2012概率论与数理统计试卷答案内

11-12暨南大学概率论试卷A 张培爱、邱青1．设A 、B 、C 为三个事件，则事件“A 、B 、C 中恰有两个发生”可表示为( C ). A ．AB AC BC ++； B. A B C ++； C. ABC ABC ABC ++； D. ABC 2.. 设在 Bernoulli 试验中,每次试验成功的概率为)10(<<p p ，重复独立进行3 次试验, 至少失败一次的概率为 ( B ). A. 3)1(p -; B. 31p -;C. 3(1)p -;D. )1()1()1(223p p p p p -+-+-. 3. 设12,,,,n ηηη⋅⋅⋅⋅⋅⋅是相互独立且具有相同分布的随机变量序列, 若 1n E η=,方差存在,(1,2,),n =⋅⋅⋅ 则1lim ||3ni n i n P n η→∞=⎛⎫-<=⎪⎝⎭∑( B ). A. 0; B. 1; C. 1;3 D. 12. 4. 设随机变量X 的概率密度为 33,0()0,0x e x x x ϕ-⎧>=⎨≤⎩, 则方差D(X)= ( D )A. 9；B. 3；C. 13；D. 19.5. 设随机变量X 的概率密度函数)1(1)(2x x f +=π，则X Y 3=的概率密度函数为（ B ）． A ．)1(12y +π B ．)9(32y +π C ．)9(92y +πD ．)9(272y +π6. 设()~1,X N σ2,且(13)0.7P X -<<=，则()=-<1X P （ A ） A ．0.15B. 0.30C. 0.45D. 0.67．设)2,3(~2N X ，则=<<}51{X P （ B ）（设220()d x xx x -Φ=⎰）． A ．00(5)(1)Φ-Φ B ．02(1)1Φ- C ．011()122Φ- D ．0051()()44Φ-Φ8．设总体2~(,)X N μσ，其中μ未知，1234,,,x x x x 为来自总体X 的一个样本，则以下关于的μ四个无偏估计：1ˆμ=),(414321x x x x +++4321252515151ˆx x x x +++=μ 4321361626261ˆx x x x +++=μ，4321471737271ˆx x x x +++=μ中，哪一个最有效？（ A ）9. 设),,,(21n X X X 为总体2(2,3)N 的一个样本,X 为样本均值,S 为样本标准差, 则下列结论中正确的是 ( D ).~()X t n ； B. 211()~(,1)9ni i X X F n =-∑；~(0,1)X N ； D. 2211(2)~()9ni i X n χ=-∑. 10. 在假设检验中,记0H 为原假设，则犯第一类错误指的是（ C ）. A. 0H 正确，接受0H ； B. 0H 不正确，拒绝0H ； C. 0H 正确，拒绝0H ； D. 0H 不正确，接受0H1. 假设12,A A 是两个相互独立的事件, 若11239(),(),1010P A P A A =+= 则2()P A =67.2. 若)45.0,122(~B X ,则它的概率函数()P X k =在k = 55 取得最大值.3. 若 ,1()25, ()4, ,2X Y D X D Y ρ=== 则 ()D X Y -= 19 .4. 设X ，Y 的联合分布律为且X ，Y 相互独立，则α=29，=β19.5. 设2(),(),E X D x μσ==由切比雪夫不等式知{}22P X μσμσ-<<+≥3/4.6. 设A n 是n 次独立试验中事件A 发生的次数，p 是事件A在每次试验中发生的概率，则lim 0}n P →∞≤= 0.5 .7. 若随机变量,ξη相互独立, 且~(1,1),N ξ- ~(2,4),N η则23~ξη-(8,40)N -. 8. 若随机变量~(,)F F m n , 则1~F(,)F n m . 9. 设总体ξ的分布密度为 ,0(0)(;)0,0,x e x x x θθθϕθ-⎧≥>=⎨<⎩, 现从中抽取n 个样本, 测得观测值分别为12,,,(0,1,2,,)n i x x x x i n ⋅⋅⋅>=⋅⋅⋅, 则参数θ的最大似然估计为1xθ∧=. 1. 甲罐中有一个白球，二个黑球，乙罐中有一个白球，四个黑球，现掷一枚均匀的硬币，如果得正面就从甲罐中任取一球，如果得反面就从乙罐中任取一球，若已知取的球是白球，试求此球是甲罐中取出的概率。

解：令 {}B =摸出的球是白球,12{}, {}A A ==球取自甲罐球取自乙罐,则1212, =A A A A Ω 互不相容，且 , (2分)由题意知 121()=()=2P A P A ，1211(|), (|)35P B A P B A ==, (4分)利用 Bayes 公式知1111122()(|)(|)()(|)()(|)P A P B A P A B P A P B A P A P B A =+ (7分)11231111232558⨯=⨯+⨯= (9分)2.设二维随机变量),(Y X 的概率密度为101010, x ,y ,f (x,y ), <<<<⎧=⎨⎩其他 （1）求 , EX EY ； （2）求协方差(,)Cov X Y ；（3）令2, 2U X Y V X Y =+=-,求协方差(,)Cov U V .解：(1) 11001(,),2EX xf x y dxdy xdxdy +∞+∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰ （1分）11001(,),2EY yf x y dxdy ydxdy +∞+∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰ （2分）(2) 11001(,),4EXY xyf x y dxdy xydxdy +∞+∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰ （3分）(,)0Cov X Y EXY EXEY =-= （5分）(3) 11222001(,),3EX x f x y dxdy x dxdy +∞+∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰ （6分）11222001(,),3EY y f x y dxdy y dxdy +∞+∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰ （7分）22(,) =4(2)(2)11311=433224Cov U V EUV EUEVEX EY EX EY EX EY =---+-⨯--⨯=（9分）3. 设随机变量X 的密度函数为：||() ()x f x Ce x -=-∞<<+∞（1）试确定常数C ； （2）求()1P X <； （3）求2Y X =的密度函数. 解（1）()0221xx f x dx Ce dx C e dx C +∞+∞+∞---∞-∞====⎰⎰⎰得：12C =()()12xf x e x -∴=-∞<<+∞ (3分)（2）()111011112x x P X e dx e dx e---<===-⎰⎰ (5分)（3）当0<y 时，()()20F y P X y =≤=；当0≥y 时，()()(20xx F y P X y P X dx dx --=≤=≤≤== ()()000,y f y F y y <⎧⎪'∴==≥ (9分)4. 进行9次独立测试，测得零件加工时间的样本均值5.5x =（秒），样本标准差1.7s =（秒）. 设零件加工时间服从正态分布),(2σμN ，求零件加工时间的均值μ及方差2σ置信度为0.95的置信区间. (分布表见最后一页)解： （1）均值μ的置信度为0.95的置信区间为, x x αα⎛⎫ ⎪⎝⎭(2’)查表可知 t α=2.306, 代入可知 (3’)1.7 1.7, 5.5 2.306, 5.5 2.306(4.193,6.807)33x xαα⎛⎫⎛⎫+=-⨯+⨯=⎪⎪⎝⎭⎝⎭(4’)（2）方差2σ的置信度为0.95的置信区间为2222122(1)(1),n s n sααχχ-⎛⎫--⎪⎪⎪⎝⎭(6’)查表可知2212217.535, 2.180ααχχ-==, 代入可知(8’)222222122(1)(1)8 1.78 1.7,,(1.319,10.606)17.535 2.180n s n sααχχ-⎛⎫⎛⎫--⨯⨯⎪==⎪⎪⎝⎭⎪⎝⎭(9’)5.食品厂用自动装罐机装罐头食品，每罐的标准重量为500（g），每隔一定时间检查机器工作情况，现抽取16瓶，测得其重量，计算得平均重量502x g=，样本方差242.25s=，假设罐头重量X服从正态分布),(2σμN，问：机器工作是否正常？（显著性水平02.0=α, 分布表见最后一页）解：01:500,:500H Hμμ=≠(2’)（1）令)500XTS-=, 则~(15)T t(4’)（2）查的临界值tα=2.602,拒绝域为：|| 2.602T> (6’)（3）将样本观测值代入T可得4(502500)|| 1.231 2.6026.5t-==<从而接受原假设H, 即机器工作正常. (9’)1.设),,,(21nXXX 是总体X的样本, , D()X XμσE==2, 证明：样本方差()nkkS X Xn==--∑22111是总体方差σ2的无偏估计量.证明：由于[()()]nk k S X X n 22111μμ==----∑ [()()()()]n k k k S X X X X n 2221121μμμμ==----+--∑ ()()()()n n nk k k k k X X X X n 22111121μμμμ====----+--∑∑∑ ()()()()n n nk k k k k X X X X n 22111121μμμμ====----+--∑∑∑ ()()()n k k X n X n X n 2221121μμμ==---+--∑ [()()]nk k X n X n 22111μμ==----∑ [()()]nk k ES E X nE X n 222111μμ==----∑[()()]nk k k ES E X EX nE X EX n 222111==----∑[]n k k DX nDX n 111==--∑=[]nk n n n22111σσ==--∑[]n n 22211σσσ=-=-()() =((())) =() n n k kk k k n k n k ES E X XEX E X EX X n n n n n n n n σσμμμσμσ=====-=+---+++--++---∑∑∑∑22221122222221211121112111111 =σ2 从而S 2是总体方差 σ2的无偏估计量.表1：t分布双侧分位点数值表P(|t(n)|>t)=α（n：自由度）n α0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.05 0.02 0.018 0.130 0.262 0.399 0.546 0.706 0.889 1.108 1.397 1.860 2.306 2.896 3.3559 0.129 0.261 0.398 0.543 0.703 0.883 1.100 1.383 1.833 2.262 2.821 3.25010 0.129 0.260 0.397 0.542 0.700 0.879 1.093 1.372 1.812 2.228 2.764 3.16915 0.128 0.258 0.393 0.536 0.691 0.866 1.074 1.341 1.753 2.131 2.602 2.94716 0.128 0.258 0.392 0.535 0.690 0.865 1.071 1.337 1.746 2.120 2.583 2.92117 0.128 0.257 0.392 0.534 0.689 0.863 1.069 1.333 1.740 2.110 2.567 2.898∞0.126 0.253 0.385 0.524 0.675 0.842 1.036 1.282 1.645 1.960 2.327 2.576 表2：2χ分布上侧分位点数值表22P(n)=χ>χα（n：自由度）αn α 0.995 0.990 0.975 0.950 0.900 0.100 0.050 0.025 0.010 0.0058 1.344 1.646 2.180 2.733 3.490 13.362 15.507 17.535 20.090 21.9559 1.735 2.088 2.700 3.325 4.168 14.684 16.919 19.023 21.666 23.58910 2.156 2.558 3.247 3.940 4.865 15.987 18.307 20.483 23.209 25.18815 4.601 5.229 6.262 7.261 8.547 22.307 24.996 27.488 30.578 32.80116 5.142 5.812 6.908 7.962 9.312 23.542 26.296 28.845 32.000 34.26717 5.697 6.408 7.564 8.672 10.085 24.769 27.587 30.191 33.409 35.718友情提示：部分文档来自网络整理，供您参考！文档可复制、编制，期待您的好评与关注！。