e xxn =e x -nlnx ≥x -nlnx +1，(x 0-nlnx 0=0)Ⅲ.x ≥ln (x +1)，证明：①式同取对数PS ：千万注意Ⅰ和Ⅱ的取等条件！！！例如：e x x=e x -lnx ≥x -lnx +1，(经典的错误，标准的零分)x -lnx 取不到0正确：e xx =e (e x -lnx -1)≥e (x -lnx )，当x =1时：e x ≥ex2.xe x ≥x ，(x ∈R )证明：f (x )=xe x -x =x (e x -1)≥0，∴xe x ≥x ②指数“1”线1.e x ≥ex ，(x ∈R )证明：f (x )=e x -ex ，f (x )=e x -e =0，∴x 0=1∴f (x )≥f (1)=0，即e x ≥ex ，x ∈R 2.xe x ≥2ex -e ，(x ∈R )mst 涛哥数学证明：f (x )=xe x -2ex +e ，f (x )=(x +1)e x -2e∴f (x )在x ∈(-∞,1)上单调递减，在x ∈(1,+∞)上单调递增∴f (x )≥f (1)=0，即xe x ≥2ex -e ，x ∈R③对数“1”线：x 2-x ≥xlnx ≥x -1≥lnx ≥1-1x ≥lnxx，(x >0，x 0=1)1.x -1≥lnx证明：f (x )=x -1-lnx ，令f (x )=x -1x=0，∴x 0=1∴f (x )≥f (1)=0，∴x -1≥lnx ，x ∈(0，+∞)2.xlnx ≥x -1证明：：f (x )=xlnx -x +1，令f (x )=lnx =0，∴x 0=1∴f (x )≥f (1)=0，∴xlnx ≥x -1，x ∈(0，+∞)3.x 2-x ≥xlnx ，证明：1式左右同乘x4.1-1x≥lnx x ，证明：1式左右同除x 5.lnx ≥1-1x，证明：2式左右同除x④：飘带函数：12(x -1x )≤lnx ≤2(x -1)x +1，0<x ≤12(x -1)x +1≤lnx ≤12(x -1x)，x ≥1 PS :谐音记忆,12(x -1x)为飘带函数，x >1时，就飘了,所以最大考试证明：①：令f (x )=lnx -2(x -1)x +1，∴f(x )=1x -4x (x +1)2=(x -1)2x (x +1)2≥0∴f (x )在x ∈(0，+∞)上单调递增，∵f (1)=0∴当0<x ≤1时，f (x )≤f (1)=0，即lnx ≤2(x -1)x +1∴当x ≥1时，f (x )≥f (1)=0，即lnx ≥2(x -1)x +1∴原式得证！mst 涛哥数学②：令g (x )=lnx -12(x -1x )，∴g(x )=-(x -1)22x2≤0∴g (x )在x ∈(0，+∞)上单调递减，∵f (1)=0∴当0<x ≤1时，f (x )≥f (1)=0，即lnx ≥12(x -1x )∴当x ≥1时，f (x )≤f (1)=0，即lnx ≤12(x -1x )∴原式得证！⑤：对数均值不等式：x 1x 2<x 2-x 1lnx 2-lnx 1<x 1+x 221.左式证明：不妨设x 2>x 1，x 2x 1>1，由飘带函数得(过程需读者自证)∵lnt <12(t -1t )，t >1，∴ln x 2x 1<12(x 2x 1-x 1x 2)∴lnx 2-lnx 1<x 2x 1-x 1x 2=x 2-x 1x 1x 2∴x 1x 2<x 2-x 1lnx 2-lnx 1，∴原式得证！2.右式证明：不妨设x 2>x 1，x 2x 1>1，由飘带函数得(过程需读者自证)∵lnt>2(t-1)t+1，t>1，∴lnx2x1>2(x2x1-1)x2x1+1=2(x2-x1)x2+x1∴x2-x1lnx2-lnx1<x1+x22∴原式得证！⑥：指数均值不等式：e m+n2<em-e nm-n<e m+e n2证明：由对数均值不等式得x1x2<x2-x1lnx2-lnx1<x1+x22∴令x2=e m，x1=e n，m>n∴e m e n<e m-e nlne m-lne n <e m+e n2∴e m+n2<e m-e nm-n<e m+e n2，∴原式得证！对均：21a+1b<ab<a-blna-lnb<a+b2<a2+b22指均：e m+n2<em-e nm-n<e m+e n2二：进阶篇(120+)由带有佩亚诺余项(o (x n ))的麦克劳林(Maclaurin)公式:f (x )=f (0)+f (0)1!x +f 0 2!x 2+⋯⋯+f n (0)n !x n+o (x n )得到以mst 涛哥数学下常用函数的展开式e x=1+x +x 22+x 36+⋯⋯⋯⋯+x n n !+o (x n)ln (x +1)=x -x 22+x 33+⋯⋯+(-1)n -1x nn+o (x n )sinx =x -x 36+x 5120⋯⋯⋯⋯+(-1)n -1x 2n -1(2n -1)!+o (x 2n -1)cosx =1-x 22+x 424+⋯⋯⋯⋯+(-1)n x 2n (2n )!+o (x 2n)tanx =x +x 33+x 515⋯⋯⋯⋯⋯+o (x 5)(1+x )a=1+ax +a (a -1)2x 2+⋯⋯+a !n !(n -1)!x n +o (x n )PS ：记忆和注意1.sinx 是奇函数，只有奇次幂；cosx 是偶函数，只有偶次幂，ln (x +1)分母无阶乘2.建议读者最多只需掌握，指对前三项，三角前两项，无需背通式3.o (x n )：x →0时比x n 高阶的无穷小，简单理解为展开式与原函数的误差量即可①指数“0”线1.e x≥x 22+x +1，(x >0)证明：f (x )=e x-x 22-x -1,f (x )=e x -x -1≥0∴当x ≤0时，f (x )≤f (0)=0，即e x≤x 22+x +1∴当x ≥0时，f (x )≥f (0)=0，即e x≥x 22+x +12.e x -e -x ≥2x ，(x >0)证明：f (x )=e x -e -x -2x ，f (x )=e x +e -x -2≥2e x e -x -2=0，∴x 0=0∴f (x )在x ∈R 上单调递增，f (0)=0∴当x ≤0时，f (x )≤f (0)=0，即e x -e -x ≤2x ∴当x ≥0时，f (x )≥f (0)=0，即e x -e -x ≥2x3.e x+e-x≥x2+2，(x∈R)证明：f(x)=e x+e-x-x2-2,∵f x =e x-e-x-2x，f (0)=0由2得∴f(x)在x∈(-∞,0)上单调递减，在x∈(0,+∞)上单调递增∴f(x)≥f(0)=0，即e x+e-x≥x2+24.e x-e-x≥13x3+2x，(x>0)证明：f(x)=e x-e-x-13x3-2x，∵f (x)=e x+e-x-x2-2由3得∴f(x)在x∈R上单调递增，f0 =0∴当x≤0时，f(x)≤f(0)=0，即e x-e-x≤13x3+2x ∴当x≥0时，f(x)≥f(0)=0，即e x-e-x≥13x3+2x PS:利用泰勒快速推导e x≥1+x，x∈Re x≥1+x+x22,x≥0e x≥1+x+x22+x36,x∈R1.e x≥1+x+x22e-x≤1-x+x22e x-e-x≥2x，x≥02.e x≥1+x+x22+x36e-x≥1-x+x22-x36e x+e-x≥x2+2，x∈R3.e x≥1+x+x22+x36+x424e-x≤1-x+x22-x36+x424e x-e-x≥x33+2x，x≥0②：对数“0”线1.x-x22≤ln(x+1)≤x，(x≥0)证明：f(x)=ln(x+1)-x+x22，f(x)=1x+1+x+1-2≥0(基本不等式)∴f(x)在x∈(-1，+∞)上单调递增，∵f(1)=0∴当-1<x≤0时，f(x)≤f(0)=0，即ln(x+1)≤x-x2 2∴当x≥0时，f(x)≥f(1)=0，即ln(x+1)≥x-x22③：指数“1”线1.e x≥ex+(x-1)2，(x≥0，x=0/x=1)证明：f(x)=e x-ex-(x-1)2，f (x)=e x-e-2(x-1)令f (x)=e x-2=0，∴x0=ln2∴f (x)在x∈(-∞，ln2)上单调递减，在x∈(ln2,+∞)上单调递增∵f (0)=3-e>0，f(ln2)<f(1)=0∴∃x1∈(0,ln2)，x2=1，使得f (x1)=f (x2)=0∴f(x)在x∈(-∞,x1)，(1,+∞)上单调递增，在x∈(x1,1)上单调递减∴当x≥0时，f(x)≥0，即e x≥ex+(x-1)2∴当x≤0时，f(x)≤0，即e x≤ex+(x-1)22.e x≥ex+e2(x-1)2,(x≥1) e x≥e2x2+e2，(x≥1)证明：f(x)=e x-ex-e2(x-1)2，f (x)=e x-ex≥0，(必备篇)∴f(x)在x∈R上单调递增，∵f(1)=0∴当x≥1时，f(x)≥f(1)=0，即e x≥ex+e2(x-1)2∴当x≤1时，f(x)≤f(x)=0，即e x≤ex+e2(x-1)23.(x-1)e x≥12x2-1证明：f(x)=(x-1)e x-12x2+1，f (x)=x(e x-1)≥0，(必备篇)∴f(x)在x∈R上单调递增，∵f(0)=0∴当x≥0时，f(x)≥f(0)=0，即(x-1)e x≥12x2-1∴当x≤0时，f(x)≤f(0)=0，即(x-1)e x≥12x2-1飘带函数找点1已知函数：f (x )=lnx -ax -1x +1，讨论函数f (x )的零点个数，并说明理由【解析】PS ：飘带函数隐藏性质：f (1x )=-lnx -a1-x 1+x ，∴f (x )+f (1x)=0，即两零点之积为1∵f(x )=1x -2a (x +1)2=x 2+(2-2a )x +1x (x +1)2设函数f (x )的极值点为x 1，x 2，零点为x 3，x 4,x 5①当a ≤0时∴f (x )在x ∈(0，+∞)上单调递增，∵f (1)=0，∴f (x )有且仅有一个零点②当0<a ≤2时∵g (x )=x 2+(2-2a )x +1，∴∆=4a (a -2)≤0∴f (x )在x ∈(0，+∞)上单调递增，∵f (1)=0，∴f (x )有且仅有一个零点③当a >2时，x 1x 2=1x 1+x 2=2a -2∆=4a (a -2)≥0∴x 1∈(0，1)，x 2∈(1，+∞)∴f (x )在x ∈(0，x 1)和(x 2，+∞)上单调递增，在x ∈(x 1，x 2)上单调递减.第一个：∵f (1)=0，∴x 4=1(显零点)第二个：∵f (e a)=a -a e a -1e a+1=2a e a +1>0,∵e a >1，∴存在唯一零点x 5∈(x 2，e a )，使得f (x 5)=0第三个：方法1：∵f (1e a )=-a -a 1-e a 1+e a =-2a 1+e a <0，∵1ea <1∴存在唯一零点x 3∈(1ea ，x 1)，使得f (x 3)=0方法2：∵x 3x 5=1∴存在唯一零点x 3∈(1e a，x 1)，使得f (x 3)=0∴综上当a ≤2时，f (x )存在唯一零点当a >2时，f (x )存在三个零点x 4(1,0)x 11e ax 3x 2x 5e a飘带函数找点2已知函数f (x )=x -a (x -1x),ln 讨论函数f (x )的零点个数，并说明理由【解析】PS 1：飘带函数隐藏性质：f (1x )=-x ln -a (1x -x )，∴f (x )+f (1x )=0，即两零点之积为1PS 2:飘带变形x ln ≤x -1x ，x ∈(1，+∞)∵f(x )=1x -a (1+1x 2)=-ax 2+x -a x 2设函数f (x )的极值点x 1，x 2，零点为x 3，x 4，x 5①：当a ≤0时f (x )在x ∈(0，+∞)上单调递增，∵f (1)=0，∴f (x )有且仅有一个零点②：当a ≥12时，△=1-4a 2≤0f (x )在x ∈(0，+∞)上单调递减，∵f (1)=0，∴f (x )有且仅有一个零点③：当0<a <12时，x 1x 2=1x 1+x 2=1a ∆=1-4a 2>0 ∴x 1∈(0，1)，x 2∈(1，+∞)∴f (x )在x ∈(0，x 1)和(x 2，+∞)上单调递减，在x ∈(x 1，x 2)上单调递增.第一个：∵f (1)=0，∴x 4=1(显零点)第二个：∴f (x )<(x -1)(1x-a (x +1)x )∴f (1a 2-1)<0，∵1a2-1>1∴存在唯一零点x 5∈(x 2，1-a 2a2)，使得f (x 5)=0第三个：∵x 3x 5=1∴存在唯一零点x 3∈(a 21-a 2，x 1)，使得f (x 3)=0综上当a ≤0或a >0时，f (x )存在唯一零点当0<a <12时，f (x )存在三个零点x 4(1,0)x 2x 1x 51-a 2a 2x 3a 21-a 2④：三角放缩1正弦：x≥sinx≥x-x36,(x>0)左式证明：f(x)=sinx-x，f (x)=cosx-1≤0，f (x0)=0∴f(x)在x∈R上单调递减∴当x≤0时，f(x)≥f(0)=0，即sinx≥x∴当x≥0时，f(x)≤f(0)=0，即sinx≤x右式证明：g(x)=sinx-x+x36，g(x)=cosx-1+x22，且g(x0)=0∵g (x)=x-sinx，由左式得∴g (x)在x∈(-∞，0)上单调递减，在x∈(0，+∞)上单调递增∴g(x)在x∈mst涛哥数学R上单调递增∴当x≤0时，g(x)≤g(0)=0，即sinx≤x-x36∴当x≥0时，g(x)≥g(0)=0，即sinx≥x-x362余弦：1-x22≤cosx≤1，(x∈R)左式证明：f(x)=cosx-1+x22，f(x)=x-sinx∵由1式得f(x)在x∈(-∞，0)上单调递减，在x∈(0，+∞)上单调递增∴f(x)≥f(0)=0，即cosx≥1-x2 23正切：tanx≥x，(0≤x<π2)证明：f(x)=tanx-x，∴f (x)=1cos2x-1≥0∴f(x)在x∈R上单调递增∴当-π2<x≤0时，f(x)≤f(0)=0，即tanx≤x ∴当0≤x<π2时，f(x)≥f(0)=0，即tanx≥x4正切：tanx≥x+13x3，(0≤x<π2)证明：f(x)=tanx-x-x33，f(x)=1cos2x-1-x2=tan2x-x2≥0∴f(x)在x∈(-π2，π2)上单调递增∴当-π2<x≤0时，f(x)≤f(0)=0，即tanx≤x+13x3∴当0≤x<π2时，f(x)≥f(0)=0，即tanx≥x+13x3 PS：tan2x+1=sec2x=1cos2x常见变式：1.sinx≥2πx，(0≤x≤π2)证明：(小题)几何作图法：割线2.sinx-xcosx≥0，(0≤x≤π2)证明：f(x)=sinx-xcosx=cosx tanx-x由3得：tanx~x，∵x∈-π2,π2时，cosx≥0∴当0≤x≤π2时，f(x)≥f(0)=0，即sinx-xcosx≥0∴当-π2≤x≤0时，f(x)≤f(0)=0，即sinx-xcosx≤03.xcosx+2x-3sinx≥0，(x≥0)证明：f(x)=x3-sinx2+cosx，f(x)=(1-cosx)23(2+cosx)2≥0∴f(x)在x∈R上单调递增，∵f(0)=0∴当x≤0时，f(x)≤f(0)=0，即xcosx+2x-3sinx≤0∴当x≥0时，f(x)≥f(0)=0，即xcosx+2x-3sinx≥0PS：x3是sinx2+cosx在0处的切线(π2,1)y=sinxl:y=2πxe x -e -x 2e x +e x 2e x 2e -x 2-e x 2拔高篇(130-140)一.130以下无需掌握：1.双曲正余切双曲正弦函数：shx =e x -e -x 2,奇函数双曲余弦函数：chx =e x +e -x 2,偶函数双曲正切函数：thx =shx chx =e x -e -x e x +e -x PS :有以下常用结论：1.th 2x =1-1ch 2x ，ch 2x -sh 2x =12.(shx ) =chx ，(chx ) =shx ，(thx ) =1ch 2x3.shx ，chx ，在第一象限无限趋近于e x 2，无渐进线4.sh (x +y )=shxchy +chxshy sh (x -y )=shxchy -chxshysh (2x)=2shxchx ch (x +y )=chxchy +shxshy ch (x -y )=chxchy -shxshy ch (2x )=ch 2x +sh 2x【解析】：由结论易知A 正确，B 错误,D 错误;C :设A (t ，e t +e -t 2)，B (t ，e t -e -t 2)，∴AB =1et 为减函数，∴C 正确；综上AC 正确2.x-1x<lnx≤4(x-1)x+1,0<x≤1 4(x-1)x+1<lnx<x-1x,x>1证明：将x→x代入飘带放缩即可3.(2-x)e x≥2+x，x≤0(2-x)e x<2+x，x>0证明：将x→e x代入飘带放缩即可3.(140以下无需掌握)1.lnx<(x-1)(x+5)4x+2，(x>0)证明：f(x)=lnx-(x-1)(x+5)4x+2，∴f(x)=1x-x2+x+7(2x+1)2=(1-x)3x(2x+1)2∴f(x)在x∈(0，1)上单调递增，在x∈(1，+∞)上单调递减∴f(x)≤f(1)=0，即lnx<(x-1)(x+5)4x+2，(x>0)2.lnx≥3x2-3x2+4x+1，(x≥1)证明：f(x)=lnx-3x2-3x2+4x+1，f(x)=(x-1)4x(x2+4x+1)2≥0∴f(x)在x>0上单调递增，∵f(1)=0∴当x≥1时，f(x)≥f(1)=0，即lnx≥3x2-3x2+4x+1 3.e x≥ax2+1，x≥0，(a≈1.5441)通常取a=32，即ex≥32x2+14..ln1+x1-x≥2x+23x3，x≥0证明：∵ln(1+x)≥x-x22+x33-x44，ln(1-x)≤-x-x22-x33-x44∴ln(1+x)-ln(1-x)=ln1+x1-x≥2x+23x3，x≥0帕德逼近：。
放缩法技巧全总结
放缩法技巧全总结放缩法是一种在求解数学问题时经常使用的技巧之一、它主要是通过对问题进行放大或缩小，从而转换为更简单或更熟悉的形式来解决。
放缩法可以用于各种数学领域，如代数、几何和计算等。
在本文中，我将总结一些常用的放缩法技巧。
一、代数放缩法1.替换变量：通过替换变量，将原始问题转化为更容易求解的问题。
例如，可以通过令一些变量等于另一个变量的一些表达式来简化问题。
2.提取公因式：将多项式中的公因式提取出来，可以简化计算过程。
3.移项：将方程中的项移动到一边，可以使问题更加清晰。
4.分式放缩：对于有分式形式的问题，可以通过放缩分母或分子来简化问题。
二、几何放缩法1.类比三角形：如果一个问题中涉及到一个复杂的三角形，可以通过找到类似形状但更简单的三角形来放缩问题。
2.重心放缩：对于一个几何体，可以通过移动几何体的重心来简化问题。
例如，在求解三角形面积时，可以通过将三角形平移到一个更简单的位置来计算。
3.缩放比例：通过按比例缩放一个几何体，可以简化问题。
例如，求解复杂图形的面积时，可以将图形按比例缩小到一个更易计算的大小。
三、计算放缩法1.近似计算：当遇到一个复杂的数学计算时，可以通过近似计算来简化问题。
例如，可以使用泰勒级数近似一个函数的值。
2.递归放缩：将一个复杂的计算问题分解为多个简单的计算问题，并将得到的结果组合起来。
例如，在求解一个复杂的积分时，可以将其拆分为多个简单的积分来计算。
3.迭代放缩：通过迭代计算的方式，逐步接近问题的解。
例如，在求解方程的根时，可以逐步逼近根的值。
四、实例分析以以下问题为例，展示放缩法在实际问题的应用。
假设有一个需要排队购买电影票的场景，共有n个人等待购票，每个人需要等待的时间为ti，求解n个人等待时间的平均值。
使用放缩法求解该问题的步骤如下:1. 将n个人的等待时间求和得到总的等待时间sum。
2. 将总的等待时间sum除以n，得到平均等待时间average。
通过放缩法求解，可以将原始问题转化为简单的求和和除法操作，从而简化了计算过程。
泰勒展开解密放缩法和高考命题方法-解析版
泰勒展开解密放缩法和高考命题方法为何高考中总是考e x和ln x这些超越函数呢?因为高考命题专家很多是大学老师,他们俯视高中数学,一览无遗.超越函数本质上就是高等数学中的泰勒公式,即从某个点处,我们可以构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值.如果这个点是0,就是形式比较简单的麦克劳林公式.简而言之,它的功能就是把超越式近似表示为幂函数.这也是放缩法的理论依据,也是出题老师的出题角度,后面将在泰勒展开中专门讲解如何命题,大家可先理解放缩法.泰勒展开公式及其应用一、泰勒展开公式设函数f(x)在点x0处的某邻域内具有n+1阶导数,则对该邻域内异于x0的任意点x,在x0与x之间至少存在一点ξ,使得f(x)=f x0+f′x0x-x0+f′′x02!⋅x-x02+⋯+f(n)x0n!x-x0n+R n(x)，R n(x)=f(n+1)(ξ) (n+1)!x-x0n+1余项,上式称为n阶泰勒公式.若x0=0,则泰勒公式称为麦克劳林公式,其中o x n为n阶无穷小,相当于余项R n(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!x n+1,即f(x)=f(0)+f′(0)x+f′′(0)2!x2+⋯+f(n)(0)n!x n+o x n.二、常用的初等函数的麦克劳林公式(1)e x=1+x+x22!+⋯+x nn!+o x n(2)sin x=x-x33!+x55!-⋯+(-1)n x2n+1(2n+1)!+o x2n+2(3)cos x=1-x22!+x44!-x66!+⋯+(-1)n x2n(2n)!+o x2n+1(4)ln(1+x)=x-x22+x33-⋯+(-1)n x n+1n+1+o x n+1(5)11-x =1+x+x2+⋯+x n+o x n(6)(1+x)m=1+mx+m(m-1)2!x2+⋯+m(m-1)⋅⋯⋅(m-n+1)n!x n+o x n1按(x-1)的三展开多项式f(x)=x4+3x2+4.思路:直接展开法,求f(x)按x-x0的㚞展开的n阶泰勒公式,则依次求f(x)直到n+1阶的导数在x =x0处的值,然后代入公式即可.【解析】f ′(x )=4x 3+6x ,f ′(1)=10;f ′′(x )=12x 2+6,f ′′(1)=18;f (x )=24x ,f (1)=24;f (4)(x )=24.f (1)(1)=24,f(5)(x )=0f (x )=f (1)+f ′(1)1!(x -1)+f ′′(1)2!(x -1)2+f (1)3!(x -1)3+f (4)(1)4!(x -1)4=8+10(x -1)+9(x-1)2+4(x -1)3+(x -1)42求函数y =xe x 的带有皮亚诺型余项的n 阶麦克劳林展开式.【解析】解法一:y ′=(x +1)e x ,y ′(0)=1;y ′′=(x +2)e x ,y ′′(0)=2;⋯;y (n )=(x +n )e x ,y (n )(0)=n ,将以上结果代入麦克劳林公式得xe x=f (0)+f ′(0)1!x +f ′′(0)2!x 2+f (0)3!⋅x 3+⋯+f (n )(0)n !x n +o x n =x +x 2+x 32!+⋯+x n(n -1)!+o x n法二:f (x )中含有e x 时,通常利用已知结论.e x =1+x +x 22!+⋯+x n n !+o x n .xe x =x 1+x +x 22!+⋯+x n -1(n -1)!+o x n -1 =x +x 2+x 32!+⋯+x n(n -1)!+o x n 3求函数f (x )=ln x 按(x -2)的幂展开的带有皮亚诺型余项的n 阶泰勒公式.【解析】解法一:直接展开.f ′(x )=1x ,f ′(2)=12;f ′′(x )=-1x2,f ′′(2)=-14;f (x )=2x 3,f (2)=14;⋯;f (n )(x )=(-1)n -1(n -1)!x n ,f (n )(2)=(-1)n -1⋅(n -1)!2n.将以上结果代入泰勒公式得ln x =f (2)+f ′(2)1!(x -2)+f ′′(2)2!⋅(x -2)2+f (2)3!(x -2)3+f (4)(2)4!(x -2)4+⋯+f (n )(2)n !(x -2)n +o (x -2)n =ln2+12(x -2)-123(x -2)2+13⋅23(x -2)3-⋯+(-1)n -11n ⋅2n(x -2)n +o (x -2)n .法二:f (x )为对数函数时利用已知的结论.ln (1+x )=x -x 22+x 33-⋯+(-1)n⋅x n +1n +1+o x n +1 ,然后变形可得f (x )=ln x =ln (2+x -2)=ln2+ln 1+x -22 =ln2+x -22-12x -22 2+13x -223-⋯+(-1)n -11n x -22 n +o x -22 n =ln2+12(x -2)-123(x -2)2+13⋅23(x -2)3-⋯+(-1)n -11n ⋅2n (x -2)n+o (x -2)n利用泰勒公式证明无参不等式泰勒展开证明无参不等式的一般步㝡骤:第一步:构造函数,并按泰勒公式展开函数,即如果函数f(x)在定义域I上有定义,且有n+1阶导数存在,x,x0∈I,则f(x)=f x0+f′x01!x-x0+f′′x02!x-x02+⋯+f(n)x0n!x-x0n+R n+1,其中R n+1=f(n+1)(ξ)(n+1)!x-x0n+1,ξ介于x和x0间第二步:判定余项R n+1的正负号,并去掉余项,得不等式.在上述泰勒公式中,若余项R n+1≤0,则去掉余项可得f(x)≤f x0+f′x01!x-x0+f′′x02!x-x02+⋯+f(n)x0n!x-x0(n).若R n+1≥0,则去掉余项可得f(x)≥f x0+f′x01!x-x0+f′′x02!x-x02+⋯+f(n)x0n!x-x0(n).4当x>0时,1+12x>1+x.【解析】解法一:令f(x)=1+12x-1+x,则当x>0时,f′(x)=12-121+x=1 21-11+x>0,f(x)=1+12x-1+x，x∈[0,+∞)单调递增,从而f(x)>f(0)=0,即1+12x>1+x,结论成立.法二:由泰勒公式得f(x)=1+12x-1+x=1+12x-(1+12x-x28(1+ξ)32=x28(1+ξ)32(0<ξ<x),从而得f(x)=x28(1+ξ)32>0,1+12x>1+x,结论成立.5设x>0,证明:x-x22<ln(1+x).【解析】证明法一:设h(x)=x-x22-ln(x+1),h′(x)=1-x-1x+1=-x2x+1<0(x>0),则h(x)在(0,+∞)上单调递减,∴h(x)<h(0)=0,即有x-x22<ln(x+1).法二:由泰勒展开可得ln(1+x)=x-x22+x33(1+ξ)3ξ∈0,x∵x>0,∴x33(1+ξ)3>0则ln(1+x)=x-x22+x33(1+ξ)3>x-x22,结论成立.6证明:ln(1+x)≤x-x22+x33(-1<x<1)【解析】证明：设f(x)=ln(1+x)(-1<x<1),则f(x)在x=0处有带有拉格朗日余项。
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放缩技巧放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的的方法，叫放缩法。
放缩法的方法有：⑴添加或舍去一些项，如：a a >+12；n n n >+)1( ⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶利用基本不等式，如：4lg 16lg 15lg )25lg 3lg (5lg 3log 2=<=+<⋅； 2)1()1(++<+n n n n⑷利用常用结论： Ⅰ、kkk k k 21111<++=-+； Ⅱ、k k k k k 111)1(112--=-< ； 111)1(112+-=+>k k k k k （程度大） Ⅲ、)1111(21)1)(1(111122+--=+-=-<k k k k k k ； （程度小） 1.若a , b , c , d ∈R +，求证：21<+++++++++++<ca d db dc c a c b bd b a a【巧证】：记m =ca d db dc c a c b bd b a a +++++++++++∵a , b , c , d ∈R+∴1=+++++++++++++++>cb a d db a dc c a c b a bd c b a a m2=+++++++<cd dd c c b a b b a a m ∴1 < m < 2 即原式成立2.当 n > 2 时，求证：1)1(log )1(log <+-n n n n 【巧证】：∵n > 2 ∴0)1(log ,0)1(log >+>-n n n n∴2222)1(log 2)1(log )1(log )1(log )1(log ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-<+-n n n n n n n n n n 12log 22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡<n n ∴n > 2时, 1)1(log )1(log <+-n n n n3.求证：213121112222<++++n【巧证】：nn n n n 111)1(112--=-< ∴2121113121211113121112222<-=+-++-+-+<++++n n n n巧练一：设x > 0, y > 0,y x y x a +++=1, yyx x b +++=11，求证：a < b 巧练一：【巧证】：yyx x y x y y x x y x y x +++<+++++=+++11111 巧练二：求证：lg9•lg11 < 1巧练二：【巧证】：122299lg 211lg 9lg 11lg 9lg 222=⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⋅巧练三：1)1(log )1(log <+-n n n n巧练三：【巧证】： 222)1(log )1(log )1(log ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-≤+-n n n n n n 12log 22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡<n n 巧练四：若a > b > c , 则0411≥-+-+-ac c b b a 巧练四： 【巧证】： c a c b b a c b b a c b b a -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-≥--≥-+-4)()(22))((12112巧练五：)2,(11211112≥∈>+++++++n R n nn n n巧练五：【巧证】：左边11111122222=-+=++++>n nn n n n n n 巧练六：121211121<+++++≤nn n 巧练六：【巧证】： 11121<⋅+≤≤⋅n n n n 中式 巧练七：已知a , b , c > 0, 且a 2+ b 2= c 2，求证：a n + b n < c n (n ≥3, n ∈R *)巧练七：【巧证】： ∵122=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c a ，又a , b , c > 0,∴22,⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c b c a c a n n ∴1=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛nn c b c a证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查知识的潜能与后继能力，因而成为压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、 裂项放缩1.(1)求∑=-n k k 12142的值; (2)求证:35112<∑=nk k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21422+--=+-=-n n n n n ,所以122121114212+=+-=-∑=n n n knk (2)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n , 所以3532112112151312111=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk 奇巧积累:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-<=1211212144441222n n n n n(2))1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+n n n n n n n C C nn(3))2(111)1(1!11)!(!!11≥--=-<<⋅-=⋅=+r r r r r r n r n r n nC Tr rrn r (4)25)1(123112111)11(<-++⨯+⨯++<+n n nn(5)nn nn21121)12(21--=-(6)n n n -+<+221(7))1(21)1(2--<<-+n n nn n(8) nn n n n n n 2)32(12)12(1213211221⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-(9)⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+=+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1 (10) !)1(1!1!)1(+-=+n n n n21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n(11) )2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112≥---=--=--<--=----n n n n n n n n n n n n n n(12)111)1(1)1(1)1)(1(11123--+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-<⋅=n n n n n n n n n nn n11112111111+--<-++⋅⎪⎭⎫⎝⎛+--=n n nn n n n(13) 3212132122)12(332)13(2221nn n n n n n n n <-⇒>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+(14)!)2(1!)1(1)!2()!1(!2+-+=+++++k k k k k k)2(1)1(1≥--<+n n n n n (15)111)11)((1122222222<++++=+++--=-+-+j i j i j i j i j i j i j i2. 证明:.13)2311()711)(411)(11(3+>-++++n n解析: 运用两次次分式放缩:1338956.232313784512-⋅⋅⋅⋅>--⋅⋅⋅⋅n n n n (加1)nn n n 31391067.342313784512+⋅⋅⋅⋅>--⋅⋅⋅⋅ (加2)相乘,可以得到:)13(1323875421131381057.2423137845122+⋅--⋅⋅⋅⋅=-+⋅⋅⋅⋅>⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅⋅⋅⋅n n n n n n n 所以有.13)2311()711)(411)(11(3+>-++++n n(1)求证:)2()12(2167)12(151311222≥-->-++++n n n (2)求证:nn412141361161412-<++++ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn(4) 求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n nn解析:(1)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+->-12112121)12)(12(1)12(12n n n n n , 所以)12131(211)12131(211)12(11--+>+-+>-∑=n n i ni (2))111(41)1211(414136116141222nnn-+<+++=++++(3)先运用分式放缩法证明出1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n nn ,再结合n n n -+<+221进行裂项,最后就可以得到答案(4)首先nn n n n++=-+>12)1(21,所以容易经过裂项得到nn 131211)11(2++++<-+再证21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n而由均值不等式知道这是显然成立的，所以)112(2131211-+<++++n n3.求证:35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n解析:一方面:因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k nk 另一方面:1111)1(143132111914112+=+-=+++⨯+⨯+>++++n n n n n n当3≥n 时,)12)(1(61++>+n n n n n ,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++ ,当2=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++<++ ,所以综上有35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n4.设函数()ln f x x x x =-.数列{}n a 满足101a <<.1()n n a f a +=.设1(1)b a ∈，，整数11ln a b k a b-≥.证明:1k a b +>.解析:由数学归纳法可以证明{}n a 是递增数列,故存在正整数k m ≤,使b a m ≥,则b a a k k ≥>+1,否则若)(k m b a m ≤<,则由101<<≤<b a a m 知0ln ln ln 11<<≤b a a a a a m m m ,∑=+-=-=km m m k k k k a a a a a a a111ln ln ,因为)ln (ln 11b a k a akm m m<∑=,于是b a b a b a k a a k =-+≥+>+)(|ln |111115.已知m m m m m n S x N m n ++++=->∈+ 321,1,,,求证: 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n .解析:首先可以证明:nx x n +≥+1)1(∑=++++++++--=-++---+--=nk m m m m m m m m k k n n n nn111111111])1([01)2()1()1(所以要证 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n 只要证:∑∑∑=+++++++++==++-+=-++--+-+=-+<+<--nk m m m m m m m m m n k m nk m m k k n n n n n k m k k111111111111111])1[(2)1()1(1)1()1(])1([ 故只要证∑∑∑=++==++-+<+<--nk m m n k m nk m m k k k m k k1111111])1[()1(])1([,即等价于m m m m m k k k m k k -+<+<--+++111)1()1()1(,即等价于11)11(11,)11(11++-<+-+<++m m kkm kkm而正是成立的,所以原命题成立.6.已知n n n a 24-=,nnna a a T +++=212,求证:23321<++++nT T T T .解析:)21(2)14(3421)21(241)41(4)222(444421321n n nn n n nT -+-=-----=+++-++++=所以123)2(22232234232323422234342)21(2)14(3422111111+⋅-⋅⋅=+⋅-⋅=-+=-+-=-+-=++++++n n nn n n n n n n n n n nnn T ⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--⋅⋅=+12112123)12)(122(2231n n nn n从而231211217131311231321<⎪⎭⎫ ⎝⎛---++-+-=+++++n n nT T T T7.已知11=x ,⎩⎨⎧∈=-∈-==),2(1),12(Z k k n n Z k k n n x n,求证:*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+ 证明:nnn n n n x x n n 222141141)12)(12(11424244122=⋅=>-=+-=+,因为 12++<n n n ,所以)1(2122214122n n n n nx x n n -+=++>>+所以 *))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+二、函数放缩8.求证：)(665333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n nn∈+-<++++ .解析:先构造函数有xxx x x 11ln 1ln -≤⇒-≤,从而)313121(1333ln 44ln 33ln 22ln n n n n+++--<++++ 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++n n n n 31121219181716151413121313121 6533323279189936365111n n n n n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++>---所以6553ln 4ln 3ln 2ln +n n n n n9. 10.所以有2ln 21<,2ln 3ln 31-<,…,)1ln(ln 1--<n n n ,n n n ln )1ln(11-+<+,相加后可以得到: )1ln(113121+<++++n n另一方面⎰->ni n ABDExS 1,从而有)ln(ln |ln 11i n n x x i in n i n nin --==>⋅---⎰取1=i 有,)1ln(ln 11-->-n n n , 所以有nn 1211)1ln(+++<+ ,所以综上有nn n 1211)1ln(113121+++<+<++++ 11.求证:en <+⋅⋅++)!11()!311)(!211( 和e n <+⋅⋅++)311()8111)(911(2 . 解析:构造函数后即可证明12.求证:32)]1(1[)321()211(->++⋅⋅⨯+⋅⨯+n e n n 解析:1)1(32]1)1(ln[++->++n n n n ,叠加之后就可以得到答案13.证明:)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n 解析:构造函数)1(1)1()1ln()(>+---=x x x x f ,求导,可以得到: 12111)('--=--=x x x x f ,令0)('>x f 有21<<x ,令0)('<x f 有2>x ,所以0)2()(=≤f x f ,所以2)1ln(-≤-x x ,令12+=n x 有,1ln 22-≤n n 所以211ln -≤+n n n,所以)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n 14. 已知112111,(1).2n n n aa a n n +==+++证明2n a e <. 解析: n n n n n a n n a n n a )21)1(11(21))1(11(1+++<+++=+, 然后两边取自然对数,可以得到nn n a n n a ln )21)1(11ln(ln 1++++<+然后运用x x <+)1ln(和裂项可以得到答案) 放缩思路：⇒+++≤+n n n a n n a )2111(21⇒++++≤+nnn a n n a ln )2111ln(ln 21n n n n a 211ln 2+++≤。