高一数学数列人教版 知识精讲
高一新课程《数列》解读课件
函数的极限与数列的极限
02
函数的极限定义可以推广到数列上，数列的极限定义也可以应
调性可以转化为数列的单调性，反之亦然。
数列的单调性
01
02
03
单调递增数列
如果对于任意的n，都有 a_{n+1}>=a_n，则称数 列为单调递增数列。
单调递减数列
如果对于任意的n，都有 a_{n+1}<=a_n，则称数 列为单调递减数列。
单调性与函数图像
单调递增的数列对应于函 数图像的单调递增区间， 单调递减的数列对应于函 数图像的单调递减区间。
数列的极限
极限的定义
对于任意小的正数e，存在一个正整数N，使得当n>N时，|a_n L| < e成立，其中L是数列的极限值。
极限的性质
极限具有唯一性、有界性、传递性和四则运算性质等。
极限的应用
的方法。
累加法的适用范围较广，尤其适 用于等差数列、等比数列等具有
明显递增或递减规律的数列。
累加法的优点在于计算过程相对 简单，但需要保证数列的规律性
。
迭代法
迭代法是通过不断重复应用数列的递 推关系式，从而求得通项公式的方法 。
迭代法适用于具有特定迭代关系的数 列，如几何级数等。
迭代法的关键在于找到正确的递推关 系式，并确定迭代的起始值和终止条 件。
等比数列的求和公式为
$S_n = a_1 frac{1 - r^n}{1 - r}$，其中$a_1$是首项，$r$ 是公比。
裂项法求和
裂项法适用于分式数列，通过将每一项都拆分成两个部分，使得中间项 相互抵消，从而简化求和过程。
例如，对于数列$frac{1}{n(n + 1)}$，可以将其拆分为$frac{A}{n} + frac{B}{n + 1}$的形式，其中$A$和$B$是常数。通过求解$A$和$B$，
高一数学必修5：数列(知识点梳理)
第二章：数列一、数列的概念1、数列的概念：一般地，按一定次序排列成一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的一般形式可以写成a a a a n ,,,,,123，简记为数列a n {}，其中第一项a 1也成为首项；a n 是数列的第n 项，也叫做数列的通项.数列可看作是定义域为正整数集*N （或它的子集）的函数，当自变量从小到大取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列.2、数列的分类：按数列中项的多数分为：（1） 有穷数列：数列中的项为有限个，即项数有限； （2） 无穷数列：数列中的项为无限个，即项数无限.3、通项公式：如果数列a n {}的第n 项a n 与项数n 之间的函数关系可以用一个式子表示成=a f n n ()，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式.4、数列的函数特征：一般地，一个数列a n {}，如果从第二项起，每一项都大于它前面的一项，即>+a a n n 1，那么这个数列叫做递增数列;高一数学必修5：数列（知识点梳理）如果从第二项起，每一项都小于它前面的一项，即1n n a a +<，那么这个数列叫做递减数列; 如果数列的各项都相等，那么这个数列叫做常数列.5、递推公式：某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式．二、等差数列1、等差数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么这个数列久叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.即1n n a a d +-=（常数），这也是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据.2、等差数列的通项公式：设等差数列的首项为1a ，公差为d ，则通项公式为：()()()11,n m a a n d a n m d n m N +=+-=+-∈、.3、等差中项：（1）若a A b 、、成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且=2a bA +; （2）若数列为等差数列，则12,,n n n a a a ++成等差数列，即1n a +是与2n a +的等差中项，且21=2n n n a a a +++；反之若数列满足21=2n n n a a a +++，则数列是等差数列.4、等差数列的性质：（1）等差数列中，若(),m n p q m n p q N ++=+∈、、、则m n p q a a a a +=+，若2m n p +=，则2m n p a a a +=；（2）若数列和{}n b 均为等差数列，则数列{}n n a b ±也为等差数列；（3）等差数列{}n a 的公差为d ，则{}0n d a >⇔为递增数列，{}0n d a <⇔为递减数列，{}0n d a =⇔为常数列.5、等差数列的前n 项和n S ：（1）数列{}n a 的前n 项和n S =()1231,n n a a a a a n N -++++++∈；（2）数列{}n a 的通项与前n 项和n S 的关系：11,1.,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩（3）设等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，则前n 项和()()111=.22n n n a a n n S na d +-=+6、等差数列前n 和的性质：（1）等差数列{}n a 中，连续m 项的和仍组成等差数列，即12122,,m m m m a a a a a a ++++++++21223m m m a a a +++++,仍为等差数列（即232,,,m m m m m S S S S S --成等差数列）；（2）等差数列{}n a 的前n 项和()2111==,222n n n d d S na d n a n -⎛⎫++- ⎪⎝⎭当0d ≠时，n S 可看作关于n 的二次函数，且不含常数项；（3）若等差数列{}n a 共有2n+1（奇数）项，则()11==,n S n S S a S n++-奇奇偶偶中间项且若等差数列{}n a 共有2n （偶数）项，则1==.n nS a S S nd S a +-偶奇偶奇且7、等差数列前n 项和n S 的最值问题：设等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，则（1）100a d ><且（即首正递减）时，n S 有最大值且n S 的最大值为所有非负数项之和； （2）100a d <>且（即首负递增）时，n S 有最小值且n S 的最小值为所有非正数项之和.三、等比数列1、等比数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比是同一个不为零的常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示（0q ≠）.即()1n na q q a +=为非零常数，这也是证明或判断一个数列是否为等比数列的依据.2、等比数列的通项公式：设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则通项公式为：()11,,n n m n m a a qa q n m n m N --+==≥∈、.3、等比中项：（1）若a A b 、、成等比数列，则A 叫做a 与b 的等比中项，且2=A ab ; （2）若数列{}n a 为等比数列，则12,,n n n a a a ++成等比数列，即1n a +是与2n a +的等比中项，且212=n n n a a a ++⋅；反之若数列{}n a 满足212=n n n a a a ++⋅，则数列{}n a 是等比数列.4、等比数列的性质：（1）等比数列{}n a 中，若(),m n p q m n p q N ++=+∈、、、则m n p q a a a a ⋅=⋅，若2m n p +=，则2m n p a a a ⋅=；（2）若数列{}n a 和{}n b 均为等比数列，则数列{}n n a b ⋅也为等比数列；（3）等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则{}1100101na a a q q ><⎧⎧⇔⎨⎨><<⎩⎩或为递增数列，{}1100011n a a a q q ><⎧⎧⇔⎨⎨<<>⎩⎩或为递减数列， {}1n q a =⇔为常数列.5、等比数列的前n 项和：（1）数列{}n a 的前n 项和n S =()1231,n n a a a a a n N -++++++∈；（2）数列{}n a 的通项与前n 项和n S 的关系：11,1.,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ （3）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为()0q q ≠，则()11,1.1,11n n na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩由等比数列的通项公式及前n 项和公式可知，已知1,,,,n n a q n a S 中任意三个，便可建立方程组求出另外两个.6、等比数列的前n 项和性质：设等比数列{}n a 中，首项为1a ，公比为()0q q ≠，则 （1）连续m 项的和仍组成等比数列，即12122,,m m m m a a a a a a ++++++++21223m m m a a a +++++,仍为等比数列（即232,,,m m m m m S S S S S --成等差数列）；（2）当1q ≠时，()()11111111111111n n n n n a q a a a a aS q q q qq q q q q -==⋅-=-⋅=⋅-------， 设11a t q =-，则n n S tq t =-.四、递推数列求通项的方法总结1、递推数列的概念：一般地，把数列的若干连续项之间的关系叫做递推关系，把表达递推关系的式子叫做递推公式，而把由递推公式和初始条件给出的数列叫做递推数列.2、两个恒等式：对于任意的数列{}n a 恒有：（1）()()()()12132431n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-++-（2）()23411231,0,nn n n a a a a a a a n N a a a a +-=⨯⨯⨯⨯⨯≠∈3、递推数列的类型以及求通项方法总结： 类型一（公式法）：已知n S （即12()n a a a f n +++=）求n a ，用作差法：{11,(1),(2)n n n S n a S S n -==-≥类型二（累加法）：已知：数列的首项,且()()1,n n a a f n n N ++-=∈，求n a 通项.给递推公式()()1,n n a a f n n N ++-=∈中的n 依次取1,2,3，……，n-1,可得到下面n-1个式子：()()()()21324311,2,3,,1.n n a a f a a f a a f a a f n --=-=-=-=-利用公式()()()()12132431n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-++-可得：()()()()11231.n a a f f f f n =+++++-类型三（累乘法）：已知：数列的首项,且()()1,n na f n n N a ++=∈，求n a 通项. 给递推公式()()1,n na f n n N a ++=∈中的n 一次取1,2,3，……，n-1,可得到下面n-1个式子： ()()()()23412311,2,3,,1.nn a a aa f f f f n a a a a -====- 利用公式()23411231,0,nn n n a a a a a a a n N a a a a +-=⨯⨯⨯⨯⨯≠∈可得： ()()()()11231.n a a f f f f n =⨯⨯⨯⨯⨯-类型四（构造法）：形如q pa a n n +=+1、n n n q pa a +=+1（q p b k ,,,为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后，再求n a 。
人教版高中数学必修五《数列》基础知识要点总结知识分享
3 、判断等差 （比）数列的 方法
4、等差（比） 数列的通项 公式
5、性质 1
① ????- ????-1 = ?? ② 2????= ????-1 + ????+1(??≥ 2) ③ ????= ???+? ??
① ????= ??1 + (??- 1)?? ② ????= ???? + ( ??- ??) ?? ③ ????= ???+? ??，其中 ??、 ??是常数 在等差数列 {????} 中，若已知 ????与 ????， 其中 ??，??∈??? ，则该数列的公差 ??= ????-????。
在等比数列 {????}中，若 ??+ ??= ??+ ?? （ ??，??，?，? ??∈???），则 ???? ?????= ????? ???。?
特别地，等比数列 {????} 中，若 2?? = ??+ ?（???，??，??∈???），则 ???2? = ????????。?
只供学习与交流
若 {????} 和 {????} 分别是公比为 ??和 ??的等
比数列，
则数列
{????
?????}
，{
????}
????
仍是等
比数列，它们的公比分别为 ???，? ??。
??
9、等差（比） 数列的单调 性
①若 ??> 0，则 {????}为递增数列； ②若 ??< 0，则 {????}为递减数列； ③若 ??= 0，则 {????}为常数列。
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第二章 《数列》基础知识小结
一、数列的概念与表示方法
1、数列的概念 2、数列的通项 公式
高中数学人教新课标A版：数列的概念及通项公式 课件
值为72. 答案：D
2．(函数与方程)若数列{an}的通项公式 an＝
1 n＋
n＋1，则
10－3 是此数列的
第________项．
解析：an＝
1 n＋1＋
＝ n
n＋1－ n n＋1＋ n n＋1－
＝ n
n＋1－
n，∵
10－
3＝ 10－ 9，∴ 10－3 是该数列的第 9 项．
答案：9
四、“基本活动经验”不可少 某种生物细胞在实验室的培养过程中，每小时分裂一 次(一个分裂为两个)，经过 6 h，由 1 个这种细胞可以 繁殖成多少个细胞？ 解：设经过 n h，这种细胞由 1 个可繁殖成 an 个，细胞的个数形成一个 数列{an}． 由题意，细胞每小时分裂一次，得 an＋1＝2an(n≥1)． 由 a1＝2，并根据 an＋1＝2an 得 a2＝4， 依此类推，a3＝23，…，a6＝26＝64. 因此经过 6 h，这种细胞由 1 个可繁殖成 64 个．
第一节 数列的概念及通项公式 课标要求1.了解数列的概念和表示方法列表、图象、通项公式. 2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.
一、“基础知识”掌握牢 1．数列的概念
(1)数列的定义：按照 一定顺序 排列的一列数叫做数列，数列中的 每一个数 叫
做这个数列的项．
(2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集 N *(或它的有
[典例] (1)设 Sn 是数列{an}的前 n 项和，且 a1＝－1，Sann＋＋11＝Sn，则 S10＝________.
(2)已知数列{an}满足 a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，则 an＝________. [解析] (1)由Sann＋＋11＝Sn，得 an＋1＝SnSn＋1. 又 an＋1＝Sn＋1－Sn，所以 Sn＋1－Sn＝Sn＋1Sn， 即Sn1＋1－S1n＝－1，所以数列S1n是以S11＝a11＝－1 为首项，－1 为公差的等 差数列， 所以S1n＝－1＋(n－1)·(－1)＝－n， 所以S110＝－10，所以 S10＝－110.
优品课件之高一数学下册《数列》知识点复习人教版
高一数学下册《数列》知识点复习人教版高一数学下册《数列》知识点复习人教版1．数列的定义按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做数列的项.(1)从数列定义可以看出，数列的数是按一定次序排列的，如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就不是同一数列，例如数列1，2，3，4，5与数列5，4，3，2，1是不同的数列.(2)在数列的定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，在同一数列中可以出现多个相同的数字，如：-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列：-1，1，-1，1，….(4)数列的项与它的项数是不同的，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n. (5)次序对于数列来讲是十分重要的，有几个相同的数，由于它们的排列次序不同，构成的数列就不是一个相同的数列，显然数列与数集有本质的区别.如：2，3，4，5，6这5个数按不同的次序排列时，就会得到不同的数列，而{2，3，4，5，6}中元素不论按怎样的次序排列都是同一个集合.2．数列的分类(1)根据数列的项数多少可以对数列进行分类，分为有穷数列和无穷数列.在写数列时，对于有穷数列，要把末项写出，例如数列1，3，5，7，9，…，2n-1表示有穷数列，如果把数列写成1，3，5，7，9，…或1，3，5，7，9，…，2n-1，…，它就表示无穷数列.(2)按照项与项之间的大小关系或数列的增减性可以分为以下几类：递增数列、递减数列、摆动数列、常数列.3．数列的通项公式数列是按一定次序排列的一列数，其内涵的本质属性是确定这一列数的规律，这个规律通常是用式子f(n)来表示的，这两个通项公式形式上虽然不同，但表示同一个数列，正像每个函数关系不都能用解析式表达出来一样，也不是每个数列都能写出它的通项公式;有的数列虽然有通项公式，但在形式上，又不一定是唯一的，仅仅知道一个数列前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的，通项公式更非唯一.如：数列1，2，3，4，…，由公式写出的后续项就不一样了，因此，通项公式的归纳不仅要看它的前几项，更要依据数列的构成规律，多观察分析，真正找到数列的内在规律，由数列前几项写出其通项公式，没有通用的方法可循.再强调对于数列通项公式的理解注意以下几点：(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1，2，…，n}为定义域的函数的表达式.(2)如果知道了数列的通项公式，那么依次用1，2，3，…去替代公式中的n就可以求出这个数列的各项;同时，用数列的通项公式也可判断某数是否是某数列中的一项，如果是的话，是第几项.(3)如所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式.如2的不足近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，0.000 1，…所构成的数列1，1.4，1.41，1.414，1.414 2，…就没有通项公式.(4)有的数列的通项公式，形式上不一定是唯一的，正如举例中的：(5)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列通项公式并不唯一.4．数列的图象对于数列4，5，6，7，8，9，10每一项的序号与这一项有下面的对应关系：序号：1 2 3 4 5 6 7项： 4 5 6 7 8 9 10这就是说，上面可以看成是一个序号集合到另一个数的集合的映射.因此，从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})的函数，当自变量从小到大依次取值时，对应的一列函数值.这里的函数是一种特殊的函数，它的自变量只能取正整数.由于数列的项是函数值，序号是自变量，数列的通项公式也就是相应函数和解析式.数列是一种特殊的函数，数列是可以用图象直观地表示的.数列用图象来表示，可以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标，描点画图来表示一个数列，在画图时，为方便起见，在平面直角坐标系两条坐标轴上取的单位长度可以不同，从数列的图象表示可以直观地看出数列的变化情况，但不精确.把数列与函数比较，数列是特殊的函数，特殊在定义域是正整数集或由以1为首的有限连续正整数组成的集合，其图象是无限个或有限个孤立的点.5．递推数列一堆钢管，共堆放了七层，自上而下各层的钢管数构成一个数列：4，5，6，7，8，9，10.①数列①还可以用如下方法给出：自上而下第一层的钢管数是4，以下每一层的钢管数都比上层的钢管数多1练习题：1．若等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S33－S22＝1，则数列{an}的公差是( )A.12 B．1 C．2 D．3解析：由Sn＝na1＋n(n－1)2d，得S3＝3a1＋3d，S2＝2a1＋d，代入S33－S22＝1，得d＝2，故选C.答案：C2．已知数列a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，则a2 011等于( )A．1 B．－4 C．4 D．5解析：由已知，得a1＝1，a2＝5，a3＝4，a4＝－1，a5＝－5，a6＝－4，a7＝1，a8＝5，…故{an}是以6为周期的数列，∴a2 011＝a6×335＋1＝a1＝1.答案：A3．设{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错误的是( )A．d＜0 B．a7＝0C．S9＞S5 D．S6与S7均为Sn的最大值解析：∵S5＜S6，∴a6＞0.S6＝S7，∴a7＝0.又S7＞S8，∴a8＜0.假设S9＞S5，则a6＋a7＋a8＋a9＞0，即2(a7＋a8)＞0.∵a7＝0，a8＜0，∴a7＋a8＜0.假设不成立，故S9＜S5.∴C错误. 答案：C优品课件，意犹未尽，知识共享，共创未来！！！。
高一新课程《数列》解读课件
数列在金融领域中用于描述利率 、复利、股票价格等随时间变化 的规律，为投资决策提供依据。
工程领域
数列在物理学、化学和工程学中用 于描述周期性变化的现象，如振动 、波传播、化学反应速率等。
社会领域
数列在社会学中用于描述人口增长 、城市化率等随时间变化的趋势， 为政策制定提供数据支持。
数列与其他数学知识的结合
数列与函数
数列与线性代数
数列可以视为离散的函数，研究数列 的性质和变化规律有助于理解连续函 数的性质和变化规律。
数列的向量表示和线性组合在矩阵运 算和线性代数中有着广泛的应用，掌 握数列知识有助于理解线性代数的概 念和方法。
数列与微积分
数列的极限概念和微积分中的连续函 数有着紧密的联系，掌握数列知识有 助于理解微积分的基本概念和运算方 法。
数列的表示方法
数列通常用大写字母表示，如a₁，a₂，a₃...或简写为a₁₊ₙ，其中n表示项数，a表 示每一项的值。
数列的性质与特点
有界性
数列是一种有界函数，即它的 值域是有限的或可数的。
周期性
有些数列具有周期性，即存在 一个正整数T，使得对于所有正 整数n，aₙ=aₙ₊T。
单调性
数列可以单调递增或单调递减 ，也可以在某一段递增而在另 一段递减。
等比数列的定义与通项公式
等比数列的定义
等比数列是一种常见的数列，其中任意两个相邻项的比是一 个常数。
等比数列的通项公式
$a_n = a_1 times q^{n-1}$，其中$a_1$是首项，$q$是公 比，$n$是项数。
常见数列的通项公式与求解方法
01
02
03
斐波那契数列
$F_n = F_{n-1} + F_{n2}$，其中$F_1 = 1, F_2 = 1$。
人教版高一数学必修5--第二章数列总结
人教版高一数学必修5--第二章数列总结 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN人教版高一数学必修5第二章数列总结1、数列的基本概念(1)定义：按照一定的次序排列的一列数叫做数列．(2)通项公式：如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个公式表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式．(3)递推公式：如果已知数列{a n }的第一项(或前几项)，且任何一项a n 与它前一项a n －1(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．通项公式与递推公式，是给出一个数列的两种主要方法．2、主要公式(1)通项公式a n 与前n 项和公式S n 间的关系： a n ＝⎩⎨⎧S 1n ＝1S n －S n －1n ≥2.(2)等差数列a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d .S n ＝12n (a 1＋a n )，S n ＝na 1＋12n (n －1)d . A ＝a ＋b2(等差中项)． （3）等比数列a n ＝a 1q n －1，a n ＝a m ·q n －m .S n ＝⎩⎨⎧na 1 q ＝1a 1－a n q 1－q ＝a 11－qn 1－qq ≠1.G ＝±ab (等比中项)．3．主要性质(1)若m ＋n ＝p ＋q (m 、n 、p 、q ∈N *)， 在等差数列{a n }中有：a m ＋a n ＝a p ＋a q ； 在等比数列{a n }中有：a m ·a n ＝a p ·a q .(2)等差(比)数列依次k 项之和仍然成等差(比)．专题一 数列的通项公式的求法1．观察法 根据下面数列的前几项，写出数列的一个通项公式．(1)1,1，57，715，931，…；2．定义法等差数列{a n}是递增数列，前n项和为S n，且a1，a3，a9成等比数列，S5＝a25.求数列{a n}的通项公式．3．前n项和法(1)已知数列{a n}的前n项和S n＝n2＋3n＋1，求通项a n；(2)已知数列{a n}的前n项和S n＝2n＋2，求通项a n.4．累加法已知{a n}中，a1＝1，且a n＋1－a n＝3n(n∈N*)，求通项a n.5．累乘法已知数列{a n}，a1＝13，前n项和S n与a n的关系是S n＝n(2n－1)a n，求通项a n.6．辅助数列法已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝3a n＋2(n∈N*)．求数列{a n}的通项公式．7．倒数法已知数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝a na n＋1(n∈N*)．求通项a n.专题二数列的前n项和的求法1．分组转化求和法如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合而成，并且各独立项也可组成等差或等比数列，则该数列的前n项和可考虑拆项后利用公式求解．求和：S n＝112＋214＋318＋…＋(n＋12n)．2．裂项求和法对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，在求和时常用“裂项法”，分式的求和多利用此法．可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项，常见的拆项公式有：(1)1n n＋k＝1k·(1n－1n＋k)；(2)若{a n}为等差数列，公差为d，则1a n·a n＋1＝1d(1a n－1a n＋1)；(3)1n＋1＋n＝n＋1－n等．3．错位相减法若数列{a n}为等差数列，数列{b n}是等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{a n b n}，当求该数列的前n项的和时，常常采用将{a n b n}的各项乘以等比数列{b n}的公比q，然后错位一项与{a n b n}的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，所以这种数列求和的方法称为错位相减法．已知数列{a n}中，a1＝3，点(a n，a n＋1)在直线y＝x＋2上．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n＝a n·3n，求数列{b n}的前n项和T n.4．分段求和法如果一个数列是由各自具有不同特点的两段构成，则可考虑利用分段求和．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n＋S n＝1(n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足b n＝3＋log4a n，设T n＝|b1|＋|b2|＋…＋|b n|，求T n.附注：常用结论1）1+2+3+...+n =2） 1+3+5+...+(2n-1) =3）三、等差、等比数列的对比（1）判断数列的常用方法看数列是不是等差数列有以下三种方法：①②2()③(为常数).看数列是不是等比数列有以下四种方法：①②(，)③(为非零常数).④正数列{}成等比的充要条件是数列{}（）成等比数列.（2）等差数列与等比数列对比小结：等差数列等比数列定义1．1．公式2．2．性质1．，称为与的等差中项2．若（、、、），则3．，，成等差数列4.1．，称为与的等比中项2．若（、、、），则3．，，成等比数列4. ，（3）在等差数列｛｝中,有关Sn 的最值问题：1），时，有最大值；，时，有最小值；2）最值的求法：①若已知，可用二次函数最值的求法（）；②若已知，则最值时的值（）可如下确定或。
高一数学数列的概念课件新人教版必修1.ppt
4，5，6，7，8，9，10.
正整数的倒数：
1, 1 , 1 , 1 , 1 , 2 345
2精确到1，0.1,0.01,0.001,的值：
1， 1.4， 1.41，1.414， …，
-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…排成的一列数：
-1， 1，-1， 1， -1， 1， …
an=（-1）n (n∈N+)
④ 项 1， 0.1， 0.01， 0.001， … 序号： 1 2 3 4 …
an=（1/10）n-1 (n∈N+)
实质：从映射、函数的观点看，数列
可以看作是一个定义域为正整数集N* （或它的有限子集{1，2，…，n}）的
函数，当自变量从小到大依 次取值时
对应的一列函数值。
① 项 4， 5， 6， 7， 8，9， 10 序号：1 2 3 4 5 6 7
an=n+3 (n∈N+,n≤7)
②项 1， 1/2 ，1/3，1/4 ，1/5 ，… an=1/ n 序号：1 2 3 4 5 … (n∈N+)
③ 项 -1， 1， -1， 1， -1，… 序号： 1 2 3 4 5 …
2
an
an
2n 1
(1)n
n(n 1)
an
(n
1)2 1 n 1
an
(1)n1 2
1
an
n(n 2) n 1
0(n为奇数） （1 n为偶数）
数列的例题3
例3 已知数列
各项由公式an 1
数列的前5项。
an
的第1项是1，以后的
1
给出，写出这个
an1
a3
a1 1
1 1 a2
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高一数学数列人教版【本讲教育信息】一. 教学内容：数列二. 教学重、难点等差、等比数列中的基本问题和数列的综合问题【典型例题】[例1]（1）数列{}n a 中，1a ，2a ，3a 成等差数列)0(1≠a ；2a ，3a ，4a 成等比数列；3a ，4a ，5a 的倒数成等差数列，那么1a ，3a ，5a 的关系是？（2）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1)1(log 2+=+n S n ，求数列的通项n a 。
解：（1）由)11(21125343124223a a a a a a a a a +=+=⋅=，，，得5353312322a a a a a a a +⋅+= ∴ 5353513a a a a a a a ++=，即5123a a a =。
故31a a ⋅，5a 成等比数列。
（2）由题设得121-=+n n S ，当1=n 时，312211=-==S a当2≥n 时，nnn n n n S S a 22211=-=-=+-，故⎩⎨⎧≥==2213n n a n n ，，[例2] 设三个整数x 、y 、z 成等差数列，y x +，z y +，x z +成等比数列，且4540<++<z y x ，求x 、y 、z 。
解：设d y x -=，d y z +=，则d y y x -=+2，d y z y +=+2，y x z 2=+由题意)2(2)2(2d y y d y -=+，即0)6(=+d y d ，故0=d 或y d 6-= 当0=d 时，)45,40(3∈=++y z y x ，则14=y ，此时14===z y x 当y d 6-=时，)45,40(3∈=++y z y x ，则14=y ，此时98=x ，70-=z 因此，所求三数为14===z y x ，或98=x ，14=y ，70-=z[例3] 已知数列{}n a 成等差数列，n S 表示前n 项的和，且6531=++a a a ，124=S 。
（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）数列{}n n S a 中，从第几项开始（含此项）以后各项均为正数？解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，由已知可得⎪⎩⎪⎨⎧=⨯+=++++1223446421111d a d a d a a 即⎩⎨⎧=+=+6322211d a d a ∴ ⎩⎨⎧-==261d a ∴ n a n 28-=（2）)7(2)286(2)(1n n n n a a n S n n -=-+=+=解不等式0>n n S a ，即0)7()28(>--n n n ∵ *N n ∈∴ 0)7)(4(>--n n ∴ 7>n ，或4<n 故从第8项开始以后各项均为正数[例4] 设数列{}n a 的首项11=a ，前n 项的和n S 满足t S t tS n n 3)32(31=+--)2,0(≥>n t 。
（1）设t 为常数，求证{}n a 是等比数列；（2）设数列{}n a 的公比为)(t f ，作数列{}n b ，使11=b ，)1(1-=n n b f b （2≥n ），求：122212433221+--+-+-n n n n b b b b b b b b b b解：（1）∵ t S t tS n n 3)32(31=+-- ① ∴ t S t tS n n 3)32(31=+-+ ② ②－①得0))(32()(311=-+---+n n n n S S t S S t又n n n S S a -=++11，1--=n n n S S a ∴ n n a t ta )32(31+=+∵ 0>t ∴t t a a n n 3321+=+ ∴ {}n a 是首项11=a 。
公比tt q 332+=的等比数列。
（2）∵ tt t t f 132332)(+=+= ∴ 1132)1(--+==n n n b b f b ∴ )2(321≥=--n b b n n∴ {}n b 是首项11=b ，公差为32=d 的等差数列于是)12(31)1(321+=-+=n n b n ，所以{}12-n b 、{}n b 2均成等差数列，公差为34，其中3142+=n b n ∴ 12221254433221+--++-+-n n n n b b b b b b b b b b b b)()()(12122534312+--++-+-=n n n b b b b b b b b b )(34242n b b b +++-= )32(94)31435(21342n n n n +-=++⋅-=[例5] 已知数列{}n a 的前n 项和)2(212+-=n n S n ，数列{}n b 的首项11=b ，且)2(2111≥=---n b b n n n（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项；（2）求证：存在自然数0n ，对一切不小于0n 的自然数n ，恒有n n b a 5>。
解： （1）∵ )2(212+-=n n S n ∴ 111==S a当2≥n 时，1]2)1()1[(21)2(21221-=+----+-=-=-n n n n n S S a n n n ∴ ⎩⎨⎧≥-==2111n n n a n ，， 又 ∵ 11=b ，且)2(2111≥=---n b b n n n∴ )()()(123121--++-+-+=n n n b b b b b b b b1122122121211---=++++=n n（2）当1=n 时，∵ 11=a ，11=b ∴ 115b a >不成立当2≥n 时，若n n b a 5≥恒成立，即)212(511--≥-n n 恒成立，只须12511-->n n 恒成立。
由于2≥n 时，1125111<--n∴ 令110=n ，则当11≥n 时，恒有n n b a 5>[例6] 已知函数)(log)(2a x x f +=的图象过原点。
（1）若)3(-x f ，)12(-f ，)4(-x f 成等差数列，求x 的值； （2）若1)()(+=x f x ϕ，三个正数m ，n ，t 成等比数列，求证：)(2)()(n t m ϕϕϕ≥+。
解：（1）由0log 2=a 得1=a ∴ )1(log)(2+=x x f由)2(log 2-x ，2log 2，)3(log2-x 成等差数列得2)3(log)2(log 22=-+-x x即2)65(log22=+-x x ，2652=+-x x ，解之得4=x ，1=x （舍）（2）)1(log 1)(2++=x x ϕ欲证)]1(log1[2)1(log 1)1(log 1222++≥+++++n t m只需证2222)1(log )1(log )1(log+≥+++n t m ，即证2)1()1)(1(+≥++n t m ∵ 2n mt =，∴ 只需证n t m 2≥+，即证mt t m 2≥+，它是显然成立的。
∴ 所证不等式成立[例7] 已知数列{}n a 是公比大于1的等比数列，且15210a a =，n n a a a S +++= 21，nn a a a T 11121+++=，求满足n n T S >的最小正整数n 。
解：设数列的首项为1a ，公比为q ，根据题意，得141291)(q a q a =，即1411821q a q a =即141=q a ，411q a =∵ 1>q ∴ 101<<a ，从而0>n a 又q q a S nn --=1)1(1，q q a q a qq a T n n n n --⋅=--=-1)1(111])1(1[111211即n n n S q a T 1211-= ∵ 0>>n n T S ∴ 1121>=-n nn q a T S ∴ 82111q a qn =>- 又1>q ，故有81>-n ，9>n ∴ 满足n n T S >的最小正整数10=n[例8] 数列{}n a 共有k 项（k 为定值），它的前n 项和n n S n +=22（k n ≤，*N n ∈），现从k 项中抽取某一项（不抽首项、末项），余下的1-k 项的平均值是79。
（1）求数列{}n a 的通项；（2）求数列的项数k 并求抽取的是第几项。
解：（1）311==a S ，141-=-=-n S S a n n n （2≥n ），1a 满足上述关系式∴ )(14*N n k n n a n ∈≤-=，（2）设抽取的是第t 项，则k t <<1由题意得)1(79-=-k a S t k ，即7979)14(22-=--+k t k k即8078242+-=k k t ∴ k k k 48078242<+-<解得4038<<k ，*N k ∈ ∴ 39=k∴ 20240392=+-=k k t ，即抽取的是第20项，数列的项数39=k【模拟试题】（答题时间：45分钟）一. 选择题1. 已知a 、b 、c 成等差数列，则二次函数c bx ax y ++=22的图象与x 轴的交点个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 1或22. 如果一个工厂的生产总值的月平均增长率是p ，则其年平均增长率是（ ）A. pB. p 2C. 12)1(p + D. 1)1(12-+p3. 设*N m ∈，m 2log 的整数部分用)(m F 表示，则)1024()2()1(F F F +++ 的值是（ ）A. 8204B. 8192C. 9218D. 以上都不对4. 若x 的方程02=+-a x x 和02=+-b x x （b a ≠）的四个根可组成首项为41的等差数列，则b a +的值为（ ）A.83 B. 2411 C. 2413 D. 7231 5. 正项等比数列{}n a 的首项512-=a ，其前11项的几何平均数为52，若前11项中抽取一项后的几何平均数仍是52，则抽去一项的项数为（ ）A. 6B. 7C. 9D. 11 6. 取第一象限内的两点),(111y x P ，),(222y x P ，使1，1x ，2x ，2依次成等差数列；1，1y ，2y ，2依次成等比数列，则点1P 、2P 与射线l ：)0(>=x x y 的关系为（ ） A. 点1P 、2P 都在l 的上方 B. 点1P 、2P 都在l 上 C. 点1P 、2P 都在l 的下方 D. 点1P 在l 的下方，点2P 在l 的上方7. 各项都是正数的等比数列{}n a 中，公比2=q ，且30303212=⋅⋅⋅⋅a a a a ，则30963a a a a ⋅⋅⋅⋅ 的值为（ ）A. 102B. 202C. 152D. 1628. 在ABC ∆中，A tan 是以4-为第三项，4为第七项的等差数列的公差，B tan 是以31为第三项，9为第六项的等比数列的公比。